Solution de l Examen de rattrapage de Maths 5 (année ) B. FARHI. z dz + z dz (I )

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1 Université A. Mira de Béjaia Faculté de echnologie Département S2 8 juin 23 Solution de l Examen de rattrapage de Maths 5 (année 22-23) B. FARHI Exercice (3 points) : En utilisant des paramétrisations, calculer l intégrale curviligne : z dz, où est le triangle (OAB), orienté positivement (voir la figure ci-contre). i B(+i) O A() X Solution : L intégrale z dz se décompose en : z dz = z dz + OA AB z dz + z dz (I ) BO Nous allons, dans ce qui suit, calculer les valeurs de chacune des 4 intégrales du membre droit de l égalité (I ) en utilisant des paramétrisations. Calcul de OA z dz : Sur OA, on a : z = t, avec t [,], d où z = t et dz = dt. L intégrale O Az dz se transforme donc en : [ t 2 ] z dz = t dt = = (a) 2 2 OA Calcul de AB z dz : Sur AB, on a : z = +i t, avec t [,]. D où : z = t et dz = i dt. L intégrale AB z dz se transforme donc en : AB z dz = ( i t)i dt = (i + t)dt = [i t + t 2 2 ] = 2 + i (b) Calcul de BO z dz : Sur BO, on a : z = t + i t = ( + i)t, avec t [,]. D où : z = ( i)t et dz = ( + i)dt. L intégrale BO z dz se transforme donc en : BO z dz = ( i)t ( + i)dt = 2t dt = [ t 2] = (c) En reportant les résultats de (a), (b) et (c) dans (I ), on obtient finalement : z dz = i.

2 B. FARHI Solution de l Examen de rattrapage de Maths 5 Exercice 2 (5 points) : Soit f une fonction holomorphe sur C, donnée par sa forme algébrique : u(x, y) + i v(x, y), où z = x + i y, u = Ref et v = Imf. On donne : u(x, y) = 2x 2 2y 2 2x y + 3x + y +.. Déterminer v(x, y) sachant que f (i) = 2i. 2. Ecrire f (z) en fonction de z. Solution :. Comme f est holomorphe sur C, les fonctions u et v satisfont les conditions de Cauchy-Riemann, qui sont : { u x = v y u y = v x. Mais on a : u u x (x, y) = 4x 2y + 3 et y (x, y) = 4y 2x +. D où : v (x, y) x = 2x + 4y...() v (x, y) y = 4x 2y (2) En intégrant () par rapport à x, on obtient : v(x, y) = (2x + 4y )dx = x 2 + 4x y x + c(y) (3) (où c(y) est une fonction de y). En reportant ceci dans (2), on obtient : 4x + c (y) = 4x 2y + 3, ce qui donne : c (y) = 2y + 3. D où l on tire : c(y) = ( 2y + 3)d y = y 2 + 3y + k (avec k R). En reportant ceci dans (3), on obtient : v(x, y) = x 2 + 4x y x y 2 + 3y + k = x 2 y 2 + 4x y x + 3y + k. (4) Il reste maintenant à déterminer la valeur de k. On a : f (i) = 2i u(,) + iv(,) = 2i { u(,) = v(,) = 2 { = 2 + k = 2 k =. En reportant cette valeur de k dans (4), on obtient finalement : 2. On a : v(x, y) = x 2 y 2 + 4x y x + 3y. u(x, y) + i v(x, y) = ( 2x 2 2y 2 2x y + 3x + y + ) + i ( x 2 y 2 + 4x y x + 3y ) = ( 2x 2 2y 2 + 4i x y ) ( 2x y + i(x 2 y 2 ) ) ( ) 3x + 3i y + ( y i x ) + }{{}}{{}}{{}}{{} =3z = z =2z 2 + = 2z 2 + i z 2 + 3z i z + = (2 + i)z 2 + (3 i)z +. =i z 2 + On constate que f est un polynôme de second degré et il est bien donc holomorphe sur C. 2

3 B. FARHI Solution de l Examen de rattrapage de Maths 5 Exercice 3 (6 points) : Déterminer le développement en série de Laurent de chacune des fonctions complexes suivantes autour du point singulier indiqué puis préciser la nature du point singulier en question ainsi que le résidu en ce point. ( ) i i) z 3 cos, z = ; z ii) z 5 ( + z 2) 2, z = ; iii) z cos(3z) sin(3z) + 2z z 5, z =. Solution : i) Le développement de aylor de la fonction cosinus au voisinage de s écrit : cos z = z2 En substituant dans ce développement z par i/z puis en multipliant par z 3, on obtient : ( ) i z 3 cos z ( ) = z 3 (i/z)2 + (i/z)4 (i/z) ! 4! 6! ( = z 3 + 2!z 2 + 4!z 4 + ) 6!z ! + z4 4! z6 6!... = z z + }{{} 24z + 6!z }{{} La partie analytique La partie principale L expression encadrée est le développement en série de Laurent de f autour de z =. On constate que la partie principale de ce développement comporte une infinité de termes ; ce qui montre que le point z = est une singularité essentielle de f. Le résidu de f en z = est le coefficient de (z z ) = z dans ce développement. On a donc : Res(f ; ) = 24. ii) Le développement de aylor de la fonction z z au voisinage de s écrit : z = +z +z2 +z En dérivant, on a : = + 2z + 3z 2 + 4z En substituant dans ce dernier z par ( z 2 ), on a : ( z) 2 ( + z 2 ) 2 = 2z2 + 3z 4 4z Il ne reste qu à diviser sur z 5 pour obtenir : z 5 2 z z }{{} 4z + 5z 3... }{{} La partie analytique La partie principale. Ce qui est le développement en série de Laurent de f autour de z =. On constate que la partie principale de ce développement comporte un nombre fini de termes. De plus, la plus petite puissance de (z z ) qui apparaît dans ce développement est visiblement α = 5. On en déduit donc que z = est un pôle d ordre 5 de f. Enfin, le résidu de f en z = est le coefficient de (z z ) = z dans ce développement. Il est donc égale à : Res(f ; ) = 3. 3

4 B. FARHI Solution de l Examen de rattrapage de Maths 5 iii) Les développements de aylor des deux fonctions cosinus et sinus au voisinage de sont respectivement donnés par : cos z = z2 2! + z4 z3... et sin z = z 4! 3! + z5... En substituant dans ces développements 5! z par 3z, on obtient : D où l on tire : cos(3z) = 32 z 2 2! + 34 z 4 4! z cos(3z) sin(3z) + 2z z 5 = z 5 { = z 5 z 32 z z 5 36 z 7 + 3z + 33 z 3 35 z 5 2! 4! 6! 3! 5!... et sin(3z) = 3z 33 z 3 3! + 35 z 5 5!... { z ( 32 z z 4 36 z 6 ) +... (3z 33 z 3 2! 4! 6! 3! } ( z 7 7! + + 2z = 4! 35 5! + 35 z 5 37 z 7 5! 7! ) ( 3 6 6! 37 7! ) } z ) z L expression encadrée est le développement de f en série de Laurent autour du point singulier z =. On constate que la partie principale de ce développement est nulle (inexistante). Ce qui montre que z = est une fausse singularité de f et que l on a par conséquent : Exercice 4 (6 points) : Res(f ; ) =. Soit f la fonction complexe à variable complexe, définie par : i z + 5 z 2 (z 2 + ).. Déterminer les singularités de f tout en précisant la nature de chacune d entre elles. 2. Calculer les résidus de f en chacune de ses singularités. 2i 3. En utilisant le théorème des résidus, calculer l intégrale curviligne γ f (z)dz, où γ est la courbe ci-contre. 2 i γ O 2 X 4. Soit R un nombre réel strictement positif et différent de. On note par le cercle de centre O et de rayon R, orienté positivement. Calculer, en distinguant les cas, l intégrale curviligne : f (z)dz. Solution :. Les points singuliers de f sont les points où f n est pas définie ; ce sont donc les nombres complexes z tels que : z 2 (z 2 + ) =. On a : z 2 ( z 2 + ) = z 2 = ou z 2 + = 4 z = ou z 2 = = i 2 z = ou z = ±i.

5 B. FARHI Solution de l Examen de rattrapage de Maths 5 Les points singuliers de f sont donc : z =, z = i et z 2 =. Déterminons maintenant la nature de chacun de ces points singuliers. Nature du point singulier z = : On a : lim f i z + 5 z (z)z2 = lim z z 2 + = 5. Ceci montre que z = est un pôle d ordre 2 (c est-à-dire un pôle double) de f. Nature du point singulier z = i : premier degré. On a : D où : Il s ensuit que : Nous allons d abord factoriser (z 2 + ) en produit de facteurs de z 2 + = z 2 i 2 = (z + i)(z i). i z + 5 z 2 (z + i)(z i) i z + 5 lim f (z)(z i) = lim z i z i z 2 (z + i) = 4 = 2i. Ce qui montre que z = i est un pôle d ordre (c est-à-dire un pôle simple) de f. Nature du point singulier z 2 = : En utilisant (5), on a : lim f (z)(z + i) = lim z z i z + 5 z 2 (z i) = 6 2i = 3i. Ce qui montre que z 2 = est un pôle d ordre (c est-à-dire un pôle simple) de f. 2. Calculons les résidus de f en chacun de ses points singuliers, qui sont tous des pôles. Calcul de Res(f ; ) : Comme z = est un pôle double de f, on a : d ( Res(f ; ) = lim f (z)z 2 ) ( ) i z + 5 i(z 2 + ) 2z(i z + 5) = lim z dz z z 2 = lim ( + z z 2 + ) 2 Calcul de Res(f ; i) : Comme z = i est un pôle simple de f, on a : Res(f ; i) = lim z i f (z)(z i) = 2i (déjà calculée). Calcul de Res(f ; ) : Comme z 2 = est un pôle simple de f, on a : = i. (5) Res(f ; ) = lim z f (z)(z + i) = 3i 3. Le chemin γ est bien fermé et orienté positivement et la fonction f est rationnelle donc holomorphe sur C sauf en ses points singuliers, qui sont z =, z = i et z 2 =. En particulier, f est continue sur γ et holomorphe à l intérieur de γ, sauf aux points : z = i et z 2 = (remarquer que le point z = est à l extérieur de γ). On a donc, d après le théorème des résidus : γ 2 f (z)dz = 2πi ( Res(f ; i) + Res(f ; ) ) = 2πi(2i 3i) = 2π, (déjà calculée). 2i i γ O 2 X soit γ f (z)dz = 2π. 5

6 B. FARHI Solution de l Examen de rattrapage de Maths 5 4. La valeur de l intégrale f (z)dz dépend de la position des points singuliers de f par rapport au cercle (à savoir si ces points sont à l intérieur ou à l extérieur de ). Nous distinguons les deux cas suivants : 2i er cas (R < ) : er cas (si R < ) : Dans ce cas, le seul point singulier de f qui se trouve à i l intérieur de est z =. D après le théorème des résidus, on a : f (z)dz = 2πi Res(f ; ) = 2πi(i) = 2π. 2 O 2 X 2 nd cas (si R > ) : Dans ce cas, les points singuliers de f se trouvent tous à l intérieur de. On a donc, d après le théorème des résidus : f (z)dz = 2πi ( Res(f ; ) + Res(f ; i) + Res(f ; ) ) = 2πi (i + 2i 3i) =. 2 2i i O 2 2 nd cas (R > ) : X FIN 6