Séance de TP 4 Lentilles minces. Romain BEL 3 janvier 2002

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1 Séance de TP 4 Lentilles minces Romain BEL 3 janvier

2 Table des matières 1 Lentilles minces, stigmatisme, relations de conjugaison Lentilles minces L'approximation de Gauss. Stigmatisme des lentilles Centre optique, foyers Distance focale, vergence bjet, image, réels ou virtuels? Construction des images Faisceau parallèle Construction de l'image d'un objet Expériences et exercices Détermination grossière de la distance focale Autocollimation Déterminations informatiques de la distance focale Méthode directe - relations de conjugaisons Méthode de Bessel

3 1 Lentilles minces, stigmatisme, relations de conjugaison 1.1 Lentilles minces Les lentilles constituent l'application majeure des lois de la réfraction. Elles sont, sommairement, constituées d'un morceau de verre dont les faces sont taillées d'une façon particulière. Plus précisément, une lentille mince est constituée de l'association de deux dioptres sphériques, dont les sommets sont pratiquement confondus en un même point (g.1). a) b) S 2 n S 1 n S 1 S 2 Fig. 1 Représentation d'une lentille convergente (a) et d'une lentille divergente (b) n distingue deux types de lentilles: les lentilles convergentes et les lentilles divergentes. Cette dénomination provient du fait que, comme nous le verrons plus tard, les premières transforment un faisceau parallèle en un faisceau convergent, et les secondes en un faisceau divergent. Au premier abord, on peut distinguer les deux types de lentilles par deux observations simples: au toucher: les lentilles convergentes sont à bord mince et à centre épais, tandis que les divergentes sont à bord épais et à centre mince. à l'oeil: si l'on regarde un objet à travers une lentille, cet objet est agrandi si la lentille est convergente (c'est le principe d'une loupe) et rétréci si la lentille est divergente. 3

4 Nous nous placerons par la suite uniquement dans le cadre des lentilles minces, c'est-à-dire les lentilles dont l'épaisseur e est très petite devant leur diamètre d. n peut alors considérer que les sommets S 1 et S 2 sont confondus en un point, appelé centre de la lentille. L'axe de symétrie de révolution de la lentille, qui est perpendiculaire à la lentille en son centre, est appelé axe optique de la lentille. Dans ce cadre, on représente les lentilles comme indiqué g 2. Le comportement d'un a) b) Fig. 2 Schéma d'une lentille convergente (a) et d'une lentille divergente (b) rayon lumineux traversant une lentille se déduit des lois de la réfraction. Cependant, une telle étude, quoique pas dicile, est assez fastidieuse, aussi allons nous nous placer dans le cadre d'une approximation, qui rendra cette étude nettement plus aisée. 1.2 L'approximation de Gauss. Stigmatisme des lentilles A priori, les lentilles ne sont pas des appareils présentant un stigmatisme 1 rigoureux. Cependant, il existe un cadre d'étude, appelé conditions de l'approximation de Gauss, où les lentilles le sont, et ceci pour n'importe quel point objet et son image. Les deux restrictions de cette approximation sont les suivantes: les rayons incidents doivent tomber sur la lentille au voisinage de son centre les rayons incidents doivent être peu inclinés par rapport à l'axe optique. 1. Rappelons que le stigmatisme est la propriété d'un système optique suivante: si l'on considère un point source A, alors tous les rayons issus de ce point et traversant le système en ressorte en se coupant tous en un même point, appelé point image A'. 4

5 Dans le cadre de cette approximation, le système optique constitué par la lentille est stigmatique. Il s'agit d'un stigmatisme approché. 1.3 Centre optique, foyers Il existe dans une lentille mince trois points remarquables. Commençons tout d'abord par le centre optique. Si l'on se reporte à la gure 1, on s'aperçoit pour un rayon tombant sur la lentille en ce point, celle-ci va se comporter comme un dioptre plan. Le rayon sortant de la lentille va donc être parallèle au rayon incident. Par ailleurs, dans le cadre des lentilles minces, on a e << d, ce qui implique qu'en fait le rayon issu de la lentille va être confondu avec le rayon incident. n en tire donc que: un rayon tombant sur la lentille en son centre optique ne sera pas dévié Considérons à présent un faisceau parallèle provenant de l'inni et se propageant parallèlement à l'axe optique. n peut considérer que tous les rayons de ce faisceau passe par un unique point, situé à l'inni. En raison du stigmatisme supposé de la lentille, tous ces rayons vont donc se couper en un seul point. Par ailleurs, comme le problème est à symétrie cylindrique, ce point ne peut être que sur l'axe optique. n appelle ce point point focal image de la lentille, et on le note F. n peut synthétiser ce résultat sous la forme: un rayon tombant sur la lentille parallèlement à l'axe optique passera par le point focal image, situé sur l'axe optique Comme la lentille, dans le cadre des lentilles minces, est un objet symétrique, il découle immédiatement, en raison du trajet inverse de la lumière 2, qu'il va exister un point F, situé sur l'axe optique et symétrique du point focal image, tel que tout rayon passant par ce point va émerger de la lentille parallèlement à l'axe optique. n appelle ce point point focal objet. 1.4 Distance focale, vergence Avant de continuer, il convient de préciser qu'il faut, dans le cadre de l'étude des lentilles, orienter l'axe optique, conformément aux sens de propagation de la lumière. En général, on l'oriente de gauche à droite. Cette orientation permet 2. Ceci découle du principe de Fermat: si un rayon parcours un chemin optique dans un sens, alors ce trajet est minimal, et il le sera également si le rayon le parcours dans l'autre sens 5

6 d'utiliser les valeurs algébriques des longueurs. Si on considère deux points de l'axe optique A et, alors: si A est à gauche de, alors A = A si A est à droite de, alors A = A Remarquons que l'ordre des points dans la valeur algébrique est cruciale puisque, de manière générale, A = A. Par dénition, on appelle distance focale de la lentille la quantité: f = F et vergence de la lentille: C = 1 = 1 f F La vergence s'exprime en dioptries (δ), si la distance focale est en mètre. Cette distance focale peut être, selon les lentilles, positive ou négative. Cette classication en deux catégories rejoint la diérenciation entre les lentilles convergentes et les lentilles divergentes, comme le montre la gure 3. a) b) Fig. 3 Foyer image d'une lentille CV (a) et d'une lentille DV(b) 1.5 bjet, image, réels ou virtuels? Avant de continuer, dénissons les notions d'objet et d'image, que nous avons déjà utilisées: un point objet est un point qui, pour le système optique considéré, émet les rayons lumineux qui vont tomber sur le système optique. 6

7 un point image est un point qui,pour le système optique considéré, est constitué par le point d'intersection des rayons issus du système optique et provenant d'un point objet. n peut ensuite considérer deux autres catégories de points: un point réel est un point d'intersection de rayons lumineux par lequel ces rayons sont réellement passés. n peut observer ce point sur un écran. un point virtuel est, a contrario, un point d'intersection de rayons lumineux par lequel ces rayons ne sont pas réellement passés, mais dont le prolongement dénit cette intersection. n ne peut l'observer sur un écran. 2 Construction des images 2.1 Faisceau parallèle Considérons à présent un faisceau parallèle arrivant sur la lentille en faisant un angle θ avec l'axe optique. n peut encore une fois considérer que ce faisceau est émis par un point situé à l'inni, et donc que tous les rayons vont, au sortir de la lentille, se couper en un point (g.4). Mais où est situé ce point? a) b) F F Fig. 4 Construction de l'image d'un faisceau parallèle incliné Ce point peut être construit par les deux rayons suivants: le rayon passant par, qui n'est pas dévié le rayon passant par F, qui ressort parallèlement à l'axe optique. 7

8 Ces deux rayons ainsi que l'axe optique forment un parallèlogramme, et on a donc: x = F = F Ainsi l'image de ce faisceau va se trouver dans le plan focal image. Cette image sera réelle dans le cas de la lentille convergente, virtuelle dans le cas de la lentille divergente. n peut résumer ceci de la façon suivante: deux rayons parallèles tombant sur la lentille sont déviés de telle sorte qu'ils se coupent dans le plan focal image de la lentille Par ailleurs, en utilisant le principe du trajet inverse de la lumière 3, on en déduit que tout point objet situé dans le plan focal objet de la lentille va générer via la lentille un faisceau parallèle. 2.2 Construction de l'image d'un objet Considérons un objet AB situé avant la lentille. n peut construire l'image du point B en utilisant les trois rayons qui passent par les trois points particulier de la lentille (son centre et ses deux foyers. Fig.5). a) b) B A F I A I J F J B Fig. 5 Construction de l'image d'un objet 3. Ce principe se déduit du principe de Fermat. Il dit que si la lumière va d'un point A à un point B en suivant un trajet, alors elle suivra le même trajet pour aller du point B au point A, puisque le caractère extrêmale de ce trajet ne dépend pas du sens dans lequel il est parcouru. 8

9 D'après le théorème de Thalès dans les triangles BAF et F J d'une part, et dans les triangles B F A et F I d'autre part, on a: J AB = F F A = I = F A A B F en appelant B l'image de B et A le projeté orthogonal de B sur l'axe optique. n a donc: f F A = F A f ce qui donne: F A.F A = f 2 (1) Cette équation s'appelle formule de Newton. Elle nous donne la position du point A, et donc du point B sur l'axe optique. Remarquons que cette position ne dépend pas de la "hauteur" de B : la lentille dans l'approximation de Gauss satisfait à la condition d'aplanétisme. En utilisant alors la relation de Chasles dans la relation 1, on obtient: ( ) ( ) F + A F + A = f 2 soit: ( f + A ) ( ) f + A = f 2 et donc: A.A = f ( ) A A enn, si on exclut le cas ou A = A =, on trouve: 1 A 1 A = 1 (2) f relation de conjugaison de Newton. La même méthode permet de trouver le grandissement transversal, en utilisant à nouveau Thalès dans les triangles AB et A B : γ = A B AB = A A 3 Expériences et exercices 3.1 Détermination grossière de la distance focale n considère que les néons situés au plafond sont à l'inni. n projette leur image sur le sol et on mesure la distance entre le sol et la lentille, qui vaut alors f 9 (3)

10 3.2 Autocollimation n place un miroir sur la lentille, et on déplace la lentille de telle sorte que l'image par ce système se trouve au même endroit que la source, c'est-à-dire que l'on obtient une image sur le diaphragme qui produit l'image. Dans cette situation, la distance entre l'objet et la lentille vaut exactement la distance focale. En eet, la lentille produit, à partir de n'importe quel point A de cette image, un faisceau parallèle. Ceci équivaut à placer l'image A' de A à l'inni, ce qui constitue pour le miroir un objet à l'inni du côté négatif de l'axe optique. Le miroir va donc générer une image à l'inni du côté positif de l'axe optique A. Les rayons vont alors repasser par la lentille, qui va générer une image sur dans le plan focal objet de la lentille, c'est-à-dire exactement là où se trouve l'objet. Le trajet des rayons lumineux est schématisé sur la gure 6. F Fig. 6 Détermination de la distance focale par autocollimation 3.3 Déterminations informatiques de la distance focale Méthode directe - relations de conjugaisons n prend diverses positions de l'objet et donc de l'image associée. n mesure à chaque fois A et A, puis on trace par informatique la fonction: ( ) 1 1 = G A A 10

11 Après une interpolation linéaire, on trouve une droite de coecient 1 et dont l'ordonnée à l'origine vaut 1 f Méthode de Bessel Reprenons la relation 2:. Soit x = A < 0. n a: 1 A 1 A = 1 f A = f x f + x n voit alors immédiatement que si l'on veut qu'il y ait une image réelle, c'est-àdire que A > 0, alors il faut que x < f. Evaluons à présent la distance qui sépare les deux images: D(x) = A x = f + x Cette fonction présente un minimum en x = 4f, ce qui implique qu'une projection n'est possible que si D > 4f. Par ailleurs, considérons un objet donné. Comme la fonction D(x) présente un minimum, il existe, pour une valeur donnée de D (expérimentalement la distance qui sépare l'objet de l'écran) deux positions de la lentille, données par x vériant la relation ci-dessus. Ces deux positions sont les solutions de l'équation: x 2 Dx Df = 0, et l'écart entre ces deux positions est donné par: d = = x2 D 2 4Df Les deux positions seront donc caractérisées par: f = D2 d 2 4D n peut alors trouver la distance focale de manière précise en une seule mesure, ou bien tracer, si l'on a le temps: d 2 D = G(D) puisque d2 = D 4f, qui donne encore une droite de coecient 1, mais d'ordonnée D à l'origine 4f. 11

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