Algorithmique et Programmation. Automates finis. Chap. I/9

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1 Algorithmique et Progrmmtion. Automtes finis. Chp. I/9 Jen-Eric Pin To cite this version: Jen-Eric Pin. Algorithmique et Progrmmtion. Automtes finis. Chp. I/9. J. Akok et I. Comyn-Wttiu. Encyclopédie de l informtique et des systèmes d informtion, Vuiert, pp , <hl > HAL Id: hl umitted on 28 Apr 2007 HAL is multi-disciplinry open ccess rchive for the deposit nd dissemintion of scientific reserch documents, whether they re pulished or not. The documents my come from teching nd reserch institutions in Frnce or rod, or from pulic or privte reserch centers. L rchive ouverte pluridisciplinire HAL, est destinée u dépôt et à l diffusion de documents scientifiques de niveu recherche, puliés ou non, émnnt des étlissements d enseignement et de recherche frnçis ou étrngers, des lortoires pulics ou privés.

2 Automtes 2006/4/6 :20 pge # Automtes finis Jen-Éric Pin Mots-clés : utomte, lngge, expression rtionnelle, reconnissle, utomte séquentiel, industrie de l lngue, vérifiction, spécifiction. Résumé : introduits vers 950, les utomtes finis constituent le modèle le plus élémentire de mchine. Ce chpitre présente d une prt les utomtes usuels, qui se contentent de lire un mot en entrée pour l ccepter ou le rejeter, et les utomtes séquentiels, munis d une entrée et d une sortie. Après une rève présenttion du théorème de Kleene, clé de voûte de l théorie des utomtes, nous décrivons les pplictions des utomtes dns divers domines, notmment l modélistion et les industries de l lngue. Un ref historique L théorie des utomtes est née de l convergence de plusieurs cournts scientifiques. Le premier est issu des tenttives de logiciens tels que Church, Gödel ou Turing pour formliser l notion de clcul et de mchine. Cet effort occupé toute l première moitié du vingtième siècle et pourtnt, les utomtes finis, qui constituent le modèle le plus simple de mchine, ne seront définis formellement que ien près les mchines de Turing. Les systèmes dynmiques discrets forment l seconde source d inspirtion. Bien que leur étude remonte ux trvux de Morse dtnt de l première moitié du vingtième siècle, leurs liens vec les utomtes finis font encore à ce jour l ojet de recherches très ctives. Le troisième cournt, proche cousin du précédent, est l théorie de l informtion âtie pr hnnon en 948. Les prolèmes de codge, étudiés notmment pr chützenerger dès les nnées cinqunte, ont en effet profondément influencé l théorie des utomtes. L qutrième source provient de linguistes tels que Chomsky qui, en cherchnt à formliser les lngues nturelles, ont introduit les concepts de mots, lngges, grmmires, que nous utilisons ujourd hui. Le domine des circuits électroniques été l cinquième source d inspirtion. Il conduit notmment à l notion d utomte vec sortie et u concept de spécifiction du comportement d un circuit. Les cinq domines que nous venons d évoquer rièvement ont eu une influence considérle sur l génèse et le développement de l théorie des utomtes. Mis historiquement, c est un rticle sur les réseux neuronux pulié en 943 pr McCulloch et Pitts qui est à l origine de l notion d utomte. Il semle en effet que le terme «théorie des utomtes» it été introduit en 948 pr Von Neumnn en référence à cet rticle. Pr illeurs, à l demnde de l RAND Corportion, Kleene longuement nlysé cet rticle dns un mémoire rédigé durnt l été 95, mis pulié seulement en 956. Cet rticle mrque l nissnce de l théorie des utomtes. Kleene y démontre un théorème qui ffirme que les lngges reconnus pr un utomte sont exctement les lngges rtionnels, ppelés ussi lngges réguliers, que l on peut décrire à prtir des lettres de l lphet eu utilisnt trois opértions : l union (qui joue le rôle de l ddition), le produit et l étoile. On otient insi un procédé descriptif tout à fit différent des utomtes, et ce résultt est ssez surprennt. Il pour conséquence que l ensemle des lngges rtionnels est fermé pr intersection et complément. Les utomtes vec sortie ont été introduits eux ussi à l fin des nnées cinqunte. Un utomte vec sortie lit un mot en entrée et produit un mot en sortie. Les modèles les plus intéressnts sont les utomtes séquentiels, qui permettent d otenir l sortie u fur et à mesure de l lecture du mot d entrée. Ces utomtes sont très proches des circuits électroniques et leur synthèse en circuit peut d illeurs être entièrement utomtisée. 2 Mots et lngges En informtique, mis ussi en mthémtiques, en linguistique ou en iologie, les informtions sont souvent représentées pr des chînes de crctères. Pr exemple pour les données informtiques, on utilise des suites de 0 et de, pour l informtion génétique, des suites formées des qutre crctères A (Adénine), C (Cytosine), G (Gunine) et T (Thymine) et pour les lngues nturelles, les mots figurnt dns un dictionnire. L formlistion commune à ces exemples est

3 Automtes 2006/4/6 :20 pge 2 #2 2 Automtes finis l suivnte. Un lphet est un ensemle fini dont les éléments sont ppelés des lettres. Ainsi, on prle de l lphet inire {0, }, de l lphet du génome {A, C, G, T }, de l lphet ltin usuel {,..., z, A,..., Z}. Dns les exemples qui vont suivre, on utiliser le plus souvent des lphets ssez petits tels que {, } ou {,, c} et on noter A l lphet tout entier. Un mot sur l lphet A est une suite finie de lettres de A. On note ces lettres pr simple juxtposition : insi le mot rcdr est un mot sur l lphet {,, c, d, r}. L longueur d un mot u, notée u, est égle u nomre de lettres figurnt dns u, chque lettre étnt comptée utnt de fois qu elle pprît. Ainsi, = 6 et rcdr =. Il existe ussi un mot de longueur 0, que l on note ε. Le produit (ou concténtion) de deux mots est le mot otenu en mettnt ces mots out à out. Pr exemple, le produit des mots r et cdr est le mot rcdr. On note ussi u n le produit de n mots égux à u. Ainsi, () 3 =. On ppelle lngge tout ensemle de mots sur un lphet donné. Pr exemple, les ensemles {,,} et { n n n 0} sont des lngges sur l lphet {, }. 3 Automtes déterministes L figure. représente un utomte déterministe. Cet utomte possède trois étts,, 2 et 3, entourés pr des cercles sur l figure. L étt est l étt initil, ce qu on indique pr une flèche entrnte. Les étts 2 et 3 sont des étts finux, ce qui est indiqué pr une flèche sortnte. Cet utomte possède ussi des trnsitions, représentées pr des flèches étiquetées pr des lettres. De plus, de chque étt sort u plus une flèche d étiquette donnée. 2 3 Fig.. Un utomte Pour svoir si un mot est ccepté ou non pr l utomte, on lit de guche à droite les lettres de ce mot en prtnt de l étt initil et en suivnt les trnsitions. i on prvient dns un étt finl, ce mot est ccepté, sinon, il est rejeté. Prenons pr exemple le mot. En lisnt ce mot en prtnt de l étt initil, on utilise d ord l trnsition d étiquette qui v de vers 2, puis celle de 2 vers 2 d étiquette et enfin celle d étiquette de 2 vers 3. Comme 3 est un étt finl, le mot est ccepté pr l utomte. i on lit mintennt le mot en prtnt de l étt initil, on utilise successivement les trnsitions de vers 2, de 2 vers 3 et enfin de 3 vers. À l issue de l lecture du mot on rrive donc dns l étt, qui n est ps un étt finl : le mot est rejeté pr l utomte. Enfin, exminons le mot. Comme pour le mot, on commence pr utiliser les trnsitions de vers 2, puis de 2 vers 3, mis rrivé dns l étt 3, on constte qu il n y ps de trnsition d étiquette issue de 3. L lecture du mot ne peut donc se poursuivre et le mot est églement rejeté. 4 Lngges reconnissles L ensemle des mots cceptés pr un utomte est pr définition le lngge reconnu pr l utomte. On dit qu un lngge est reconnissle s il existe un utomte déterministe qui le reconnît. En voici deux exemples. L utomte de l figure.2 reconnît le lngge des mots sur l lphet {, } qui commencent pr., Fig..2 Un utomte déterministe Notre second exemple est un peu plus sophistiqué. Rppelons que l représenttion inire d un entier s otient en le décomposnt comme somme de puissnces de 2. Pr exemple, le nomre 330 qui vut , s écrit en se 2. On peut montrer que l utomte de l figure.3 reconnît l ensemle des mots sur l lphet {0, } qui sont l représenttion inire d un multiple de 3. Pr exemple, 330 est divisile pr 3 et le mot est ien ccepté pr l utomte Fig..3 Multiples de 3 Tous les lngges ne sont ps reconnissles. Pr exemple, on montre que le lngge {0 n n n 0} n est ps reconnissle. L significtion intuitive 0 0

4 Automtes 2006/4/6 :20 pge 3 #3 Automtes non déterministes 3 de ce résultt est qu un utomte fini ne peut simuler une pile de huteur non ornée (voir chpitre Modèles de mchines ). 5 Automtes non déterministes Les utomtes non déterministes constituent une vrinte importnte des utomtes déterministes. Ils sont eux ussi représentés pr un grphe étiqueté, comme celui de l figure.4., 2 3 Fig..4 Un utomte non déterministe Mis contrirement u cs des utomtes déterministes, on peut voir plusieurs étts initiux et plusieurs flèches de même étiquette issues du même étt. Ainsi sur notre exemple, il y deux étts initiux, et 2, et deux trnsitions d étiquette issues de l étt : une de vers et l utre de vers 2. Un chemin est une suite de trnsitions consécutives. Le mot formé pr les étiquettes de ces trnsitions consécutives est l étiquette du chemin. Un chemin est réussi s il prt d un étt initil et outit dns un étt finl. Un mot est ccepté s il est l étiquette d u moins un chemin réussi (ce qui n exclut ps qu il puisse être simultnément l étiquette d un chemin non réussi!). Le lngge reconnu pr l utomte A est l ensemle des mots cceptés pr A. Les utomtes non déterministes permettent une représenttion plus concise de certins lngges. Pr exemple, l utomte non déterministe de l figure.5 ccepte l ensemle des mots sur l lphet {0, } contennt l chîne 00. 0, 0, Fig..5 Un utomte non déterministe pour les mots contennt l chîne 00 Deux utomtes sont dits équivlents s ils reconnissent le même lngge. On démontre que tout utomte non déterministe est équivlent à un utomte déterministe, comme illustré sur l figure.6. Toutefois, déterminiser un utomte peut voir un coût prohiitif puisqu on connît des exemples d utomtes non déterministes à n étts dont le plus petit équivlent déterministe possède 2 n étts. Fort heureusement, cette sitution extrême se rencontre rrement en prtique.,, Fig..6 Un utomte non déterministe et un utomte déterministe équivlent 6 Automte miniml i on dispose d un utomte déterministe reconnissnt un lngge L, on peut éliminer tous les étts inccessiles à prtir de l étt initil et tous ceux à prtir desquels on ne peut ps tteindre un étt finl. On otient insi l version émondée de l utomte, qui est équivlente à l utomte de déprt. On peut ensuite minimiser l utomte. Cette opértion consiste à identifier deux étts p et q lorsque ce sont exctement les mêmes mots qui permettent d ller de p à un étt finl et de q à un étt finl. L utomte otenu près cette opértion, ppelé utomte miniml de L, est encore équivlent à l utomte de déprt. On démontre que prmi tous les utomtes déterministes reconnissnt L, l utomte miniml est celui qui possède le plus petit nomre d étts. 7 Expressions rtionnelles i on connît un utomte déterministe reconnissnt un lngge L, on peut fcilement tester si un mot pprtient ou non à L. En revnche, il n est ps toujours fcile de décrire les mots de L. Les expressions rtionnelles, ppelées ussi expression régulière, permettent de résoudre ce prolème. L expression ( + ) +`( + c) ( + ε) c est un exemple d expression rtionnelle sur l lphet {,, c}. Comme on le voit, c est une forme d expression lgérique utilisnt les lettres de l lphet, le mot vide, un opérteur +, un opérteur produit et une sorte d exposnt, noté. Le symole + désigne le ou logique. Autrement dit, L + L représente l union des deux lngges L et L, formée des mots qui sont dns L 4

5 Automtes 2006/4/6 :20 pge 4 #4 4 Automtes finis ou dns L. Le produit de L et L, noté LL, est formé des mots qui sont produits d un mot de L et d un mot de L. L + L = {u A u L ou u L } LL = {uu u L et u L }. Pour L = +c et L = +c, on trouve L+ L = +c+c et LL = +c+cc. Comme pour les mots, on peut définir les puissnces d un lngge en posnt L 0 = {ε}, L = L, L 2 = LL, etc. L étoile d un lngge L, notée L, est l union de toutes les puissnces de L : L = X n 0 L n. De fçon équivlente, L est formé de tous les mots qui peuvent s écrire comme produit d un nomre ritrire de mots de L. Les lngges rtionnels sont les lngges décrits pr des expressions rtionnelles. i A = {, }, les lngges suivnts sont rtionnels : l lphet A, qui peut s écrire +, l ensemle A = ( + ) formé de tous les mots sur l lphet A, le lngge A A des mots contennt l lettre, le lngge (A 2 ) A des mots de longueur impire, le lngge () formé des mots ε,,,,... Les expressions rtionnelles sont d un usge cournt en informtique. Ainsi, les éditeurs vi et emcs d Unix utilisent des expressions rtionnelles pour l recherche d expressions. Une syntxe voisine est utilisée pr les nlyseurs lexicux (lex) ou les lngges de script, tels que Perl ou PHP. 8 Le théorème de Kleene Le théorème de Kleene, clef de voûte de l théorie des utomtes, ffirme qu un lngge est rtionnel si et seulement s il est reconnissle. De plus, l démonstrtion de ce théorème fournit un lgorithme pour psser d un utomte à une expression rtionnelle et vice-vers. Le lecteur pourr pr exemple vérifier que le lngge ccepté pr l utomte de l figure. est le lngge rtionnel ( ) ( + ε). Le théorème de Kleene plusieurs conséquences importntes, notmment le fit que l intersection de deux lngges rtionnels et l différence de deux lngges rtionnels sont encore des lngges rtionnels. Pour illustrer l portée de ce dernier résultt, cherchons une expression rtionnelle représentnt le lngge L des mots ne contennt ps l chîne 00. Pour l otenir, on prt de l utomte de l figure.5, qui reconnît le lngge des mots qui contiennent l chîne 00. L figure.7 donne un utomte déterministe équivlent. 0 0, Fig..7 Déterministion de l utomte En échngent les étts finux et non finux, puis en supprimnt l étt 4 devenu inutile, on otient un utomte déterministe qui reconnît L (cf. figure.8) Fig..8 Un utomte pour L Il reste lors à convertir cet utomte en expression rtionnelle pour résoudre notre prolème. Plusieurs réponses sont possiles, pr exemple ( + 00 ) (ε ). 9 Automtes séquentiels Les utomtes séquentiels sont des utomtes déterministes qui produisent un mot de sortie. Ils permettent de réliser plusieurs trnsformtions fmilières telles que l ddition des entiers, l multipliction pr une constnte, divers codges et décodges, le «couper-coller» dns un texte, etc. Dns un utomte séquentiel, l étt initil et les étts finux sont étiquetés pr des mots et les trnsitions sont étiquetées pr des couples formés d une lettre et d un mot séprés pr une rre verticle. L lettre figurnt à guche de l rre est lue en entrée, et le mot figurnt à droite de l rre est lors produit en sortie (voir figure.9). Le mot de sortie ssocié à un mot d entrée s otient en lisnt l entrée depuis l étt initil et en produisnt les sorties spécifiées pr les trnsitions, y compris celles données u déut pr l étt initil et à l fin pr l étt finl. i on ne prvient ps dns un étt finl, ucune sortie n est produite ε ε Fig..9 Un utomte séquentiel

6 Automtes 2006/4/6 :20 pge 5 #5 Automtes séquentiels 5 Considérons l utomte séquentiel de l figure.9 et prenons 000 comme mot d entrée. En prtnt de l étt initil, et en lisnt le mot de guche à droite, on prcourt le chemin : 0 0 ε ε ε 2 ε 3 00 L sortie est otenue comme produit des mots de sortie 0,, ε,0, ε,0, ε, ε, 00, soit Comme pour les utomtes déterministes, on peut minimiser un utomte séquentiel, ien que l lgorithme soit plus délict à mettre en plce. Une fonction est dite séquentielle si elle peut être rélisée pr un utomte séquentiel. Un résultt essentiel ssure que l composition de deux fonctions séquentielles est séquentielle. Un utomte séquentiel est dit lettre à lettre si les mots de sortie de chque trnsition sont des lettres. Un utomte de Mely est un utomte lettre à lettre dont l étt initil et les étts finux sont étiquetés pr le mot vide, ce qui signifie en prtique que l on peut ignorer ces étiquettes. Un utomte de Moore est une vrinte d utomte séquentiel dns lquelle les sorties sont liées ux étts trversés et non ux trnsitions. On peut démontrer que tout utomte de Moore peut être simulé pr un utomte de Mely et réciproquement. L figure.0 représente un utomte séquentiel lettre à lettre qui permet de réliser l multipliction pr 3 des entiers représentés sous forme inire inversée. Comme son nom l indique, l représenttion inire inversée est otenue en lisnt de droite à guche l représenttion inire usuelle. Dns le jrgon des informticiens, c est l représenttion inire dns lquelle le it de droite le plus fort poids ε Fig..0 Un utomte séquentiel lettre à lettre pour l multipliction pr 3 Pr exemple, le mot 0 est l représenttion inire inversée du nomre = +4+8 = 3. Or 3 3 = 39 et 39 = dont l représenttion inire inversée est 00, ce qui est ien l sortie otenue en lisnt 0 en entrée dns l utomte séquentiel de l figure.0. L ddition des entiers est ussi une opértion séquentielle. Pour l réliser, on écrit les entiers n et m en inire inversé et on rjoute éventuellement des zéros pour que les deux représenttions ient l même longueur. Pr exemple, si n = 22 et m = 3, on prend pour n l représenttion 00 (cr = 22) et pour m l représenttion 00 (cr +4+8 = 3). On considère le couple (00, 00) comme un mot sur l lphet ( 0 0 ),( 0 ),(0 ) ),( otenu en superposnt les deux représenttions et en lisnt les colonnes : ( 0 )( 0 ) ( )(0 ) ( 0 ). L utomte qui rélise l ddition est représenté sur l figure.. Il pour lphet de sortie {0, }. Les étts 0 et correspondent respectivement à l sence et à l présence d une retenue. ( 0 0 ) 0 ( 0 ) ( 0 ) ε ( ) 0 0 ε ( 0 0 ) ( 0 ) 0 ( 0 ) 0 ( ) Fig.. Un utomte séquentiel lettre à lettre pour l ddition ur notre exemple, on trouve en sortie 000, qui code ien 35 = Un utomte de Mely suffit pour réliser l division d un polynôme à coefficients dns Z/2Z pr le polynôme X 2 + X +. Pour cel, on ssocie à chque mot 0 n sur l lphet {0, } le polynôme 0X n + X n + 2X n n X + n à coefficients dns Z/2Z X X Fig..2 Division d un polynôme à coefficients dns Z/2Z pr X 2 + X + Le quotient de l division est donné pr le mot de sortie et le reste pr l étt d rrivée. Ainsi le mot d entrée 000 donne en sortie le mot 000 et rrive dns l étt X +, ce qui correspond à l formule X 4 + = (X 2 +X +)(X 2 +X)+(X+). Les exemples qui précèdent sont génériques. Les utomtes séquentiels permettent de réliser l multipliction et l division entière pr une constnte. i on trville sur des polynômes à coefficients dns un corps fini, l ddition, l multipliction ou l division pr un polynôme

7 Automtes 2006/4/6 :20 pge 6 #6 6 Automtes finis constnt peuvent être rélisées pr des utomtes séquentiels. En revnche, ni l multipliction, ni l division de deux entiers ne sont des opértions séquentielles. De fit, l conception d un circuit électronique rélisnt l multipliction de deux entiers est eucoup plus difficile que celle d un dditionneur. Voici un dernier exemple, de nture ssez différente des précédents. Un filtre à reonds lit une suite de its commençnt et finissnt pr 0 et chnge chque 0 en s il est encdré pr des, et chque en 0 s il est encdré pr des 0, les utres its étnt inchngés. Ainsi, si le mot d entrée est 0000, l sortie ser L figure.3 représente un utomte séquentiel qui rélise un filtre à reonds ε ε Fig..3 Un filtre à reonds 0 0 ε Ce type de filtre est utilisé en tritement d imges. Chque ligne de l imge est constituée d une suite de its. Les éventuelles imperfections de l imge, dues à une muvise qulité du film ou à un défut de trnsmission peuvent être éventuellement corrigées de cette fçon. 0 Utilistion prtique des utomtes Les utomtes interviennent souvent dns l modélistion de prolèmes concrets. C est d illeurs un on réflexe, fce à un prolème discret (i.e. ne fisnt ps intervenir de nomres réels), de commencer pr regrder si une pproche pr utomte n est ps envisgele. Le modèle s pplique même à certins prolèmes continus. Il est vri que les chînes de Mrkov utilisées en proilité sont de proches prents des utomtes. Nous présentons ci-dessous quelques pplictions prtiques des utomtes. Toutefois, nous ne dirons que quelques mots de l une des pplictions les plus importntes, l spécifiction et l vérifiction de systèmes (électroniques ou informtiques), cr elle est tritée en détil u chpitre Automtes et vérifiction. 0. Anlyse lexicle Les utomtes finis sont utilisés en compiltion (voir chpitre Compilteurs ) pour constituer des nlyseurs lexicux, qui permettent notmment de repérer les mots-clés d un lngge de progrmmtion. L utomte de l figure.4, dns lequel les étts finux sont en noir, reconnît un ensemle de mots-clés du lngge Jv : do, doule, finl, finlly, this, throw, throws. d t o u l e f i n l l y h i s r o w s Fig..4 Mots-clés en Jv 0.2 Modélistion de systèmes finis On peut (u moins théoriquement!) utiliser des utomtes pour modéliser des situtions dns lesquelles il n y qu un nomre fini de configurtions possiles. Pr exemple, l figure.5 représente un modèle très rudimentire de montechrge. Les étts symolisent les étges. Le montechrge est muni de deux outons, D et M qui permettent de descendre ou monter d un seul étge à l fois. Le outon D est inctif u rez-de-chussée, de même que M u deuxième étge. D M 0 2 D M Fig..5 Un modèle de monte-chrge L exemple qui suit repose sur une devinette clssique. Un psseur doit fire psser d une rive à l utre un loup, une chèvre et une slde. Toutefois, son teu ne peut trnsporter qu un seul pssger en dehors de lui-même. Bien entendu, il ne peut lisser le loup et l chèvre seuls sns surveillnce, sinon le loup mnger l chèvre. Même chose pour le couple chèvre-slde, cr l chèvre rêve de mnger l slde. Pouvez-vous ider le psseur? On peut modéliser ce prolème pr l utomte de l figure.6. D M

8 Automtes 2006/4/6 :20 pge 7 #7 Utilistion prtique des utomtes 7 C CP P C L CL P C L CLP C L P LP CP C L l configurtion du système pr un mot sur l lphet {T, N}, dont l i-ème lettre vut T ou N selon que le processeur i possède on non le témoin. il y k processeurs, l configurtion initile est donc représentée pr le mot du lngge TN k. On représente ensuite l trnsmission du témoin pr l utomte séquentiel de l figure.8. On peut donc considérer cette opértion comme une fonction séquentielle τ : {T, N} {T, N}. N N N N Fig..6 Le loup, l chèvre et l slde T N N T Chque étt représente les protgonistes sur l rive opposée. Ainsi l étt CP signifie et que l chèvre et le psseur sont sur l rive opposée (et que le loup et l slde n ont ps encore trversé). Comme le précise l énoncé, certins étts sont interdits. L étt initil est et l étt finl et CLP. Les ctions possiles (qui constituent donc l lphet de l utomte) sont les suivntes : () trverser seul (P) (2) trverser vec le loup (L) (3) trverser vec l chèvre (C) (4) trverser vec l slde () On otient insi l utomte de l figure.6 qui donne imméditement les deux solutions les plus courtes : CPLCPC et CPCLPC. 0.3 Modélistion de systèmes infinis Les utomtes permettent ussi de modéliser certins systèmes de tille non ornée, ou même infinie. Ces techniques sont prticulièrement utilisées pour résoudre les prolèmes d nlyse et de vérifiction de protocoles (nécessité de stisfire certines contrintes logiques, comme l sence de locge, ou l exclusion mutuelle). Le plus souvent, on utilise des utomtes trvillnt sur des mots infinis (voir chpitre Automtes et vérifiction ), mis l exemple ci-dessous utilise uniquement des utomtes trditionnels. Considérons un réseu de processus lignés qui communiquent vec chcun de leurs voisins, conformément à l figure Fig..7 Un réseu de processus Ces processus rélisent un clcul en se pssnt un témoin, qui est initilement détenu pr le processus. À chque étpe du clcul, un processeur peut psser le témoin à son voisin de droite. Comment formliser ce système? On peut représenter Fig..8 L trnsmission du témoin L configurtion du système près n trnsmissions de témoin s otient en itérnt n fois l fonction τ à prtir de l configurtion initile. Cet exemple semler peut-être élémentire u lecteur, cr l itértion de l fonction séquentielle se clcule ici sns difficulté. Mis c est loin d être toujours le cs! Considérons pr exemple l utomte séquentiel de l figure ε ε ε 0 0 ε Fig..9 Un utomte séquentiel i on utilise l représenttion inire inversée des entiers, cet utomte clcule une fonction f ien connue des progrmmeurs, définie pr : ( n/2 si n est pir f(n) = 3n + sinon Une conjecture célére ffirme que, prtnt d un entier quelconque n, on rrive toujours à en itérnt f. Pr exemple, en prtnt de n = 3, on trouve l suite 3, 94, 47, 42, 7, etc., qui outit à près 06 itértions. L conjecture été vérifiée pour n 5, , mis n est toujours ps résolue à ce jour. Elle montre en tout cs que l étude de l itértion des fonctions séquentielles présente des difficultés insoupçonnées. 0.4 Industries de l lngue Les utomtes sont très utilisés dns ce qu on ppelle les industries de l lngue : informtique linguistique, tritement des lngues nturelles, correction orthogrphique utomtique,

9 Automtes 2006/4/6 :20 pge 8 #8 8 Automtes finis génértion utomtique de texte, rélistion de dictionnires électroniques, etc. L utomte non déterministe de l figure.20, dû u linguiste Murice Gross, indique l ordre de succession des prticules préverles en frnçis (sns tenir compte des élisions). Pr exemple les phrses je ne le lui i ps donné ou il n y en jmis! sont correctes, mis l phrse il se le lui est fit volé ne l est ps... Afin d lléger l figure.20, seules certines prticules préverles sont représentées. Pour les otenir toutes, il suffit d opérer les sustitutions suivntes : je je, tu, nous, vous, on, ce me me, te,nous, vous, ε il il, ils, elle, elles le le, l, les, ε lui lui, leur, ε y y, ε ne ne, ε se se, ε en en, ε rre nécessite nœuds, lors que l utomte miniml ne possède que étts. De plus, on dispose d lgorithmes très efficces pour les opértions de recherche et de mise à jour pour ces dictionnires électroniques. i on dispose d un dictionnire sous forme d utomte, on peut ensuite fcilement réliser un progrmme informtique chmpion du monde de crle... B P D A O L N N U L X je ne le lui A N y Fig..2 Représenttion pr rre il ne ne me Fig..20 uites de prticules préverles Les utomtes sont églement utilisés dns l rélistion de dictionnires électroniques. L représenttion l plus nïve d un dictionnire consiste à conserver l liste de tous les mots du dictionnire. Une structure d rre permet d otenir une représenttion plus concise. Ainsi, l rre de l figure.2 représente l ensemle des mots {l, ls, n, ns, do, don, dons, doux, pl, pls, pn, pns}. Mis l utilistion d un utomte (voir figure.22) donne une représenttion eucoup plus compcte. Le gin en plce peut être très importnt. Pour un dictionnire de crle nglis, l représenttion pr rre nécessite 7 50 nœuds et 780 kilo-octets de mémoire. L représenttion pr utomte nécessite seulement étts et 75 kilo-octets de mémoire, soit un gin de près de 80%. Pour le Dictionnire électronique des formes fléchies du frnçis (DELAF) rélisé pr les linguistes de l université de Mrne-l-Vllée, qui contient entrées sur un lphet de 90 lettres (minuscules et mjuscules ccentuées, chiffres, et utres signes), l représenttion pr se le en B D P A O Fig..22 Représenttion pr utomte 0.5 Recherche d informtion Tout ce qui concerne l nlyse de textes et l extrction d informtion fit grnd usge des utomtes. Les utomtes interviennent souvent dns l conception d lgorithmes de recherche d informtion. Nous nous contenterons ici de décrire le principe de l recherche dns un texte, dns lequel les utomtes interviennent de fçon nturelle. upposons que l on cherche à déterminer si l chîne d pprît dns le texte rcdr. Cel revient à tester si le mot rcdr pprtient u lngge A da. Comme ce lngge est rtionnel, il suffit de trouver son utomte miniml, puis de vérifier que le texte est ien ccepté pr cet utomte. Plus générlement, rechercher un mot u dns un texte conduit à clculer l utomte miniml du lngge A ua. i n est l longueur du mot L N N U X

10 Automtes 2006/4/6 :20 pge 9 #9 Extensions de l notion d utomte 9 u, il est fcile de construire un utomte non déterministe à n+ étts pour ce lngge (voir l figure.5, pour u = 00). Et, chose remrqule, l utomte miniml de ce lngge possède lui ussi n+ étts. L figure.7 illustre cette construction pour l chîne Autres pplictions Citons églement l mnipultion d imges prmi les pplictions récentes. L compression, et les trnsformtions usuelles telles que rottions, trnsltions, homothéties peuvent en effet être rélisées pr des utomtes séquentiels ppropriés. N oulions ps l théorie de l commnde et du contrôle, où certins lgorithmes récemment développés sont entièrement sés sur les utomtes. En théorie des jeux, dont les pplictions sont ssez diverses, certines strtégies peuvent être modélisées pr des utomtes finis, ce qui donne en prime des lgorithmes efficces. Extensions de l notion d utomte L utilistion des utomtes n est ps limitée ux mots. Elle été étendue ux mots infinis, qui sont des suites infinies de lettres 0 2, ux rres et à ien d utres structures. Le cs des mots infinis mérite que l on s y rrête, en rison de ses pplictions à l vérifiction des systèmes.. Automtes et mots infinis Pour pouvoir utiliser des utomtes finis pour reconnître des mots infinis, Büchi proposé dès 960 l définition suivnte : un chemin infini est réussi s il prt d un étt initil et psse infiniment souvent pr un étt finl. L ensemle des mots infinis cceptés pr un utomte est lors l ensemle des étiquettes des chemins infinis réussis. Considérons l utomte de l figure Fig..23 Un utomte de Büchi On voit que les mots infinis cceptés pr cet utomte sont ceux commençnt pr et contennt une infinité de. En dptnt l notion d expression rtionnelle, on peut lors étendre le théorème de Kleene u cs des mots infinis. On montre cependnt qu un utomte de Büchi non déterministe n est ps toujours équivlent à un utomte de Büchi déterministe. Pour rétlir cette équivlence, il fut utiliser un mode d ccepttion différent, introduit pr Muller. Il consiste à donner non ps un ensemle d étts finux, mis une tle d ensemles d étts {F, F 2,..., F k }. Un chemin infini est lors dit réussi s il est issu d un étt initil et si l ensemle F des étts visités infiniment souvent figure dns l tle. 2 Fig..24 Un utomte de Muller Considérons l utomte de l figure.24. i on prend pour tle {{2}}, un chemin issu de l étt est réussi s il psse infiniment souvent pr 2 et pr un nomre fini de fois. L utomte reconnît donc l ensemle des mots infinis ne contennt qu un nomre fini de. i on prend pour tle {{, 2}}, l utomte reconnît l ensemle des mots infinis contennt une infinité de et une infinité de. Enfin, si on prend pour tle {{}, {2}} l utomte reconnît l ensemle des mots contennt soit une infinité de et un nomre fini de, soit un nomre fini de et une infinité de..2 Trnsducteurs Un utomte non déterministe muni de sorties est ppelé un trnsducteur. Les trnsducteurs permettent de représenter des reltions entre mots. Ce sont des outils formels très puissnts, qui ont ussi des pplictions prtiques, notmment dns les industries de l lngue. On peut ussi considérer des trnsducteurs dont les sorties ne sont ps des mots, mis des entiers ou des réels. Ce type de trnsducteur est utilisé notmment en tritement d imge. Une vrinte, connue sous le nom d utomte mxplus est prticulièrement dptée pour étudier les systèmes à événements discrets, qui comprennent pr exemple les systèmes de production, les réseux de trnsport, les systèmes informtiques, etc. Les utomtes permettent d order certins prolèmes d évlution de performnce (clcul de tux de production, de déit), ou des prolèmes d optimistion (nomre optiml de processeurs pour réliser une tâche donnée). Ils permettent en outre de formliser simplement certins lgorithmes d ccessiilité sur les grphes. 2 Autres développements Il n est ps possile de résumer en quelques lignes les développements ctuels de l théorie des utomtes et nous nous contenterons d évoquer quelques grnds xes. Les liens entre l logique et les utomtes remontent u tout déut de l théorie (trvux

11 Automtes 2006/4/6 :20 pge 0 #0 0 Automtes finis de Kleene, Büchi, Rin et Mc Nughton notmment). Le formlisme logique fournit en effet, près les utomtes et les expressions rtionnelles, une troisième fçon de décrire des ensemles de mots. Il s pplique églement ux mots infinis et ux rres et est très utilisé en vérifiction (voir chpitre Automtes et vérifiction ) pour spécifier le comportement de certins systèmes. Les développements lgériques de l théorie des utomtes sont tout ussi importnts. En dotnt les mots de coefficients, on peut définir des séries formelles en vriles non commuttives, pour lesquelles chützenerger étendu le théorème de Kleene. Ces séries ont de multiples pplictions, notmment en théorie du contrôle. Une utre rnche en plein essor est l vision strite de l reconnissnce, développée pr chützenerger et Eilenerg. Elle consiste à remplcer les utomtes pr des ojets mthémtiques, les semigroupes. Cette pproche permis de résoudre de très nomreux prolèmes théoriques. Outre l logique et l lgère, les utomtes entretiennent églement des liens étroits vec d utres prties des mthémtiques : topologie, proilité, systèmes dynmiques, théorie des groupes, etc. 3 Pour en svoir plus... Pour écrire ce chpitre, je me suis ppuyé sur deux rticles remrqules de Perrin (989, 995), que je recommnde prticulièrement u lecteur. Il y trouver en prticulier des compléments iliogrphiques qui n ont ps pu être repris ici. Le lecteur frncophone trouver un exposé du théorème de Kleene et de ses conséquences dns le livre de ééold (999) et une présenttion eucoup plus exhustive de l théorie des utomtes dns le récent trité de krovitch (2003). Pour un exposé des lgorithmes utilisnt des utomtes, nous renvoyons u livre de Beuquier et l. (992) ou, pour tout ce qui concerne les lgorithmes sur les mots, à Crochemore et l. (200). On trouve souvent un chpitre ou deux conscrés ux utomtes dns les ouvrges sur l compiltion ou sur l théorie des lngges tels que le livre de Hopcroft et l. (200). Pour les spects les plus mthémtiques, le lecteur pourr consulter le trité d Eilenerg (974 et 976) ou encore Pin (986). Le livre de Berstel et Reutenuer (988) est conscré ux séries formelles et celui de Perrin et Pin (2004) ux utomtes sur les mots infinis. Pr illeurs, plusieurs rticles de synthèse prus ces dernières nnées décrivent divers spects de l théorie des utomtes. Citons ceux de Perrin et de Thoms du Hndook of Theoreticl Computer cience (vn Leeuwen, 990), et ceux de Bél et Perrin, de Pin, de tiger, de Thoms et de Yu dns le Hndook of Forml Lnguges (Rozenerg et lom, 997). Biliogrphie Beuquier D., Berstel J. et Chrétienne P. (992), Éléments d lgorithmique. Msson. Berstel J. et Reutenuer C. (988), Rtionl eries nd Their Lnguges. pringer-verlg. (Trduction de Les séries rtionnelles et leurs lngges, pru chez Msson en 984). Crochemore M., Hncrt C. et Lecroq T. (200), Algorithmique du texte. Vuiert. Eilenerg. (974 et 976), Automt, Lnguges nd Mchines, volume A et B. Acdemic Press. Hopcroft J. E., Motwni R. et Ullmn J. D. (200), Introduction to Automt Theory, Lnguges nd Computtion. Addison Wesley. second edition. Perrin D. (989), Automtes et lgorithmes sur les mots. Annles des Télécommunictions, 44 : Perrin D. (995), Les déuts de l théorie des utomtes. Technique et cience Informtique, 4 : Perrin D. et Pin J.-É. (2004), Infinite Words. Automt, semigroups, logic nd gmes, volume 4 of Pure nd Applied Mthemtics. Elsevier. Pin J.-É. (986), Vrieties of forml lnguges. North Oxford, London et Plenum, New-York. (Trduction de Vriétés de lngges formels, pru chez Msson en 984). Rozenerg G. et lom A. (997), Hndook of forml lnguges. pringer Verlg. 3 volumes. krovitch J. (2003), Éléments de théorie des utomtes. Vuiert, Pris. ééold P. (999), Théorie des utomtes Méthodes et exercices corrigés. Vuiert, Pris. vn Leeuwen J. (990), Hndook of theoreticl computer science. Vol. B. Elsevier cience Pulishers B.V., Amsterdm.

12 Automtes 2006/4/6 :20 pge # Index lphet, 2 nlyseur lexicl, 6 utomte déterministe, 2 émondé, 3 non déterministe, 3 séquentiel, 4 trnsition, 2 utomtes équivlents, 3 chemin, 3 étiquette, 3 réussi, 3 concténtion de deux mots, 2 dictionnire électronique, 8 étt finl, 2 initil, 2 expression rtionnelle, 3 régulière, 3 filtre à reonds, 6 industries de l lngue, 7 Kleene, 4 lngge, 2 rtionnel, 4 reconnissle, 2 lettre, 2 Mely, 5 minimiser, 3 Moore, 5 mot, 2 ccepté, 2 infini, 9 semigroupe, 0 série formelle, 0 système à événements discrets, 9 trnsducteur, 9