TECHNIQUES D INTÉGRATION

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1 ANNEXE A TECHNIQUES D INTÉGRATION A - Produit d une exponentielle par un polynôme On cherche à intégrer une fonction du type x e ax Px) où a R et P est une fonction polynomiale. Une première méthode qui convient surtout si le degré de P est bas) consiste à faire plusieurs intégrations par parties successives dans lesquelles on dérive le polynôme et on intègre l exponentielle. Une autre méthode consiste à chercher une primitive sous la forme x e ax Qx) où Q est une fonction polynomiale de même degré que P. On veut calculer I x + 3)e x. On intègre par parties : I x + 3) e x x + 3)e x] + x e x x + 3)e x] + xe x] e x] 5e + 3 e + 9e + 3 e + 3e e x Sinon, on cherche une primitive F sous la forme : Fx) Ax + Bx + C)e x,

2 Annexe A - Techniques d intégration alors on a pour tout x : F x) Ax Bx C + Ax + B)e x Ax + A B)x + B C))e x, d où A, A B c est-à-dire B et B C 3 soit C 7. On a donc pour tout x : et il reste à évaluer l intégrale : Fx) x x 7)e x I x x 7)e x] 3e + 7. B - Produit d une exponentielle par un sinus ou un cosinus On cherche à intégrer une fonction du type x e ax Acosωx) + Bsinωx) ). Une première méthode consiste à faire deux intégrations par parties successives pour retrouver l expression de départ et on obtient alors le résultat en regroupant les termes. Une autre méthode consiste à chercher une primitive sous la forme x e ax αcosωx) + βsinωx) ). On veut calculer I sinx)e x. En intégrant deux fois par parties, on obtient : I sinx) e x sinx)e x] π e π + I ) d où 5I e π + soit I 5 e π +. cosx) e x sinx)e x] π cosx)e x] π Sinon, on cherche une primitive F sous la forme : alors on a pour tout x : Fx) αcosx) + βsinx) ) e x, sinx)e x F x) αcosx) + βsinx) αsinx) + βcosx) ) e x α + β)cosx) + β α)sinx) ) e x, d où : { α + β α + β soit { α + β 5β, 7-8 Sébastien PELLERIN

3 C - Produits de fonctions cosinus et sinus 3 ce qui donne α 5 et β 5 d où : Fx) ) sinx) cosx) e x 5 et il reste à évaluer l intégrale : ) ] I sinx) cosx) e x π 5 ) e π +. 5 C - Produits de fonctions cosinus et sinus On cherche à intégrer une fonction du type x cos p ωx)sin q ωx) où ω R et p, q) N. Tout d abord, quitte à effectuer le changement de variable t ωx, on peut supposer que ω i.e. on cherche à intégrer une fonction du type x cos p x)sin q x) où p, q) N. C. - Cas où au moins l une des deux puissances est impaire En utilisant la relation cos x) + sin x), on peut se ramener à une combinaison linéaire d expressions du type cos n x)sinx) ou cosx)sin n x). On reconnaît alors au signe près) une combinaison linéaire d expressions du type ux) n u x). On veut calculer I cos 5 x)sin x), on écrit : I cosx)cos x)) sin x) cosx) sin x)) sin x) cosx) sin x) + sin x))sin x) cosx)sin x) cosx)sin x) + cosx)sin x) ) 3 sin3 x 5 sin5 x) + 7 sin7 x) ] π Sébastien PELLERIN 7-8

4 Annexe A - Techniques d intégration C. - Cas où les deux puissances sont paires Dans ce cas, on linéarise l expression à intégrer pour se ramener à une combinaison linéaire de termes du type coskx) ou sinkx) ; on utilise pour cela les formules d Euler cosx) eix + e ix et sinx) eix e ix. i On veut calculer I cos x), on écrit pour tout x : e cos ix + e ix x) ) e ix + e 3ix e ix + e ix e ix + e ix e 3ix + e ix) e ix + e ix) + e ix + e ix) ) + ) cosx) + 8cosx) + 8 cosx) + cosx) + 3 8, d où : I 8 cosx) + cosx) + 3 8) 3 sinx) + sinx) + 3 ] π 8 x 3π. D - Primitives d une fraction rationnelle D. - Principe de la décomposition en éléments simples On cherche à intégrer une fraction rationnelle F c est-à-dire un quotient de deux polynômes. Tout d abord, quitte à effectuer la division euclidienne du numérateur par le dénominateur, on peut écrire F A + B C où A,B et C sont des polynômes et degb < degc. Le polynôme C étant à coefficients réels, on peut le factoriser sous la forme : p q C λ X a i ) k i X + b j X + c j ) l j i j où : λ est le coefficient dominant de C ; a,..., a p les racines réelles distinctes de C d ordres respectifs k,...,k p ; p q k i + l j degc ; i j 7-8 Sébastien PELLERIN

5 D - Primitives d une fraction rationnelle 5 pour tout j, q le trinôme X + b j X + c j n a pas de racines réelles i.e. b j c j <. Un théorème qui n est pas au programme affirme alors qu il existe des coefficients réels tels que : B p C αi, + α i, i X a i X a i ) + + α ] i,k i X a i ) k + i Intégrer n importe quelle fraction rationnelle revient donc à savoir intégrer : les éléments simples de première espèce du type x a) k avec k q j et les éléments simples de seconde espèce du type βj, X + γ j, X + β j,x + γ j, + β j X + γ j X + β j X + γ j ) + + β j,l j X + γ j,l ] j X + β j X + γ j ) l. j ax + b x + px + q) k avec k et p q <. D. - Intégration des éléments simples de première espèce Ce cas est direct puisque : une primitive de x est x ln x a ; x a une primitive de x, avec k, est x x a) k k x a) k. D.3 - Intégration des éléments simples de seconde espèce On cherche à intégrer une fonction x ax + b x + px + q) k avec k et p q <. On peut commencer par isoler au numérateur la dérivée du polynôme présent au dénominateur : ax + b x + p x + px + q) k a x + px + q) k + b ap ) x + px + q) k. Le premier terme est facile à intégrer, puisqu il est de la forme u avec k, i.e. on a : u k une primitive de x x + p x + px + q est x lnx + px + q) ; x + p une primitive de x x, avec k, est x + px + q) k k x + px + q) k. Il reste à savoir intégrer les fonctions du type x x avec k. + px + q) k On distingue là encore le cas k du cas k. Dans le cas k, on écrit : x + px + q p ) q p x + + q p ) x+p. + q p On effectue alors le changement de variable donné par u obtient un terme en Arctanu). x+p ce qui conduit à intégrer q p u i.e. on + Sébastien PELLERIN 7-8

6 Annexe A - Techniques d intégration Dans le cas k, on commence par écrire comme dans le cas précédent : x + px + q) k x p ) q p + + k ) k q p ) k ) ) k. + x+p q p ) x+p On effectue alors le changement de variable donné par θ Arctan c est-à-dire tanθ) x+p. q p q p On en déduit + tan θ))dθ i.e. on a en notant C la constante adéquate) : q p + tan x + px + q) k C θ))dθ tan θ) + ) k dθ C tan θ) + ) k C cos k θ)dθ et on se ramène ainsi à un type d intégrales que l on sait intégrer. s On cherche à calculer I x x, on écrit : + x + I x + x + x + ] lnx + x + ) ln) x + ) +. x + x + x + ) + Dans l intégrale restante, on pose u x + de sorte que du puis : I ln) du u + ln) Arctanu) ln) π. x On cherche à calculer J x, on écrit : + x + ) 3 J x + x + x + ) 3 x + x + ) 3 ] x + x + ) x + ) + ) 3 + ) 3 x + ) + ) 3 x + ) + ) 3. ] 7-8 Sébastien PELLERIN

7 E - Primitives d une fraction rationnelle en e x 7 Dans l intégrale restante, on pose tanu) x + de sorte que + tan u))du puis : Enfin, on a vu que : d où : J tan u))du tan u) + ) 3 du tan u) + ) cos u)du. cos u) 8 cosu) + cosu) J 3 8 cosu) + 8) cosu) + 3 du π 3 3π 3. 3 sinu) + sinu) + 3 ] π 8 u ) E - Primitives d une fraction rationnelle en e x On cherche à intégrer une expression sous la forme d une fraction rationnelle en e x. On effectue le changement de variable t e x ce qui ramène le calcul au cas d une fraction rationnelle classique. On pose pour tout réel t, cosht) et +e t On veut calculer I. cosh, on écrit : x) cosh x) puis on pose t e x d où dt e x soit dt t donc : e I e e e e ) x +e x e x + e x + e x e x + e x +, t t + t + dt t t t + ) dt. Sébastien PELLERIN 7-8

8 8 Annexe A - Techniques d intégration On s est ramené au cas d une fraction rationnelle. Pour conclure, on écrit alors : e I e t t + ) dt t + ] e e + e +. e F - Primitives d une fraction rationnelle en sinus, cosinus et tangente On cherche à intégrer une expression sous la forme d une fraction rationnelle en cosx), sinx) et tanx). On peut effectuer le changement de variable t tan x ), on vérifie que l on a alors dt + t, cosx) t t et sinx) + t + t, et on ramène ainsi le calcul au cas d une fraction rationnelle classique. On veut calculer I 3 π sinx), on pose t tan x ) alors : 3 I 3 + t t t dt ln 3 ). dt + t 7-8 Sébastien PELLERIN