Automates et langages

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Automates et langages"

Transcription

1 Automtes et lngges L exmen corrigé RICM 9 jnvier 22 Grmmire Automte Expression On considère l grmmire régulière G =(Γ,Σ,S,Π) vec Γ = {S,P,R}, Σ={,} et Π={S P,P R,P S,R,R P }.. Construire un utomte A cceptnt le lngge défini pr l grmmire G. Donner explicitement A sous l forme (Q,Σ,q,F, ). 2. Trouver une expression régulière pour ce même lngge. Indiction: 3 équtions suffisent. 3. Trouver un utomte déterministe miniml cceptnt ce même lngge. 2 Automtes et Arithmétique. Pour le lngge M = ( 3 ) ( 4 ) sur l lphet {} construire un utomte qui le reconnisse. 2. Est-ce que M est vide, non-vide et fini, ou ien infini? Si le lngge M est fini, donner l liste de tous ses mots. 3. Appliquer ce résultt pour trouver tous les entiers nturels non représentles sous l forme 3m +4n vec m,n N. 3 Simplifiction En pssnt pr les utomtes trnsformer l expression régulière étendue (+) (+) en forme régulière (non étendue). 4 Expressions rithmétiques polonises Dns les expressions rithmétiques en nottion préfixée (ou polonise) on met le symole de l opértion vnt les deux opérnds et on ne met ps de prenthèses. Pr exemple, u lieu de on écrit +23, u lieu de ( + 2) (3 + 4) on écrit Décrire toutes les expressions polonises sur,2,3,4,5 vec les opértions +, pr une BNF (Bckus-Nur Form) ou une grmmire hors contexte. 2. Trouver des rres syntxiques pour et Un lngge non-régulier, mis hors-contexte On considère le lngge L = { 2k 3k k N}. Prouver que L n est ps régulier. 2. Trouver une grmmire hors-contexte G qui génère L. Donner cette grmmire explicitement sous l forme G =(Γ,Σ,S,Π). Dériver les mots 4 6 et 3. Construire un utomte à pile cceptnt L. 6 Automtes et Arithmétique Décimle Construire les utomtes sur l lphet {,,2,3,...,9} qui cceptent tous les entiers nturels représentés en système déciml qui sont. multiples de 5; 2. multiples de 3; Indiction: Un nomre déciml est multiple de 3 si et seulement si l somme de ses chiffres est multiple de 3.

2 Solutions S. Grmmire Automte Expression On considère l grmmire régulière G =(Γ,Σ,S,Π) vec Γ = {S,P,R}, Σ={,} et Π={S P,P R,P S,R,R P }.. En ppliqunt l méthode vue en cours on otient ε S P R 2 3 A =(Q,Σ,q,F, ) vec Q = {P,R,S,,2,3} Σ = {,} q = P F = {3}, ={SεP,PS,P,R,RP,R2,23} 2. On utilise les mêmes lettres S, P et R pour les lngges ccepté à prtir des étts S, P et R. Ces lngges stisfont le système d équtions: S = εp P = S + R R = P + L première éqution donne S = P, en sustitunt les expressions pour S et R dns l deuxième éqution on otient P = P + (P + ) ce qui est équivlent à P =( + )P + On résout cette dernière éqution: P =(+), d où L(A) =S = P =(+). 3. En déterminisnt l utomte A on otient B: ) P SP R Err 2 3,,

3 Avnt de minimiser on renomme les étts F C D E G H, I On pplique l lgorithme de minimistion., C X D - X Initilistion: E - - X F X G X C X X D - X X Première itértion: E - - X X F X X C X X X D - X X X Deuxième itértion: E - - X X X X F X X C X X X X D - X X X X X Troisième itértion: E - - X X X X F X X C X X X X X D - X X X X X Qutrième itértion: E - - X X X X F X X X L itértion suivnte ne modifie ps le tleu. En oservnt les cses non-cochées on trouve l reltion d équivlence : C F, les utres étts ne sont ps équivlents. On construit

4 l utomte miniml: C F D E G H, I S2. Automtes et Arithmétique,. On construit d ord un utomte cceptnt ( 3 ) ( 4 ) C B G F A ε D E En le déterminisnt on otient: AD BE CF ADG BED CFE ADGF BEDG CFED ADEFG CDEFG BDEFG En complémentnt on otient un utomte pour M: Finlement on le simplifie en supprimnt les étts à prtir desquels les étts ccepteurs sont inccessiles. 2. En oservnt l utomte on voit que M = {,,} - non-vide et fini. 3. Un nturel k n est ps représentle sous l forme 3m +4n si et seulement si k M, d où l réponse:,2,5.

5 S3. Simplifiction Un utomte A pour ( + ) : Un utomte A2 pour ( + ) : A, B N K L M L utomte produit de A et A2 ccepte l intersection ( + ) ( + ) : AN AK BL AM Comme il n ps d étts ccepteurs, son lngge est vide, d où l expresion régulière : S4. Expressions rithmétiques polonises. L BNF: Expr ::== + Expr Expr Expr Expr ::==

6 2. L expression signifie ( + 2) (3 + 4). Son rre syntxique: Expr Expr Expr + Expr Expr + Expr Expr L expression + 23 signifie (( ) + 2) 3. Son rre syntxique: Expr Expr 3 + Expr 2 S5. Un lngge non-régulier, mis hors-contexte. Pour démontrer que L = { 2k 3k k N} n est ps régulier on utilise l méthode de preuve pr contrdiction. Supposons que le lngge L est régulier. Donc il existe un utomte déterministe fini qui ccepte S. Soit M le nomre d étts de cet utomte. On choisit un mot prticulier w = 2M 3M.Prdéfinition du lngge L on w L. Comme w =5M +>M, on peut ppliquer le lemme de gonflement. Ce lemme dit, qu il existe une décomposition w = xuy vec u ε et xu M, telle que tous les mots de l forme xu i y pprtiennent ussi u lngge S. On ne sit ps quels sont les 3 morceux x, u et y de l décomposition, mis pumping lemm grntit leur existence. Comme xu M, les morceux x et u sont dns les M premiers crctères du mot w et ne peuvent contenir que des. Soient m et n les nomres de lettres dns x et u respectivement. Donc, on x = m, u = n, et, comme w = xuy, le dernier morceu y ne peut être utre chose que 2M m n 3M. Le mot gonflé w = xu 2 y est de l forme xu i y et doit pprtenir u lngge L. Mis w = xu 2 y = m ( n ) 2 2M m n 3M = m+2n+(2m m n) 3M = 2M+n 3M. Comme 2M + n 3M > 2 (on utilisé le fit que n>) et pr définition du lngge L, ce mot 3 ne peut ps pprtenir u même lngge L. L contrdiction otenue conclue l preuve. 2. G =(Γ,Σ,S,Π) vec Γ = {S} Σ = {,} Π = {S S,S } Dérivtion de 4 6 : S S S Dérivtion de : S

7 3. L utomte à pile:,push(),pop() Pop(Z) S6. Automtes et Arithmétique Décimle. Un nomre déciml est multiple de 5 s il se termine pr ou pr 5, d où l expression régulière ( ) ( + 5) et l utomte,,2,...,9,5 2. L idée est de clculer l somme des chiffres modulo 3, on ur esoin de trois étts, et 2 pour représenter l somme mod 3, on ccepte lorsque l somme est multiple de 3 (c-à-d dns l étt ). Pour ne ps ccepter le mot vide ε (qui n est ps un nomre déciml) on utilise encore un étt I.,3,6,9 2,3,6,9,4,7,3,6,9 I,4,7,4,7,4,7,3,6,9

Notes de révision : Automates et langages

Notes de révision : Automates et langages Préprtion à l grégtion de mthémtiques 2011 2012 Notes de révision : Automtes et lngges Benjmin MONMEGE et Sylvin SCHMITZ LSV, ENS Cchn & CNRS Version du 24 octore 2011 (r66m) CC Cretive Commons y-nc-s

Plus en détail

LANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES

LANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES LANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES Mrie-Pule Muller Version du 14 juillet 2005 Ce cours présente et met en oeuvre quelques méthodes mthémtiques pour l informtique théorique. Ces notions de bse pourront

Plus en détail

Techniques d analyse de circuits

Techniques d analyse de circuits Chpitre 3 Tehniques d nlyse de iruits Ce hpitre présente différentes méthodes d nlyse de iruits. Ces méthodes permettent de simplifier l nlyse de iruits ontennt plusieurs éléments. Bien qu on peut résoudre

Plus en détail

STI2D Logique binaire SIN. L' Algèbre de BOOLE

STI2D Logique binaire SIN. L' Algèbre de BOOLE L' Algère de BOOLE L'lgère de Boole est l prtie des mthémtiques, de l logique et de l'électronique qui s'intéresse ux opértions et ux fonctions sur les vriles logiques. Le nom provient de George Boole.

Plus en détail

Algorithmes sur les mots (séquences)

Algorithmes sur les mots (séquences) Introduction Algorithmes sur les mots (séquences) Algorithmes sur les mots (textes, séquences, chines de crctères) Nomreuses pplictions : ses de données iliogrphiques ioinformtique (séquences de iomolécules)

Plus en détail

Correction de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) (

Correction de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) ( Correction de l épreuve CCP PSI Mths PREMIÈRE PARTIE I- Soit t u voisinge de, t Alors ϕt t s = ϕt ρt s ρs Pr hypothèse, l fonction ϕt ϕt est lorsque t, il en est donc de même de ρt s ρt s ρs cr ρ s est

Plus en détail

/HVV\VWqPHVFRPELQDWRLUHV

/HVV\VWqPHVFRPELQDWRLUHV /HVV\VWqPHVFRPELQDWRLUHV I. Définition On ppelle système combintoire tout système numérique dont les sorties sont exclusivement définies à prtir des vribles d entrée (Figure ). = f(x, x 2,,, x n ) x x

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mthémtiques nnée 2009-2010 Chpitre 2 Le prolème de l unicité des solutions 1 Le prolème et quelques réponses : 1.1 Un exemple Montrer que l éqution différentielle :

Plus en détail

Séquence 8. Probabilité : lois à densité. Sommaire

Séquence 8. Probabilité : lois à densité. Sommaire Séquence 8 Proilité : lois à densité Sommire. Prérequis 2. Lois de proilité à densité sur un intervlle 3. Lois uniformes 4. Lois exponentielles 5. Synthèse de l séquence Dns cette séquence, on introduit

Plus en détail

Module 2 : Déterminant d une matrice

Module 2 : Déterminant d une matrice L Mth Stt Module les déterminnts M Module : Déterminnt d une mtrice Unité : Déterminnt d une mtrice x Soit une mtrice lignes et colonnes (,) c b d Pr définition, son déterminnt est le nombre réel noté

Plus en détail

L'algèbre de BOOLE ou algèbre logique est l'algèbre définie pour des variables ne pouvant prendre que deux états.

L'algèbre de BOOLE ou algèbre logique est l'algèbre définie pour des variables ne pouvant prendre que deux états. ciences Industrielles ystèmes comintoires Ppnicol Roert Lycée Jcques Amyot I - YTEME COMBINATOIRE A. Algère de Boole. Vriles logiques: Un signl réel est une grndeur physique en générl continue, on ssocie

Plus en détail

ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE

ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE Université de Metz Licence de Mthémtiques - 3ème nnée 1er semestre ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE pr Rlph Chill Lbortoire de Mthémtiques et Applictions de Metz Année 010/11 1 Tble des mtières Chpitre

Plus en détail

Chapitre 11 : L inductance

Chapitre 11 : L inductance Chpitre : inductnce Exercices E. On donne A πr 4π 4 metn N 8 spires/m. () Selon l exemple., µ n A 4π 7 (8) 4π 4 (,5) 5 µh (b) À prtir de l éqution.4, on trouve ξ ξ 4 3 5 6 6,3 A/s E. On donne A πr,5π 4

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E. UFR Mathématiques de la décision. Notes de cours. Analyse 2. Filippo SANTAMBROGIO

Université Paris-Dauphine DUMI2E. UFR Mathématiques de la décision. Notes de cours. Analyse 2. Filippo SANTAMBROGIO Université Pris-Duphine DUMI2E UFR Mthémtiques de l décision Notes de cours Anlyse 2 Filippo SANTAMBROGIO Année 2008 2 Tble des mtières 1 Optimistion de fonctions continues et dérivbles 5 1.1 Continuité........................................

Plus en détail

Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann

Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann Chpitre 11 Théorème de Poincré - Formule de Green-Riemnn Ce chpitre s inscrit dns l continuité du précédent. On vu à l proposition 1.16 que les formes différentielles sont bien plus grébles à mnipuler

Plus en détail

Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral

Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral Synthèse de cours (Terminle S) Clcul intégrl Intégrle d une onction continue positive sur un intervlle [;] Dns cette première prtie, on considère une onction continue positive sur un intervlle [ ; ] (

Plus en détail

semestre 3 des Licences MISM annnée universitaire 2004-2005

semestre 3 des Licences MISM annnée universitaire 2004-2005 MATHÉMATIQUES 3 semestre 3 des Licences MISM nnnée universitire 24-25 Driss BOULARAS 2 Tble des mtières Rppels 5. Ensembles et opértions sur les ensembles.................. 5.. Prties d un ensemble.........................

Plus en détail

Chapitre VI Contraintes holonomiques

Chapitre VI Contraintes holonomiques 55 Chpitre VI Contrintes holonomiques Les contrintes isopérimétriques vues u chpitre précéent ne sont qu un eemple prticulier e contrintes sur les fonctions y e notre espce e fonctions missibles. Dns ce

Plus en détail

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE Unité d enseignement LCMA 4U ANALYSE 3 Frnçoise GEANDIER Université Henri Poincré Nncy I Déprtement de Mthémtiques . Tble des mtières I Séries numériques. Séries

Plus en détail

Statuts ASF Association Suisse Feldenkrais

Statuts ASF Association Suisse Feldenkrais Sttuts ASF Assocition Suisse Feldenkris Contenu Pge I. Nom, siège, ojectif et missions 1 Nom et siège 2 2 Ojectif 2 3 Missions 2 II. Memres 4 Modes d ffilition 3 5 Droits et oligtions des memres 3 6 Adhésion

Plus en détail

Introduction à la modélisation et à la vérication p. 1/8

Introduction à la modélisation et à la vérication p. 1/8 Introduction à l modélistion et à l vériction Appliction ux systèmes temporisés Ptrici Bouyer LSV CNRS & ENS de Cchn Introduction à l modélistion et à l vériction p. 1/8 Modélistion & Vériction Introduction

Plus en détail

COURS D ANALYSE. Licence d Informatique, première. Laurent Michel

COURS D ANALYSE. Licence d Informatique, première. Laurent Michel COURS D ANALYSE Licence d Informtique, première nnée Lurent Michel Printemps 2010 2 Tble des mtières 1 Éléments de logique 5 1.1 Fbriquer des énoncés........................ 5 1.1.1 Enoncés élémentires.....................

Plus en détail

Tout ce qu il faut savoir en math

Tout ce qu il faut savoir en math Tout ce qu il fut svoir en mth 1 Pourcentge Prendre un pourcentge t % d un quntité : t Clculer le pourcentge d une quntité pr rpport à une quntité b : Le coefficient multiplicteur CM pour une ugmenttion

Plus en détail

Influence du milieu d étude sur l activité (suite) Inhibition et activation

Influence du milieu d étude sur l activité (suite) Inhibition et activation Influence du milieu d étude sur l ctivité (suite) Inhibition et ctivtion Influence de l tempérture Influence du ph 1 Influence de l tempérture Si on chuffe une préprtion enzymtique, l ctivité ugmente jusqu

Plus en détail

Avant d utiliser l appareil, lisez ce Guide de référence rapide pour connaître la procédure de configuration et d installation.

Avant d utiliser l appareil, lisez ce Guide de référence rapide pour connaître la procédure de configuration et d installation. Guide de référence rpide Commencer Avnt d utiliser l ppreil, lisez ce Guide de référence rpide pour connître l procédure de configurtion et d instlltion. NE rccordez PAS le câle d interfce mintennt. 1

Plus en détail

ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE

ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE Jen-Pierre Dedieu, Jen-Pierre Rymond ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE Institut de Mthémtiques Université Pul Sbtier 31062 Toulouse cedex 09 jen-pierre.dedieu@mth.univ-toulouse.fr jen-pierre.rymond@mth.univ-toulouse.fr

Plus en détail

LITE-FLOOR. Dalles de sol et marches d escalier. Information technique

LITE-FLOOR. Dalles de sol et marches d escalier. Information technique LITE-FLOOR Dlles de sol et mrches d esclier Informtion technique Recommndtions pour le clcul et l pose de LITE-FLOOR Générlités Cette rochure reprend les règles de se à respecter pour grntir l rélistion

Plus en détail

3- Les taux d'intérêt

3- Les taux d'intérêt 3- Les tux d'intérêt Mishkin (2007), Monnie, Bnque et mrchés finnciers, Person Eduction, ch. 4 et 6 Vernimmen (2005), Finnce d'entreprise, Dlloz, ch. 20 à 22 1- Mesurer les tux d'intérêt comprer les différents

Plus en détail

Cours d Analyse IV Suites et Séries de fonctions

Cours d Analyse IV Suites et Séries de fonctions Université Clude Bernrd, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Snté 43, boulevrd 11 novembre 1918 Spécilité Mthémtiques 69622 Villeurbnne cedex, Frnce L. Pujo-Menjouet pujo@mth.univ-lyon1.fr Cours d

Plus en détail

Intégrale et primitives

Intégrale et primitives Chpitre 5 Intégrle et primitives 5. Ojetif On herhe dns e hpitre à onstruire l opérteur réiproue de l opérteur de dérivtion. Les deux uestions suivntes sont lors nturelles. Question : Soit f une pplition

Plus en détail

AUTOUR D UN MÉMOIRE INÉDIT : LA CONTRIBUTION D HERMITE AU DÉVELOPPEMENT DE LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. Bruno BELHOSTE (*)

AUTOUR D UN MÉMOIRE INÉDIT : LA CONTRIBUTION D HERMITE AU DÉVELOPPEMENT DE LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. Bruno BELHOSTE (*) Revue d histoire des mthémtiques, 2 (1996), p. 1 66. AUTOUR D UN MÉMOIRE INÉDIT : LA CONTRIBUTION D HERMITE AU DÉVELOPPEMENT DE LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES Bruno BELHOSTE (*) RÉSUMÉ. Dns cet rticle,

Plus en détail

Turbine hydraulique Girard simplifiée pour faibles et très faibles puissances

Turbine hydraulique Girard simplifiée pour faibles et très faibles puissances Turbine hydrulique Girrd simplifiée pour fibles et très fibles puissnces Prof. Ing. Zoltàn Hosszuréty, DrSc. Professeur à l'université technique de Kosice Les sites hydruliques disposnt de fibles débits

Plus en détail

Licence M.A.S.S. Cours d Analyse S4

Licence M.A.S.S. Cours d Analyse S4 Université Pris I, Pnthéon - Sorbonne Licence MASS Cours d Anlyse S4 Jen-Mrc Brdet (Université Pris 1, SAMM) UFR 27 et Equipe SAMM (Sttistique, Anlyse et Modélistion Multidisiplinire) Université Pnthéon-Sorbonne,

Plus en détail

Guide d'utilisation Easy Interactive Tools Ver. 2

Guide d'utilisation Easy Interactive Tools Ver. 2 Guide d'utilistion Esy Interctive Tools Ver. 2 Guide d'utilistion Esy Interctive Tools Ver.2 Présenttion de Esy Interctive Tools 3 Crctéristiques Fonction de dessin Vous pouvez utiliser Esy Interctive

Plus en détail

Commencer DCP-7055W / DCP-7057W /

Commencer DCP-7055W / DCP-7057W / Guide d instlltion rpide Commencer DCP-7055W / DCP-7057W / DCP-7070DW Veuillez lire ttentivement le livret Sécurité et réglementtion vnt d'effectuer les réglges de votre ppreil. Consultez ensuite le Guide

Plus en détail

Thèse Présentée Pour obtenir le diplôme de doctorat en sciences En génie civil Option : structure

Thèse Présentée Pour obtenir le diplôme de doctorat en sciences En génie civil Option : structure République Algérienne Démocrtique et Populire Ministère de l enseignement supérieur et de l recherche scientifique Université Mentouri de Constntine Fculté des sciences et sciences de l ingénieur Déprtement

Plus en détail

Toyota Assurances Toujours la meilleure solution

Toyota Assurances Toujours la meilleure solution Toyot Assurnces Toujours l meilleure solution De quelle ssurnce vez-vous besoin? Vous roulez déjà en Toyot ou vous ttendez s livrison. Votre voiture est neuve ou d occsion. Vous vlez les kilomètres ou

Plus en détail

Chapitre 1 : Fonctions analytiques - introduction

Chapitre 1 : Fonctions analytiques - introduction 2e semestre 2/ UE 4 U : Abrégé de cours Anlyse 3: fonctions nlytiques Les notes suivntes, disponibles à l dresse http://www.iecn.u-nncy.fr/ bertrm/, contiennent les définitions et les résultts principux

Plus en détail

Réalisation de sites Internet PME & Grandes entreprises Offre Premium. Etude du projet. Webdesign. Intégration HTML. Développement.

Réalisation de sites Internet PME & Grandes entreprises Offre Premium. Etude du projet. Webdesign. Intégration HTML. Développement. Rélistion de sites Internet PME & Grndes entreprises Offre Premium Etude du projet Réunions de trvil et étude personnlisée de votre projet Définition d une strtégie de pré-référencement Webdesign Définition

Plus en détail

Pour développer votre entreprise LES LOGICIELS EN LIGNE, VOUS ALLEZ DIRE OUI!

Pour développer votre entreprise LES LOGICIELS EN LIGNE, VOUS ALLEZ DIRE OUI! Pour développer votre entreprise Gestion Commercile Gérez le cycle complet des chts (demnde de prix, fcture fournisseur), des stocks (entrée, sortie mouvement, suivi) et des ventes (devis, fcture, règlement,

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur

Plus en détail

INTENTION LES PROCESSUS MATHÉMATIQUES

INTENTION LES PROCESSUS MATHÉMATIQUES INTENTION Adpttios u Cdre commu des progrmmes d études de mthémtiques M-9 telles que reflétées ds le documet Mthémtiques M-9 : Progrmme d études de l Albert (2007) Le coteu du documet Mthémtiques M-9 :

Plus en détail

McAfee Firewall Enterprise Control Center

McAfee Firewall Enterprise Control Center Guie e émrrge rpie Révision A MAfee Firewll Enterprise Control Center version 5.3.1 Ce guie e émrrge rpie fournit es instrutions générles sur l onfigurtion e MAfee Firewll Enterprise Control Center. 1

Plus en détail

Partie 4 : La monnaie et l'inflation

Partie 4 : La monnaie et l'inflation Prtie 4 : L monnie et l'infltion Enseignnt A. Direr Licence 2, 1er semestre 2008-9 Université Pierre Mendès Frnce Cours de mcroéconomie suite 4.1 Introduction Nous vons vu dns l prtie introductive que

Plus en détail

Le produit semi-direct

Le produit semi-direct Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.

Plus en détail

638604 CTC Generic 815446 LITHO FLEXO. PANTONE 000 05a mm/dd/yy xxxxxx. PANTONE 000 06a mm/dd/yy xxxxxx PANTONE 000. 07a mm/dd/yy xxxxxx.

638604 CTC Generic 815446 LITHO FLEXO. PANTONE 000 05a mm/dd/yy xxxxxx. PANTONE 000 06a mm/dd/yy xxxxxx PANTONE 000. 07a mm/dd/yy xxxxxx. Trez un erle de po (5, mm) de dimètre u entre du ord de l porte. " /" 9/6" /8" 5 5 0 5 POUR DISTANCE D ENTRÉE de /8 po (60 mm) Pliez e grit sur l ligne pointillée et plez elle-i sur l ngle de l porte POUR

Plus en détail

16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C.

16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C. 16 Suites de foctios Suf précisio cotrire, I est u itervlle réel o réduit à u poit et les foctios cosidérées sot défiies sur I à vleurs réelles ou complexes. 16.1 Covergece simple et covergece uiforme

Plus en détail

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et

Plus en détail

EnsEignEmEnt supérieur PRÉPAS / BTS 2015

EnsEignEmEnt supérieur PRÉPAS / BTS 2015 Enseignement supérieur PRÉPAS / BTS 2015 Stnisls pour mbition de former les étudints à l réussite d exmens et de concours des grndes écoles de mngement ou d ingénieurs. Notre objectif est d ccompgner chque

Plus en détail

Compte rendu de la validation d'un observateur cascade pour la MAS sans capteurs mécaniques sur la plate-forme d'essai de l'irccyn

Compte rendu de la validation d'un observateur cascade pour la MAS sans capteurs mécaniques sur la plate-forme d'essai de l'irccyn Compte rendu de l vlidtion d'un oservteur cscde pour l MAS sns cpteurs mécniques sur l plte-forme d'essi de l'irccyn Mlek GHANES, Alin GLUMINEAU et Roert BOISLIVEAU Le 1 vril IRCCyN: Institut de Recherche

Plus en détail

Guide des bonnes pratiques

Guide des bonnes pratiques Livret 3 MINISTÈRE DE LA RÉFORME DE L'ÉTAT, DE LA DÉCENTRALISATION ET DE LA FONCTION PUBLIQUE 3 Guide des bonnes prtiques OUTILS DE LA GRH Guide des bonnes prtiques Tble des mtières 1. Introduction p.

Plus en détail

LOGICIEL FONCTIONNEL EMC VNX

LOGICIEL FONCTIONNEL EMC VNX LOGICIEL FONCTIONNEL EMC VNX Améliortion des performnces des pplictions, protection des données critiques et réduction des coûts de stockge vec les logiciels complets d EMC POINTS FORTS VNX Softwre Essentils

Plus en détail

1 Définition et premières propriétés des congruences

1 Définition et premières propriétés des congruences Université Paris 13, Institut Galilée Département de Mathématiques Licence 2ème année Informatique 2013-2014 Cours de Mathématiques pour l Informatique Des nombres aux structures Sylviane R. Schwer Leçon

Plus en détail

INSTALLATION DE DETECTION INCENDIE

INSTALLATION DE DETECTION INCENDIE reglement > > instlltion E ETECTON NCENE NSTALLATON E ETECTON NCENE Une instlltion de détection incendie pour objectif de déceler et signler, le plus tôt possible, d une mnière fible, l nissnce d un incendie,

Plus en détail

INFORMATIONS TECHNIQUES

INFORMATIONS TECHNIQUES 0 INFORMATIONS TECHNIQUES tle des mtieres 06 Alimenttions et ccessoires 08 Postes extérieurs Sfer Postes extérieurs minisfer 9 Postes internes Accessoires d instlltion Centrux téléphoniques PABX Cmérs

Plus en détail

Le théorème de Thalès et sa réciproque

Le théorème de Thalès et sa réciproque Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre

Plus en détail

Bloc notes. a À faire tout de suite. Gardez secret votre code confidentiel. À conserver précieusement. Protégez votre carte

Bloc notes. a À faire tout de suite. Gardez secret votre code confidentiel. À conserver précieusement. Protégez votre carte Q U O T I D I E N Crte Mestro Comment voir tous les touts de votre crte bien en min Guide mémo + Notice d Assistnce Octobre 2010 Bloc notes À fire tout de suite Votre crte est strictement personnelle,

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Conseils et astuces pour les structures de base de la Ligne D30

Conseils et astuces pour les structures de base de la Ligne D30 Conseils et stuces pour les structures de bse de l Ligne D30 Conseils et stuces pour l Ligne D30 Ligne D30 - l solution élégnte pour votre production. Rentbilité optimle et méliortion continue des séquences

Plus en détail

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps

Plus en détail

CHAPITRE 1. Suites arithmetiques et géometriques. Rappel 1. On appelle suite réelle une application de

CHAPITRE 1. Suites arithmetiques et géometriques. Rappel 1. On appelle suite réelle une application de HAPITRE 1 Suites arithmetiques et géometriques Rappel 1 On appelle suite réelle une application de dans, soit est-à-dire pour une valeur de la variable appartenant à la suite prend la valeur, ie : On notera

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

Cours d arithmétique Première partie

Cours d arithmétique Première partie Cours d arithmétique Première partie Pierre Bornsztein Xavier Caruso Pierre Nolin Mehdi Tibouchi Décembre 2004 Ce document est la première partie d un cours d arithmétique écrit pour les élèves préparant

Plus en détail

FONDATION CLEMENTINE ET MAURICE ANTILLE

FONDATION CLEMENTINE ET MAURICE ANTILLE FONDATION CLEMENTINE ET MAURICE ANTILLE Règlement d ttriution de ourses et de prêts d études et de formtion du déemre 006 Artile premier Ojet et hmp d pplition Le présent règlement est étli en pplition

Plus en détail

Deux disques dans un carré

Deux disques dans un carré Deux disques dans un carré Table des matières 1 Fiche résumé 2 2 Fiche élève Seconde - version 1 3 2.1 Le problème............................................... 3 2.2 Construction de la figure avec geogebra...............................

Plus en détail

SYSTEME DE TELEPHONIE

SYSTEME DE TELEPHONIE YTEME DE TELEPHOIE LE OUVEUTE PTIE MOITEU COULEU Le système de téléphonie comporte un moniteur vec un écrn couleurs de intégré u téléphone. Cette prtie est disponile en lnc, nthrcite et Tech. TLE DE MTIEE

Plus en détail

McAfee Firewall Enterprise, Multi Firewall Edition

McAfee Firewall Enterprise, Multi Firewall Edition Guie e émrrge rpie Révision A MAfee Firewll Enterprise, Multi Firewll Eition version 8.3.x Ce guie e émrrge rpie fournit es instrutions générles sur l onfigurtion e MAfee Firewll Enterprise, Multi Firewll

Plus en détail

Régression multiple : principes et exemples d application. Dominique Laffly UMR 5 603 CNRS Université de Pau et des Pays de l Adour Octobre 2006

Régression multiple : principes et exemples d application. Dominique Laffly UMR 5 603 CNRS Université de Pau et des Pays de l Adour Octobre 2006 Régression multiple : principes et eemples d ppliction Dominique Lffly UMR 5 603 CNRS Université de Pu et des Pys de l Adour Octobre 006 Destiné à de futurs thémticiens, notmment géogrphes, le présent

Plus en détail

Le canal étroit du crédit : une analyse critique des fondements théoriques

Le canal étroit du crédit : une analyse critique des fondements théoriques Le cnl étroit du crédit : une nlyse critique des fondements théoriques Rfl Kierzenkowski 1 CREFED Université Pris Duphine Alloctire de Recherche Avril 2001 version provisoire Résumé A l suite des trvux

Plus en détail

Modification simultanée de plusieurs caractéristiques d un bien hédonique : une nouvelle méthode de calcul de la variation de bien-être des ménages

Modification simultanée de plusieurs caractéristiques d un bien hédonique : une nouvelle méthode de calcul de la variation de bien-être des ménages Modifiction simultnée de plusieurs crctéristiques d un bien hédonique : une nouvelle méthode de clcul de l vrition de bien-être des ménges Trvers Muriel * Version provisoire Résumé : De nombreuses situtions

Plus en détail

INF 232: Langages et Automates. Travaux Dirigés. Université Joseph Fourier, Université Grenoble 1 Licence Sciences et Technologies

INF 232: Langages et Automates. Travaux Dirigés. Université Joseph Fourier, Université Grenoble 1 Licence Sciences et Technologies INF 232: Langages et Automates Travaux Dirigés Université Joseph Fourier, Université Grenoble 1 Licence Sciences et Technologies Année Académique 2013-2014 Année Académique 2013-2014 UNIVERSITÉ JOSEPH

Plus en détail

Mathématique et Automatique : de la boucle ouverte à la boucle fermée. Maïtine bergounioux Laboratoire MAPMO - UMR 6628 Université d'orléans

Mathématique et Automatique : de la boucle ouverte à la boucle fermée. Maïtine bergounioux Laboratoire MAPMO - UMR 6628 Université d'orléans Mathématique et Automatique : de la boucle ouverte à la boucle fermée Maïtine bergounioux Laboratoire MAPMO - UMR 6628 Université d'orléans Maitine.Bergounioux@labomath.univ-orleans.fr Plan 1. Un peu de

Plus en détail

III- Raisonnement par récurrence

III- Raisonnement par récurrence III- Raisonnement par récurrence Les raisonnements en mathématiques se font en général par une suite de déductions, du style : si alors, ou mieux encore si c est possible, par une suite d équivalences,

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Calculabilité Cours 3 : Problèmes non-calculables. http://www.irisa.fr/lande/pichardie/l3/log/

Calculabilité Cours 3 : Problèmes non-calculables. http://www.irisa.fr/lande/pichardie/l3/log/ Calculabilité Cours 3 : Problèmes non-calculables http://www.irisa.fr/lande/pichardie/l3/log/ Problèmes et classes de décidabilité Problèmes et classes de décidabilité Nous nous intéressons aux problèmes

Plus en détail

Portiers audio et vidéo ABB-Welcome et ABB-Welcome M

Portiers audio et vidéo ABB-Welcome et ABB-Welcome M Portiers udio et vidéo ABB-Welcome et ABB-Welcome M Connectivité Votre regrd vers l'extérieur et ce, où que vous soyez Flexiilité Des esoins les plus simples ux instlltions les plus complexes Gmmes ABB-Welcome

Plus en détail

1S Modèles de rédaction Enoncés

1S Modèles de rédaction Enoncés Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC

Plus en détail

Fondements de l informatique Logique, modèles, et calculs

Fondements de l informatique Logique, modèles, et calculs Fondements de l informatique Logique, modèles, et calculs Cours INF423 de l Ecole Polytechnique Olivier Bournez Version du 20 septembre 2013 2 Table des matières 1 Introduction 9 1.1 Concepts mathématiques........................

Plus en détail

INSTRUCTIONS POUR L INSTALLATION ET LE FONCTIONNEMENT DES SERRURES À POIGNÉE BÉQUILLE

INSTRUCTIONS POUR L INSTALLATION ET LE FONCTIONNEMENT DES SERRURES À POIGNÉE BÉQUILLE INSTRUCTIONS POUR L INSTALLATION ET LE FONCTIONNEMENT DES SERRURES À POIGNÉE BÉQUILLE POUR LES SERRURES D ENTRÉE À CLÉ EXTÉRIEURES VERROUILLABLES, À POIGNÉE DE BRINKS HOME SECURITY. POUR LES PORTES DE

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

La paye. La comptabilité. Comparez et choisissez votre logiciel. Comparez et choisissez votre logiciel. Paye Bâtiment 2012. Paye Agricole 2013

La paye. La comptabilité. Comparez et choisissez votre logiciel. Comparez et choisissez votre logiciel. Paye Bâtiment 2012. Paye Agricole 2013 L comptbilité Comprez et choisissez votre logiciel L pye Comprez et choisissez votre logiciel TABLEAUX COMPARATIFS Compt Prtic Pour les créteurs et les entrepreneurs novice en Compt Compt Clssic Pour l

Plus en détail

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention

Plus en détail

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur

Plus en détail

l'appareil et vérifiez les composants Cartouches d'encre incluses [x4] CD-ROM d'installation CD-ROM de documentation

l'appareil et vérifiez les composants Cartouches d'encre incluses [x4] CD-ROM d'installation CD-ROM de documentation Guide d instlltion rpide Commener DCP-J35W Veuillez lire ttentivement e Guide d'instlltion rpide pour onnître l proédure de onfigurtion et d'instlltion vnt d'utiliser l'ppreil. AVERTISSEMENT ATTENTION

Plus en détail

Classeur courtier d assurance. Comment organiser son activité et se préparer à un contrôle

Classeur courtier d assurance. Comment organiser son activité et se préparer à un contrôle Clsseur courtier d ssurnce Comment orgniser son ctivité et se préprer à un contrôle 67, venue Pierre Grenier 92517 BOULOGNE-BILLANCOURT CEDEX Tél : 01.46.10.43.80 Fx : 01.47.61.14.85 www.streevocts.com

Plus en détail

Chapitre 6 La lumière des étoiles Physique

Chapitre 6 La lumière des étoiles Physique Chapitre 6 La lumière des étoiles Physique Introduction : On ne peut ni aller sur les étoiles, ni envoyer directement des sondes pour les analyser, en revanche on les voit, ce qui signifie qu'on reçoit

Plus en détail

Déroulement de l épreuve de mathématiques

Déroulement de l épreuve de mathématiques Dérouleet de l épreuve de thétiques MATHÉMATIQUES Extrit de l ote de service 2012-029 du 24 février 2012 (BOEN 13 du 29-3-2012) Durée de l épreuve : 2 heures Nture de l épreuve : écrite pr le socle cou

Plus en détail

RadioCommunications CDMA

RadioCommunications CDMA Conservtoire tionl es Arts et Métiers Cours u Conservtoire tionl es Arts et Métiers RioCommunitions CDMA (Version 7) Mihel Terré terre@nmfr Eletronique C4 / Conservtoire tionl es Arts et Métiers Les performnes

Plus en détail

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007 Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau

Plus en détail

Electrovanne double Dimension nominale Rp 3/8 - Rp 2 DMV-D/11 DMV-DLE/11

Electrovanne double Dimension nominale Rp 3/8 - Rp 2 DMV-D/11 DMV-DLE/11 Electrovnne double Dimension nominle 3/8 - DMV-D/11 DMV-DLE/11 7.30 M Edition 11.13 Nr. 223 926 1 6 Technique L électrovnne double DUNGS DMV intère deux électrovnnes dns un même bloc compct : - vnnes d

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres Énoncé Soit E un ensemble non vide. On dit qu un sous-ensemble F de P(E) est un filtre sur E si (P 0 ) F. (P 1 ) (X, Y ) F 2, X Y F. (P 2 ) X F, Y P(E) : X Y Y F. (P 3 ) / F. Première Partie 1. Que dire

Plus en détail

Pour développer votre entreprise. Compta LES LOGICIELS EN LIGNE, VOUS ALLEZ DIRE OUI!

Pour développer votre entreprise. Compta LES LOGICIELS EN LIGNE, VOUS ALLEZ DIRE OUI! Pour développer votre entreprise Compt Avec EBP Compt, vous ssurez le suivi de l ensemble de vos opértions et exploitez les données les plus complexes en toute sécurité. Toutes les fonctionnlités essentielles

Plus en détail

Magister en : Génie Mécanique

Magister en : Génie Mécanique الجمهورية الجزاي رية الديمقراطية الشعبية République Algérienne Démocrtique et Populire وزارة التعليم العالي و البحث العلمي Ministère de l enseignement supérieur et de l recherche scientifique Université

Plus en détail

CORRECTION TP Multimètres - Mesures de résistances - I. Mesure directe de résistors avec ohmmètre - comparaison de deux instruments de mesure

CORRECTION TP Multimètres - Mesures de résistances - I. Mesure directe de résistors avec ohmmètre - comparaison de deux instruments de mesure Introduction CORRECTION TP Multimètres - Mesures de résistances - La mesure d une résistance s effectue à l aide d un multimètre. Utilisé en mode ohmmètre, il permet une mesure directe de résistances hors

Plus en détail

Filtres pour gaz et air. GF/1: Rp 1/2 - Rp 2 GF/3: DN 40 GF/4: DN 50 - DN 100 GF: DN 125 - DN 200

Filtres pour gaz et air. GF/1: Rp 1/2 - Rp 2 GF/3: DN 40 GF/4: DN 50 - DN 100 GF: DN 125 - DN 200 Filtres pour gaz et air GF/1: Rp 1/2 - Rp 2 GF/3: DN 40 GF/4: DN 50 - DN 100 GF: DN 125 - DN 200 11.02 Printed in Germany Edition 02.13 Nr. 225 676 1 8 Technique Filtres pour l'alimentation en gaz dans

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

Bien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction

Bien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses

Plus en détail

FONDEMENTS DES MATHÉMATIQUES

FONDEMENTS DES MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES MATHÉMATIQUES AYBERK ZEYTİN 1. DIVISIBILITÉ Comment on peut écrire un entier naturel comme un produit des petits entiers? Cette question a une infinitude d interconnexions entre les nombres

Plus en détail

- Phénoméne aérospatial non identifié ( 0.V.N.I )

- Phénoméne aérospatial non identifié ( 0.V.N.I ) ENQUETE PRELIMINAIRE ANALYSE ET REFEREWCES : Phénoméne érosptil non identifié ( 0VNI ) B8E 25400 DEF/GEND/OE/DOlRENS du 28/9/1992 Nous soussigné : M D L chef J S, OPJ djoint u commndnt de l brigde en résidence

Plus en détail

Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe

Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe des n n groupes quantiques compacts qui ont la théorie

Plus en détail