TP PROBABILITE TERMINALE STI STLCH 2008 / 2009

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1 TP PROBABILITE TERMINALE STI STLCH 00 / 009 Exercce - ponts France 006 Nombre nscrt 5 0 Une urne content 0 boules ndscernables au toucher. Sur chacune Nombre de boules d elles est nscrt un nombre comme l ndque le tableau c-contre Un joueur mse euros, tre une boule au hasard et reçot le montant (en euros) nscrt sur la boule.. Le joueur effectue un trage. On appelle p la probablté pour qu l perde (c est à dre qu l reçove mons de euros) et p la probablté pour qu l gagne (c est à dre qu l reçove plus de euros). Calculer p et p.. Sot X la varable aléatore qu, à chaque trage, fat correspondre le «gan» du joueur (postf s l gagne, négatf s l perd ).Quelles sont les valeurs prses par la varable aléatore X?; pus le représenter la lo de probablté de X dans un tableau. c. Calculer son espérance mathématque E(X).. Un jeu est équtable s et seulement s E(X) = 0. On décde de changer le nombre nscrt sur une seule boule portant le nombre. Quel nombre dot-on y nscrre pour que le jeu sot équtable? Exercce-- France007-GO-ELC-ELECTRO : ( ponts ) Le personnage vrtuel d'un jeu électronque dot franchr un torrent en sautant de rocher en rocher. Le torrent se présente de la manère suvante ( les dsques R, R,..., R 7, R représentent les rochers ) : le personnage vrtuel part de A pour aller en B. Il ne peut que chosr les trajets matéralsés par des pontllés et avancer unquement dans le sens des flèches. On appelle " parcours " une sute ordonnée de lettres représentant un trajet possble. Par exemple : A R R R R6 R7 B est un parcours qu nécesste 6 bonds. Toutes probablté demandée sera donnée sous forme de fracton.. Détermner les sx parcours possbles.. Le joueur chost au hasard un parcours. On admet que les dfférents parcours sont équprobables. a. Quelle est la probablté p de l'événement : " le personnage vrtuel passe par le rocher R 7 "? b. Quelle est la probablté p de l'événement : " le personnage vrtuel passe par le rocher R "?. Chaque bond du personnage vrtuel nécesste secondes. On note X la varable aléatore qu, à chaque parcours assoce sa durée en secondes. a. Détermner les valeurs prses par la varable aléatore X. b. Donner la lo de probablté de la varable aléatore X. c. Calculer l'espérance mathématque E(X) de la varable aléatore X.. Quelle devrat être la durée d'un bond du personnage vrtuel pour que la durée moyenne d'un parcours sot égale à 0 secondes? Exercce -STI-ELECT-OPTIQUE 00-Polynése- ponts Un professeur d une classe de termnale S. T. I. donne à ses élèves tros questons dans une nterrogaton écrte et propose deux réponses par queston : l une juste et l autre fausse. On désgne par J une réponse juste et par F une réponse fausse. On suppose que les élèves répondent à chaque queston en ndquant sot la réponse juste, sot la réponse fausse. À chaque élève, on assoce le résultat de son nterrogaton, sous la forme d un trplet consttué des réponses données aux tros questons. Par exemple, s un élève a répondu juste à la premère, faux à la deuxème et à la trosème, on lu assocera le résultat (J, F, F). I Détermner à l ade d un arbre l ensemble des résultats possbles. Comben y a-t-l de résultats possbles? II On consdère un élève qu répond au hasard à chaque queston et de façon ndépendante pour chacune d elles. Le professeur fat l hypothèse d équprobablté des résultats.. Démontrer que la probablté de l évènement A «le résultat content exactement une réponse juste» est égale à. Détermner la probablté de l évènement B «le résultat content au mons une réponse juste.». Dans cette queston, le professeur note les copes de la manère suvante : l donne pont pour une réponse juste et 0 pont pour une réponse fausse. On appelle X la varable aléatore qu à chaque résultat assoce la note obtenue par l élève. a. Quelles sont les valeurs prses par la varable aléatore X? b. Donner la lo de probablté de X. c. Calculer l espérance mathématque E(X) de X.. Dans cette queston, le professeur note les copes de la manère suvante : l donne pont pour une réponse juste et enlève 0,5 pont pour une réponse fausse. S le total des ponts ans obtenu est négatf, la note attrbuée est 0. On appelle Y la varable aléatore qu à chaque résultat assoce la note obtenue par l élève.

2 Calculer l espérance mathématque E(Y ) de Y. Exercce -Baccalauréat STI Polynése jun 00 Géne mécanque, énergétque, cvl Un jeu est organsé de la manère suvante : le joueur mse ", pus fat tourner une roue partagée en 6 secteurs crculares. Lorsque la roue s mmoblse, un repère stué devant la roue ndque le secteur crculare désgné. On suppose que la roue est lancée suffsamment vte pour que la poston du repère corresponde à un trage aléatore ; la probablté que le repère ndque un secteur donné est donc proportonnelle à l angle au centre de ce secteur. Sur chacun des secteurs crculares est affchée une somme que le joueur reçot : le secteur mesure 50 et ndque la somme 0 " : le joueur ne reçot ren; le secteur mesure 00 et affche ; le secteur mesure 50 et affche ; le secteur mesure 5 et affche 6 ; le secteur 5mesure 5 et affche 0? ; le secteur 6, qu et le derner, mesure 0 et affche 5. On appelle «gan» du joueur la somme, postve ou négatve, que le joueur obtent après le lancer de la roue : cette somme prend en compte la mse de. Ans, par exemple le gan correspondant au secteur 5 est égal à 7. On note X la varable aléatore qu, à chaque trage, assoce le gan du joueur. Les résultats seront donnés sous forme de fractons rréductbles.. Détermner la lo de probablté de la varable X.. Quelle est la probablté d obtenr un gan d au mons "?. a. Calculer l espérance mathématque de la varable X. b. Le jeu est-l équtable?. Dans cette queston, les cnq premers secteurs sont nchangés, mas le sxème affche une somme de a où a est un nombre réel postf. On note encore X la varable aléatore qu, à chaque trage, assoce le gan du joueur. a. Calculer l espérance mathématque de la varable X en foncton du réel a. b. Détermner la valeur de a pour que cette espérance sot nulle. Exercce 5 GM BCDE- France ponts Onze chansons dfférentes sont enregstrées sur un CD. La durée de chacune d elles étant nscrte sur la pochette du CD, on a le tableau suvant : Numéro de la chanson Durée en secondes Un lecteur de CD sélectonne au hasard une des onze chansons et une seule ; toutes les chansons ont la même probablté d être sélectonnées. Les résultats seront donnés sous forme de fractons.. Quelle est la probablté que la chanson n o 7 sot sélectonnée?. a. Détermner la probablté de l évènement A : «la chanson sélectonnée a une durée de 00 secondes». b. Détermner la probablté de l évènement B : «la chanson sélectonnée a une durée supéreure à 0 secondes». c. Sot B l évènement contrare de B. Décrre B par une phrase, pus détermner sa probablté.. On note X la varable aléatore qu à chaque chanson sélectonnée assoce sa durée exprmée en secondes a. Détermner les dfférentes valeurs prses par X. b. Établr sous forme d un tableau la lo de probablté de la varable aléatore X. c. Calculer l espérance mathématque de la varable aléatore X. Interpréter ce résultat. Exercce 6 STLCH ponts Une urne content quatre boules, ndscernables au toucher, numérotées de à.une expérence aléatore se déroule de la manère suvante : On tre au hasard une premère boule de l urne et on note son numéro. Après avor rems cette boule dans l urne, on en tre au hasard une seconde dont on note auss le numéro. À l ssue de cette expérence, on obtent un couple de nombres (on rappelle que, par exemple, le couple ( ; ) est dfférent du couple ( ; )).. À l ade d un arbre ou d un tableau, établr la lste des 6 couples possbles.. a. On note A l évènement «obtenr un couple de nombres pars». Détermner la probablté de l évènement A. b. On note B l évènement «obtenr un couple de nombres mpars». Calculer la probablté de l événement B. c. On note C l évènement «obtenr un couple de nombres de parté dfférente». Calculer la probablté de l évènement C.. On organse un jeu. Un joueur mse euros et réalse ensute l expérence aléatore décrte c-dessus. S l évènement A est réalsé, le joueur reçot euros de l organsateur du jeu ; S l évènement B est réalsé, le joueur reçot euros de l organsateur du jeu ; S l évènement C est réalsé, le joueur donne euros à l organsateur du jeu. On désgne par X la varable aléatore égale au gan algébrque (postf ou négatf) du joueur. Par exemple, s l obtent le couple ( ; ), son gan est 6 euros. a. Détermner les valeurs prses par la varable aléatore X. b. Donner la lo de probablté de la varable aléatore X. c. Calculer l espérance mathématque E(X) de la varable aléatore X. d. On dt qu un jeu est équtable lorsque l espérance de gan est nulle.

3 Quelle aurat du être la mse du joueur pour que le jeu sot équtable? Exercce7 la réunon-00- ponts Un hôtel de vacances propose deux types de bungalow (bungalow avec ktchenette ou bungalow sans ktchenette) à louer à la semane. Pour les clents qu le souhatent, l hôtel propose deux formules de restauraton au chox : Formule A : pett déjeuner seul, Formule B : pett déjeuner et dîner. Pour chaque semane de locaton, chaque clent décde s l prend une formule de restauraton et s ou, chost entre les formules A et B. Le gestonnare de l hôtel a constaté que sur 00 clents clents ne prennent aucune formule de restauraton. 60 clents optent pour un bungalow avec ktchenette et parm ceux-c, 0 % chosssent la formule B et 0 % la formule A. 5 % des clents ayant chos un bungalow sans ktchenette prennent la formule A. Recoper et compléter le tableau suvant : Nombre de clents ayant chos Bungalow avec ktchenette Bungalow sans ktchenette Total Formule A Formule B 6 Aucune formule de restauraton Total 00. On nterroge un clent au hasard, au sujet de ses chox, a. Détermner la probablté de l évènement E : «Le clent a chos la formule B». b. Détermner la probablté de l évènement F : «Le clent a loué un bungalow sans ktchenette». c. Détermner la probablté de l évènement G : «Le clent a loué un bungalow sans ktchenette ou a chos la formule B». d. Détermner la probablté de l évènement H : «Le clent a chos une formule de restauraton».. La locaton d un bungalow sans ktchenette à la semane coûte 5 et celle d un bungalow avec ktchenette 50 La formule A coûte 9 à la semane. La formule B coûte 5 à la semane. On appelle X la varable aléatore qu à chacun des 6 chox possbles, assoce le coût correspondant pour une semane. a. Quelles sont les valeurs prses par la varable aléatore X? b. Démontrer que la probablté de l évènement «X prend la valeur 50» est égale à 0,. c. Donner la lo de probablté de la varable aléatore X. d. Calculer l espérance mathématque E(X) de la varable aléatore X. e. Pour la prochane sason, le gérant de l hôtel pense qu l louera dans les mêmes condtons 6 bungalows pendant 0 semanes. Quelle recette peut-l alors espérer? EXERCICE ponts France 007 BCDE Une entreprse fabrque des plaquettes de métal. Pour cela elle utlse deux machnes, une qu les ajuste en longueur et une autre qu les ajuste en largeur. Les machnes sont programmées pour donner des plaquettes de,5 cm sur,5 cm. Des erreurs de manpulaton peuvent condure à des dmensons non conformes : une longueur de,6 cm au leu de,5 cm; une largeur de,6 cm au leu de,5 cm. Afn de vérfer la conformté de ces plaquettes, on procède à deux tests : un test sur la longueur et un test sur la largeur. On effectue les deux tests sur 00 plaquettes et on obtent : 0 plaquettes ont une longueur de,6 cm ; plaquettes ont une largeur de,6 cm; 5 plaquettes ont une dmenson de,6 cm sur,6 cm. On prélève au hasard une plaquette parm les 00. Elles ont donc toutes la même probablté d être choses.. Recoper et compléter le tableau des effectfs suvant : Largeur conforme,5 Largeur non conforme,6 Total Longueur conforme,5 Longueur non conforme,6 5 0 total 00. a. Quelle est la probablté qu une plaquette prélevée au hasard sot conforme à ce que veut l entreprse? b. Quelle est la probablté qu une plaquette prélevée au hasard at exactement une de ses dmensons non conforme?. Sot X la varable aléatore qu à chaque plaquette prélevée au hasard assoce le nombre de ses dmensons non conformes. a. Donner les valeurs possbles de X. b. Donner la lo de probablté de X.

4 correcton Exercce. Le joueur va perdre s l tre une boule avec un numéro ou un numéro. Or l y a boules numérotées et 7 boules numérotées. Donc p pb B pb pb De même, l gagne s l tre une avec un numéro 5 ou un numéro 0, donc p pb5 B0 pb5 pb0.les événements B sont dsjonts Sot X la varable aléatore qu, à chaque trage, fat correspondre le «gan» du joueur ( postf s l gagne, négatf s l perd ). a) Les valeurs prses par la varable aléatore X sont : Boule n : X Boule n : X Boule n 5 : X 5 Boule n 0 : X 0 6.Donc X prend les valeurs :,, et 6. b) x 6 p( X x ) c) E( X ) xp 6. Le jeu n est pas équtable On change le nombre nscrt sur une boule numéro cela sgnfe qu l a boule et une boule x x x 6 p( X x ) x9 6 6 x Calculons EX ( ) : E( X ) xp x Or EX ( ) 0, pusque on veut que le jeu sot équtable, donc x. S on veut que le jeu sot équtable, l faut remplacer une boule par une boule. Exercce : ( correcton ). Les sx parcours possbles sont : A R R R R6 R7 B ( 6 bonds ) ; A R R R R6 R7 B ( 6 bonds ) A R R R5 R R6 R7 B ( 7 bonds ) ; A R R9 R R6 R7 R B ( 7 bonds ) A R R0 R R R6 R7 R B ( bonds ) ; A R R R R5 R7 R B ( 7 bonds ). Le joueur chost au hasard un parcours. On admet que les dfférents parcours sont équprobables. a) p : probablté de l événement «le personnage vrtuel passe par le rocher R 7» l y a tros chemns sur sx qu passent par R 7 donc p 6 b) p : probablté de l événement «le personnage vrtuel passe par le rocher R» l y a deux chemns sur sx qu passent par R donc p 6. On note X la varable aléatore qu, à chaque parcours assoce sa durée en secondes. a. A R R R R6 R7 B ( 6 bonds ) s ; A R R R R6 R7 B ( 6 bonds ) s A R R R5 R R6 R7 B ( 7 bonds ) s ; A R R R R R R B ( 7 bonds ) s A R R R R R R R B ( bonds ) 6s ;

5 A R R R R5 R7 R B ( 7 bonds ) 6s ; X prends les valeurs, et 6 secondes. b) x 6 p( X x ) c). EX ( ) 6, Sot d la durée d'un bond du personnage vrtuel pour que la durée moyenne d'un parcours sot égale à 0 secondes on a : x 6d 7d d d d d E( X ) 6d 7d d d p( X x ) E( X ) 0 d 0 d,6 S 6 La durée d un bond du personnage vrtuel devrat être,6 secondes pour que la durée moyenne d un Parcours sot égale à 0 secondes Exercce. Arbre représentant l ensemble de tous les cas possbles Il y a hut cas possbles II. l événement A «le résultat content exactement une réponse juste» Correspond au trplet : J, F, F ouf, J, F ou F, F, J Le professeur fat l hypothèse d équprobablté des résultats Donc pj pf J F J F J F et pj, F, F pf, J, F pf, F, J J F J F J F J F Or p A pj, F, F pf, J, F pf, F, J. l événement B «le résultat content au mons une réponse juste» est l événement contrare de l événement «le résultat content aucune réponse juste» sot de l événement «les tros réponses sont fausses» 7 pf, F, F Donc pb. X peut prendre les valeurs suvantes : : réponses justes ; : réponses et une réponse fausse ; Une seule réponse juste et réponses fausses 0 réponse juste et tros réponse fausses ; Les valeurs prses par la varable aléatore X sont : 0 ; ; et b) x 0 p( X x ) 6 c) EX ( ) 0,5. Y peut prendre les valeurs suvantes : : réponses justes ; 0, 5,75 : réponses et une réponse fausse ; 0, 5 0,5 : Une seule réponse juste et réponses fausses 0 : car 0,5 0,75 : 0 réponse juste et tros réponse fausses. Les valeurs prses par la varable aléatore X sont : 0 ; 0,5 ;,75 et Lo de probablté,5 5, 5 9, 75 EX ( ) 0 0,5, 75, 75 y 0 0,5,75 p( Y y )

6 Exercce. S la roue s arrête sur le secteur, le gan du joueur est : 0 S la roue s arrête sur le secteur, le gan du joueur est : 0 S la roue s arrête sur le secteur, le gan du joueur est : S la roue s arrête sur le secteur, le gan du joueur est : 6 S la roue s arrête sur le secteur 5, le gan du joueur est : 0 7 S la roue s arrête sur le secteur 6, le gan du joueur est : 5 La varable aléatore X peut donc prendre les valeurs : ; 0 ;; ;7 ; La probablté que le repère ndque un secteur donné est proportonnelle à l angle au centre de ce secteur Donc par exemple pour le secteur correspondant à 50, on a une probablté de 50 5 pusque l angle 60 au centre décrvant la roue en entère est de p X ; p X 0 ; p X ; p X ; p X 7 ; p X g 0 Lo de probablté de la varable aléatore X 7 p X p X p X 7 p X p( X g ) La probablté d obtenr un gan d au mons euros est égale à Espérance mathématque de la varable X : EX ( ) E X donc le jeu n est pas équtable snon on aurat E X 0 b) on a 0. S la roue s arrête sur le secteur, le gan du joueur est : 0 S la roue s arrête sur le secteur, le gan du joueur est : 0 S la roue s arrête sur le secteur, le gan du joueur est : S la roue s arrête sur le secteur, le gan du joueur est : 6 S la roue s arrête sur le secteur 5, le gan du joueur est : 0 7 S la roue s arrête sur le secteur 6, le gan du joueur est : a La varable aléatore X peut donc prendre les valeurs : ; 0 ;; ;7 ; a p X ; p X 0 ; p X 7 ; p X a Espérance mathématque de la varable X : p( X g ) 5 E( X ) a a 5 5 a a EX ( ) a EX ( ) 6 a E X 0 0 a 0 a 6 b) p X ; 5 7 p X ; 60 7 g 0 7 a Pour que l espérance sot nulle, c est-à-dre pour que le jeu sot équtable l faut le secteur 6 affche euros

7 Exercce 5.Toutes les chansons ont la même probablté d être sélectonnées et l y a chansons donc la probablté que la chanson n 7 sot sélectonnée est p. A est l événement «la chanson sélectonnée a une durée de 00 secondes» Il y a chansons parm les qu ont une durée de 00 secondes, donc p A b) B est l événement «la chanson sélectonnée a une durée supéreure à 0 secondes» 5 Il y a 5 chansons parm les qu ont une durée supéreure à 0 secondes, donc pb. c) B est l événement «la chansons sélectonnée a une durée nféreure à 0 secondes» 5 7 pb pb. X est la varable aléatore qu à chaque chanson sélectonnée assoce sa durée exprmée en secondes a ) Les dfférentes valeurs prses par X sont : 50 ; 5 ; 00 ; 5 ; 0 ; 00 b) Il y a une chanson de durée 50 s, donc p X 50 Il y a deux chansons de durée 5 s, donc p X 5, etc. x p( X x ) 0 c) EX ( ) En moyenne la durée d une chanson est de 0 seconde. Exercce 6.. a) On note A l événement «obtenr un èr trage couple de nombres pars» On cherche dans le tableau les couples de nombres pars : ( ; ),( ; ),( ; ),( ; ) (;) ( ;) (;) ( ;) Il y a donc couples favorables sur les 6 ème trage (; ) ( ; ) (; ) ( ; ) couples dsponbles et on a donc (; ) ( ; ) (; ) ( ; ) p A 6 (; ) ( ; ) (; ) ( ; ) b) On note B l événement «obtenr un couple de nombres mpars» On cherche dans le tableau les couples de nombres pars : (;),(; ),(;),(; ) Il y a donc couples favorables sur les 6 couples dsponbles et on a donc pb 6 c) On note C l événement «obtenr un couple de nombres de parté dfférente» l événement «obtenr un couple de nombres de parté dfférente» est l événement contrare de D={ «obtenr un couple de nombres pars» et «obtenr un couple de nombres mpars»} Donc p( D) p A B p A pb, pusque les événements A et B sont dsjonts 6 Donc p( C) p( D). a) événement A : X 6 ; événement B : X ; événement C : X 6 La varable aléatore X peut prendre les valeurs suvantes : 6 ; ; 6

8 b) X x 6 6 p( X x ) ( ) pc pb p A c) EX ( ) 6 6 d) Le jeu n est pas équtable pusque en moyenne on perd Sot G' m G ; EG' Em G m EG m, sot EG' 0 m l faudrat que la mse sot un euro mons chère, donc une mse de euros ( ) pour que l espérance sot égale à 0. AUTRE METHODE X x m m m p( X x ) ( ) pc pb p A E( G') m m m m. EG ( ') 0 équvaut à m 0 sot m. Pour que le jeu sot équtable l faut une mse de. Exercce 7. Nombre de clents ayant chos Bungalow avec ktchenette Bungalow sans ktchenette Total Formule A 6 Formule B 6 0 Aucune formule de restauraton Total p E 0, 00 0 b) Il y a 0 clents qu ont loué un bungalow sans ktchenette parm les 00 clents pf 0, 00 c) Il y a 0 clents qu ont loué un bungalow sans ktchenette et qu ont la formule B parm les 00 clents pe F 0, 00 L événement G : «le clent a loué un bungalow sans ktchenette ou a chost la formule B» est L événement E F on a : pe F pe pf pe F 0, 0, 0, 0,6. a) Il y a 0 clents qu ont chost la formule B parm les 00 clents d) Il y a 6 clents qu ont chost la formule A et 0 clents qu ont chost la formule B, l y a donc clents qu ont chost une formule de restauraton parm les 00 clents ph 0, Chox possbles et coûts correspondants : Bungalow avec ktchenette + Formule A : ; Bungalow avec ktchenette + Formule B : ; Bungalow avec ktchenette + Aucune formule de restauraton : Bungalow sans ktchenette + Formule A : ; Bungalow sans ktchenette + Formule B : ; Bungalow sans ktchenette + Aucune formule de restauraton : La varable aléatore X peut donc prendre les valeurs : 5 ; 6 ; 50 ; 569 et 67. b) Il y a clents qu ont loué un bungalow avec ktchenette et qu n ont chost aucune formule de restauraton parm les 00 clents. Donc p X 50 0, 00 c) Il y a clents qu ont loué un bungalow sans ktchenette et qu n ont chost aucune formule de

9 restauraton parm les 00 clents. Donc p X 5 0, 0 00 Il y a clents qu ont loué un bungalow sans ktchenette et qu ont chost la formule A parm les 00 clents. Donc p X 6 0, 00 Il y a clents qu ont loué un bungalow avec ktchenette et qu ont chost la formule A parm les 00 clents et Il y a clents qu ont loué un bungalow avec ktchenette et qu ont chost la formule B parm les 00 clents Donc p X 569 0,6. 00 Il y a 6 clents qu ont loué un bungalow avec ktchenette et qu ont chost la formule B parm les 00 6 Clents p X 67 0, Lo de probablté de X x p( X x ) 0,0 0, 0, 0,6 0,06 d) Espérance mathématque EX ( ) : EX ( ) 5 0,0 6 0, 50 0, 569 0,6 67 0,06 56,9 e) EX ( ) 56,9 ce qu sgnfe que le coût moyen pour un bungalow pendant une semane est de 56,9. On a : 656,9 0 70,0 Donc pour 6 bungalows pendant 0 semanes, la recette que peut espérer le gérant de l hôtel sera 70,0. Exercce. Largeur conforme,5 Largeur non conforme,6 Total Longueur conforme, Longueur non conforme, total 00.a) D après le tableau l y a 67 plaquettes sur 00 qu ont une largeur et une longueur conforme Donc la probablté qu une plaquette prélevée au hasard sot conforme à ce que veut l entreprse 67 Vaut p A 0,67 00 b) Il y a 5 plaquettes sur 00 qu ont leur largeur conforme mas pas la longueur Il y a plaquettes sur 00 qu ont leur longueur conforme mas pas la largeur Sot au total plaquette sur 00 qu ont exactement une de leurs dmensons non conforme La probablté cherchée vaut pb 0, 00. Chaque plaquette a deux dmensons donc X peut prendre comme valeurs 0 ; ou x 0 p( X x ) 0,67 0, 0,05