Loi binomiale Répétition indépendante d expériences aléatoires identiques

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1 Loi biomiale Répétitio idépedate d expérieces aléatoires idetiques. Le cotexte.. Répétitio idépedate d expérieces aléatoires. Das otre perspective de modéliser les phéomèes observés, comme par exemple la répétitio du lacer d u dé, d ue pièce de moaie, du choix d u échatillo de taille doée das ue populatio,, o se place das l hypothèse d idépedace des répétitios d ue même expériece aléatoire miimale. À chaque répétitio, la probabilité d ue issue de cette expériece aléatoire miimale est idetique. Cela correspod à otre ituitio lorsque ous laços plusieurs fois la même pièce de moaie, le même dé, ou bie plusieurs dés bie équilibrés, choisissos au hasard plusieurs objets das u sac e coteat u grad ombre. Cette situatio correspod aussi à des tirages successifs das ue ure avec remise. E effet, à chaque tirage, les ures sot à ouveau das le même état. Par cotre, das u tirage d ue ure sas remise, ous e sommes plus das ue situatio d idépedace. E effet, après chaque tirage, les états des ures ot chagés. La probabilité d obteir ue boule aussi. Remarque: Cette hypothèse d idépedace est pas la seule possible et e coviet pas toujours. O développe alors d autres modèles pour étudier ces phéomèes. Reveos à plusieurs lacers d u dé cubique. Chaque lacer a issues. Doc après lacers, issues, le ombre d issues deviet vite grad. Nous ous cocetreros das la suite du chapitre à étudier les répétitios d ue même expériece aléatoire, la plus simple possible: à issues. Notos tout de suite qu après répétitios, il y a issues distictes. O doit doc recetrer la questio. Par exemple: O lace fois de suite ue pièce de moaie bie équilibrée. Quelle est la probabilité d obteir au mois fois «FACE»? E laçat u dé cubique, o s itéresse au ombre de fois où o obtiet Das ue ure coteat ue proportio p de boules rouges et - p de boules vertes, o tire avec remise fois de suite ue boule de l ure et o ote sa couleur. Quelle est la probabilité d obteir rouges exactemet? Au mois rouges? O répod au hasard aux questios d u QCM ( seule boe répose). Quelle est la probabilité d avoir la moyee? O modélise de telles répétitios d expérieces aléatoires à issues e cosidérat le ombre de succès possibles parmi les répétitios. Notos qu u succès est toujours relatif. Cela déped du poit de vue... Épreuve de Beroulli de paramètre p, p Défiitio: Ue épreuve de Beroulli de paramètre p est ue expériece aléatoire à issues, souvet otée S (succès) et E = S (échec), telle que p(s) = p. Ue variable aléatoire de Beroulli est la variable aléatoire X à valeurs das {, } défiie par p(x = ) = p(e) = - p et p(x = ) = p(s) = CC

2 Termiale S, Probabilités La loi suivie par X est appelée loi de Beroulli de paramètre p. C est doc l expériece aléatoire élémetaire qui va être répétée à l idetique. O obtiet la loi: Valeurs de X p ( X = ) - p p.. Schéma de Beroulli Défiitio: U schéma de Beroulli d ordre N * et de paramètre p [; ] (o dit aussi de paramètres et p ) est l expériece aléatoire obteu e répétat fois de maière idépedate le même schéma de Beroulli de paramètre p. O défiit alors X la variable aléatoire qui déombre le ombre de succès obteus après répétitios. O a doc X à valeurs das {; ; ; ; }: o peut e effet obteir de à succès. Défiitio: La loi biomiale de paramètres et p, otée B(; p), est la loi de probabilité de la variable aléatoire X. La loi biomiale décrit doc la probabilité p(x = ) pour = ; ; ;, c est à dire la probabilité d avoir obteu de succès à succès, sas différetiatio de l ordre das lequel ces succès ot été obteus.. Descriptio de la loi biomiale.. Les premiers cas =,,, et Pour =, X est ue loi de Beroulli de paramètre p. =,, : à vous Pour = : D où la loi biomiale B(;, ):

3 Termiale S, Probabilités Nombre de succès Probabilité,,,,,,,,,,.. La gééralisatio Soit u etier aturel et p u réel de [; ]. Soit X la variable aléatoire qui déombre le ombre de succès du schéma de Beroulli d ordre et de paramètre p. Remarquos que toute brache de l arbre de probabilité représetat la situatio cotiet «sous-braches». Soit {; ; ; }. Alors ue brache de l arbre qui mèe à succès est ue brache qui est composée de braches meat à u succès S doc de probabilité p - braches meat à u échec E doc de probabilité - p. La probabilité d ue telle brache est doc doée par p ( - p) -. O associe l évéemet (X = ), c est à dire l évéemet «succès» à tous les mots de lettres comportat lettres S et - lettres E. Par exemple, pour =, l évéemet (X = ) est la réuio des évéemets: SSSEE, SSESE, SSEES, SESSE, SESES, SEESS, ESSSE, ESSES, ESESS, EESSS. La probabilité d u évéemet coteat p succès est doée par p ( - p) - : e effet u tel évéemet correspod à braches meat à u succès de probabilité p et doc à ( - ) braches meat à u échec de probabilité - p. Il reste à compter le ombre d évéemets meat à succès. Cela reviet à déombrer le ombre d aagrammes d u mot de lettres coteat lettres S idetiques et - lettres E idetiques. O déombre das u premier temps le ombre d aagrammes de lettres distictes: S,, S, E,, E -. Il y e a!, permutatios de lettres. Esuite, comme les lettres S sot idetiques, il y a! permutatios des lettres S,, S possibles. Par exemple, les mots: S S S E E, S S S E E, S S S E E, S S S E E, S S S E E, S S S E E ot été comptés das les! permutatios et pourtat sot idetiques au mot S S S E E. De même, comme les - lettres E sot idetiques, il y a ( - )! permutatios des lettres E,, E - possibles. Par exemple, les mots S S S E E et S S S E E sot idetiques au mot S S S E E.! Fialemet, o déombre doc! ( - )! = mots disticts coteat lettres S et - lettres E. Das u schéma de Beroulli de paramètre de succès p et d ordre, il y a doc braches meat à succès (et - échecs), chacue de probabilité p ( - p) - doc la probabilité de succès est p ( - p) -. D où: Théorème: Soit u schéma de Beroulli de paramètre de succès p et d ordre. Soit X la variable aléatoire à valeur das {; ; ; ; } déombrat le ombre de succès et B(; p) la loi biomiale associée. Alors pour tout etier {; ; ; }, p(x = ) = p ( - p) - avec =!! ( pour - )! {; ; ; }. Les s appellet les coefficiets CC

4 Termiale S, Probabilités La loi biomiale B(; p) est doc décrite par la probabilité d obteir succès est reteir: p ( - p) -, o pourra (combiaisos de élemets parmi ) (probabilité de succès) ombre de succès (probabilité d ' échec) ombre d' échecs. Aisi o a les cas particuliers: succès, échecs: p ( - p) - = ( - p) succès, - échecs: p ( - p) - = p( - p) - ( succès, - échecs: p ( - p) - - ) = p ( - p) - succès, - échecs: p ( - p) -! = ( - )!! p ( - p) - ( - succès, échecs: - p- ( - p) - ) = p - ( - p) - succès, échec: - p- ( - p) = p - ( - p) succès, échecs: p ( - p) - = p. O peut observer ue sorte de symétrie du au fait que pour tout, Ci-dessous, ue représetatio graphique pour =, p =, : = -. = et p =. 8 ombre de succès probabilité O a aussi = formule du biôme de Newto. p ( - p) - = (p + ( - p)) = = : la somme de toutes les probabilités est, grâce à la Efi évéemets à reteir: «que des succès» ou «aucu échec» de probabilité p «aucu succès» ou «que des échecs» de probabilité ( - p). «au mois succès», complémetaire de succès et doc de probabilité - ( - p) «au mois échec», complémetaire de succès et doc de probabilité - p.

5 Termiale S, Probabilités.. Paramètres de la loi biomiale. Propriété: Soit u etier aturel et p [; ]. Soit X ue variable aléatoire qui suit la loi biomiale B(; p). Alors: l espérace est E(X) = p la variace est V(X) = p ( - p) et l écart-type σ(x) = p( - p). Il faudra surtout reteir l espérace qui permet d obteir le gai moye d u jeu de hasard par exemple. Preuve pour l espérace: O a E(X) = O sait que E(X) = p = = = p ( - p) - = = p ( - p) doc E(X) = = p- ( - p) (-)-(-). - O pose j = -, et o obtiet alors E(X) = p - E effet j= - j j= - j p ( - p) - d où p j ( - p) (-)-j = p. p j ( - p) (-)-j = (p + ( - p)) - = d après la formule du biôme de Newto. Preuve pour la variace: O a V(X) = E X - (E(X)) et par liéarité de l espérace E(X(X - )) = E X - E(X). D où V(X) = E(X(X - )) + E(X) - (E(X)). Remarquos alors que la variable aléatoire X(X - ) pred les valeurs ( - ) pour {; ; ; } et que pour tout {; ; ; }, p(x(x - ) = ( - )) = p ( - p) -. Aisi E(X(X - )) = ( - ) Or o a ( - ) = = ( - ) p ( - p) - = ( - ) ( - ) ( - ) O e déduit E(X(X - )) = ( - ) p = - - = = ( - ) - - p ( - p) -. pour {; ; }. - - p- ( - p) (-)-(-) = ( - ) p. Par suite V(X) = ( - ) p + p - ( p) = p - p = p( - p).. combiatoire: complémets.. Combiatoire Les coefficiets biomiaux appartieet à la brache dite du déombremet ou de la combiatoire: il s agit de compter les cas. Pour ue grade part, le calcul de probabilités demade de savoir compter les cas. Par exemple: quelle est la probabilité d obteir u carré d as sur ue mai de cartes? quelle est la probabilité de choisir persoes ayat ue qualité doée das u groupe dot o coaît la proportio globale de cette CC

6 Termiale S, Probabilités Das toutes ces situatios, le calcul de probabilités peut être rameé à déombrer le ombre de cas favorables par rapport au ombre total de cas. Par exemple, pour le carré d as, o peut cosidérer qu il y a, avec u jeu de cartes, 8 mais distictes de cartes avec u carré d as (les as et ue autre carte qui est pas u as). D autre part il y a 9 8 = 8 mais distictes ( choix pour la ière carte, pour la de, jusqu à la ième ). 8 Doc la probabilité d obteir u carré d as est de 9 8 = 9, -. Pour modéliser, o peut associer chaque carte du jeu à u esemble fii de élémets. Ue mai de cartes reviet à cosidérer u esemble costituée de élémets de cet esemble. Soit u etier aturel. O cosidère u esemble fii à élémets E = {e,, e }. O peut assimiler E à {; ; ; ; }... Listes o ordoées: parties, combiaisos Défiitio: Ue partie de E est u esemble costituée d élémets de E. Ue partie à élémets est ue partie de E coteat élémets disticts de E. Le ombre d élémets d u esemble fii Ω est appelé le cardial de cet esemble. O le ote souvet card(ω) ou ;Ω< {e ; e ; e } est ue partie à élémets de E. O ote card({e ; e ; e }) =. Covetio: L esemble vide est ue partie de tout esemble. C est la seule partie à élémet. Ue partie de l esemble E à élémets peut avoir de élémet (l esemble vide ) à élémets. Exemple: Avec E = {A; B; C}, o peut costituer les parties:, {A}, {B}, {C}, {A : B}, {A; C}, {B; C} et {A; B; C}. Remarquos sur cet exemple, que la ature des objets de l esemble importe peu sur la costitutio des parties. Avec E = { ; ;@}, o obtiet, { }, { }, {@}, { ; }, { ;@}, { ;@}, { ; ;@} doc 8 parties aussi. L esemble des parties d u esemble E est oté?(e). Propriété: card(?(e)) = card(e). Autremet dit avec u esemble à élémets, o peut costruire parties distictes coteat de à élémets. Défiitio: Soit u etier aturel et u etier tel que. O appelle combiaiso de élémets parmi, toute partie à élémets que l o peut costituer avec u esemble à élémets. O ote (parfois C ) le ombre de combiaisos, coefficiets biomiaux. O lit «parmi». Aisi o a par défiitio: = pour tout etier (il y a ue seule partie à élémet): = pour tout etier. = : il est facile de voir qu il y a autat de parties à élémet que d élémets das l esemble E

7 Termiale S, Probabilités = : il y a autat de parties à - élémets que de parties à élémet. E effet, choisir - - élémets reviet à e mettre u de côté. = - - Covetio: élémets. =. Il y a ue seule partie à élémet que l o peut costituer à partir de l esemble à Propriété: Pour tout etier aturel, pour tout etier avec, = -. E effet, choisir élémets, reviet à choisir les - restats. Aisi à chaque partie à élémets, correspod ue seule partie à - élémets, so complémetaire das E. Propriété: Pour tout etier aturel, = = E effet la somme des ombres de parties à élémets pour allat de à est égal àu ombre total de parties. Propriété: formule de récurrece. Pour tout etier aturel, pour tout etier avec, = Notos a u des élémets de E. Alors E = {a} E où E est u esemble à - élémets. Alors comme ue partie A à élémets de E : ou cotiet a ou o, alors ou A = a A avec A ue partie à - élémets de l esemble à - élémets E ou A E et doc A est ue partie à élémets de E. Par suite il y a autat de parties à élémets choisis parmi élémets que de parties à élémets parmi - ou de parties à - élémets choisis parmi -. O a doc la relatio proposée. O peut aisi pas à pas géérer les combiaisos. C est le triagle de CC

8 8 Termiale S, Probabilités esemble à élémets esemble à élémets esemble à élémets esemble à élémets esemble à élémets esemble à élémets esemble à élémets esemble à élémets esemble à élémets esemble à élémets esemble à élémets esemble à élémets esemble à élémets esemble à élémets esemble à élémets esemble à élémets ombre de ombre de ombre de ombre de ombre de ombre de ombre de ombre de parties à parties à parties à parties à parties à parties à parties à parties à élémets élémets élémets élémets élémets élémets élémets élémets ombre de ombre de ombre de ombre de ombre de ombre de ombre de ombre de parties à parties à parties à parties à parties à parties à parties à parties à élémets élémets élémets élémets élémets élémets élémets élémets Note: Les applicatios des coefficiets biomiaux sot multiples et variées. e combiatoire bie sur, mais ils itervieet das ombre de problèmes d aalyse. Par exemple, o a la célèbre formule du biôme de Newto (gééralisatio de l idetité remarquable (a + b) = a + a b + b ): Formule du biôme de Newto: Soit a et b deux ombres réels (ou complexes), (a + b) = i= i a i b -i pour tout etier aturel. Aisi par exemple (a + b) = a + a b + a b + a b + a b + b. Cas particulier : = ( + ) = est. Chaque i= i i. O retrouve que le cardial de l esemble des parties d u esemble de cardial fii est exactemet le ombre de parties à i élémets... Listes ordoées (): les permutatios Défiitio: Ue permutatio de l esemble E est ue liste ordoée des élémets de E. Exemple: Avec E = {; ; }, les permutatios sot (; ; ), (; ; ), (; ; ), (; ; ), (; ; ) et (; ; ). Ce sot doc toutes les faços d arrager les élémets de l esemble sas répétitios. Propriété: Soit u etier aturel. Le ombre de permutatios des élémets de l esemble E est. Ce ombre est oté! et se lit factorielle de. Covetio:! =. Aisi par exemple, les élèves d ue classe peuvet se préseter suivat!=

9 Termiale S, Probabilités 9 faços différetes à l etrée e classe. De même, les aagrammes du mot SUPER sot au ombre de. Remarque: les permutatios sot sas cesse utilisées e mathématiques et e combiatoire e particulier... Listes ordoées () avec répétitio: les uplets Défiitio: Soit et p deux etiers aturels. O appelle p uplet d élémets de E toute liste ordoée costituée de p élémets de E, disticts ou o. Aisi u p-uplet peut avoir la logueur que l o veut. Le lagage iformatique utilise les listes ordoées costituées à partir de l alphabet {; } pour foctioer. U octet est u 8 uplet ou octuplet. = (,,,,,,, ) est ue liste de 8 élémets ordoées. Les mots d u alphabet sot des p uplets costitués avec les lettres de l alphabet. D ailleurs o cofod souvet la liste et le mot comme ous l avos fait pour la loi biomiale. O associe l issue (S; S; E; E; S) au mot S S E E S. Propriété: Pour tout etier et tout etier p, il y a p p uplets disticts costitués avec u esemble de élémets. E effet, il suffit de voir que pour chaque élémet de la liste, il y a choix possibles. O retrouve aisi que le ombre d issues d u schéma de Beroulli d ordre est. Il y a uplets disticts costitués avec les lettres S et E... Listes ordoées () sas répétitio: les arragemets E iterdisat la répétitio d u élémet, avec u esemble fii à élemets E = {e,, e }, o peut obteir des listes ordoées sas répétitio de logueur (la liste vide) jusqu à la logueur. Défiitio: Soit u etier aturel et u etier tel que. Ue liste ordoée sas répétitio de élémets d u esemble à élémets est appelé u arragemet de élémets parmi. Propriété: Le ombre d arragemets de élémets parmi est doé par ( - ) ( - + ) =! ( - )!. E effet, il suffit de voir que l o a choix pour le premier élémet, - pour le suivat et doc - + pour le ième. Remarque: o ote A ce ombre. Aisi par exemple, o peut costituer 9 = 98 groupes de persoes distictes avec u groupe de. Corollaire: =! A! ( - )! =.! Preuve: Remarquos qu u arragemet de parmi est ue permutatio des élémets d ue combiaiso doée. Il y a! permutatios pour chaque combiaiso, et doc A =!. O obtiet aisi ue formule explicite pour détermier les coefficiets CC

10 Termiale S, Probabilités. Applicatios de la loi biomiale. Quelques exercices de déombremet