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1 EXERCICES EXERCICE On considère le canal à uatre entrées et cin sorties: A B C D A B E C D. Montrer ue ce canal est symétriue. 2. Calculer sa caacité. On se roose d'utiliser ce canal our transmettre le contenu d'une source binaire S. 3. Déterminer l'ordre d'extension de la source S our ue les mots source uissent être transmis directement sur le canal. 4. On suose la source binaire S sans mémoire. Calculer la robabilité our u'un mot source soit transmis correctement ar le canal.

2 2 exercices du chaitre III 5. Si la source S est éuidistribuée ie. P{ S = 0}= P{ S = }= 2 et son débit binaire D S = T S, uel devrait être le débit d'utilisation du canal D C our u'une transmission du contenu de S uisse être envisagée avec une robabilité d'erreur aussi etite ue souhaitée? EXERCICE 2. Calculer les caacités des canaux C et C2 ci-dessous. A B α β α β A' B' - - C canal canal 2 C' 2. Déduire du. la caacité du canal résultant de la mise en cascade de C et C2 obtenue en reliant les sorties α et β du canal aux entrées corresondantes α et β du canal 2. EXERCICE 3. Calculer la caacité d'un canal binaire à effacement: 0-0 ε -

3 exercices du chaitre III 3 2. Quelle est la caacité ar unité de tems si le débit d'utilisation du canal est D c = T c? 3. On considère une source binaire éuidistribuée sans mémoire de débit binaire D s. Quelle doit être la valeur du débit utilisé sur le canal our ue la transmission du contenu de la source uisse s'effectuer avec une robabilité aussi etite ue souhaitée? 4. À et D s fixés, imaginer un disositif incluant une voie de retour non bruitée ui ermette d'atteindre le résultat du 3. Quelle est alors la robabilité d'erreur? EXERCICE 4. Calculer la caacité du canal K-aire sans mémoire défini ar les robabilités de transition: P{ Y = a i / X = a i }= P{ Y = a j / X = a i }= j i On a donc + ( K ) =. a a 2 a a 2 a 3 a K a K EXERCICE 5

4 4 exercices du chaitre III On considère une source binaire sans mémoire S 0 dont la loi de robabilité vérifie: P{ S 0 = 0}= 0,9 = P{ S 0 = }. I CODAGE DE SOURCE On souhaite coder les mots source de longueur n = 4 en des mots code binaires de longueur r = 3.. Construire un code bloc attribuant à chaue mot source de longueur 4 un mot code binaire de longueur 3 en faisant en sorte ue la robabilité de ne ouvoir attribuer avec certitude un mot source à un mot code soit la lus etite ossible. Calculer cette robabilité. 2. Ce codage fait corresondre à S 0 une nouvelle source S ossédant 2 3 = 8 symboles. - Calculer l'entroie ar symbole de S. 3. On suose ue le débit binaire de S 0 est D S0 = T S et ue la durée d'un mot source S coîncide avec la durée d'un mot source S 0 - Calculer le débit d'information (entroie ar unité de tems) de S et le comarer au débit d'information de S 0. Commenter (succintement) la différence observée. II CODAGE DE CANAL Pour transmettre le contenu de la source S, on utilise un canal binaire symétriue de aramètre = P{ Y = 0 / X = }= P{ Y = / X = 0}= 0,08 (où X et Y désignent resectivement l'entrée et la sortie du canal). TRANSMISSION SANS CODAGE. On relie directement la souce S au canal. 0. La condition du deuxième théorème de Shannon est-elle satisfaite?. Quelle est la robabilité our u'un élément binaire d'un mot de S soit erroné? 2. Calculer la robabilité our u'un mot source de S soit transmis correctement.

5 exercices du chaitre III 5 TRANSMISSION AVEC UN CODE IDÉAL 3. Quelle doit être, en fonction du débit binaire D S0 = T S, la valeur minimum du débit binaire d'utilisation du canal binaire symétriue our ue la transmission du contenu de la source S uisse s'effectuer avec une robabilité aussi faible ue souhaitée, en utilisant un code arorié? On suose ue l'on utilise un code our transmettre le contenu de S tel ue la robabilité d'erreur sur les mots source S est négligeable. Arès le décodage de canal ui ermet de retrouver les mots source S, on disose un réceteur ayant our objet de restituer les mots de l'extension d'ordre 4 de S 0 émis. 4. Préciser la structure de ce réceteur our ue la robabilité d'erreur sur les mots de l'extension d'ordre 4 de S 0 soit la lus etite ossible. Calculer cette robabilité. EXERCICE 6 On considère une modulation de hase à deux états transmise sur un canal à bruit additif gaussien blanc de densité sectrale de uissance égale à N 0. L'exression de l'enveloe 2 comlexe du signal utile émis (our un élément binaire donné) est : d k E b g( t kt) avec d k = ( res. d k = )si l' élément binaire émis est 0 res. g( t) le formant E b l' énergie ar élément binaire = le débit symbole T ( ) On suose ue les éléments binaires "0" et "" sont éuirobables. L'enveloe comlexe du signal bruité à l'entrée du réceteur s'écrit: E b g( t kt)+ α b ( t) où α b t d k réceteur). ( ) rerésente l'enveloe comlexe du bruit (à l'entrée du

6 6 exercices du chaitre III Arès assage dans le filtre adaté à g( t) (on suose en outre ue g( t) est normée) et échantillonnage à t = kt, on obtient: z k = d k E b + α' b (on suose ue la valeur du débit de la source est telle u'il n'y a as d'interférence entre les symboles) avec α' b gaussien centré de variance N 0, c'est-à-dire ue la artie réelle et la artie imaginaire de α' b sont indéendantes et suivent une loi de Gauss centrée et d'écart-tye N 0 2. PREMIÈRE PARTIE Pour décider du symbole d k émis ("-" ou ""), on rojete z k sur l'axe réel et on utilise un comarateur à seuil (de tension de seuil 0) de telle sorte ue: si R( z k ) 0 on décide d k = si R( z k )< 0 on décide d k = où d k rerésente le symbole estimé et R( x) la artie réelle de x. On obtient la chaîne de transmission: source binaire codeur d k formant filtre adaté α b chaîne de transmission échantillonneur artie réelle comarateur à seuil éléments binaires restitués décodeur d^ k

7 exercices du chaitre III 7. Exrimer P{ d k = / dk = } et P d k = / dk = Q( x)= + x e u 2 2 du. 2π { } à l'aide de la fonction Q x ( ) définie ar 2. Déduire du un modèle de canal our la chaîne de transmission avec deux alhabets binaires identiues our l'entrée et la sortie. Calculer sa caacité et la robabilité d'erreur ar symbole. 3. Calculer la valeur numériue de la robabilité d'erreur ar symbole dans le cas où 2E b N 0 = 5. DEUXIÈME PARTIE On remlace le comarateur à seuil récédent (ou uantificateur à deux niveaux) ar un uantificateur à trois niveaux de telle sorte ue: si R( z k ) A on décide d k = si A < R( z k )< A as de décision si R( z k ) A on décide d k = où A est une constante strictement ositive suérieure ou égale à E b.. Montrer ue la chaîne de transmission eut être modélisée ar un canal à deux entrées et trois sorties dont on calculera les robabilités de transition et la caacité. On disose d'une voie de retour (suosée non bruitée) et d'une mémoire de taille suffisante our demander la réémission d'un symbole dont la récédente émission n'a u donner lieu à une décision. 2. Quel est le nombre moyen d'émissions successives du même symbole our u'une décision soit rise en récetion? 3. Calculer la robabilité d'erreur ar symbole.

8 8 exercices du chaitre III 4. On se lace dans le cas où 2E b N 0 = 5 et A = E b. Calculer la valeur numériue de la robabilité d'erreur ar symbole. Comarer avec le résultat de la remière artie. La condition d'adéuation entre source et canal du deuxième théorème de Shannon est-elle satisfaite? 5. On note α = P{ d k = }. Quelle éuation doit vérifier α our ue la condition d'adéuation source canal du deuxième théorème de Shannon soit satisfaite? EXERCICE 7 Calculer la caacité d'un canal résultant de la mise en cascade d'un canal binaire symétriue de robabilité d'erreur et d'un canal à effacement: 0 - -α 0 α ε - α -α

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