Automates et langages

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Automates et langages"

Transcription

1 Automtes et lngges L exmen corrigé RICM 9 jnvier 22 Grmmire Automte Expression On considère l grmmire régulière G =(Γ,Σ,S,Π) vec Γ = {S,P,R}, Σ={,} et Π={S P,P R,P S,R,R P }.. Construire un utomte A cceptnt le lngge défini pr l grmmire G. Donner explicitement A sous l forme (Q,Σ,q,F, ). 2. Trouver une expression régulière pour ce même lngge. Indiction: 3 équtions suffisent. 3. Trouver un utomte déterministe miniml cceptnt ce même lngge. 2 Automtes et Arithmétique. Pour le lngge M = ( 3 ) ( 4 ) sur l lphet {} construire un utomte qui le reconnisse. 2. Est-ce que M est vide, non-vide et fini, ou ien infini? Si le lngge M est fini, donner l liste de tous ses mots. 3. Appliquer ce résultt pour trouver tous les entiers nturels non représentles sous l forme 3m +4n vec m,n N. 3 Simplifiction En pssnt pr les utomtes trnsformer l expression régulière étendue (+) (+) en forme régulière (non étendue). 4 Expressions rithmétiques polonises Dns les expressions rithmétiques en nottion préfixée (ou polonise) on met le symole de l opértion vnt les deux opérnds et on ne met ps de prenthèses. Pr exemple, u lieu de on écrit +23, u lieu de ( + 2) (3 + 4) on écrit Décrire toutes les expressions polonises sur,2,3,4,5 vec les opértions +, pr une BNF (Bckus-Nur Form) ou une grmmire hors contexte. 2. Trouver des rres syntxiques pour et Un lngge non-régulier, mis hors-contexte On considère le lngge L = { 2k 3k k N}. Prouver que L n est ps régulier. 2. Trouver une grmmire hors-contexte G qui génère L. Donner cette grmmire explicitement sous l forme G =(Γ,Σ,S,Π). Dériver les mots 4 6 et 3. Construire un utomte à pile cceptnt L. 6 Automtes et Arithmétique Décimle Construire les utomtes sur l lphet {,,2,3,...,9} qui cceptent tous les entiers nturels représentés en système déciml qui sont. multiples de 5; 2. multiples de 3; Indiction: Un nomre déciml est multiple de 3 si et seulement si l somme de ses chiffres est multiple de 3.

2 Solutions S. Grmmire Automte Expression On considère l grmmire régulière G =(Γ,Σ,S,Π) vec Γ = {S,P,R}, Σ={,} et Π={S P,P R,P S,R,R P }.. En ppliqunt l méthode vue en cours on otient ε S P R 2 3 A =(Q,Σ,q,F, ) vec Q = {P,R,S,,2,3} Σ = {,} q = P F = {3}, ={SεP,PS,P,R,RP,R2,23} 2. On utilise les mêmes lettres S, P et R pour les lngges ccepté à prtir des étts S, P et R. Ces lngges stisfont le système d équtions: S = εp P = S + R R = P + L première éqution donne S = P, en sustitunt les expressions pour S et R dns l deuxième éqution on otient P = P + (P + ) ce qui est équivlent à P =( + )P + On résout cette dernière éqution: P =(+), d où L(A) =S = P =(+). 3. En déterminisnt l utomte A on otient B: ) P SP R Err 2 3,,

3 Avnt de minimiser on renomme les étts F C D E G H, I On pplique l lgorithme de minimistion., C X D - X Initilistion: E - - X F X G X C X X D - X X Première itértion: E - - X X F X X C X X X D - X X X Deuxième itértion: E - - X X X X F X X C X X X X D - X X X X X Troisième itértion: E - - X X X X F X X C X X X X X D - X X X X X Qutrième itértion: E - - X X X X F X X X L itértion suivnte ne modifie ps le tleu. En oservnt les cses non-cochées on trouve l reltion d équivlence : C F, les utres étts ne sont ps équivlents. On construit

4 l utomte miniml: C F D E G H, I S2. Automtes et Arithmétique,. On construit d ord un utomte cceptnt ( 3 ) ( 4 ) C B G F A ε D E En le déterminisnt on otient: AD BE CF ADG BED CFE ADGF BEDG CFED ADEFG CDEFG BDEFG En complémentnt on otient un utomte pour M: Finlement on le simplifie en supprimnt les étts à prtir desquels les étts ccepteurs sont inccessiles. 2. En oservnt l utomte on voit que M = {,,} - non-vide et fini. 3. Un nturel k n est ps représentle sous l forme 3m +4n si et seulement si k M, d où l réponse:,2,5.

5 S3. Simplifiction Un utomte A pour ( + ) : Un utomte A2 pour ( + ) : A, B N K L M L utomte produit de A et A2 ccepte l intersection ( + ) ( + ) : AN AK BL AM Comme il n ps d étts ccepteurs, son lngge est vide, d où l expresion régulière : S4. Expressions rithmétiques polonises. L BNF: Expr ::== + Expr Expr Expr Expr ::==

6 2. L expression signifie ( + 2) (3 + 4). Son rre syntxique: Expr Expr Expr + Expr Expr + Expr Expr L expression + 23 signifie (( ) + 2) 3. Son rre syntxique: Expr Expr 3 + Expr 2 S5. Un lngge non-régulier, mis hors-contexte. Pour démontrer que L = { 2k 3k k N} n est ps régulier on utilise l méthode de preuve pr contrdiction. Supposons que le lngge L est régulier. Donc il existe un utomte déterministe fini qui ccepte S. Soit M le nomre d étts de cet utomte. On choisit un mot prticulier w = 2M 3M.Prdéfinition du lngge L on w L. Comme w =5M +>M, on peut ppliquer le lemme de gonflement. Ce lemme dit, qu il existe une décomposition w = xuy vec u ε et xu M, telle que tous les mots de l forme xu i y pprtiennent ussi u lngge S. On ne sit ps quels sont les 3 morceux x, u et y de l décomposition, mis pumping lemm grntit leur existence. Comme xu M, les morceux x et u sont dns les M premiers crctères du mot w et ne peuvent contenir que des. Soient m et n les nomres de lettres dns x et u respectivement. Donc, on x = m, u = n, et, comme w = xuy, le dernier morceu y ne peut être utre chose que 2M m n 3M. Le mot gonflé w = xu 2 y est de l forme xu i y et doit pprtenir u lngge L. Mis w = xu 2 y = m ( n ) 2 2M m n 3M = m+2n+(2m m n) 3M = 2M+n 3M. Comme 2M + n 3M > 2 (on utilisé le fit que n>) et pr définition du lngge L, ce mot 3 ne peut ps pprtenir u même lngge L. L contrdiction otenue conclue l preuve. 2. G =(Γ,Σ,S,Π) vec Γ = {S} Σ = {,} Π = {S S,S } Dérivtion de 4 6 : S S S Dérivtion de : S

7 3. L utomte à pile:,push(),pop() Pop(Z) S6. Automtes et Arithmétique Décimle. Un nomre déciml est multiple de 5 s il se termine pr ou pr 5, d où l expression régulière ( ) ( + 5) et l utomte,,2,...,9,5 2. L idée est de clculer l somme des chiffres modulo 3, on ur esoin de trois étts, et 2 pour représenter l somme mod 3, on ccepte lorsque l somme est multiple de 3 (c-à-d dns l étt ). Pour ne ps ccepter le mot vide ε (qui n est ps un nomre déciml) on utilise encore un étt I.,3,6,9 2,3,6,9,4,7,3,6,9 I,4,7,4,7,4,7,3,6,9

Automates et langages: quelques algorithmes

Automates et langages: quelques algorithmes Automtes et lngges: quelques lgorithmes Eugene Asrin Sddek Benslem Avertissement Dns l étt ctuel ce document est rchi-sec et peut servir seulement d un ide-mémoire. Pour comprendre les lgorithmes ci-dessous

Plus en détail

CH.1 Automates finis

CH.1 Automates finis CH.1 Automtes finis 1.1 Les utomtes finis déterministes 1.2 Les utomtes finis non déterministes 1. Les utomtes vec -trnsitions 1.4 Les expressions régulières 1.5 L'équivlence des modèles Automtes ch1 1

Plus en détail

Théorie des Langages Épisode 2 Automates finis

Théorie des Langages Épisode 2 Automates finis AFD AFN Opértions Lemme de pompge 1/ 36 Théorie des Lngges Épisode 2 Automtes finis Thoms Pietrzk Université Pul Verline Metz AFD AFN Opértions Lemme de pompge Reconnisseur Définition Configurtion Accepttion

Plus en détail

Ecole Normale Supérieure de Cachan 61 avenue du président Wilson 94230 CACHAN. Concours d admission en 3 ème année Informatique.

Ecole Normale Supérieure de Cachan 61 avenue du président Wilson 94230 CACHAN. Concours d admission en 3 ème année Informatique. C39211 Ecole Normle Supérieure de Cchn 61 venue du président Wilson 94230 CACHAN Concours d dmission en 3 ème nnée Informtique Session 2009 INFORMATIQUE 1 Durée : 5 heures «Aucun document n est utorisé»

Plus en détail

Théorie de langages, TD3

Théorie de langages, TD3 Théorie de lngges, TD3 Octoer 6, 25 Automtes finis. Definitions Un utomte fini déterministe (DFA deterministic finite utomton) est une mchine de clcul A qui peut être définie pr les cinq éléments suivnts.

Plus en détail

Théorie des langages Automates finis

Théorie des langages Automates finis Théorie des lngges Automtes finis Elise Bonzon http://we.mi.prisdescrtes.fr/ onzon/ elise.onzon@prisdescrtes.fr 1 / 51 Automtes finis Introduction Formlistion Représenttion et exemples Automtes complets

Plus en détail

Chapitre 2 Les automates finis

Chapitre 2 Les automates finis Chpitre 2 Les utomtes finis 28 2.1 Introduction Automtes finis : première modélistion de l notion de procédure effective.(ont ussi d utres pplictions). Dérivtion de l notion d utomte fini de celle de progrmme

Plus en détail

Théorie des Langages Formels Chapitre 5 : Automates minimaux

Théorie des Langages Formels Chapitre 5 : Automates minimaux 1/29 Théorie des Lngges Formels Chpitre 5 : Automtes minimux Florence Levé Florence.Leve@u-picrdie.fr Année 2014-2015 2/29 Introduction Les lgorithmes vus précédemment peuvent mener à des utomtes reltivement

Plus en détail

Solution - TD Feuille 2 - Automates finis et expressions rationnelles

Solution - TD Feuille 2 - Automates finis et expressions rationnelles Solution - TD Feuille 2 - Automtes finis et expressions rtionnelles Informtique Théorique 2 - Unité JINPW Licence 3 - Université Bordeux Solution de l exercice : Pour tout l exercice, on note A = {, }.

Plus en détail

2.1 L'automate minimal

2.1 L'automate minimal CH.2 Minimistion 2.1 L'utomte miniml 2.2 L'lgorithme de minimistion Automtes ch2 1 2.1 L'utomte miniml Le lngge L définit sur Σ* l reltion d'équivlence R L : x R L y ssi ( z, xz L yz L). L'AFD M définit

Plus en détail

Lycée Faidherbe, Lille MP1 Cours d informatique 2013 2014. Automates

Lycée Faidherbe, Lille MP1 Cours d informatique 2013 2014. Automates Lycée Fidhere, Lille MP Cours d informtique 203 204 Automtes I Déterministes........................... 2 Définitions 2 Exemple 2 Action des mots 3 Lngge reconnu 3 II Incomplets.............................

Plus en détail

2.1 Comment implanter en C un reconnaisseur de mots? Aut2 q 0 q 1

2.1 Comment implanter en C un reconnaisseur de mots? Aut2 q 0 q 1 Lngges Automtes Non-déterminisme Grmmires Attiuées et Génértives Expressions régulières Correction Prtielle de Progrmmes Ceci n'est ps un cours de Lngge C++ 2.1 Comment implnter en C un reconnisseur de

Plus en détail

Dynamique des systèmes et automates à états

Dynamique des systèmes et automates à états Chpitre 8 Dynmique des systèmes et utomtes à étts L modélistion sttique s intéresse à ce qu il y dns le système, à s structure, etc. L modélistion de l dynmique trite de l évolution du système dns le temps.

Plus en détail

Cours de «concepts avancés de compilation» Travaux pratiques. Auteur : F. Védrine

Cours de «concepts avancés de compilation» Travaux pratiques. Auteur : F. Védrine Cours de «onepts vnés de ompiltion» Trvux prtiques Auteur : F. Védrine Les utomtes et les expressions régulières Les utomtes sont onstitués d étts et de trnsitions. Un étt définit l vnée dns l reonnissne

Plus en détail

Automates à états fnis Damien Nouvel

Automates à états fnis Damien Nouvel Automtes Automtes à étts fnis Automtes à étts fnis Pln Représenttion des utomtes (FSA) Défnition formelle (DFA) Équivlence DFA / NFA / ε-nfa Licence Informtique L1 Automtes 2 / 30 Automtes à étts fnis

Plus en détail

1 Langages reconnaissables

1 Langages reconnaissables 8INF713 Informtique théorique Automne 2014 Exercices 1 Lngges reconnissles 1.1 Considérez les deux utomtes suivnts et répondez ux questions suivntes : q 3, q 3 q 4 () A 1 () A 2 Figure 1 () Quel est l

Plus en détail

Travaux Dirigés de Langages & XML - TD 2

Travaux Dirigés de Langages & XML - TD 2 TD Lngges - XML Exercices Corrigés TD 2 Trvux Dirigés de Lngges & XML - TD 2 Automtes deterministes Exercice Dns chcun des cs suivnts, donner un utomte déterministe reconnissnt le lngge sur l lphet {,

Plus en détail

Cours d informatique théorique de M. Arfi. FMdKdD fmdkdd [à] free.fr

Cours d informatique théorique de M. Arfi. FMdKdD fmdkdd [à] free.fr Cours d informtique théorique de M. Arfi FMdKdD fmdkdd [à] free.fr Université du Hvre Année 2009 2010 Tle des mtières 1 Reltions et lois de composition internes 2 1.1 Reltions.....................................

Plus en détail

Marc Chemillier Master M2 Atiam (Ircam), 2011-2012

Marc Chemillier Master M2 Atiam (Ircam), 2011-2012 MMIM Modèles mthémtiques en informtique musicle Mrc Chemillier Mster M2 Atim (Ircm), 2011-2012 Notions théoriques sur les lngges formels - Définitions générles o Mots, lngges o Monoïdes - Notion d utomte

Plus en détail

MPRI, Fondations mathématiques de la théorie des automates. Exercice 1. Automate minimal

MPRI, Fondations mathématiques de la théorie des automates. Exercice 1. Automate minimal MPRI, Fondtions mthémtiques de l théorie des utomtes Olivier Crton, Jen-Éric Pin Prtiel du 0 novemre 007. Durée: h, notes de cours utorisées Avertissement : On ttcher une grnde importnce à l clrté, à l

Plus en détail

Option informatique :

Option informatique : Option formtique : l deuxième nnée Lurent Chéno été 1996 Lycée Louis-le-Grnd, Pris Tle des mtières I Arres 13 1 Arres ires 15 1.1 Défitions et nottions... 15 1.1.1 Défition formelle d un rre ire... 15

Plus en détail

Cours Mathématiques Discrètes IUT Belfort Montbéliard. Pierre-Cyrille HEAM

Cours Mathématiques Discrètes IUT Belfort Montbéliard. Pierre-Cyrille HEAM Cours Mthémtiques Discrètes IUT Belfort Montélird Pierre-Cyrille HEAM 23 septemre 2014 Chpitre 1 Grphes finis orientés 1.1 Premières définitions Un grphe fini orienté est un couple (V, E) où V est un ensemle

Plus en détail

Théorie des automates et langages formels

Théorie des automates et langages formels Fculté des sciences Déprtement de mthémtiques Théorie des utomtes et lngges formels 1 4 7, d c d 2 c c d 5 c d c d, 8 c d 3 6 9,c,d,c,d,,c,d Année cdémique 2009 2010 Michel Rigo Tle des mtières Chpitre

Plus en détail

Techniques d analyse de circuits

Techniques d analyse de circuits Chpitre 3 Tehniques d nlyse de iruits Ce hpitre présente différentes méthodes d nlyse de iruits. Ces méthodes permettent de simplifier l nlyse de iruits ontennt plusieurs éléments. Bien qu on peut résoudre

Plus en détail

Notes de révision : Automates et langages

Notes de révision : Automates et langages Préprtion à l grégtion de mthémtiques 2011 2012 Notes de révision : Automtes et lngges Benjmin MONMEGE et Sylvin SCHMITZ LSV, ENS Cchn & CNRS Version du 24 octore 2011 (r66m) CC Cretive Commons y-nc-s

Plus en détail

Rappel : Définition définitive du problème de la recherche

Rappel : Définition définitive du problème de la recherche Rppel : Définition définitive du prolème de l recherche On dispose d une prt d un mot (un texte) et d utre prt d un lngge régulier défini pr une expression régulière. On demnde de rechercher dns le texte

Plus en détail

Notes de cours sur les automates (NFP108)

Notes de cours sur les automates (NFP108) Notes de cours sur les utomtes (NFP18) F. Brthélemy 8 décemre 215 Avertissement : ce document est en cours d élortion et susceptile d évoluer. Il est dns un étt provisoire. 1 Introduction Les utomtes finis

Plus en détail

Relations binaires. Table des matières. Marc SAGE. 18 octobre 2007. 1 Amuse gueule 2. 2 Combinatoire dans les quotients 2. 3 Problème d extréma 3

Relations binaires. Table des matières. Marc SAGE. 18 octobre 2007. 1 Amuse gueule 2. 2 Combinatoire dans les quotients 2. 3 Problème d extréma 3 Reltions binires Mrc SAGE 8 octobre 007 Tble des mtières Amuse gueule Combintoire dns les quotients 3 Problème d extrém 3 4 Un théorème de point xe 3 5 Sur l conjugisons dns R 3 6 Sur les corps totlement

Plus en détail

3 LES OUTILS DE DESCRIPTION D UNE FONCTION LOGIQUE

3 LES OUTILS DE DESCRIPTION D UNE FONCTION LOGIQUE 1GEN ciences et Techniques Industrielles Pge 1 sur 7 Automtique et Informtiques Appliquées Génie Énergétique Première 1 - LA VARIABLE BINAIRE L électrotechnique, l électronique et l mécnique étudient et

Plus en détail

Rattrapage. 4 ] Quelle est la complexité dans le pire cas de l algorithme de tri fusion (pour trier n éléments)?

Rattrapage. 4 ] Quelle est la complexité dans le pire cas de l algorithme de tri fusion (pour trier n éléments)? IN 02 6 mrs 2009 Rttrpge NOM : Prénom : ucun document n est utorisé. ce QCM outit à une note sur 42 points. L note finle sur 20 ser otenue simplement en divisnt l note sur 42 pr 2. Il suffit donc de donner

Plus en détail

La logique combinatoire est une technique dédiée à la représentation de diverses

La logique combinatoire est une technique dédiée à la représentation de diverses Chpitre I Logique comintoire 1 L logique comintoire est une technique dédiée à l représenttion de diverses fonctions. Elle permet de synthétiser des systèmes comportnt des étts finis. Les circuits logiques

Plus en détail

STI2D Logique binaire SIN. L' Algèbre de BOOLE

STI2D Logique binaire SIN. L' Algèbre de BOOLE L' Algère de BOOLE L'lgère de Boole est l prtie des mthémtiques, de l logique et de l'électronique qui s'intéresse ux opértions et ux fonctions sur les vriles logiques. Le nom provient de George Boole.

Plus en détail

LANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES

LANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES LANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES Mrie-Pule Muller Version du 14 juillet 2005 Ce cours présente et met en oeuvre quelques méthodes mthémtiques pour l informtique théorique. Ces notions de bse pourront

Plus en détail

Analyse statique et domaines abstraits symboliques

Analyse statique et domaines abstraits symboliques Anlyse sttique et domines strits symoliques Mémoire d hilittion à diriger des recherches Lurent Muorgne Hilittion soutenue le 12 février 2007 à l Université Pris-Duphine Jury : Ptrick Cousot (rpporteur)

Plus en détail

Intégration. Rappels. Définition 3. Soit I un intervalle réel et f : I E. On dit que F : I E est. f(x) f(a) x a

Intégration. Rappels. Définition 3. Soit I un intervalle réel et f : I E. On dit que F : I E est. f(x) f(a) x a Intégrtion Les fonctions considérées ci-dessous sont des fonctions définies sur un intervlle réel I, à vleurs réelles ou complees ou, plus générlement, à vleurs dns un espce vectoriel normé de dimension

Plus en détail

Contrôle sur le Cours d'algorithme et de langage C

Contrôle sur le Cours d'algorithme et de langage C Déprtement Génie Electrique Automtique NOM: Prénom: Contrôle sur le Cours d'algorithme et de lngge C G.Gteu et J.Régnier Le 15 Jnvier 2008- Durée 2h Documents de cours utorisé. Le contrôle est constitué

Plus en détail

I. Que sont les partitions?

I. Que sont les partitions? Cours de mthémtiques frfelues LES FRACTIONS CASSÉES Prémule Voici un cours de mthémtiques qui n ur jmis s plce dns une slle de clsse un utre jour que le er vril. Son sujet : les frctions cssées, ou prtitions,

Plus en détail

Algorithmique et Programmation. Automates finis. Chap. I/9

Algorithmique et Programmation. Automates finis. Chap. I/9 Algorithmique et Progrmmtion. Automtes finis. Chp. I/9 Jen-Eric Pin To cite this version: Jen-Eric Pin. Algorithmique et Progrmmtion. Automtes finis. Chp. I/9. J. Akok et I. Comyn-Wttiu. Encyclopédie de

Plus en détail

Exercice 1. Université Paris 7-Denis Diderot Examen du 21 mai 2012 L2 Automates finis AF4. a 1. 2 b. Voici le déterminisé : a 3. a 1.

Exercice 1. Université Paris 7-Denis Diderot Examen du 21 mai 2012 L2 Automates finis AF4. a 1. 2 b. Voici le déterminisé : a 3. a 1. Université Pris 7-Denis Diderot Exmen du 21 mi 2012 L2 Automtes finis AF4 Corrigé Exercice 1 1 3 On considère l utomte fini : 2 4 Question 1 : Déterminiser cet utomte. 1 1, 3 1, 3, 4 Voici le déterminisé

Plus en détail

Théorie des Langages Formels Chapitre 4 : Automates complets déterministes

Théorie des Langages Formels Chapitre 4 : Automates complets déterministes 1/2 Théorie des Lngges Formels Chpitre 4 : Automtes complets déterministes Florence Levé Florence.Leve@u-picrdie.fr Année 2015-2016 2/2 Introduction 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Recherche de :, /2 Automte déterministe

Plus en détail

Utiliser l inverse d une matrice pour résoudre un système d équations & courbes polynomiales

Utiliser l inverse d une matrice pour résoudre un système d équations & courbes polynomiales Utiliser l inverse d une mtrice pour résoudre un système d équtions & coures polynomiles Exercice : Dns une ferme, il y des lpins et des poules. On dénomre 58 têtes et 60 pttes. Comien y -t-il de lpins

Plus en détail

Systèmes logiques combinatoires

Systèmes logiques combinatoires «'enseignement devrit être insi : celui qui le reçoit le recueille comme un don inestimle mis jmis comme une contrinte pénile.» Alert Einstein Systèmes logiques comintoires Définitions. es vriles inires

Plus en détail

Théorème de Lax Milgram Application au problème de Dirichlet pour l équation de Sturm Liouville

Théorème de Lax Milgram Application au problème de Dirichlet pour l équation de Sturm Liouville Théorème de Lx Milgrm Appliction u problème de Dirichlet pour l éqution de Sturm Liouville Résumé du cours de MEDP Mîtrise de mthémtiques 2000 2001 2001nov18 (medp-lx-milgrm.tex) Dns ce chpitre, on se

Plus en détail

Examen Final Corrigé rédigé par Paul Brunet et Laure Gonnord

Examen Final Corrigé rédigé par Paul Brunet et Laure Gonnord Mster Info - 2014-2015 MIF15 Complexité et Clculbilité Exmen Finl Corrigé rédigé pr Pul Brunet et Lure Gonnord Durée 1H30 Notes de cours et de TD utorisées. Livres et ppreils électroniques interdits. Le

Plus en détail

Algorithmes sur les mots (séquences)

Algorithmes sur les mots (séquences) Introduction Algorithmes sur les mots (séquences) Algorithmes sur les mots (textes, séquences, chines de crctères) Nomreuses pplictions : ses de données iliogrphiques ioinformtique (séquences de iomolécules)

Plus en détail

CHAPITRE 9 : PRIMITIVES - INTEGRALES

CHAPITRE 9 : PRIMITIVES - INTEGRALES Primitives et intégrles Cours CHAPITRE 9 : PRIMITIVES - INTEGRALES. Primitives d une fonction Définition Soit f une fonction définie sur un intervlle I. Une fonction F est une primitive de f sur I, si

Plus en détail

Cours de mathématiques. Chapitre 12 : Calcul Intégral

Cours de mathématiques. Chapitre 12 : Calcul Intégral Cours de mthémtiques Terminle S1 Chpitre 12 : Clcul Intégrl Année scolire 2008-2009 mise à jour 5 mi 2009 Fig. 1 Henri-Léon Leesgue et Bernhrd Riemnn n les confond prfois 1 Tle des mtières I Chpitre 12

Plus en détail

Automates temporisés

Automates temporisés Automtes temporisés introdution pr un néophyte Prtie I / II Mots et utomtes temporisés Merredi 30 otore 20002 ÉNS Lyon Jérôme DURAND-LOSE jerome.durnd-lose@ens-lyon.fr MC2 LIP - ÉNS Lyon Automtes temporisés

Plus en détail

Correction de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) (

Correction de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) ( Correction de l épreuve CCP PSI Mths PREMIÈRE PARTIE I- Soit t u voisinge de, t Alors ϕt t s = ϕt ρt s ρs Pr hypothèse, l fonction ϕt ϕt est lorsque t, il en est donc de même de ρt s ρt s ρs cr ρ s est

Plus en détail

Module 2 : Déterminant d une matrice

Module 2 : Déterminant d une matrice L Mth Stt Module les déterminnts M Module : Déterminnt d une mtrice Unité : Déterminnt d une mtrice x Soit une mtrice lignes et colonnes (,) c b d Pr définition, son déterminnt est le nombre réel noté

Plus en détail

Modélisation linguistique pour l analyse automatique de textes

Modélisation linguistique pour l analyse automatique de textes Modélistion linguistique pour l nlyse utomtique de textes Pln du cours (seconde prtie) : 1. Automte suite et fin 2. Conceptulistion de connissnces temporelles 3. Anlyse morpho-syntxique d un texte 4. Formlistion

Plus en détail

Kit de survie - Bac ES

Kit de survie - Bac ES Kit de survie - Bc ES. Étude du signe d une expression ) Signe de x + Ü Ü ½ Ò µ¼ Ò ½ 0) On détermine l vleur de x qui nnule x +, puis on pplique l règle : «signe de près le 0». ) Signe de x + x + c ܾ

Plus en détail

Automates hyper-minimaux

Automates hyper-minimaux Université derouen UFR des sciences et techniques Projet nnuel de mster 1 Encdrnts : Pscl Cron et Ludovic Mignot Automtes hyper-minimux Jen-Bptiste PRIEZ Rouen, le 20 mi 2011 Résumé Deux lngges sont f-équivlents

Plus en détail

Chapitre 3 Dérivées et Primitives

Chapitre 3 Dérivées et Primitives Cours de Mthémtiques Clsse de Terminle STI - Chpitre : Dérivées et Primitives Chpitre Dérivées et Primitives A) Rppels de première et compléments ) Dérivées usuelles Fonction définie sur Fonction f() =

Plus en détail

Outils de calcul pour la 3 ème

Outils de calcul pour la 3 ème Chpitre I Outils de clcul pour l Ce que nous connissons déjà :! Opértions sur les décimux, les reltifs et les quotients. Puissnces de dix. Nottions scientifiques. Clcul littérl simple. Objectifs de ce

Plus en détail

Les nombres. C est quand on simplifie au maximum une fraction : elle est dite irréductible car on ne peut plus la simplifier plus.

Les nombres. C est quand on simplifie au maximum une fraction : elle est dite irréductible car on ne peut plus la simplifier plus. Les nomres Notes Première lecture 2016 Nomres rtionnels Nomre rtionnel : c est un nomre exprimé pr un rpport de proportion entre deux nomres entiers. Il peut être écrit sous forme de frction. étnt le numérteur

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mthémtiques nnée 2009-2010 Chpitre 2 Le prolème de l unicité des solutions 1 Le prolème et quelques réponses : 1.1 Un exemple Montrer que l éqution différentielle :

Plus en détail

gfaubert septembre 2010 1

gfaubert septembre 2010 1 Notes de cours Pour l e secondire Compiltion et/ou crétion Guyline Fuert Septemre 00 gfuert septemre 00 Géométrie------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Plus en détail

Les équations dans l ensemble des nombres complexes Le degré 1 et le degré 2

Les équations dans l ensemble des nombres complexes Le degré 1 et le degré 2 Les équtions dns l ensemle des nomres complexes Le degré et le degré Eqution du premier degré 3 Eqution du second degré : Résolution de l éqution A 4 Exemples de résolutions d équtions simples (rédction

Plus en détail

La proposition «Si n Æalors n et n» est vraie. Par contre, la réciproque «Si n et n alors n Æ» est fausse. (Il suffit de choisir n= 1)

La proposition «Si n Æalors n et n» est vraie. Par contre, la réciproque «Si n et n alors n Æ» est fausse. (Il suffit de choisir n= 1) 0 septemre 016 ENSEMBLES DE NOMBRES nde 3 I ENSEMBLES DE NOMBRES 1 NOMBRES ENTIERS NATURELS Æ DÉFINITION L ensemle des entiers nturels, noté Æ = {0;1;;3;;...}. C est l ensemle des nomres positifs qui permettent

Plus en détail

Chimie Avancement d une réaction chimique Chap.8

Chimie Avancement d une réaction chimique Chap.8 ère S Thème : Couleurs et imges TP n 6 Chimie Avncement d une réction chimique Chp.8 Notions et contenus Réction chimique réctif limitnt stœchiométrie notion d vncement Compétences eigiles Identifier le

Plus en détail

SESSION 2013 MPIN007! INFORMATIQUE. Durée : 3 heures!

SESSION 2013 MPIN007! INFORMATIQUE. Durée : 3 heures! SESSION 2013 MPIN007 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP " INFORMATIQUE Durée : 3 heures " N.B. : Le cndidt ttcher l plus grnde importnce à l clrté, à l précision et à l concision de l rédction. Si un cndidt

Plus en détail

Automates finis. porte

Automates finis. porte utomtes finis Il s git d un modèle très souple, qui s dpte à des domines très différents en informtique. D une fçon générle, il sert à représenter les divers étts d un système (mécnique, électronique ou

Plus en détail

Systèmes automatisés à logique combinatoire

Systèmes automatisés à logique combinatoire Systèmes utomtisés à logique comintoire I. Introduction Un système logique est un système pour lequel les vriles d entrées-sorties de l prtie commnde sont du type tout ou rien (0 ou 1, vri ou fux). Il

Plus en détail

Primitives et Calcul d une intégrale

Primitives et Calcul d une intégrale Primitives et Clcul d une intégrle I) Primitive ) Définition : Soit f une fonction définie sur un intervlle I. On ppelle primitive de f sur I, toute fonction F dérivle sur I dont l dérivée F est égle à

Plus en détail

Calculabilité. F. Sur - ENSMN. Motivation. 1 Motivation. 2 Que signifie calculer? 4 Classes de complexité. P et NP. d optimisation et.

Calculabilité. F. Sur - ENSMN. Motivation. 1 Motivation. 2 Que signifie calculer? 4 Classes de complexité. P et NP. d optimisation et. Cours de Tronc Commun Scientifique Recherche Opértionnelle Introduction à l clculilité Introduction à l clculilité 2 3 Frédéric Sur École des Mines de Nncy www.lori.fr/ sur/enseignement/ro/ 4 5 6 /34 2/34

Plus en détail

Zéros des fonctions. 1. La dichotomie. Exo7. 1.1. Principe de la dichotomie

Zéros des fonctions. 1. La dichotomie. Exo7. 1.1. Principe de la dichotomie Exo7 Zéros des fonctions Vidéo prtie 1. L dichotomie Vidéo prtie. L méthode de l sécnte Vidéo prtie 3. L méthode de Newton Dns ce chpitre nous llons ppliquer toutes les notions précédentes sur les suites

Plus en détail

Séquence 7. Intégration. Sommaire

Séquence 7. Intégration. Sommaire Séquence 7 Intégrtion Sommire. Prérequis. Aire et intégrle d une fonction continue et positive sur [ ; ]. Primitives 4. Primitives et intégrles d une fonction continue 5. Synthèse de l séquence Dns ce

Plus en détail

Préparation à l'examen écrit de maturité Mathématiques 2013

Préparation à l'examen écrit de maturité Mathématiques 2013 Wechter Loïc Mturité 2013 Mthémtiques Cours de M. Flcoz 2013 Préprtion à l'exmen écrit de mturité Mthémtiques 2013 1.Primitives et intégrles 1.1Primitives (CRM pp.77-80) Une primitive pourrit se définir

Plus en détail

BROCHURE D'EXERCICES D'ANALYSE MATHEMATIQUE 2

BROCHURE D'EXERCICES D'ANALYSE MATHEMATIQUE 2 MINISTERE DE L 'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR FACULTE DES SCIENCES. DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES OSMANOV Hmid KHELIFATI Sddek BROCHURE D'EXERCICES D'ANALYSE MATHEMATIQUE PARTIE : INTEGRATION. INTEGRALE INDEFINIE

Plus en détail

Fractions. 1 Propriété des quotients égaux 1. 2 Addition, soustraction de deux fractions 3. 3 Produit de deux fractions 5

Fractions. 1 Propriété des quotients égaux 1. 2 Addition, soustraction de deux fractions 3. 3 Produit de deux fractions 5 Tle des mtières Frctions 1 Propriété des quotients égux 1 Addition, soustrction de deux frctions Produit de deux frctions Comprison de deux frctions Produit en croix 10 6 Quotient de deux frctions. Inverse

Plus en détail

Université de Marseille Licence de Mathématiques, 1ere année, Analyse (limites, continuité, dérivées, intégration) T. Gallouët

Université de Marseille Licence de Mathématiques, 1ere année, Analyse (limites, continuité, dérivées, intégration) T. Gallouët Université de Mrseille Licence de Mthémtiques, ere nnée, Anlyse (limites, continuité, dérivées, intégrtion) T. Gllouët July 29, 205 Tble des mtières Limites 3. Définition et propriétés......................................

Plus en détail

Exemple. 4 Grammaires régulières. The quick brown fox jumps over the lazy dog. Réécriture. Application : image de synthèse. Phrase

Exemple. 4 Grammaires régulières. The quick brown fox jumps over the lazy dog. Réécriture. Application : image de synthèse. Phrase Phrse 4 Grmmires régulières Sujet Vere Complément Groupe Nominl Complément Ojet Indirect rticle Liste djectifs Nom Préposition Groupe Nominl djectif djectif rticle Liste djectifs Nom djectif The quick

Plus en détail

= K M est le plus petit langage (pour l inclusion ensembliste) solution de l équation ensembliste d inconnue X :

= K M est le plus petit langage (pour l inclusion ensembliste) solution de l équation ensembliste d inconnue X : MP fo-correction devoir surveillé n o 3, smedi 06 février 016 1/5 1 utour du lemme d rden Q1. On considère K et M deux lngges. Le lngge L défi pr L def = K M est le plus petit lngge (pour l clusion ensemliste)

Plus en détail

2008 2010 MODULE M4 MATHEMATIQUES TERMINALE STAV

2008 2010 MODULE M4 MATHEMATIQUES TERMINALE STAV LEGTHP Sint Nicols STAV Promotion 8 MODULE M4 MATHEMATIQUES TERMINALE STAV Fiches de cours S. FLOQUET Septemre 9 Lycée Sint Nicols Igny Promotion 8 SOMMAIRE STAV PARTIE : RESUMES DE COURS Équtions de droites

Plus en détail

CHAPITRE 11 : FONCTION NEPERIEN. FONCTION LOGARITHME DECIMAL.

CHAPITRE 11 : FONCTION NEPERIEN. FONCTION LOGARITHME DECIMAL. CHAPITRE : FONCTION NEPERIEN. FONCTION LOGARITHME DECIMAL.. Fonction népérien (logrithme d une fonction composée). Théorème Si u est une fonction strictement positive et dérivble sur un intervlle I ouvert,

Plus en détail

SYSTEMES LOGIQUES LOGIQUE COMBINATOIRE

SYSTEMES LOGIQUES LOGIQUE COMBINATOIRE Ch.I Commnde des systèmes logiques ogique comintoire - p1 SYSTEMES OGIQUES OGIQUE COMBINATOIRE I Commnde des systèmes logiques 1. Structure des systèmes utomtisés Reprenons l structure étlie dns le cours

Plus en détail

2 = avec a et b entiers. 2 = b c est-à-dire. a pourrait être simplifiée par 2, elle ne serait donc pas une

2 = avec a et b entiers. 2 = b c est-à-dire. a pourrait être simplifiée par 2, elle ne serait donc pas une Chp n : Arithmétique I ] Le point sur les nomres Les nomres entiers reltifs :. ; ; ; ; ; ; ; ; Les nomres entiers positifs sont ussi ppelés les nomres entiers nturels. Les nomres décimux : nomres qui peuvent

Plus en détail

Exercices corrigés 9325 = 2 4662 + 1 4662 = 2 2331 + 0 2331 = 2 1165 + 1

Exercices corrigés 9325 = 2 4662 + 1 4662 = 2 2331 + 0 2331 = 2 1165 + 1 Grenoble INP Pgor 1ère nnée Exercices corrigés Anlyse numérique NB : Les exercices corrigés ici sont les exercices proposés durnt les sénces de cours. Les corrections données sont des corrections plus

Plus en détail

CAP PRO E SCHEMA : LE MOTEUR

CAP PRO E SCHEMA : LE MOTEUR CAP PRO E SCHEMA : E MOTEUR folio folio folio folio folio folio folio 7 folio 8 folio 9 plque signlétique d un moteur puissnce sorée pr un moteur plque à ornes d un moteur triphsé e couplge étoile e couplge

Plus en détail

LA LOGIQUE COMBINATOIRE

LA LOGIQUE COMBINATOIRE LA LOGIQUE OMBINATOIRE ompétences ssociées A2 : Anlyser et interpréter une informtion numérique DEFINITION De nomreux dispositifs électroniques, électromécnique, (mécnique, électrique, pneumtique, etc...)

Plus en détail

Théorème de Rolle et formules de Taylor

Théorème de Rolle et formules de Taylor Théorème de Rolle et formules de Tylor 1 Extrémums des fonctions différentibles à vleurs réelles 1. Soient K un compct d un espce vectoriel normé (E, ) et f une fonction définie sur K à vleurs dns R. Montrer

Plus en détail

CHAPITRE 7 ELEMENTS DE LOGIQUE COMBINATOIRE CODAGE

CHAPITRE 7 ELEMENTS DE LOGIQUE COMBINATOIRE CODAGE Université de Svoie CHAPITRE 7 DEUG Sciences et Technologie er semestre Electronique et Instrumenttion ELEMENTS DE LOGIQUE COMBINATOIRE CODAGE. FONCTIONS/OPÉRATEURS LOGIQUES ALGÈBRE DE BOOLE...56. DÉFINITIONS...56..

Plus en détail

Cours 9: Automates finis

Cours 9: Automates finis Cours 9: Automates finis Olivier Bournez ournez@lix.polytechnique.fr LIX, Ecole Polytechnique INF421-a Bases de la programmation et de l algorithmique Aujourd hui Rappels Déterminisation Automates et expressions

Plus en détail

Chapitre 7. Primitives et Intégrales. 7.1 Primitive d une fonction. 7.2 Propriétés des primitives. 7.3 Intégrale définie ou Intégrale de Riemannn)

Chapitre 7. Primitives et Intégrales. 7.1 Primitive d une fonction. 7.2 Propriétés des primitives. 7.3 Intégrale définie ou Intégrale de Riemannn) Chpitre 7 Primitives et Intégrles 7. Primitive d une fonction Soit f une fonction définie sur un intervlle K de R. On ppelle primitive de f, une fonction F dont l dérivée est f : F (x) = f(x). On note

Plus en détail

Automates d arbres avec visibilité : rapport de stage de licence (L3)

Automates d arbres avec visibilité : rapport de stage de licence (L3) Automtes d rbres vec visibilité : rpport de stge de licence (L3) Nicols Perrin ENS de Lyon Mître de stge : Hubert Comon-Lundh - LSV, ENS Cchn Autre encdrnt : Florent Jcquemrd - LSV, ENS Cchn Résumé Mon

Plus en détail

Automates. Notions de base Notes de cours, IR1, 2009 Sylvain Lombardy

Automates. Notions de base Notes de cours, IR1, 2009 Sylvain Lombardy 1 Alphet, mot, lngge Automte Notion de e Note de cou, IR1, 2009 Sylvin Lomdy Un lphet A et un enemle fini de ymole ppelé lette. Un mot et une uite finie de lette. On note A l enemle de mot que l on peut

Plus en détail

OLYMPIADES ACADEMIQUES DE MATHEMATIQUES 2011 ACADEMIE DE BESANÇON

OLYMPIADES ACADEMIQUES DE MATHEMATIQUES 2011 ACADEMIE DE BESANÇON OLYMPIADES ACADEMIQUES DE MATHEMATIQUES 2011 ACADEMIE DE BESANÇON Durée : 4 heures Les clcultrices sont utorisées. Le sujet comprend qutre exercices indépendnts qui peuvent être trités dns l'ordre que

Plus en détail

VALEUR ABSOLUE OBJECTIF(S) EXPLICITATION PRÉ-REQUIS CONDITIONS

VALEUR ABSOLUE OBJECTIF(S) EXPLICITATION PRÉ-REQUIS CONDITIONS FICHE DE PRÉSENTATION FICHE DE PRÉSENTATION FICHE DE PRÉSENTATION Clculer l vleur solue d'un nomre. Interpréter l nottion. OBJECTIF(S) EXPLICITATION Être cple à l'issue des trvux : de clculer ; + ; 4,5.

Plus en détail

Preuves de correction partielle de programmes

Preuves de correction partielle de programmes Série 1 Preuves de correction prtielle de progrmmes Pour tous les progrmmes suivnts : 1. donnez l'utomte de Von Neumnn correspondnt, 2. donnez l propriété de correction du progrmme 3. démontrez que le

Plus en détail

Racines carrées 20 = 4,

Racines carrées 20 = 4, Clsse de 3ème 08/11/010 Chpitre Rcines crrées I. Activité n 1. ABCD est un crré de coté c et d ire. (1 ) Choisir des vleurs de c puis clculer. ( ) Choisir des vleurs de puis clculer c. c = 3 cm c = cm

Plus en détail

Fonctions affines ; Equations et inéquations

Fonctions affines ; Equations et inéquations Fonctions ffines ; Equtions et inéqutions I. Fonctions ffines.. Définition Définition d une fonction ffine : on ppelle fonction ffine toute fonction définie sur pr f ( ) où et sont des réels tels que.

Plus en détail

Les langages de programmations.

Les langages de programmations. Communiction technique: L utomte progrmmle industriel (les lngges) Leçon Les lngges de progrmmtions. Introduction : L écriture d un progrmme consiste à créer une liste d instructions permettnt l exécution

Plus en détail

Résumé de cours : Terminale ES. Table des matières. Maths-Terminale ES. Mr Mamouni : source disponible sur: Samedi 08 Avril 2006.

Résumé de cours : Terminale ES. Table des matières. Maths-Terminale ES. Mr Mamouni : source disponible sur: Samedi 08 Avril 2006. Résumé de cours : Terminle ES. Mths-Terminle ES. Mr Mmouni : myismil@ltern.org source disponile sur: c http://www.chez.com/myismil Smedi 08 Avril 2006. Tle des mtières Eqution du second degré. 2. Ses solutions

Plus en détail

2. Formules d addition.

2. Formules d addition. IX. Trigonométrie 1. Rppels 1.1 Définitions : Dns le cercle trigonométrique C ( O, 1 ), si nous fixons un point P correspondnt à un ngle d mplitude nous vons défini : = bscisse du point P sin = ordonnée

Plus en détail

TOUT SUR LE TRIANGLE

TOUT SUR LE TRIANGLE PROBLEME de niveu sup rédigé pr R. Ferreol ferreol@mthcurve.com TOUT SUR LE TRIANGLE. DONNÉES ET NOTATIONS 3 points A, B, C non lignés d un pln ffine euclidien P orienté de fçon à ce que (AB, AC ) soit

Plus en détail

Mesure de résistances

Mesure de résistances GEL 1002 Trvux prtiques Lortoire 2 1 Trvux prtiques Lortoire 2 (1 sénce) Mesure de résistnces Ojectifs Les ojectifs de cette phse des trvux prtiques sont : ) d utiliser déqutement l plquette de montge

Plus en détail

Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann

Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann Chpitre 11 Théorème de Poincré - Formule de Green-Riemnn Ce chpitre s inscrit dns l continuité du précédent. On vu à l proposition 1.16 que les formes différentielles sont bien plus grébles à mnipuler

Plus en détail

8. Primitives d'une fonction et intégrales

8. Primitives d'une fonction et intégrales 8. Primitives d'une fonction et intégrles I- Usge du tleu des dérivées Compléter les tleu et en précisnt le numéro des lignes utilisées. Tleu N f () f ' () -... Fonction f f () + érivée f ' f ' ()......

Plus en détail

Créer des jeux avec GLUP

Créer des jeux avec GLUP Créer des jeux vec GLUP GLUP (générteur ludopédgogique) est un service en ligne du CRDP de l cdémie de Versilles. Il permet de trnsformer des exercices à se de texte en mini-jeux téléchrgeles. Les jeux

Plus en détail