fonctions usuelles logarithmes et exponentielles t 1 < e x < 1 + x y

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1 fonctions usuelles logarithmes et exponentielles Exercice 1 Calcul de limite ( ) ( ) ) Montrer que : x > 0, x 1 x < ln(1 + x) < x En déduire lim n n 1 + n (1 + nn Exercice Dérivées de exp( 1/x) On pose f(x) = exp( 1/x) si x > 0 et f(0) = 0 1) Montrer que f est de classe C sur R +, et que f (n) (x) est de la forme P n (x)x n exp( 1/x) où P n est une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à n 1 (n 1) ) Montrer que f est de classe C en 0 + 3) Montrer que le polynôme P n possède n 1 racines dans R + Exercice 3 (1 + 1/t) t ( ) t 1) Montrer que : t > 1, < e < t ) Montrer que : x, y > 0, ( 1 + x y ) y < e x < ( ) t t 1 ( ) x+y 1 + x y Exercice 4 ln(1 + ax)/ ln(1 + bx) R + R Soient 0 < a < b Montrer que la fonction f : ln(1 + ax) x est croissante ln(1 + bx) Exercice 5 Inégalité Soient 0 < a < b Montrer que : x > 0, ae bx be ax > a b Exercice 6 Racine d une somme d exponentielles Soient 0 < a 1 < a < < a p des réels fixés 1) Montrer que pour tout réel a > a p il existe un unique réel x a > 0 solution de : a x a x p = a x ) Pour a < b, comparer x a et x b 3) Chercher lim a + x a puis lim a + x a ln a Fonctions hyperboliques Exercice 7 Formules d addition pour les fonctions hyperboliques Calculer ch(a + b), sh(a + b), th(a + b) en fonction de ch a, sh a, th a, ch b, sh b, th b Exercice 8 Simplification de a ch x + b sh x Soient a, b R non tous deux nuls 1) Peut-on trouver A, ϕ R tels que : x R, a ch(x) + b sh(x) = A ch(x + ϕ)? ) Peut-on trouver A, ϕ R tels que : x R, a ch(x) + b sh(x) = A sh(x + ϕ)? Exercice 9 Somme de ch Calculer n k=0 ch(kx) Exercice 10 Somme de sh Soit a R Résoudre : sh a + sh(a + x) + sh(a + x) + sh(a + 3x) = 0 Exercice 11 Somme de th Soit x R Vérifier que th x = coth x coth x En déduire la convergence et la somme de la série de 1 terme général th( 1 n x) n usuellestex lundi 3 août 010

2 Exercice 1 Somme de 1/ sh Soit x R Vérifier que 1 sh x = coth x coth x En déduire la convergence et la somme de la série de terme général 1 sh( n x) Exercice 13 Polynômes de Chebicheff 1) Pour n N, on pose f n (x) = cos(n arccos x) et g n (x) = des fonctions polynomiales ) Même question avec h n (x) = ch(n argch(x)) et k n (x) = sin(n arccos x) Montrer que f 1 x n et g n sont sh(n argch(x)) x 1 3) Établir des relations entre les polynômes associés à f n, g n, h n et k n Exercice 14 ch x + ch y = a, sh x + sh y = b Soient a, b R Étudier l existence de solutions pour le système : Exercice 15 Relation entre les fonctions hyperboliques et circulaires Soit y ] π, π [ On pose x = ln(tan( 1 y + π 4 )) Montrer que th 1 x = tan 1 y, th x = sin y et ch x = 1 cos y Exercice 16 argth((1 ( + 3 th x)/(3 ) + th x)) Simplifier argth th x 3 + th x Exercice 17 Équation Résoudre argch x = argsh(x 1 ) Exercice 18 Calcul de primitives Déterminer des primitives des fonctions suivantes : 1) f(x) = 1 x + x + 1 ) f(x) = 1 x + x 1 Fonctions circulaires inverses Exercice 19 arcsin et arccos à partir de arctan Définir arcsin x et arccos x à l aide de la fonction arctan Exercice 0 Formules d addition Soient a, b R Simplifier arctan a + arctan b Exercice 1 arcsin x = arccos 1 3 arccos 1 4 Résoudre l équation : arcsin x = arccos 1 3 arccos 1 4 Exercice arcsin Soit x = arcsin Calculer cos 4x et en déduire x 4 { ch x + ch y = a sh x + sh y = b usuellestex page

3 Exercice 3 arctangentes 1) Simplifier arctan 1 x 1 + x ) Simplifier arctan 1 x 1 + x 3) Simplifier arctan x 1 x x + 1 x 4) Simplifier arctan x x 5) Simplifier arctan 1 x arctan + arctan( 1 + x x) x x 1 + arctan x + 1 x Exercice 4 arcsin x + arcsin f(x) = π 6 Existe-t-il une fonction f : D R R telle que : x D, arcsin x + arcsin f(x) = π 6? Exercice 5 Simplifications 1) Simplifier cos(3 arctan x) et cos ( 1 arctan x) pour x R ) Simplifier arccos(cos x) 1 arccos(cos x) pour x [0, π] 3) Simplifier x arcsin 1 + sin x pour x [ π, π] 4) Simplifier cos(arctan(sin(arctan 1 x ))) Exercice 6 Équation ( Résoudre : arccos 1 x 1 + x ) ( + arcsin Exercice 7 Équations aux arctan Résoudre : 1) arctan x + arctan 3x = π 4 ) arctan x 1 x + arctan x + 1 x + = π 4 x 1 + x 3) arctan 1 x + arctan x 1 x + 1 = π 4 4) arctan(x 3) + arctan(x) + arctan(x + 3) = 5π 4 ) ( arctan Exercice 8 Sommes remarquables 1) Montrer que : 4 arctan 1 5 arctan 1 39 = π 4 ) Montrer que : arcsin arcsin arcsin 65 = π x 1 x Exercice 9 Sommes remarquables 1) Montrer que : x R, arctan x + arctan ( 1 + x x ) = π ) Montrer que : x ]0, 1], arctan 1 x + arcsin(x 1) = π x ) = π 3 Exercice 30 arctan((x sin a)/ cos a) ( ) ( ) Soit a [0, π (x sin a) cos a [ On pose f(x) = arcsin x et g(x) = arctan x sin a x sin a + 1 cos a Vérifier que f est bien définie, calculer sin(g(x)) et comparer f(x) et g(x) Exercice 31 Équivalent de arccos(1 x) A l aide d un changement de variable judicieux, trouver lim x 0 + Exercice 3 Inégalité Montrer que : x ] 1, 1[, arcsin x x 1 x arccos(1 x) x usuellestex page 3

4 Divers Exercice 33 Centrale MP 000 Soit f : R + R + telle que : x, y > 0, f(xf(y)) = yf(x) et f(x) x ) Montrer que f est involutive ) Montrer que f conserve le produit Que peut-on dire de la monotonie de f, de sa continuité? 3) Trouver f usuellestex page 4

5 solutions Exercice 3 1) Étudier les logs ) Idem Exercice 4 f (x) f(x) = a (1 + ax) ln(1 + ax) b (1 + bx) ln(1 + bx) Pour x 0 fixé, la fonction t t (1 + tx) ln(1 + tx) est décroissante Exercice 6 ( ) x ( ) x 1) Étude de x a1 ap + + a a ) x a > x b 3) x a l Si l > 0, a xa +, mais a xa axa p a l a l p Donc l = 0, et x a ln a ln p Exercice 8 1) Oui ssi a > b ) Oui ssi a < b Exercice 9 ch(nx/) sh((n + 1)x/) = sh(x/) Exercice 10 x = 3 a Exercice 11 coth x 1 x Exercice 1 coth x 1 Exercice 13 1) f 0 (x) = 1, f 1 (x) = x, f n+1 (x) + f n 1 (x) = xf n (x) g 0 (x) = 0, g 1 (x) = 1, g n+1 (x) + g n 1 (x) = xg n (x) ) h 0 (x) = 1, h 1 (x) = x, h n+1 (x) + h n 1 (x) = xh n (x) k 0 (x) = 0, k 1 (x) = 1, k n+1 (x) + k n 1 (x) = xk n (x) 3) f n = h n, g n = k n = 1 n f n Exercice 14 Poser X = e x, Y = e y : X + Y = a + b, XY = a + b a b Il y a des solutions si et seulement si a b + 4 Exercice 16 = x + ln Exercice 17 x = 5 4 Exercice 18 ( 1) F (x) = argsh x + 1 ) 3 ) F (x) = 1 ln 5 x x + 1 Exercice 19 ( ) arcsin x = arctan x 1 x usuellestex page 5

6 Exercice 0 ( ) arctan a + arctan b arctan a + b (mod π) 1 ab Exercice 1 x = Exercice cos 4x = sin x x = 3π 10 Exercice 3 π 1) x > 1 : 4 arctan x, x < 1 : 3π 4 arctan x ) = 1 arccos x 3) 1 x < 1 : arcsin x + 3π 4, 1 < x 1 : arcsin x π 4 4) = π 4 5) = π si 0 < x < 1, = 0 si x < 0 ou x > 1 Exercice 4 D = [ 1, 3 ], f(x) = 1 x x 3 1 x Exercice 5 1) cos(3 arctan x) = 1 3x (1 + x ) 3/ cos ( 1 arctan x) = 1 + x x ) = 0 si 0 x π, = x π si π x π, = 3π x si π x 3π, = 0 si 3π 3) = x + π 4 si π x π, = π 4 si π x π, = x 3π 4 si π x π 4) = x + 1 x + x π Exercice 6 Si x < 1, f(x) = 8 arctan x π Si 1 < x < 0, f(x) = 4 arctan x Si 0 < x < 1, f(x) = 4 arctan x Si x > 1, f(x) = π S = { 3, 1/ 3, 1/ 3} Exercice 7 1) x = 1 6 ) x = ±1/ 3) x ], 1[ ]0, + [ 4) x 3 3x 1x + 10 = 0 x {5, 1 ± 3} Seule la solution x = 5 convient Exercice 30 sin(g(x)) = sin(f(x)) f(x) = π g(x) si x sin a cos a, f(x) = g(x) si sin a cos a x sin a + cos a, f(x) = π g(x) si x sin a + cos a Exercice 33 1) Pour x = 1 on a f f(y) = yf(1) donc f est injective et pour y = 1 : f(xf(1)) = f(x) d où f(1) = 1 ) f(xy) = f(xf(f(y))) = f(y)f(x) Pour 0 < x < 1 on a f(x n ) = f(x) n + donc f(x) > 1 ce qui entraîne par morphisme la n décroissance de f Enfin f est monotone et f(]0, + [) = ]0, + [ donc f n a pas de saut et est continue 3) En tant que morphisme continu, f est de la forme x x α avec α R et l involutivité et la décroissance donnent α = 1 usuellestex page 6