Grandeurs sinusoïdales

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1 I. Les différents types de signaux Grandeurs sinusoïdales ignal variable En régime variable, les courants et les tensions sont des signaux variant avec le temps ignal périodique n signal est périodique lorsqu il se reproduit identiquement à lui-même pendant des intervalles de temps égaux appelés périodes ignal alternatif n signal alternatif prend des valeurs tantôt positives, tantôt négatives. a valeur moyenne est nulle ignal sinusoïdal n signal sinusoïdal est un signal alternatif symétrique dont la représentation graphique est une sinusoïde ignal variable t ignal périodique t max -max ignal alternatif t ignal sinusoïdal t 1

2 ourquoi étudiera-t-on principalement le signal sinusoïdal? ous les signaux qui arrivent aux bornes des appareils sont délivrés par des générateurs ou moteurs (rotation cyclique) : délivrance d un signal périodique (sinusoïdal) Distribution de l énergie électrique en France sous la forme de tensions et de courants sinusoïdaux de fréquence 5Hz. ous les signaux (triangulaire, carré ) peuvent être décomposés en une somme de signaux sinusoïdaux (ransformée de Fourier)

3 II. Le régime sinusoïdal Les grandeurs sinusoïdales sont des grandeurs périodiques particulières dont l étude est importante en électronique et en électrotechnique. ar ailleurs, les tensions électriques délivrées par le réseau d EDF sont elles-mêmes sinusoïdales, Les valeurs instantanées d une tension et d un courant sinusoïdaux sont des fonctions sinusoïdales du temps, ce qui se traduit par des équations horaires : =. sin ( + ) =. sin ( + ) u(t) max t - M et I M sont les valeurs maximales de u(t) et de i(t) - (t + ) est la phase instantanée - la pulsation (rd/s) avec = f = / - sont les phases à l origine des temps de u(t) et de i(t) - = est la différence de phase entre u(t) et i(t) - En électrotechnique la tension u(t) est caractéristique du réseau (choisie comme référence des phases), = 3

4 Caractéristiques du signal sinusoïdal Grandeurs sinusoïdales hénomène périodique et période n phénomène est périodique si il se reproduit identiquement pendant des intervalles de temps égaux appelés périodes. La période est donc une durée. Le symbole de la période est. La période s exprime en secondes. Fréquence La fréquence d un phénomène périodique est égale au nombre de périodes par secondes. Le symbole de la fréquence est f. La fréquence s exprime en Hertz. f 1 f s exprime en Hertz s exprime en secondes ulsation Le symbole de la pulsation est ω. La pulsation s exprime en rad.s -1. * f ω s exprime en rad.s -1 f s exprime en Hertz s exprime en secondes 4

5 II.1. Valeurs caractéristiques La valeur moyenne d un signal périodique est donnée par : = 1. (Dans le cas d un signal sinusoïdal, la valeur moyenne est nulle) La valeur icace d un signal périodique est donnée par : = 1. (Dans le cas d un signal sinusoïdal, la valeur icace est nulle = ou = ) 5

6 II.. eprésentations des grandeurs sinusoïdales Grandeurs sinusoïdales FENEL A toute grandeur sinusoïdale (de pulsation ), on peut associer un vecteur tournant à la vitesse angulaire, de module égal à la valeur icace de la grandeur, On représente ce vecteur à l origine des temps, Il présente alors avec l axe de référence des phases [ox) un angle orienté égal à la phase à l origine de la grandeur (c est le vecteur de FENEL associé). our simplifier la représentation des vecteurs de Fresnel, on choisit de les représenter à t=, ce qui ne change en rien le résultat final. y + φ t cos( t ) s1 1max 1 t cos( t ) s max φ 1 x Nombre complexe associé A toute grandeur sinusoïdale, on peut associer un nombre complexe (module = valeur icace et argument = phase à l origine) : = ( ; ) = ( ; ) 6

7 exemple : = 3. sin () =3 V =. sin ( 6 ) x Nombre complexe associé = A 6 A toute grandeur sinusoïdale, on peut associer un nombre complexe (module = valeur icace et argument = phase à l origine), pour l exemple : = 3 ; = 3 = ; 6 = 3./ 7

8 Déphasage du signal sinusoïdal φ est le déphasage de s par rapport à s1 Grandeurs sinusoïdales 1 er cas : si φ > alors s est en avance sur s 1 eprésentation temporelle eprésentation vectorielle eprésentation complexe s t s 1 1max cos t t t ) max cos( s s 1 (t) (t) t y φ 1max + x s1 s 1max max s arg s 1 e e jt j( t ) ème cas : si φ < alors s est en retard sur s 1 eprésentation temporelle s t s 1 1max cos t t t ) max cos( s s 1 (t) (t) t eprésentation vectorielle y + 1max φ x eprésentation complexe s1 s 1max max s arg s 1 e e jt j( t ) 8

9 a. oit z le nombre complexe z=a+jb z Module a b arg ( z) Argument arctan b a Axe des imaginaires b eprésentation graphique φ Axe des réels a z b. Nombre réel oit z 1 un nombre réel alors z 1 =a Module Argument z1 a a 1 arg ( z 1 ) Axe des imaginaires z b a oit z un imaginaire pur alors z =jb Module Argument z z 1 c. Nombre imaginaire pur b Axe des réels b arg ( z ) 9

10 III. Les dipôles passifs linéaires La résistance i (t) eprésentation temporelle u * i u (t) u (t) : valeur de la tension aux bornes d une résistance à l instant t (en Volts) i (t) : valeur de l intensité dans une résistance à l instant t (en Ampères) : valeur de la résistance (en Ohms Ω) eprésentation vectorielle I u i u i Dans une résistance tension et courant sont en phase eprésentation complexe Z u i 1

11 Le condensateur idéal i C (t) Grandeurs sinusoïdales C u C (t) eprésentation temporelle i C C * duc dt u C (t) : valeur de la tension aux bornes du condensateur à l instant t (en Volts) i C (t) : valeur de l intensité dans le condensateur à l instant t (en Ampères) C : valeur du condensateur (en Farad F) eprésentation vectorielle I C * C C I C Dans un condensateur idéal, la tension est en retard de π/ par rapport au courant eprésentation complexe C Z C j 1 1 u C * ic jc C jc 11

12 La bobine idéale i L (t) Grandeurs sinusoïdales L eprésentation temporelle u L (t) u L L* dil( t) dt u L (t) : valeur de la tension aux bornes de la self à l instant t (en Volts) i L (t) : valeur de l intensité dans la self à l instant t (en Ampères) L : valeur de l inductance de la self (en Henry H) eprésentation vectorielle L L I L I L L Dans une bobine idéale, la tension est en avance de π/ par rapport au courant eprésentation complexe Z L jl u L jl i L 1

13 III. uissances en régime alternatif III.1. uissance active 1. Définition La puissance active (en Watts) est la puissance consommée par la partie résistive du dipôle. 1 I cos I cos. Dans une résistance I et donc I 3. Dans une inductance idéale donc cos donc 4. Dans un condensateur idéal donc cos donc ne inductance idéale et un condensateur idéal ne consomment pas de puissance active 13

14 III.. uissance réactive Grandeurs sinusoïdales 1. Définition Q 1 sin sin I I La puissance réactive s exprime en VA (Volts Ampères éactifs). Dans une résistance donc sin donc Q ne résistance ne consomme pas de puissance réactive. 3. Dans une inductance idéale et ne inductance consomme de la puissance réactive. LI donc Q LI L I C 4. Dans un condensateur idéal et I C donc Q C n condensateur fournit de la puissance réactive. 14

15 III.. uissance apparente Grandeurs sinusoïdales Définition La puissance apparente s exprime en VA (Volts Ampères) 1 I I Q elation entre puissance apparente et puissances active et réactive riangle des puissances φ Q cos tan Q Q 15

16 Calcul de la puissance totale à partir des puissances partielles n récepteurs Générateur 1 3 Q 1 Q Q 3 n Q n L installation électrique consomme une puissance active et absorbe ou fournit une puissance réactive Q telles que n i i1 n Q Q i i1! n i i1 Q

17 Facteur de puissance our un dipôle linéaire en régime sinusoïdal k uissance active uissance apparente cos Dans le cas idéal (pas de pertes sur les lignes de transmission) : k=1 our améliorer k, il suffit de mettre en parallèle sur la ligne alimentant l installation: ne capacité dans le cas où l installation absorbe de la puissance réactive ne inductance dans le cas où l installation fournit de la puissance réactive

18 Composant s idéaux eprésentatio n temporelle eprésentatio n vectorielle eprésentatio n complexe Déphasage tension/coura nt uissance active uissance réactive uissance apparente u * i I I I Z I Q I L dil ul L* dt I L L L L I L Z L jl jl L I L Q LI L Q C duc ic C * dt I C C I C * C C Z C j 1 jc C 1 jc * C I C Q C I C n i i1 n Q Q i i1 Q k cos

19 Exercices Grandeurs sinusoïdales 1/ Deux récepteurs sont branchés en série sous 4V, 5Hz. Le premier récepteur inductif est équivalent à une résistance 1 = 15 en série avec une inductance L =,5 H ; le deuxième récepteur capacitif est équivalent à une résistance = 15 en série avec une capacité C = 15 µf. - Calculer les impédances complexes de chaque récepteur, puis l impédance complexe équivalente du montage - En déduire la valeur du courant qui traverse le circuit. uis calculer les tensions complexes aux bornes de chaque récepteur. / Les deux récepteurs précédents sont maintenant branchés en parallèle sous 4V,5Hz. - Calculer l impédance équivalente du groupement, - Calculer les courants complexes dans chaque branche du circuit. 19

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