Théorie des Langages Formels Chapitre 5 : Automates minimaux

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1 Théorie des Langages Formels Chapitre 5 : Automates minimaux Florence Levé Florence.Leve@u-picardie.fr Année /29

2 Introduction Les algorithmes vus précédemment peuvent mener à des automates relativement gros. On souhaite obtenir des automates les plus petits possible, en gardant l avantage des automates déterministes. Nous nous intéressons donc ici à l automate déterministe ayant le moins d états possible : I Nous allons voir qu il est unique. I Nous verrons deux méthodes pour l obtenir : une directement à partir d une expression rationnelle ; l autre à partir d un automate déjà connu. 2/29

3 Automate minimal Théorème : Tout langage reconnaissable est reconnu par un unique (au renommage près des états) automate déterministe complet tel que tout autre automate déterministe complet a au moins autant d états que lui. L automate décrit ci-dessus est appelé automate minimal complet ou plus simplement automate minimal reconnaissant le langage. 3/29

4 Résiduel Soient A un alphabet, L A un langage et u 2 A un mot. Le résiduel (à gauche ou quotient à gauche)de L par rapport à u est le langage u 1 L = {v 2 A uv 2 L}. Exemple : L = {ab, ba, aab} I a 1 L = {b, ab}, I b 1 L = {a}, I c 1 L = ; Méthode : I u 1 L est l ensemble X tel que L \ ua = ux I Pour calculer un résiduel u 1 L sur un exemple simple : 1. Trouver les mots de L commençant par u : L \ ua ; 2. Enlever les préfixes u! u 1 L. 4/29

5 Lemme Soit L A un langage reconnu par un automate déterministe complet Aut = <A, Q, {d}, F, >. Soit u un mot. Il existe un unique chemin dans Aut partant de d et étiqueté par u :soitp l état dans lequel aboutit ce chemin. Alors : u 1 L = L p Preuve : ul p L implique L p u 1 L Pour v appartenant à u 1 L, uv 2 L. Puisque l automate est déterministe, l unique chemin reconnaissant uv dans Aut est un chemin qui après avoir reconnu u arrive en p et donc v 2 L p.ainsiu 1 L L p. Corollaire : Tout langage reconnaissable a un nombre fini de résiduels. 5/29

6 Lemme Pour tous mots u et v et pour tout langage L, (uv) 1 L = v 1 (u 1 L) Preuve : (uv) 1 L = {w uvw 2 L} = {w vw 2 u 1 L} = v 1 (u 1 L) 6/29

7 Approche On peut calculer les résiduels u 1 L pour les longueurs de u successives : 0, 1, 2,... Comme il y a un nombre fini de résiduels, le calcul ne peut que s arrêter. 7/29

8 Calcul des résiduels Donnée :unlangagel ; Hypothèse :lelangagel aunnombrefiniderésiduels; Résultats :lesrésiduelsdel (notés L 0,...,L k 1 où k est le nombre de résiduels de L). Premier résiduel : " 1 L = L (le noter L 0 ) tant que de nouveaux ensembles apparaissent : I calculer les résiduels par rapport aux lettres de l alphabet en partant des ensembles précédemment obtenus ; I numéroter au fur et à mesure les langages distincts rencontrés. 8/29

9 Formules utiles Dans le formulaire suivant a est une lettre, L, L 1 et L 2 sont des ensembles. 1. a 1 (L 1 [ L 2 )=a 1 L 1 [ a 1 L 2 2. a 1 (L 1 L 2 )=(a 1 L 1 )L 2 si " 62 L 1 3. a 1 (L 1 L 2 )=(a 1 L 1 )L 2 [ a 1 L 2 si " 2 L 1 4. a 1 (L )=(a 1 L)L 5. a 1 (L 1 \ L 2 )=a 1 L 1 \ a 1 L 2 6. a 1 (A \ L) =A \ (a 1 L) 7. a 1 (L 1 \ L 2 )=(a 1 L 1 ) \ (a 1 L 2 ) 9/29

10 Exemple Résiduels du langage A ab sur alphabet {a, b}. L 0 = " 1 L = L a 1 L 0 = a 1 (A ab) =(a 1 A )ab [ a 1 {ab} = (a 1 A)A ab [{b} = "A ab [{b} = A ab + b := L 1 b 1 L 0 = L 0 a 1 L 1 = L 1 b 1 L 1 = " + A ab := L 2 a 1 L 2 = L 1 b 1 L 2 = L 0 10/29

11 Remarques La méthode de calcul précédente n est pas implémentable dans tous les cas : problème 1. Comment est donné le langage L?Pas nécessairement par le biais d une expression rationnelle? problème 2. Comment tester l égalité d un langage par rapport aux précédents déjà calculés, en particulier si le langage n est pas reconnaissable... et même quand il l est. L hypothèse nombre de résiduels fini n est pas toujours évaluable et, sans elle, le calcul précédent ne finit pas. Par contre, quand elle est implémentable, elle donne directement un automate déterministe (avec le moins d états possibles). 11/29

12 Construction de l automate minimal Proposition : 1. Un langage L est reconnaissable si et seulement si le nombre de ses résiduels est fini. 2. L automate déterministe minimal complet reconnaissant L est l automate tel que : I les états sont numérotés de 0 à n 1oùn est le nombre de résiduels de L ; I chaque résiduel Li correspond à un état noté i ; I l état de départ 0 correspond au résiduel de L par rapport à ", c est-à-dire L lui-même (L 0 = " 1 L = L); I il existe une transition (i, a, j) si et seulement si L j = a 1 L i ; I i est un état d acceptation si et seulement si " 2 L i. L automate défini ainsi est appelé automate des résiduels. 12/29

13 L 0 = L = A ab a 1 L 0 = L 1 = A ab + b b 1 L 0 = L 0 a 1 L 1 = L 1 b 1 L 1 = L 2 = " + A ab a 1 L 2 = L 1 b 1 L 2 = L 0 Exemple (" 2 L 2 ) L 2 état d acceptation) b a L0 a L1 b L2 a b 13/29

14 Preuve de la proposition 1. Un langage L est reconnaissable si et seulement si le nombre de ses résiduels est fini. ( on donne une construction de l automate résiduel. ) Le premier lemme du chapitre implique que le nombre de résiduels d un langage reconnu par un automate fini est fini puisqu il est majoré par le nombre d états de cet automate. 2. L automate déterministe minimal complet reconnaissant L est l automate des résiduels. Remarquons également que le même lemme associe à chaque résiduel au moins un état. Ainsi, le nombre d états d un automate déterministe complet reconnaissant un langage est minoré par le nombre de résiduels (de ce fait, à un état n est associé qu un seul résiduel). Donc l automate des résiduels a un nombre minimal d état. 14/29

15 Preuve de la proposition 2. L automate déterministe minimal complet reconnaissant L est l automate des résiduels. L automate des résiduels est déterministe et complet : par construction, pour chaque état (un résiduel) on calcule une transition et une seule par chaque lettre. L automate des résiduels reconnaît le langage L. Idée : Si u = a 1...a n est un mot, il existe un chemin (L 0, a 1, a1 1 L), (a1 1 L, a 2, a2 1 (a 1 1 L)=(a 1a 2 ) 1 L), ((a 1 a 2 ) 1 L, a 3, (a 1 a 2 a 3 ) 1 L),..., (a 1 a 2 a 3...a n 1 ) 1 L, a n, (a 1 a 2 a 3...a n 1 a n ) 1 L dans l automate des résiduels. On a : a 1...a n 2 L si et seulement si " 2 (a 1 a 2 a 3...a n 1 a n ) 1 L. 15/29

16 Preuve de la proposition Il reste à vérifier que tout automate minimal déterministe complet est isomorphe à l automate des résiduels i.e. à un renommage des états est l automate des résiduels. Soit donc un automate Aut ayant le même nombre d états que l automate des résiduels. I On a vu que chaque résiduel est associé à un unique état I Le résiduel par " est nécessairement l état initial. I Les états terminaux correspondent nécessairement aux résiduels qui contiennent le mot vide. I Considérons à présent une transition (Li, a, L j ). Cette transition existe puisque l automate est complet et est unique puisque l automate est déterministe. Par association des langages aux état, al j L i et donc a 1 L i L j.soitv un mot dans L j, av est alors l étiquette d un chemin partant de L i allant dans un état final : av 2 L i.ainsil j a 1 L i. Donc les transitions de l automate Aut sont les mêmes que celles de l automate des résiduels. 16/29

17 Une manière de tester la minimalité Idée : nous avons vu que, pour tout automate déterministe, tout état était associé à un unique résiduel. Mais la réciproque n est pas vraie : deux états peuvent être associés à un même résiduel. Si c est le cas l automate n est pas minimal. 17/29

18 États séparés Soit Aut = <A, Q, {d}, F, > un automate fini déterministe complet. Deux états s, t 2 Q sont séparés par le mot u 2 A si l une des deux conditions suivantes est vérifiée : I u 2 Ls=init et u 62 L t=init ; I u 62 L s=init et u 2 L t=init. Autrement dit, deux états sont séparés par un mot si le chemin étiqueté par ce mot et partant de l un des deux états aboutit dans un état d acceptation, tandis que le chemin étiqueté par ce mot et partant de l autre état aboutit dans un état qui n est pas d acceptation. Exemple : < {a, b}, {1, 2, 3}, {1}, {2}, {(1, a, 2), (1, b, 1), (2, a, 3), (2, b, 2), (3, a, 3), (3, b, 1)} >. Le mot vide sépare les états 1 et 2. Le mot aab ne les sépare pas. 18/29

19 Test de minimalité Proposition : Un automate déterministe complet est minimal si et seulement si pour tout couple d états (p, q) il existe un mot qui sépare p et q. Conséquence : Le résultat précédent donne un moyen de montrer qu un automate est minimal. Il suffit d exhiber pour chaque couple d état (p, q) un mot qui les sépare. Par exemple, l automate précédent est minimal : le mot vide sépare les états 1 et 2 ; il sépare aussi les états 2 et 3 ; le mot ab sépare les états 1 et 3. 19/29