Circuits et composition synchrone d automates

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1 Circuits et composition synchrone d automates Marc Pouzet UPMC/ENS Marc.Pouzet@ens.fr MPRI, 11 octobre 2013 MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 1/41

2 Automates à entrées/sorties: représentations implicites et explicites On s intéresse au modèle des programmes synchrones restriction aux programmes purement logiques: Booléens (Lustre), signaux purs (Esterel) deux modèles d automates (explicites) classiques: Automates de Moore: la sortie est associée à l état Automates de Mealy: la sortie est associée à la transition représentation explicite vs implicite d un automate automates booléens et automates interprétés composition d automates (mise en parallèle, masquage, hiérarchie) Modèle de programmation/modélisation très répendu (e.g., StateCharts [4], StateFlow a ou Argos [5] et SyncCharts [1] avec sem. synchrone propre) a MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 2/41

3 Automate de Moore Une automate de Moore est un sextuplet (Q, Σ,, δ, λ, q 0 ) Q est un ensemble fini d états, q 0 est l état initial Σ est l alphabet d entrée, est l alphabet de sortie δ est une application de Q Σ dans Q λ est une application de Q dans, donnant la sortie associée à chaque état La sortie de M en réponse à une entrée a 1 a 2...a n, n 0 est λ(q 0 )λ(q 1 )...λ(q n ) où q 0,..., q n est la séquence d états tels que δ(q i 1, a i ) = q i pour 1 i n. Remarque: Un automate de Moore retourne la sortie λ(q 0 ) pour toute entrée ɛ. MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 3/41

4 Exemple Compter modulo 3 à partir d un nombre écrit en binaire q0 q1 q Sur l entrée 1010, la séquence d états est q 0, q 1, q 2, q 2, q 1 donnant la sortie Autrement dit, ɛ a le reste 0, 1 le reste 1, 2 le reste 2, 5 le reste 2 et 10, le reste 1. MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 4/41

5 Automate de Mealy Un automate de Mealy est un sextuplet M = (Q, Σ,, δ, λ, q 0 ) Q est un ensemble fini d états, q 0 est l état initial Σ est l alphabet d entrée, est l alphabet de sortie δ est une application de Q Σ dans Q λ est une application de Q Σ dans λ(q, a) donne la sortie associée à une transition d un état q sur l entrée a. La sortie de M, en réponse à une séquence d entrées a 1...a n est λ(q 0, a 1 )λ(q 1, a 2 )...λ(q n 1, a n ) où q 0, q 1,..., q n est la séquence des états tels que δ(q i 1, a i ) = q i pour 1 i n. Remarque: Cette séquence a la longueur n alors qu elle est de longuer n + 1 pour les automates de Moore. Sur l entrée, ɛ, une automate de Mealy rend la sortie ɛ. MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 5/41

6 Exemple Reconnaissance des mots de {0, 1} qui se terminent soit par 00, soit par 11. Un automate de Mealy de 3 états qui émet o (pour oui), lorsque la chaine rencontrée jusque la est valide et n (pour non) sinon. 0/o 1/o 0/n p0 p1 1/n 0/n 1/n q0 La réponse de M à l entrée est nnono. MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 6/41

7 Rappel: équivalence On définit T M (w) pour toute entrée w comme la sortie produite par M sur l entrée w. Définition 1 (Equivalence d automates) Un automate de Moore M est équivalent à un automate de Mealy M si pour toute entrée w, bt M (w) = T M (w) où b est la sortie de M dans son état initial. Théorème 1 (Equivalence) Si M 1 est un automate de Moore alors il existe un automate de Mealy M 2 équivalent à M 1. Si M 1 est une automate de Mealy alors il existe un automate de Moore M 2 équivalent à M 1. Remarque: Les automates de Mealy sont (beaucoup) plus concis que les automates de Moore: le codage d un automate de Mealy en un automate équivalent de Moore peut nécessiter un nombre d état en O( Q ) MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 7/41

8 Moore vers Mealy Soit M 1 l automate de Moore. Il suffit de construire l automate de Mealy M 2 = (Q, Σ,, δ, λ, q 0 ) tel que λ (q, a) = λ(δ(q, a)) Mealy vers Moore Soit M 1 l automate de Mealy. Il suffit de construire M 2 = (Q, Σ,, δ, λ, [q 0, b 0 ]) où b 0 est n importe quel élément de. Les états de M 2 sont des paires [q, b] consistant en un état de M 1 et un symbole de sortie (Q = Q ). On définit: δ ([q, b], a) = [δ(q, a), λ(q, a)] et: λ ([q, b]) = b. MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 8/41

9 Automate implicite (cas booléen) un automate peut être représenté de manière implicite par un ensemble de fonctions booléennes cad, un circuit formé de porte logiques (e.g., et, ou, non) et de registres représentant l état du système ensemble d entrées I, sorties O, mémoire S (variables d état) état initial: init IB S fonction de sortie: o j = f j ( s, i) IB fonction de transition: s k = g k( s, i) IB Cas particulier d un observateur synchrone: une seule sortie booléenne. MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 9/41

10 Automate explicite ensemble d entrées I, sorties O, états Q (fini) état initial: q init Q Relation de transition: T Q I O Q NB: système déterministe ssi fonction de transition Notation: T (q, i) = ( o, q ) noté q i/ o q Automate de Mealy classique: l alphabet d entrées est l ensemble des n-uplets de valeurs des entrées l alphabet de sortie est l ensemble des n-uplets de valeurs des sorties MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 10/41

11 Implicite vers Explicite Simple énumération des variables booléennes Alphabet d entrée IB I, alphabet de sortie IB O On pose Q = IB S, q init = init q i/ o q ssi o = (f 1 (q, i),..., f O (q, i)) q = (g 1 (q, i),..., g S (q, i)) MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 11/41

12 Explicite vers Implicite Plusieurs solutions plus ou moins efficaces. La plus simple est le codage one-hot. Alphabet d entrée Σ = {a 1,..., a n } Alphabet de sortie = {b 1,..., b m } ensemble fini d états Q et état initial Init Fonction de transition T : Q Σ Q Pour tout état q, on note: Prec(q) = {(p, i) / p i/o q} Succ(q) = {(i, r) / q i/o r} On note Output(o) = {(p, q, i) / p i/o q} MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 12/41

13 Codage One-hot: une variable (d état) s qj booléenne par état explicite de l automate une variable booléenne i k par élément de l alphabet d éntrée Σ une variable booléenne o k par élément de l alphabet de sortie Chaque variable d état s q et variable de sortie o est définie par: soient i 1,..., i n et p 1,..., p n tels que (p k, i k ) Prec(q), k {1,..., n} soient j 1,..., j m lorsqu il existe r tel que (j k, r) Succ(q), k {1,..., m} s q = if s q then not j 1... not j m else s p1 i 1... s pn i n o = (p,q,i) Output(o) (p i) Etat initial Init = (Init 1,..., Init Q ) tq Init k = 1 et Init j = 0 pour tour j k si q k est l état initial. MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 13/41

14 Remarques: n variables booléennes pour coder n états alors que log n suffit même chose pour l alphabet d entrée et l alphabet de sortie Il existe d autres codage plus efficaces MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 14/41

15 Reconnaissance d expressions régulières Lorsque l automates initial est non déterministe, il n est pas nécessaire de le déterminiser. Un circuit synchrone est donc un excellent reconnaisseur de langage régulier! a b c q1 q2 q3 q4 a,b,c node grep_abc(a, b, c: bool) returns (ok: bool); var q1, q2, q3, q4: bool; let q1 = true -> pre q1; q2 = false -> pre q1 and a; q3 = false -> pre q2 and b; q4 = false -> pre q3 and c; ok = q4; tel; L espace des valuations des variables d état correspond à la construction de l automate déterministe explicite (de taille potentiellement exponentielle) sans qu il ne soit construit. MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 15/41

16 Automates booléens, automates interprétés un automate explicite peut être étiqueté par des expressions booléennes. l équivalence avec l automate implicite est triviale les transitions sont de la forme: p f/o 1,...,o n q où f est une formule booléenne portant seulement sur les variables d entrées et les o i sont des variables de sortie dont la valeur est vraie f ::= x f f f f f où x I permet de factoriser les transitions (gain exponentiel sur le nombre de transitions et la représentation des alphabets) e.g., les transistions p f 1/o q et p f 2/o q sont représentées par p (f 1 f 2 )/o q MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 16/41

17 Implicite vs Explicite les compilateurs savent manipuler les deux types de représentation (explicite et implicite) Implicite: taille raisonnable donc bon modèle pour la génération de code: correspond à la compilation en boucle simple de Lustre représentation implicite plus compacte; application d algo. de simplification booléenne Explicite: taille (potentiellement) prohibitive modèle simple pour l analyse et la vérification: il existe une infinité d automates qui font la même chose mais un minimal en pratique, il n est pas raisonnable de construire un automate explicite à partir d un automate implicite MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 17/41

18 Composition Synchrone d Automates Remarques: composition de circuits synchrones (ici, une seule horloge dite de base) = compositions de fonctions booléennes Automate de Mealy booléen M = (S, s o, I, O, T ) où I: variables d entrées, O: variables de sorties avec I, O A T S f(i) 2 O S f(i) désigne une formule booléenne sur I Déterminisme: Pour tout état s et pour toute paire de transitions s b i/... s et s b j/... s, b i b j = false Réactivité: Pour tout état s, l ensemble des transitions s b i/... s i, 0 i k partant de s vérifie 0 i k b i = true On dira qu un automate est causal lorsqu il est réactif et déterministe. MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 18/41

19 Composition parallèle synchrone Que signifie P Q où P et Q sont deux systèmes de transition? Si P et Q sont tous deux causaux, est-ce que P Q l est aussi? Produit synchrone: (p, q) c 1 c 2 /e 1,e 2 (p, q ) si (p c 1/e 1 p ) (q c 2/e 2 q ) produit cartésien des états avec conjonction des gardes et union des sorties diffusion synchrone: les processus envoient un signal à tous les autres l envoi est non bloquant un nombre arbitraire de processus peut recevoir le signal (broadcast) la réaction à un broadcast est instantanée (même instant) MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 19/41

20 Certaines conditions sur les transitions sont logiquement incohérentes. A/A : si A est absent, A est émis? (chaque réaction doit être logiquement cohérente) A/A lorsque A est un signal local? (non déterministe) A/... où A est local et n est pas émis? (un signal est présent s il est émis) MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 20/41

21 Cas 1: pas de communication/synchronisation not c not c not c p r pr c/o1 c/o2 c/o1,o2 q s qs Cas 2: communication et masquage la réaction à un broadcast est instantanée (même instant) composition parallèle = comme précédemment on ajoute une opération de masquage pour éliminer certaines transition du produit cartésien p not(a) r not(b) pr not(a) a/b b/c a/c q s qs MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 21/41

22 Masquage: hide b P (b est un signal local dans P ) masquage de b produit synchrone des deux automates: (p, q) c 1 c 2 /e 1,e 2 (p, q ) si (p c 1/e 1 p ) (q c 2/e 2 q ) certaines transitions sont logiquement incohérentes: on garde la transition c/e ssi: (b e c b false) (b e c not b false) pas de contradiction logique au cours d une réaction et on enlève b des transitions Conclusion: si P et Q sont causaux, P Q ne le sont pas nécessairement il faut une analyse statique pour le garantir: analyse de causalité MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 22/41

23 Automate et circuit Que se passerait t il si l on cablait les circuits correspondants? node left(a: bool) returns (b: bool); var p: bool; let b = a and (true -> pre p); p = (not(a)) and (true -> pre p); tel; node right(b: bool) returns (c: bool); var r: bool; let c = b and (true -> pre r); r = (not b) and (true -> pre r); tel; MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 23/41

24 node produit(a: bool) returns (c: bool); var b: bool; let b = left(a); c = right(b); tel; node simple(a: bool) returns (c: bool); var pr: bool; let c = a and (true -> pre pr); pr = (not a) and (true -> pre pr); tel; node observe(a: bool) returns (ok: bool); let ok = simple(a) = produit(a); tel; % lesar auto.lus observe --Pollux Version 2.3 TRUE PROPERTY MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 24/41

25 Hiérarchie introduit par Harel dans les StateCharts un noeud peut lui-même être composé d automates reset/ on/ not(on)/ p on/o p not(a) a/o p not(b) a/o2 q q /o q /o2 /o o1&o2/ok préemption faible: on laisse terminer la réaction courante (automates de Moore) sémantique à plat synchrone (cf. Argos, Maraninchi [5]) MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 25/41

26 Sémantique à plat synchrone Composition parallèle Le cas de la composition synchrone en éliminant les transitions incohérentes. Composition hiérarchique On considère le cas de la préemption faible: si l état source s k effectue une f k / o k transition interne s k1 sk2 en même temps qu une transition externe f(i)/ o s k s k alors les signaux o k sont émis lorsque f k f(i) est vrai. Soient deux états hiérarchiques M 1 = (S 1, s o, I, O, T 1 ) et M 2 = (S 2, s o, I, O, T 2 ) et une transition s k f(i)/ o s k. On construit un automate M = (S 1 + S 2, s o, I, O, T ) tq: s k1 f k not f(i)/ o k s k2 (si la transition est logiquement cohérente) s k1 f k f(i)/ o k, o s o (si la transition est logiquement cohérente) MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 26/41

27 Programmes non strictement booléens: automates interprétés Modèle équationnel: pas de problème O = T o1... T o O I = T i1... T i I S = T s1... T s S avec T x = IB, IN,... état initial Init = (v 1,..., v S ) une fonction de transition T : S I O S Essentiellement un programme Lustre Automate explicite: impossible à construire (infinité d états et de transitions) MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 27/41

28 Automate interprété structure de contrôle finie (booléens) transitions étiquetées par des conditions modèle équationnel pour le reste (entiers, réels) Essentiellement le résultat de la compilation en automate de Lustre. Exemple: node compter(top, click: bool) returns (cpt: int); let cpt = if top then i else i + 0 -> pre cpt; i = if click then 1 else 0; tel; init i:=if click then 1 else 0; cpt:=if top then i else i init i:=if click then 1 else 0; cpt:=if top then i else cpt MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 28/41

29 Considérations langage En pratique, les systèmes ont un caractère mixte: des parties purement data-flow : e.g., systèmes de régulation, filtres des parties orientées controle : drivers, changements de mode, etc. Les deux types de description sont équivalentes (l une peut être traduite en l autre) mais le code obtenu n est pas nécessairement efficace ni lisible. Questions Trouver un langage homogène permettant de mélanger les deux types de description. Cela existe dans tous les outils industriels: SCADE + SSM, Simulink (discret) + StateFlow Aspects Automates de Modes (Maraninchi & all [6]): des automates dont les noeuds peuvent contenir des automates ou des équations Lustre Solution un peu plus générale et compilation par réécriture dans un noyau data-flow avec horloges (Colaço & Pouzet [3, 2]), cf. Lucid Synchrone Intégré à SCADE 6 a. a MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 29/41

30 let node weak(up, down) = ok where rec automaton Up -> do ok = true until down then Down Down -> do ok = false until up then Up end let node strong(up, down) = ok where rec automaton Up -> do ok = true unless down then Down Down -> do ok = false unless up then Up end Compilation: On ne traduit pas les automates (imbriqués et/ou mis en parallèle) en en faisant le produit à la compilation. Les automates sont traduits en équations data-flow, à base de -merge- et when. On s intègre alors à la chaîne de compilation existente vers du code séquentiel. MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 30/41

31 Application: compilation d Esterel en circuits booléens Principe: l évolution du point de contrôle du programme est encodé par un circuit booléen. Exemple: ABRO. every R do [ await A await B]; emit O; end every Après simplification (i.e., traduction dans le langage noyau), on obtient: await R; loop abort [ await A await B ]; emit O; halt when R end MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 31/41

32 Langage noyau p ::= emit s p; p P P loop p pause await tick await S abort half when S halt loop pause end abort p when s present s then p else p suspend P when s nothing signal s in p halt Remarque: Les deux constructions élémentaires du noyau Esterel sont les exceptions et la suspension. Cf. [G. Berry, Preemption in Concurrent Systems, FSTTCS 96]. On considère ici seulement la préemption qui correspond à un cas simple d exception et la suspension. MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 32/41

33 ABRO await R; -- 1 loop abort [ await A -- 2 await B -- 3 ]; emit O; halt -- 4 when R end R R A~B~R 3 B~R/O 1 R R 23 ~AB~R 2 AB~R/O A~R/O 4 Deux types de compilations pour Esterel automate explicite par évaluation symbolique de la sémantique opérationnelle. Code beaucoup trop gros. automate implicite, i.e., compilation en systèmes d équations boolénnes (circuits). MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 33/41

34 Compilation en circuit Principe de la traduction Chaque construction est traduite en un système d équations booléennes, i.e., un programme Lustre. des entrées S 1,..., S n ; des sorties S 1,..., S k. des entrées de contrôle: go et enable des sorties de contrôle: term et halt Correspond à une signature Lustre: node f(go, enable: bool; S1,...,Sn:bool) returns (term, halt: bool; S 1,...,S k: bool) MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 34/41

35 Règles de traduction emit S term = go; halt = false; S = go await S term = enable and wait and S; halt = enable and wait and not(s); wait = false -> pre go and halt p 1 p 2 (term 1, halt 1, S 1,...) = p 1 (go, enable,...); (term 2, halt 2, S 2,...) = p 2 (go, enable,...); halt = halt 1 or halt 2 ; term = term 1 or term 2 and not(halt); S = S 1 or S 2... MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 35/41

36 Règles de traduction p 1 ;p 2 (term 1, halt 1, S 1,...) = p 1 (go, enable, S 1,...); abort p when S loop p (term 2, halt 2, S 2,...) = p 2 (go, enable and not(halt 1 ),...); halt = halt 1 or halt 2 ; term = term 2 ; S = S 1 or S 2 (term 1, halt 1, S 1,...) = p 1 (go, enable and not(s),...); halt = halt 1 and not(s); term = term 1 or halt 1 and S (term 1, halt 1, S 1) = p 1 (go or term 1, enable,...); term = false; halt = halt 1 MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 36/41

37 Règles de traduction suspend p when S Réincarnation: (term 1, halt 1, S 1,...) = p 1 (go, enable and S, S 1,...); halt = halt 1 or S; term = term 1 loop signal S in [await T; emit S present S then emit O] end end Il y a ici deux instances différentes de S en même temps. MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 37/41

38 Trois solutions ont été étudiées. Solution 1: Dupliquer le code: loop signal S1 in [await T; emit S1 present S1 then emit O] end; signal S2 in [await T; emit S2 present S2 then emit O] end; end Couteux en taille de code/efficacité. Solution 2: Faire mieux en distinguant surface et profondeur. La surface d un programme est la partie qui correspond à la réaction au premier instant. La profondeur est la partir complémentaire. surface(await T ) = pause profondeur(await T ) = await immediate T surface(present S then emit O) = present S then emit O profondeur(present S then emit O) = nothing MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 38/41

39 loop signal S1 in [pause present S1 then emit O] end; signal S2 in [await immediate T; emit S2 nothing ] end; end Lire Constructive semantics of Esterel, G. Berry. Solution 3 Introduire un langage intermédiaire avec des gotopause. Lire De la sémantique opérationnelle à la spécification formelle de compilateurs: l exemple des boucles en Esterel. Thèse de doctorat, Olivier Tardieu. Le phénomène de ré-incarnation est très lié à l expressivité d Esterel. Il est intellectuellement amusant mais n est pas essentiel. Il disparait en imposant des contraintes de causalité plus fortes (d où l idée des gotopause de Tardieu. Il n existe pas avec les automates de mode, par exemple. MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 39/41

40 [1] Charles André. Representation and Analysis of Reactive Behaviors: A Synchronous Approach. In CESA, Lille, july IEEE-SMC. Available at: www-mips.unice.fr/ andre/synccharts.html. [2] Jean-Louis Colaço, Grégoire Hamon, and Marc Pouzet. Mixing Signals and Modes in Synchronous Data-flow Systems. In ACM International Conference on Embedded Software (EMSOFT 06), Seoul, South Korea, October [3] Jean-Louis Colaço, Bruno Pagano, and Marc Pouzet. A Conservative Extension of Synchronous Data-flow with State Machines. In ACM International Conference on Embedded Software (EMSOFT 05), Jersey city, New Jersey, USA, September [4] D. Harel. StateCharts: a Visual Approach to Complex Systems. Science of Computer Programming, 8-3: , [5] F. Maraninchi. The Argos Language: Graphical Representation of Automata and Description of Reactive Systems. In IEEE Workshop on Visual Languages, Kobe, Japan, october [6] F. Maraninchi and Y. Rémond. Mode-automata: a new domain-specific construct for the development of safe critical systems. Science of Computer Programming, (46): , MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 40/41

41 [7] Florence Maraninchi. Operational and compositional semantics of synchronous automaton compositions. In CONCUR, pages , [8] Florence Maraninchi and Yann Rémond. Argos: an automaton-based synchronous language. Computer Languages, (27):61 92, MPRI Systèmes Synchrones, Marc Pouzet 11 octobre 2013, page 41/41