Mes histoires d amour avec les travaux de Maxime Crochemore. Gregory Kucherov LIFL/CNRS/INRIA, Lille, France

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1 Mes histoires d amour avec les travaux de Maxime Crochemore Gregory Kucherov LIFL/CNRS/INRIA, Lille, France Marne-la-Vallée, 26 octobre 2007

2 travaux de Maxime (données du 2/11/2006) 59 articles de revue 53 communications à des colloques 34 livres, chapitres de livres et de recueils 2 thèses et 13 rapports de recherche

3 Histoire 1 (vers 1993) Automate des suffixes

4 Recherche de motifs multiples avec jokers non-bornés

5 Recherche de motifs multiples avec jokers non-bornés recherche d expressions régulières k i=1 A w i1 A A w ili

6 Recherche de motifs multiples avec jokers non-bornés

7 Recherche de motifs multiples avec jokers non-bornés

8 Recherche de motifs multiples avec jokers non-bornés

9 Recherche de motifs multiples avec jokers non-bornés

10 Premières amours Maxime Crochemore, Transducers and repetitions, Theoretical Computer Science 45, 63-86, 1986 Maxime Crochemore, String matching with constraints, In Proc. Internat. Symp. on Mathematical Foundations of Computer Science, Lecture Notes in Computer Science, Vol. 324 (Springer, Berlin, 1988) p

11 Automate des suffixes u, v facteurs de w u w v ssi les positions de fin de u et de v coincident

12 Automate des suffixes u, v facteurs de w u w v ssi les positions de fin de u et de v coincident V = {[u] w u facteur de w} a E = {[u] w [ua] w u, ua facteurs de w, a A}

13 Automate des suffixes u, v facteurs de w u w v ssi les positions de fin de u et de v coincident V = {[u] w u facteur de w} E = {[u] w a [ua] w u, ua facteurs de w, a A} (V, E) est l automate minimal qui reconnait tous les suffixes de w

14 Automate des suffixes u, v facteurs de w u w v ssi les positions de fin de u et de v coincident V = {[u] w u facteur de w} E = {[u] w a [ua] w u, ua facteurs de w, a A} (V, E) est l automate minimal qui reconnait tous les suffixes de w (V, E) est un automate (généralement non-minimal) qui reconnait tous les facteurs de w

15 Automate des suffixes u, v facteurs de w u w v ssi les positions de fin de u et de v coincident V = {[u] w u facteur de w} E = {[u] w a [ua] w u, ua facteurs de w, a A} (V, E) est l automate minimal qui reconnait tous les suffixes de w (V, E) est un automate (généralement non-minimal) qui reconnait tous les facteurs de w (V, E) est de taille bornée par 2 w et peux être construit en temps O( w )!

16 DAWG : Directed Acyclic Word Graph A.Blumer, J.Blumer, D.Haussler, A.Ehrenfeucht, M.T.Chen, J.Seiferas, The smallest automaton recognizing the subwords of a text, Theoretical Computer Science 40, 31-55, 1985 a a b b A.Blumer, J.Blumer, D.Haussler, R.McConnell, A.Ehrenfeucht, Complete inverted files for efficient text retieval and analysis, Journal of the ACM 34, , 1987 a a a a DAWG pour l ensemble D = {ba, bbaa}

17 Les vertus du DAWG Le DAWG se prête bien à l ajout/suppression de mots de son support

18 Les vertus du DAWG Le DAWG se prête bien à l ajout/suppression de mots de son support Recherche de motifs multiples avec jokers non-bornés : O(( T + P ) log P ) [Kucherov&Rusinowitch 95]

19 Les vertus du DAWG Le DAWG se prête bien à l ajout/suppression de mots de son support Recherche de motifs multiples avec jokers non-bornés : O(( T + P ) log P ) [Kucherov&Rusinowitch 95] Dynamic Dictionary Matching [Amir&Farach 91, Amir et al 94, Idury&Schäffer 94] ajout/suppression d un mot p de dictionnaire en O( p log D ), recherche en O(( T + occ) log D )

20 Halte au monopole de l arbre des suffixes! Vive le pluralisme des structures! google scholar sort 3230 articles en reponse de la requête "suffix tree" et de l ordre de 200 en reponse de "acyclic word graph" ou "suffix automaton"

21 D autres structures d index Compact Directed Acyclic Word Graph M.Crochemore, R.Vérin. On Compact Directed Acyclic Word Graphs. Structures in Logic and Computer Science. Springer pp Factor oracle C.Allauzen, M.Crochemore, M.Raffinot. Factor oracle : a new structure for pattern matching. In : SOFSEM 99, vol LNCS pp Springer-Verlag M. Crochemore, L. Ilie, and E. Seid-Hilmi, Factor Oracles, Proc. of CIAA 06, LNCS 4094, Springer, 2006, Subsequence automaton J.-J.Hébrard, M.Crochemore. Calcul de la distance par les sous-mots. Informatique Theorique et Applications. 20 (4) pp

22 Histoire 2 (vers 1996) Morphismes sans carré

23 Répétitions p(w) : période minimale de w (min{p i w[i + p] = w[i]}) e(w) = w p(w) : exposant de w acaaca = (aca) 2 : carré ; acacac = (ac) 3 : cube ; accacca = (acc) 7 3, accaac = (acca) 3 2 w sans puissance α R si w n a pas de facteur u tel que e(u) α

24 Répétitions p(w) : période minimale de w (min{p i w[i + p] = w[i]}) e(w) = w p(w) : exposant de w acaaca = (aca) 2 : carré ; acacac = (ac) 3 : cube ; accacca = (acc) 7 3, accaac = (acca) 3 2 w sans puissance α R si w n a pas de facteur u tel que e(u) α il existe un mot infini sans carré sur un alphabet de 3 lettres (abacabcacb...) [Thue 1905]

25 Répétitions p(w) : période minimale de w (min{p i w[i + p] = w[i]}) e(w) = w p(w) : exposant de w acaaca = (aca) 2 : carré ; acacac = (ac) 3 : cube ; accacca = (acc) 7 3, accaac = (acca) 3 2 w sans puissance α R si w n a pas de facteur u tel que e(u) α il existe un mot infini sans carré sur un alphabet de 3 lettres (abacabcacb...) [Thue 1905] [Dejean 1972] : sur un alphabet de 3 lettres, il existe un mot infini sans puissance 7 + 4

26 Répétitions p(w) : période minimale de w (min{p i w[i + p] = w[i]}) e(w) = w p(w) : exposant de w acaaca = (aca) 2 : carré ; acacac = (ac) 3 : cube ; accacca = (acc) 7 3, accaac = (acca) 3 2 w sans puissance α R si w n a pas de facteur u tel que e(u) α il existe un mot infini sans carré sur un alphabet de 3 lettres (abacabcacb...) [Thue 1905] [Dejean 1972] : sur un alphabet de 3 lettres, il existe un mot infini sans puissance sur un alphabet de 2 lettres, il existe un mot infini sans puissance 2 + (overlap-free) ; Thue-Morse morphism µ(a) = ab, µ(b) = ba

27 Morphismes sans puissance morphisme µ sans puissance α : w est sans puissance α µ(w) est sans puissance α il est très difficile de décider si un morphisme donné est sans puissance α

28 Morphismes sans puissance morphisme µ sans puissance α : w est sans puissance α µ(w) est sans puissance α il est très difficile de décider si un morphisme donné est sans puissance α Des conditions nécessaires et suffisantes (étendant celles de Jean Berstel de 1979) qu un morphisme soit sans carré ont été établies dans Maxime Crochemore. Sharp characterization of square-free morphisms. Theoretical Computer Science. 18 (2) pp

29 Morphismes sans puissance morphisme µ sans puissance α : w est sans puissance α µ(w) est sans puissance α il est très difficile de décider si un morphisme donné est sans puissance α Des conditions nécessaires et suffisantes (étendant celles de Jean Berstel de 1979) qu un morphisme soit sans carré ont été établies dans Maxime Crochemore. Sharp characterization of square-free morphisms. Theoretical Computer Science. 18 (2) pp Corollary 5 Un morphisme µ : {a, b, c} {a, b, c} est sans carré si et seulement si pour tout mot w {a, b, c} de longueur 5, µ(w) est sans carré

30 Fréquence limite d une lettre dans les mots binaires sans puissance α Question : que peut-on dire de ρ min (α), la proportion minimale limite d une lettre dans un mot sans puissance α? Cas d alphabet binaire, α > 2 [Kolpakov&Kucherov 97, K&K&Tarannikov 98, Ochem 05]

31 Fréquence limite d une lettre dans les mots binaires sans puissance α Question : que peut-on dire de ρ min (α), la proportion minimale limite d une lettre dans un mot sans puissance α? Cas d alphabet binaire, α > 2 [Kolpakov&Kucherov 97, K&K&Tarannikov 98, Ochem 05] ρ min (α) = 1 2 for α (2, 7 3 ] et ρ min( ) < 1 2

32 Fréquence limite d une lettre dans les mots binaires sans puissance α Question : que peut-on dire de ρ min (α), la proportion minimale limite d une lettre dans un mot sans puissance α? Cas d alphabet binaire, α > 2 [Kolpakov&Kucherov 97, K&K&Tarannikov 98, Ochem 05] ρ min (α) = 1 2 for α (2, 7 3 ] et ρ min( ) < 1 2 infinité de points de discontinuité : 7 3, 17 7, 5 2,..., 41 16, 18 7,..., 3, 4,... et tous α N

33 Fréquence limite d une lettre dans les mots binaires sans puissance α Question : que peut-on dire de ρ min (α), la proportion minimale limite d une lettre dans un mot sans puissance α? Cas d alphabet binaire, α > 2 [Kolpakov&Kucherov 97, K&K&Tarannikov 98, Ochem 05] ρ min (α) = 1 2 for α (2, 7 3 ] et ρ min( ) < 1 2 infinité de points de discontinuité : 7 3, 17 7, 5 2,..., 41 16, 18 7,..., 3, 4,... et tous α N un autre intervalle constant : ( 41 16, 18 7 ]

34 Fréquence limite d une lettre dans les mots binaires sans puissance α Question : que peut-on dire de ρ min (α), la proportion minimale limite d une lettre dans un mot sans puissance α? Cas d alphabet binaire, α > 2 [Kolpakov&Kucherov 97, K&K&Tarannikov 98, Ochem 05] ρ min (α) = 1 2 for α (2, 7 3 ] et ρ min( ) < 1 2 infinité de points de discontinuité : 7 3, 17 7, 5 2,..., 41 16, 18 7,..., 3, 4,... et tous α N un autre intervalle constant : ( 41 16, 18 7 ] estimations pour ρ min (α) et ρ min (α + ) pour tous les points de discontinuité α (mais aucune valeur exacte n est connue!)

35 Fréquence limite d une lettre dans les mots de 3 lettres sans carré Cas d alphabet de 3 lettres, α = 2

36 Fréquence limite d une lettre dans les mots de 3 lettres sans carré Cas d alphabet de 3 lettres, α = 2 [Tarannikov 02] : 0, = ρ min = 0,

37 Fréquence limite d une lettre dans les mots de 3 lettres sans carré Cas d alphabet de 3 lettres, α = 2 [Tarannikov 02] : 0, = ρ min = 0, [Ochem 05] : 0, = ρ min = 0, , ρ max = = (en utilisant les critères de Crochemore!)

38 Fréquence limite d une lettre dans les mots de 3 lettres sans carré Cas d alphabet de 3 lettres, α = 2 [Tarannikov 02] : 0, = ρ min = 0, [Ochem 05] : 0, = ρ min = 0, , ρ max = = (en utilisant les critères de Crochemore!) [Khalyavin 07] : ρ min = !!

39 Histoire 3 (vers 1998) Recherche de répétitions

40 Genèse

41 Genèse Maxime Crochemore. An optimal algorithm for computing the repetitions in a word. Information Processing Letters. 12 (5) pp recherche de tous les puissances entières non-extensibles en O(n log n) optimalité de la borne (mots de Fibonacci)

42 Genèse Maxime Crochemore. An optimal algorithm for computing the repetitions in a word. Information Processing Letters. 12 (5) pp recherche de tous les puissances entières non-extensibles en O(n log n) optimalité de la borne (mots de Fibonacci) Maxime Crochemore. Recherche linéaire d un carré dans un mot. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 296 (18) pp utilisation des techniques de factorisation à la Lempel-Ziv et de fonctions d extension

43 Nombre de répétitions dans un mot il y a O(n 2 ) de carrés dans a n il peut y avoir Θ(n log n) de carrés primitifs Maxime Crochemore and Wojciech Rytter. Squares, cubes and time-space efficient string-searching. Algorithmica. 13 (5) pp

44 Répétitions maximales (runs) Répétitions maximale dans w = facteur de w d exposant 2 (pas nécessairement entier) et non-extensible à droite/à gauche

45 Répétitions maximales (runs) Répétitions maximale dans w = facteur de w d exposant 2 (pas nécessairement entier) et non-extensible à droite/à gauche aabaababaa

46 Répétitions maximales (runs) Répétitions maximale dans w = facteur de w d exposant 2 (pas nécessairement entier) et non-extensible à droite/à gauche aabaababaa aabaababaa a 2 a 2 a 2

47 Répétitions maximales (runs) Répétitions maximale dans w = facteur de w d exposant 2 (pas nécessairement entier) et non-extensible à droite/à gauche aabaababaa aabaababaa a 2 a 2 a 2 aabaababaa (aab) 7/3

48 Répétitions maximales (runs) Répétitions maximale dans w = facteur de w d exposant 2 (pas nécessairement entier) et non-extensible à droite/à gauche aabaababaa aabaababaa a 2 a 2 a 2 aabaababaa (aab) 7/3 aabaababaa (ab) 5/2

49 Répétitions maximales (runs) Répétitions maximale dans w = facteur de w d exposant 2 (pas nécessairement entier) et non-extensible à droite/à gauche aabaababaa aabaababaa a 2 a 2 a 2 aabaababaa (aab) 7/3 aabaababaa (ab) 5/2 L ensemble des répétitions maximales codent toutes les répétitions dans le mot

50 Recherche des répétitions maximales [ Apostoloco&Preparata 83 ] recherche des répétitions maximales à droite en O(n log n) [ Main&Lorentz 84 ] recherche de toutes les répétitions maximales en O(n log n) [ Main 89 ] recherche de toutes les répétitions maximales distinctes en O(n) [ Iliopoulos, Moore, Smyth 97 ] toutes les répétitions maximales dans les mots de Fibonacci en O(n) [ Kolpakov, Kucherov 99 ] il y a O(n) de répétitions maximales et on peut les calculer en O(n)

51 Recherche des répétitions maximales [ Apostoloco&Preparata 83 ] recherche des répétitions maximales à droite en O(n log n) [ Main&Lorentz 84 ] recherche de toutes les répétitions maximales en O(n log n) [ Main 89 ] recherche de toutes les répétitions maximales distinctes en O(n) [ Iliopoulos, Moore, Smyth 97 ] toutes les répétitions maximales dans les mots de Fibonacci en O(n) [ Kolpakov, Kucherov 99 ] il y a O(n) de répétitions maximales et on peut les calculer en O(n)

52 Borne sur le nombre des répétitions maximales la preuve de [K&K 99] est très technique et ne permet pas d extraire une constante multiplicative or, la conjecture de [K&K 99] est que le nb des répétitions maximales est au plus n la borne inférieure de 3 2φn a été prouvée dans [Franek,Simpson,Smyth 03] et conjecturée être la borne exacte objectif : meilleure borne sup et une preuve plus simple

53 Borne sur le nombre des répétitions maximales la preuve de [K&K 99] est très technique et ne permet pas d extraire une constante multiplicative or, la conjecture de [K&K 99] est que le nb des répétitions maximales est au plus n la borne inférieure de 3 2φn a été prouvée dans [Franek,Simpson,Smyth 03] et conjecturée être la borne exacte objectif : meilleure borne sup et une preuve plus simple [ Rytter STACS 06 ] 5n

54 Borne sur le nombre des répétitions maximales la preuve de [K&K 99] est très technique et ne permet pas d extraire une constante multiplicative or, la conjecture de [K&K 99] est que le nb des répétitions maximales est au plus n la borne inférieure de 3 2φn a été prouvée dans [Franek,Simpson,Smyth 03] et conjecturée être la borne exacte objectif : meilleure borne sup et une preuve plus simple [ Rytter STACS 06 ] 5n [ Puglisi,Simpson,Smyth 06 ] 3, 48n

55 Borne sur le nombre des répétitions maximales la preuve de [K&K 99] est très technique et ne permet pas d extraire une constante multiplicative or, la conjecture de [K&K 99] est que le nb des répétitions maximales est au plus n la borne inférieure de 3 2φn a été prouvée dans [Franek,Simpson,Smyth 03] et conjecturée être la borne exacte objectif : meilleure borne sup et une preuve plus simple [ Rytter STACS 06 ] 5n [ Puglisi,Simpson,Smyth 06 ] 3, 48n [ Rytter 06 ] 3, 44n

56 Borne sur le nombre des répétitions maximales la preuve de [K&K 99] est très technique et ne permet pas d extraire une constante multiplicative or, la conjecture de [K&K 99] est que le nb des répétitions maximales est au plus n la borne inférieure de 3 2φn a été prouvée dans [Franek,Simpson,Smyth 03] et conjecturée être la borne exacte objectif : meilleure borne sup et une preuve plus simple [ Rytter STACS 06 ] 5n [ Puglisi,Simpson,Smyth 06 ] 3, 48n [ Rytter 06 ] 3, 44n [ Crochemore&Ilie 06, MFCS 07] 1, 6n

57 Épilogue Qui est Maxime Crochemore?

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