Automates finis. porte

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1 utomtes finis Il s git d un modèle très souple, qui s dpte à des domines très différents en informtique. D une fçon générle, il sert à représenter les divers étts d un système (mécnique, électronique ou strit) et les trnsitions entre ces étts. L intérêt de ce modèle est qu il s ccompgne de nomreuses méthodes pour nlyser le comportement du système modélisé. Quelques digicodes Un premier digicode On imgine une sorte de digicode à deux touches (mrquées et ), qui déloque le outon d ouverture d une porte lorsqu on frppe n importe quelle suite de lettres qui se termine pr, et seulement l une de celles-ci. insi, les suites ou ou évidemment vont convenir, mis ps les suites ou. Pr conséquent, on peut dire que, prmi toutes les suites de lettres et possiles, ce digicode pour rôle de reconnître celles qui se terminent pr. Nous llons dessiner un schém ppelé un utomte fini pour modéliser le comportement de cette mchine. porte hque étt de l utomte symolise l prtie de l suite qui été frppée jusque là (ou, de fçon équivlente, celle qui reste à frpper). Lorsqu ucune touche n encore été frppée, le système se trouve dns l étt initil, et ttend l totlité de l suite. Puis l étt symolise le fit que l lettre vient d être frppée, et donc reste ttendu. L étt est tteint lorsque l suite vient d être tpée et qu on n ttend plus que, puis l étt lorsque ce sont respectivement les suites et. Enfin, on ccède à l étt 5 lorsque l suite été frppé en entier, on n ttend lors plus rien. L étt 5 ser donc l unique étt terminl de l utomte. Les trnsitions permettnt de psser d un étt u suivnt correspondent à l frppe d une touche, et sont étiquetées pr l lettre correspondnte. Sur le pln fonctionnel, le outon d ouverture de l porte est loqué lorsque l utomte se trouve dns les étts à et déloqué dns l étt 5. À ce stde, on otient le schém suivnt : 5 Il reste à compléter les trnsitions correspondnt ux cs où les lettres frppées ne forment ps l suite. u déprt, le système ttend dns l étt qu on tpe un, qui est l première lettre de. est pourquoi on met une trnsition étiquetée qui oucle de l étt initil sur lui-même : tnt que l utilisteur ne tpe ps un, l étt du système ne chnge ps (il ttend toujours un ). Ensuite, dns l étt, on sit que l lettre déjà été tpée, mis tnt que l utilisteur ne tpe que des et ps un, l écriture de n vnce ps : c est l rison de l oucle étiquetée sur cet étt. Dns l étt, c est l touche qui est ttendue, mis si l utilisteur tpe un, le système retourne à l étt : c est comme si on vit recommencé à écrire depuis le déut. De même si on tpe un lorsque le système se trouve dns l étt : il fut lors tout recommencer, y compris le initil, donc on retourne à l étt. Enfin, on rend compte de ce qui se produit si l utilisteur continue à tper des lettres lors que l utomte se trouve dns l étt 5 : un envoie vers l étt (l suite été tpée, et l suite est ttendue), et un envoie vers l étt (l suite été tpée, et l suite est ttendue). Finlement, voici l utomte qui modélise le comportement de ce premier digicode : 5

2 Notons que les étts et les trnsitions de l utomte n ont ps forcément une contreprtie mtérielle dns l ppreil, comme des pièces mécniques ou des composnts électroniques. En effet, un utomte modélise le comportement d un système, mis ps nécessirement son rchitecture interne. Un utre digicode On s intéresse mintennt à un digicode de même type, qui déloque le outon d ouverture de l porte pour toutes les suites de lettres et qui contiennent (u moins) deux consécutifs, et seulement pour celles-ci. insi, les suites, ou ou vont convenir, mis ps les suites ou. Tout d ord, l suite doit être reconnue. On commence donc vec le schém ci-dessous : Puis on complète l utomte vec les utres trnsitions. Notons que, dès que l suite été tpée une fois, l utilisteur doit pouvoir continuer à tper d utres lettres sns que le outon d ouverture de l porte ne se loque de nouveu : c est le sens de l oucle étiquetée, sur l étt terminl de l utomte., Un dernier digicode Pour terminer cette série d exemples introductifs, on modélise le comportement d un digicode à deux touches qui déloque le outon d ouverture de l porte pour toutes les suites de lettres et qui commencent pr, et seulement pour celles-ci. insi, les suites, ou vont convenir, mis ps les suites ou. Pour commencer, l suite doit évidemment être reconnue. De plus, dès que l suite été tpée, l utilisteur doit pouvoir continuer à tper d utres lettres sns que le outon d ouverture de l porte ne se loque de nouveu : comme dns le cs précédent, on modélise ce phénomène pr une oucle étiquetée pr, sur l étt terminl de l utomte. On otient à ce stde le schém ci-dessous :, On oserve que deux événements n pprissent ps sur ce schém : frpper un lorsque le système se trouve dns l étt et frpper un dns l étt. es deux événements mènent à une impsse, puisqu ucune suite commençnt pr ou pr ne permet de déloquer le outon d ouverture de l porte. Il y deux fçons d en tenir compte sur l utomte. L première consiste simplement à ne ps dessiner les trnsitions interdites : on se contente lors du schém ci-dessus. Dns ce cs, pr exemple, l suite de lettres n est ps reconnue, puisqu elle «se loque» près l première lettre, et ne permet donc ps d tteindre l étt terminl. L deuxième méthode pour tenir compte de ces impsses consiste à introduire un étt reut, dont on ne peut ps s échpper, et vers lequel on envoie les trnsitions interdites. On otient lors l utomte ci-dessous :,,

3 Qu est-ce-qu un utomte? Dns cette prtie, on précise les notions introduites dns les exemples précédents. i Étt hque étt du sytème est symolisé pr un étt de l utomte et représenté pr un cercle. On ttriue souvent un nom ou un numéro ux étts pour pouvoir les repérer. i e j Trnsition hque trnsition entre deux étts est représentée pr une flèche étiquetée : qund le système est dns l étt i, l trnsition e le fit psser dns l étt j. Étiquette e Les étiquettes des trnsitions symolisent les événements suis pr le système et sous l effet desquels il évolue. i Étt initil Un étt prticulier, repéré pr une flèche sns origine, modélise l étt dns lequel se trouve le système u déut de son évolution. i Étt(s) terminl(ux) Un ou des étt(s) prticulier(s) représente(nt) l ojectif tendu de l évolution du système. On utilise un doule cercle pour signler un étt terminl. Notons que l djectif «fini» ccolé u nom «utomte» souligne simplement le fit que les étts et les étiquettes pour un utomte donné doivent oligtoirement être en nomre fini. L évolution du système modélisé sous l effet d une suite d événements est visulisée pr une série de déplcements d étt en étt sur l utomte en suivnt les trnsitions correspondntes. On commence dns l étt initil. À prtir de cet étt initil, toute suite finie d événements outit à un certin étt. On distingue deux sortes de suites d événements : celles qui outissent à un étt terminl et les utres. Pr exemple, pour le premier digicode, on fit en sorte que les suites de lettres qui outissent à l étt 5 (terminl) soient celles qui se terminent pr et seulement elles. Pr conséquent, on peut considérer que cet utomte décrit une méthode permettnt de reconnître à coup sûr, prmi tous les suites de lettres (constituées de et de ) possiles, celles qui se terminent pr. est le concept sous-jcent à l notion d utomte fini : il s git d une description visuelle d un procédé permettnt de reconnître à coup sûr un ensemle de suites d événements possédnt une propriété commune prmi toutes les suites possiles (composées des mêmes événements). Dns notre exemple, il y exctement deux événements possiles : l utilisteur peut tper l lettre ou l lettre. Nturellement, les «événements» dépendent du système modélisé : détecter une pression sur l touche V, détecter l introduction d une pièce de cts, rencontrer un ostcle, lire l lettre m dns un fichier informtique, détecter qu un joueur vnce un pion, etc. À quoi servent les utomtes? On dit que le modèle des utomtes finis est très souple et s dpte à des domines très différents. vnt de donner de nouveux exemples, nous llons évoquer l ojectif de ces modélistions. On orde dns cette prtie des sujets plus difficiles, ussi on se contente d évoquer des pistes très générles sns entrer dns des explictions techniques. Le premier point à prendre en compte est le fit que les utomtes correspondnt à des systèmes réels sont souvent eucoup plus gros et compliqués que les exemples présentés ici. Il en résulte qu on ne peut en règle générle ps les visuliser glolement, ni les nlyser ou les triter à l min. On utilise à l plce des logiciels pour effectuer les différentes opértions décrites ci-dessous. ide à l friction À prtir de l description d un utomte, on peut en friquer un équivlent électronique, ou écrire un progrmme reconnissnt les mêmes suites d événements. Il existe des logiciels qui le font utomtiquement à prtir de l liste des étts et des trnsitions vec leurs étiquettes. On peut insi friquer un véritle digicode ou, comme on le verr plus loin, écrire un logiciel qui compte les points u tennis et fit retentir un signl sonore qund un des joueurs ggné un jeu.

4 Pr conséquent, l modélistion pr un utomte peut être l première étpe de l conception d une mchine ou d un progrmme. ette étpe ser ensuite suivie d une étpe de rélistion concrète. Nous vons rélisé une telle étpe de modélistion dns l première prtie à prtir de l description fonctionnelle d un digicode qui «déloque le outon d ouverture d une porte lorsqu on frppe n importe quelle suite de lettres qui se termine pr, et seulement l une de celles-ci». Équivlence Supposons qu on it otenu pr deux méthodes différentes les deux utomtes ci-dessous pour l modélistion d un même système On évidemment esoin de svoir si on ien ffire à des utomtes équivlents, c est-à-dire qui reconnissent exctement les mêmes mots. e n est en générl ps visile, même sur des petits exemples comme ici, et on imgine fcilement l difficulté de cette question pour des utomtes de quelques centines d étts. Il est donc très utile de svoir qu il existe une méthode progrmmle permettnt de répondre à l question. Dns ce cs prticulier, les deux utomtes reconnissent ien exctement les mêmes mots, mis nous demnderons u lecteur de ien vouloir nous croire sur prole. Simplifiction près voir modélisé un système, on se demnde souvent s il n urit ps été possile de fire plus simple (c est-à-dire d utiliser moins d étts). Il peut en effet rriver que certins étts soient inutiles cr inccessiles, ou encore que certins étts soient en rélité identiques, même si on ne s en est ps rendu compte à l construction. Pr exemple l utomte ci-dessous à guche peut-être simplifié en celui de droite cr certins étts sont en rélité les mêmes. omme on le voit sur le schém de droite, il s git des étts, et 9 d une prt, des étts et 8, mis ussi et 5 et enfin des étts, 6 et 7. Ici encore, une procédure utomtique permet de trouver l utomte le plus simple possile équivlent à un utomte donné , Réutilistion hque set u tennis se joue en plusieurs jeux, et chque mtch en plusieurs sets. Pour modéliser entièrement les évolutions possiles du score u cours d une prtie de tennis, il serit intéressnt de réutiliser l utomte qu on construit dns les exemples qui suivent pour le cs d un seul jeu, u lieu de reprendre entièrement l construction depuis le déut. Pour illustrer comment on peut se servir d utomtes déjà conçus pour en créer d utres plus compliqués, sur le schém ci-dessous, on dessiné à guche en hut un utomte qui reconnît les mots qui contiennent exctement deux fois l lettre (et des lettres en nomre quelconque, vnt, près ou entre les deux ). À guche en s, l utomte reconnît les mots qui contiennent exctement deux fois l lettre. Sur le schém de droite, on montre l première étpe de l cominison de ces deux utomtes pour en otenir un qui reconnît les mots qui contiennent ou ien exctement deux fois l lettre, ou ien exctement deux fois l lettre. On retrouve ien sur le schém de droite les deux utomtes de guche. On voit toutefois qu il y un prolème, puisque à prtir de l étt initil prtent deux flèches étiquetées et u lieu d une seule. Le reste du trvil consiste à modifier le schém pour éviter ce phénomène, mis nous ne l orderons ps ici.

5 De telles méthodes systémtiques de cominisons d utomtes permettent de construire des modèles de plus en plus volumineux à prtir de riques initiles reltivement simples. Vérifier des propriétés Il existe enfin des méthodes permettnt de tester diverses propriétés du système à prtir de son modèle utomte. Pr exemple, si on écrit le scénrio d un jeu, il est souhitle de s ssurer qu il n ps un défut qui fit que certines prties ne se terminent jmis, ou qui fit qu un des joueurs ne peut jmis ggner une prtie. Ici encore, il est possile de s en ssurer en effectunt certins clculs sur l utomte correspondnt u scénrio. On peut pr exemple vérifier que l utomte reconnît u moins un mot (le contrire voudrit dire que l étt terminl "le jeu est fini" ne serit jmis tteint). De même, on peut svoir si un utomte possède des oucles dont il est impossile de sortir. Pour mesurer l intérêt de cette propriété, il suffit d imginer que l utomte modélise le comportement d un répondeur téléphonique interctif qui n outirit jmis à vous mettre en reltion vec un interlocuteur humin. e qui est trop compliqué pour un utomte Le dernier point qu il fut évoquer ici est très importnt mis eucoup plus sutil : il se trouve qu il est possile de déterminer si un système est ou n est ps modélisle pr un utomte fini. Sns entrer dns les détils, signlons pr exemple qu un utomte, dns l mesure où il ne possède qu un nomre fini d étts, n est ps cple de compter u-delà d une certine vleur fixée. insi, on peut montrer qu il n existe ucun utomte fini qui reconnisse les mots qui contiennent utnt de que de (quelle que soit leur longueur), et uniquement ceux-ci. insi, les mots ou serient reconnus, mis ps, ni. oncrètement, cel montre qu on ne peut ps modéliser à l ide d un utomte fini les mchines qui vérifient (disons) à l piscine que le nomre totl de sorties à l fin de l journées est ien égl u nomre totl d entrées. On urit esoin pour cel d un modèle plus puissnt que celui des utomtes finis, mis ce serit le déut d une utre histoire. D utres utomtes Vérificteur de formt d horire Un des domines où l modélistion à l ide d utomtes finis est très utilisée est ce qu on ppelle l lgorithmique du texte u sens lrge : recherche documentire, tritement de texte, génomique, compiltion, etc. On prle lors de recherche de motifs ou d nlyse syntxique selon les domines d ppliction. On détille ci-dessous un exemple simple utilisé dns les ctivités proposées pour les élèves. Dns ce prgrphe, les noms des étts sont des lettres, pour ne ps créer de confusion vec les étiquettes dont certines sont des chiffres. On s intéresse à un formulire sur un site internet qui demnde d entrer un horire sous l forme HH:MM et vérifie si l vleur donnée est correcte vnt de donner ccès à l touche Entrée. Les horires cceptles vont de : à : 59, pr conséquent des expressions comme 5 : ou 8 : sont correctes, mis ps 5 :, ni : 5, ni 6 : 75, ni : 55. Le comportement du progrmme de vérifiction de l vleur donnée pr l internute peut être modélisé pr l utomte ci-dessous.,,,...,8,9 :,,,,,5,,...,8,9 D E F G,,,

6 Détillons le schém : il fut impértivement deux chiffres, suivis du symole :, puis encore deux chiffres. Le premier chiffre (celui des dizines des heures) ne peut prendre que les vleurs, ou. Si c est un ou un, lors le chiffre des unités correspondnt peut prendre n importe quelle vleur entre et 9, mis si c est un, lors les seuls chiffres des unités possiles sont,, et. Ensuite, le symole : est oligtoire. Pour les minutes, les seuls chiffres des dizines possiles vont de à 5, tndis que le chiffre des unités est quelconque. Pour outir à un modèle plus réliste, il nous reste à tenir compte du fit que le clvier de l ordinteur possède d utres touches que les chiffres et le symole :, d une prt, et que le formulire propose prolement une possiilité d effcer en cs de fusse mnœuvre, d utre prt. On introduit un étt supplémentire symolisnt le fit qu une touche non utorisée vient d être frppée, et dont on ne peut sortir qu en cliqunt sur effcer, ce qui rmène à l étt initil du système (il fut donc recommencer à frpper son horire). Pour ne ps trop compliquer le schém, on simplement étiqueté les trnsitions vec tout pour indiquer que toutes les touches ont le même effet et vec utre pour indiquer que toutes les touches utres que celles indiquées ont le même effet. On outit lors à l utomte suivnt : utre H utre utre effcer utre utre tout,,,...,8,9 utre :,,,,,5,,...,8,9 D E F G,,, utre L vrinte ci-dessous tient compte des secondes : on ttend un formt HH:MM:SS, vec des vleurs llnt de : : à : 59 : 59.,,,...,8,9 :,,,,,5,,...,8,9 D E F G,,, : J,,...,8,9 I,,,,,5 H

7 Vérificteur de dte On otient ien sûr un utomte très similire u précédent si on s intéresse à l vérifiction d une dte (u formt JJMM pr exemple) u lieu d un horire. Si l nture étit coopértive et si tous les mois vient jours, on otiendrit le schém ci-dessous, et il ne serit ps nécessire de s ttrder. G,,...,8,9,,...,8,9,,,...,8,9 E F I,,, D H L,,...,8,9 K,,...,8,9 J ependnt, le clendrier réel est ien plus compliqué. Il fut tenir compte des mois qui ont jours, du mois de février qui n que 8 jours, et 9 jours les nnées issextiles. L nnée étnt issextile, contrirement ux utres nnées multiples de (9 et pr exemple), on v se limiter à un clendrier vlle du er jnvier u décemre 99. O N V X,,,6,8 Z D 9 F,...,8,...,9 G,...,9 H J K L P Q S,,,5,6,7,8,9,,,...,9,,,,,5,6,7,8,9,, W,,5,7,9 Y,6,...,9,,8,...,9 E I M R,,5,7,8, T U

8 Pour comprendre ce schém, on repère les pssges oligés pr les signes qui correspondent à l séprtion entre les jours et les mois d une prt (entre les étts F et J, G et K, H et L et I et M) et entre les mois et les nnées d utre prt (entre les étts V et X et W et Y ). L prtie l plus simple de l utomte est celle qui v de l étt à l étt G, puis de l étt K à l étt W et enfin de l étt Y à l étt. Il s git du cs le plus générl : les jours à 8 se produisent pour les mois à et les nnées à 99. Tout le reste de l utomte correspond u tritement des cs prticuliers. Le numéro de jour se produit pour tous les mois suf celui de numéro, et ceci pour n importe quelle nnée : c est l prtie qui prt de l étt, et tteint l étt W en pssnt pr l étt H, puis rejoint l étt. Pr contre, le numéro de jour ne se produit que certins mois (pssge pr l étt I), et ceci pour n importe quel numéro d nnée (pssge pr l étt W ). Il reste à triter le numéro de jour 9 (pssge pr l étt F ) : pour n importe quel mois suf celui de numéro, il se produit pour n importe quelle nnée (étt W ). Pour le mois, on psse pr l étt X, et il reste à restreindre les numéros d nnées permettnt d tteindre l étt terminl à ceux des nnées issextiles (c est-à-dire ceux qui sont des multiples de ). Le tennis Le dernier type d exemples de modélistion d un système à l ide d un utomte fini concerne des processus complètement strits, comme les différentes étpes du scénrio d un jeu. On illustre ce domine pr un utomte modélisnt l évolution du score u cours d un jeu pendnt une prtie de tennis entre et o. Les étts correspondent ux différents scores possiles (comme -5, ou vntge ), et les évènements ou o représentent un point mrqué pr le joueur ou o respectivement. On otient le schém ci-dessous. - o jeu - o -5 o 5- o -5 o - o o v ég. o -5 o 5- o - o v. o - o 5- o o o - o o jeu oncrètement, lors de l conception d un nouveu jeu (pr exemple un futur jeu sur console, mis ps seulement), on peut modéliser à l ide d utomtes de ce type les différents scénrios envisgés, ou certines prties de ces scénrios. D une fçon plus générle, les digrmmes d utilistion que produisent les concepteurs de logiciels pour nlyser les futures interctions vec les usgers, ou ien entre les différents modules d un logiciel, sont ussi très souvent modélisles pr des utomtes finis.

9 Dernier exemple : une mchine à cfé De nomreuses mchines mécniques ou électroniques peuvent être représentées pr des utomtes finis. L pluprt des utomtes otenus dns l vie réelle sont évidemment eucoup plus compliqués que ceux qu il est possile de présenter ici. À titre d exemple supplémentire, on donne ci-dessous un utomte correspondnt à une mchine à cfé simplifiée. Elle n ccepte que les pièces de centimes et centimes. Un cfé coûte centimes. Qund le montnt est suffisnt (étt F ), elle ferme l fente permettnt d introduire des pièces, déloque un outon permettnt d otenir le cfé, rend éventuellement l monnie et retourne dns l étt initil si on ppuie sur le outon cfé. Si on glisse une pièce d un utre type que ou centimes (trnsitions utres), l mchine psse dns l étt, dont on ne peut sortir qu en ppuynt sur l touche nnuler, qui déclenche le rendu des pièces et le retour à l étt initil. nnuler utres E utres utres tout, F utres, D cfé

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