Un alphabet Un ensemble fini non vide s'appelle un alphabet. Langages réguliers et automates. Un mot. Un langage. {a,b} non. A.
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- Patrice Paris
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1 Langages réguliers et automates finis A. Maurer Mars 09 Un alphabet Un ensemble fini non vide s'appelle un alphabet Ensemble Σ {a,b} {a,b,a,b} L'ensembledes nombres naturels pairs Alphabet? oui non oui non Les éléments de l'ensemble Σ sont appelés des symboles Un mot Un mot sur un alphabet Σest une séquence, de longueur finie de symboles de S λest le mot vide exemples: aaabest un mot sur Σ={a,b} aababest un mot sur Σ={a,b,c} aest un mot sur Σ={a,b} Un langage Un ensemble de mots sur un alphabet est un langage L exemples L={aa,ab,b} sur Σ={a,b} L={ab,cd} sur Σ={a,b,c,d} L={a} sur Σ={a} L= L={x {0,1}* le nombre représenté par x est pair}
2 Un problème de décision Un problème de décision (Σ,L) est l'algorithme suivant entrée: un mot sur x Σ* sortie: oui si x L non si L exemple: Σ={a,b}, L={aa,ab,bb,ab} entrée: aaab sortie:. Un automate Un automate (à états) fini(s) A sur Σest un objet mathématique composé d'un ensemble finiq d'états et d'un ensemble fini T de transitions entre les états exemple: Q={q 0,q 1,q 2,q 3 } T={(q 0,a,q 1 ),(q 1,b,q 2 ),(q 0,b,q 3 ),(q 3,a,q 2 )} Un accepteur fini c'est au automate auquel on ajoute un ensemble d'états initiaux (Start) et un ensemble d'états finaux (accepting) exemple: q 0 est l'état initial q 2 est l'état final Le langage accepté est L={ab,ba} Exemple plus complet Construire l'accepteur, sur Σ={a,b} pour le langage suivant: L={xaab x Σ*} Ce langage est l'ensemble des mots se terminant par aab Exemple de mots appartenant au langage: abaaab, abbaab,aab, bbbbaab, etc
3 Exemple (suite) Ce langage est l'ensemble des mots se terminant par aab automate déterministe et nondéterministe Un automate non-déterministepeut toujours être transformé en un automate déterministe équivalent (qui reconnait le même langage) que se passe-t-il lorsqu'on reconnait la séquence aaab? dans l'état q 0 avec lecture d'un a, l'état suivant est-il q 0 ou q 1? cet accepteur (automate) est non-déterministe automate déterministe et nondéterministe Méthode pour passer d'un automate nondéterministe à un automate déterministe automate déterministe et nondéterministe Méthode pour passer d'un automate nondéterministe à un automate déterministe a b q0 q1 q2 q3 a q0 q 0 q 0 q1 q 2 - q2 - q 3 q3 - - b
4 automate déterministe et nondéterministe automate déterministe et nondéterministe a b {q0} {q 0,q 1 } {q 0 } {q1} {q 2 } - {q2} - {q 3 } {q3} - - {q 0 } {q 0,q 1 } {q 0 } a b {q0} {q 0,q 1 } {q 0 } {q1} {q 2 } - {q2} - {q 3 } {q3} - - {q 0 } {q 0,q 1 } {q 0 } {q 0,q 1 } {q 0,q 1, q 2 } {q 0 } {q 0,q 1, q 2 } {q 0,q 1, q 2 } {q 0,q 3 } {q 0,q 3 } {q 0,q 1 } {q 0 } automate déterministe et nondéterministe a non-déterministe b L={xaab x Σ*} Ensemble des mots se terminant par aab {q0} {q 0,q 1 } {q 0 } déterministe {q1} {q 2 } - {q2} - {q 3 } {q3} - - {q 0 } {q 0,q 1 } {q 0 } {q 0,q 1 } {q 0,q 1, q 2 } {q 0 } {q 0,q 1, q 2 } {q 0,q 1, q 2 } {q 0,q 3 } {q 0,q 3 } {q 0,q 1 } {q 0 } Transitions invisibles ε est une transition invisible. exemple avec aaab il existe une méthode pour supprimer les transitions invisibles Informellement: Si un automate contient au moins une transition invisible, il est nondéterministe
5 Supprimer les transitions invisibles Opérations sur les langages Automate avec transitions invisibles Automate sans transitions invisibles, mais non déterministe Automate sans transitions invisibles, déterministe Sur les langages, on peut définir les opérations suivantes: l'unionde 2 langages le produitde 2 langages la fermeture de Kleene d'un langage Union Produit L 1 ={abc,cab}, L 2 ={ab,ac} L=L 1 UL 2 ={abc,cab,ab,ac} L 1 ={abc,cab}, L 2 ={ab,ac} L=L 1 L 2 ={abcab,abcac,cabab,cabac} (puissance)
6 Fermeture (closure) de Kleene L 1 ={abc,cab} Langages réguliers n=0 n=1 n=2 n=3 L 1* ={λ,abc,cab,abcabc,abccab,cabcab,abcabcabc, abcabccab, } Langages réguliers et non-réguliers Il existe plusieurs types de langages. En particulier les langages qui sont réguliers et les langages qui ne sont pas réguliers. Exemples: L'ensemble des palindromes sur Σ={a,b}: L={a,b,aa,bb,aba,bab,aaa,bbb,aaaa,baab,abba, } n'est pas régulier L'ensemble des mots sur Σ={a,b} se terminant par aab: L={aab,aaab,baab,abaab, } est un langage régulier Langage élémentaire Un langage élémentaireest un langage composé d'un seul mot d'un seul symbole Exemple, sur l'alphabet Σ={a,b} R 1 =a(formellement R 1 ={<<a>>}) R 2 =b(formellement R 2 ={<<b>>}) Un langage élémentaire est un langage régulier
7 R 1 =a, R 2 =b L'union de 2 langages R 3 =aub(ou R 3 =a b) formellement: R 3 ={<<a>>} U {<<b>>}={<<a>>,<<b>>} R 3 est composé de 2 mots, de longueur 1 L'unionde 2 langages réguliers est un langage régulier R 1 =a, R 2 =b R 4 =ab Le produit de 2 langages formellement: R 3 ={<<ab>>} R 4 est composé d'un mot de longueur 2 Le produit de 2 langages réguliers est un langage régulier La fermeture de Kleene d'un langage R 1 =a R 5 =a* R 5 ={<<a>>,<<aa>>,<<aaa>>>,<<aaaa>>,<<aaaaa>>, } R 5 est composé d'une infinité de mots La fermeture de Kleene d'un langage régulier est un langage régulier Un langage régulier R (résumé) (R k = ) R k est un langage élémentaire R k =R i U R j R = RR R k = R i R j R k =R k *
8 L=(ab U b)* est-il régulier? L=(ab U b)* est-il régulier? L={λ,ab,b,abab,abb,bb,ababab, ababb,abbb, } R k est un langage élémentaire R k =R i R j R k =R i U R j R k =R i * lelangage ne contient qu'un seul mot d'un seul symbol le produit de 2 langages réguliers est un langage régulier l'unionde 2 langages réguliers est un langage régulier la fermeturede Kleene d'un langage régulier est un langage régulier R 1 =a R 2 =b R 3 =ab R 4 =ab U b R 5 =(ab U b)* Les langages R 1 à R 5 sont tous des langages réguliers Théorème de Kleene ( ) Un langage L sur un alphabet Σest régulier il existe un automate sur Σqui reconnaisse L Il y a donc équivalenceentre automate à états finis et un langage régulier Exemple de langages qui nesont pas réguliers L'ensemble des palindromes sur Σ={a,b}: L={a,b,aa,bb,aba,bab,aaa,bbb,aaaa,baab,abba, } L'ensemble des mots qui contiennent autant de a que de b: L={λ,ab,ba,aabb,abab,bbaa,abba,...}
9 Comment construire un automate à partir d'une expression régulière? construire l'automate pour R=(abUb)* R 1 =a R 4 ={<<ab>>,<<b>>} R 4 =abub R 2 =b R 3 =ab Fermeture de Kleene exemple, sur Σ={a,b,c} L 5 =(abub)* L 5= {λ,ab,b,abab,abb,bab,bb,ababab,ababb, } R 1 =abc R 2 =(abc)*={λ,abc,abcabc,abcabcabc, } abub (abub)*
10 Expressions régulière avec javascript Syntaxe: var exp=new RegExp(motifs) ou var exp=/motifs/ RegExp Exemples: expression régulière correspondant à L=(abUb)*=(ab b)* varexp=new RegExp("(ab b)*") expression régulière correspondant à une adresse (par ex 1015 Lausanne) varexp=new RegExp("[1-9][0-9][0-9][0-9][ ][A-Z][A-z]*") expression régulière correspondant à une adresse (par ex varexp=new Test Pour tester si ce que l'utilisateur entre est correct: function valide_adresse(entree){ varformat_adr= /[1-9][0-9][0-9][0-9][ ][A-Z][a-z]/ return format_adr.test(entree) } exemple: valide_adresse("1000 Lausanne") -> true valide_adresse("100 Lausanne") -> false valide_adresse("lausanne") -> false Exercices 1. télécharger le programme Exorciser depuis lti.epfl.ch/documents 2. faire quelques exercices pour s'habituer à construire un automate Constructing finite Automata 3. Passer d'une expression régulière à un automate (déterministe) Regular Expression to Finite Automata conversion
11 Exercices (suite) Donner un expression régulière, ainsi que l'automate correspondant, pour les langages suivants, sur Σ={a,b}. Vérifier ensuite avec Exorciser L1: ensemble des mots qui se terminent par baa, y compris baa L2: ensemble des mots qui commencent par baa L3: ensemble des mots qui comportent au moins un a L4: ensemble des mots qui comportent un et un seul b L5: ensemble des mots qui ne comportent aucun b L6: ensemble des mots de longueur supérieur à 2 L7: ensemble des mots qui comportent un nombre pair de a L8: ensemble des mots qui comportent un nombre impair de b L9: ensemble des mots qui ne comportent aucune syllabe ab (a n'est jamais suivi de b) L10: ensemble des mots qui comportent une syllabe ab et une seule
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