Angles orientés. I - Mesure d un angle en radian. II - Angle orienté d un couple de vecteurs. π π M +

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1 ngles orientés 1ère S I - Mesure d un angle en radian M + α Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 orienté. O Suruncercletrigonométrique,lalongueurdel arc M est la mesure en radian de l angle α : ÂOM = M= α radians 180 α deg α rad 180 Sur un cercle re rayon R, si ÂOM = α rad, alors M= Rα. Si M= α, alors M= α+ α+ α α... On note M α [], ou M= α+k,k Z. Propriété On appelle mesures de l angle orienté ÂOM = forme α+k, k Z. O, OM tous les réels de la On appelle mesure principale de l angle u, v = α + k, k Z, la mesure de l angle dans l intervalle ] ;]. Exercice 1 onner la mesure principale de : II - ngle orienté d un couple de vecteurs éfinition Soit u et v deux vecteurs non nuls. Soit un cercle trigonométrique de centre O, et M et N tels que u = OM et v = ON. Les demi-droites [OM et [ON coupent le cercle en et. L angle orienté u, v est l angle O, O dont la valeur absolue est ÂO. v + α v O u u Y. Morel - xymaths.free.fr/lycee/1s/ ngles orientés- 1ère S - 1/10

2 Exercice est un triangle équilatéral tel que, = et E//. éterminer la mesure principale de chacun des angles orientés :,,,,,,,,, E, III - Propriétés des angles orientés E Propriété eux vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si u, v = k ou u, v = +k, avec k Z donc u, v 0 []. Si u, v = 0, u et v sont colinéaires de même sens; si u, v =, u et v sont colinéaires de sens contraires. éfinition eux vecteurs u et v sont orthogonaux lorsque u; v = +k ou u; v = +k, avec k Z donc u; v = []. Propriété Relation de hasles Pour tous vecteurs u, v et w non nuls, on a : orollaire Pour tous vecteurs u et v non nuls, u, v+ v, w = u, w u, v = v, u u, v = u, v+ u, v = u, v+ u, v = u, v émonstration: u, v+ v, u = u, u = 0, d où, u, v = v, u. u, v = u, v+ v, v, or v, v =, d où u, v = u, v+ u, v = u, u+ u, v = + u, v u, v = u, v+ = u, v+ + u, v Exercice est un triangle tel qu une mesure de est et une mesure de, est 6. La droite H est la hauteur issue de. éterminer les mesures principales des angles :, ;, ; H, ; H,, Exercice Soit u et v deux vecteurs non nuls tels que : u, v = +k, k Z. H onner les mesures de : u, v; u, v; u, v; v, u Exercice 5 Une mesure de, est 5, et de 6, E est. E éterminer une mesure de l angle, E. Que peut-on en conclure quant aux droites et E? Y. Morel - xymaths.free.fr/lycee/1s/ ngles orientés- 1ère S - /10

3 Exercice 6 est un parallélogramme. Montrer que :, +, = k, k Z. IV - Trigonométrie 1 osinus et sinus d un angle 1 sinx M x éfinition Soit x IR et M le point du cercle trigonométrique tel que x soit une mesure de l angle orienté i, OM. Le cosinus, noté cosx, de x est l abscisse de M ; son sinus, noté sinx, est son ordonnée. O cosx 1 Valeurs remarquables x 0 sinx 0 cosx sinα O α M cosα Propriété Pour tout réel α : cos α+sin α = 1 1 sinα 1 ; 1 cosα 1 cos α = cosα; sin α = sinα cos α = cosα ; sin α = sinα; cos +α = cosα ; sin +α = sinα; cos α = sinα ; sin α = cosα; cos +α = sinα ; sin +α = cosα; Exercice 7 onner les valeurs exactes de : cos ; sin ; cos 5 6 ; sin 5 6 ; cos ; sin ; cos Exercice 8 1. Soit x [0;] tel que cosx = 1. éterminer sinx. [ ]. Soit x ; tel que sinx =. éterminer cosx. 5 ; sin Exercice9 Onposem = sin Exprimerenfonctiondem: sin ; sin ; cos ; sin ; Y. Morel - xymaths.free.fr/lycee/1s/ ngles orientés- 1ère S - /10

4 Exercice 10 alculer les expressions suivantes, sans utiliser la calculatrice : = sin + sin 5 5 = sin + sin = cos 10 + cos 5 Equations trigonométriques + sin sin cos 5 + sin sin cos Propriété L égalité cos α = cos β équivaut à α = β +k ou α = β +k. L égalité sinα = sinβ équivaut à α = β +k ou α = β +k. Exemple : cosx = cos x = +k ou x = +k Exercice Résoudre dans IR l équation cosx = cos 6.. Résoudre dans ] ;] l équation sinx = sin 6 trigonométrique.. onner la mesure principale des solutions de l équation cos x = Exercice 1 Résoudre dans IR l équation : cos x+ = 6 onner la mesure principale des angles x solutions. Exercice 1 Résoudre dans IR l équation : sin x+ onner la mesure principale des angles x solutions. et représenter ses solutions sur un cerlce. = 1. Exercice 1 éterminer les racines de PX = X X 1. En déduire les solutions de l équation : cos x cosx 1 = 0. Exercice 15 Résoudre dans IR l équation : cos x cosx =. Exercice 16 Résoudre dans IR l équation : sin x+ 5 +sin 6. x+ 5 6 =. Y. Morel - xymaths.free.fr/lycee/1s/ ngles orientés- 1ère S - /10

5 V - Produit scalaire 1 éfinitions Leproduitscalairededeuxvecteursnonnuls uet v,noté u v,estlenombre, u v = u. v.cos u, v. v θ u v = u. u.cosθ u Exemple : 1 O u 1 v u v = cos = 6 Propriétés Le produit scalaire est symétrique : u v = v u émonstration: Si les vecteurs u et v sont colinéaires de même sens, alors u v = u. v. Si les vecteurs u et v sont colinéaires de sens contraires, alors u v = u. v. Les vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : u v u v = 0 Le produit scalaire d un vecteur u avec lui-même, appelé carré scalaire et noté u, est u = u u = u. v u = v u cos v, u = v u cos u, v = u v cos u, v = u v uet ucolinéairesdemêmesens u, v = 0+k,k Z= cos u, v = 1= u v = u v. u et u colinéaires de sens contraires u, v = +k, k Z = cos u, v = 1 = u v = u v. u et u orthogonaux u, v = +k, k Z = cos u, v = 0 = u v = 0. Propriétés Le produit scalaire est bilinéaire : u v + w = u v + u w u k v = k u v = k u v Exercice 17 Soit un triangle tel que =, = et =. 1. alculer et en déduire.. L angle  est-il aigu ou obtus? Y. Morel - xymaths.free.fr/lycee/1s/ ngles orientés- 1ère S - 5/10

6 orollaire Identités remarquables scalaires : u+ v = u+ v u+ v = u + v + u v u v = u + v u v u v = u+ v u v Théorème Pythagore! est un triangle rectangle en si et seulement si + =. émonstration: = = + = + + insi, = + = 0 et orthogonaux Projection orthogonale éfinition Le projeté orthogonal H d un point M sur une droite d est le point d intersection de la droite d et de la perpendiculaire à d passant par M. M d Propriété Soit et deux vecteurs, et et les projetés othogonaux de et sur la droite ; alors =. = émonstration: = + + = }{{ } + =0 + }{{ } =0 = Propriété Soit trois points, et distincts. lors, = H où H est le projeté orthogonal de sur. insi, = H si H [ ou = H si H / [. Produit scalaire et normes Propriété u v = 1 u+ v u v H Y. Morel - xymaths.free.fr/lycee/1s/ ngles orientés- 1ère S - 6/10

7 émonstration: u+ v = u+ v = u + v + u v u v = 1 u + v u+ v Exercice 18 est un parallélogramme tel que =, = 5 et = alculer, et.. éterminer une valeur approchée des mesures des angles,,, et,. Exercice 19, et sont trois points tels que = 6, = 5 et = Montrer que = +.. En déduire la valeur de.. On note E le point tel que E soit un parallélogramme. éterminer une valeur approchée de la longueur de la diagonale [E]. Expression analytique du produit scalaire Propriété Soit dans un RON deux vecteurs ux;y et vx ;y, alors, u v = xx +yy. émonstration: On a u v = 1 u+ v u v, avec, u = x + y, v = x + y, et, comme u + v a pour coordonnées x + x ;y + y, u+ v = x+x +y +y. On a alors, u v = x+x +y +y x +y x +y = xx +yy. Exercice 0 ans le plan rapporté à un RON, on considère les points 1;5, 6; et 8;. alculer, et. éterminer une mesure, approchée à 10 1 près, des angles, Â et. Exercice 1 ansleplanrapportéàun RON, onconsidère les points 0;1, 1; 6, 1; 8 et 8; 5. Les droites et sont-elles perpendiculaires? VI - Exercices Exercice est un carré de côté 1, et E et F sont deux points tels que E = et F =. émontrer que les droites F et E sont perpendiculaires : E 1. Par un calcul vectoriel.. En se plaçant dans le repère ;,. 1 Equation de droites F Exercice Le plan est rapporté à un RON O; i, j. On considère les points 1; 1, ;, ;, ;1, E17;1 et F5;6. 1. Montrer que. Y. Morel - xymaths.free.fr/lycee/1s/ ngles orientés- 1ère S - 7/10

8 . -t on //EF?. éterminer l équation de la médiatrice de [].. éterminer l équation de la droite d perpendiculaire à et passant par l origine du repère. Propriété 1. ans un RON, une droite a pour vecteur normal na;b si et seulement si elle admet une équation cartésienne de la forme ax+by +c = 0. émonstration:. Une droite a pour vecteur directeur ua;b si et seulement si elle admet une équation cartésienne de la forme bx ay +c = Soit d une droite de vecteur normal na;b, x ;y d et Mx;y d. Onaalors, M u = 0 ax x +by y = 0 ax+by+c = 0, avec c = ax +by.. Soit d une droite de vecteur directeur ua;b, x ;y d et Mx;y d. On a alors, M et u colinéaires x x b y y a = 0 bx ay+c = 0, avec c = bx ay aractérisation d un cercle Le cercle de centre Ix 0 ;y 0 et de rayon r est l ensemble des points Mx;y du plan tels que OM = r. On a OMx x 0 ;y y 0, et donc, dans un RON O; i, j, OM = OM = x x 0 +y y 0, d où Mx;y Propriété ans un RON O; i, j, l équation du cercle de centre Ix 0 ;y 0 est j x x 0 +y y 0 = r. O x Exemple : L équation x +y+ = 1 est l équation du cercle i de centre I; 0 et de rayon r = 1 =. Exercice Le point 1; appartient-il au cercle d équation : x +y x y + = 0? e point appartient-il à la droite d d équation y = x? éterminer les coordonnées des points d intersection de d et de. Propriété Le cercle de diamètre [] est l ensemble des points M tels que M M = 0 : y 0 M M M = 0. Exemple : Soit le cercle de diamètre [] avec 1; et ;5. Soit Mx;y un point de, alors M ;, et M ; M M = 0..., d où Y. Morel - xymaths.free.fr/lycee/1s/ ngles orientés- 1ère S - 8/10

9 Remarque : Tout cercle a donc une équation de la forme x + y + ax + by + c = 0 polynôme du second degré à deux variables. Par contre, une équation de cette forme n est pas nécessairement celle d un cercle. Exercice 5 On se place dans un RON 1. 1 de centre ; et de rayon ; O; i, j. de centre 1;1 passant par ;;. de diamètre [O] avec 0;;. de diamètre [EF] avec E; 1 et F ; 1; ; déterminer une équation du cercle : Exercice 6 ans un RON O; i, j, on donne les équations suivantes. Pour chacune d entre elle, dire s il s agit de l équation d un cercle, et si oui, préciser son centre et son rayon. 1. x +y x+y +5 = 0. x +y x+y +5 = 0. x +y x 6y +7 = 0.. x +y x y = 0 5. x 1x +y +y 1 = 0 6. x +y x y +7 = 0 Exercice 7 1. éterminer le centre et le rayon du cercle dont une équation dans le RON x +y x y 8 = 0. O; i, j. éterminer les coordonnées des points d intersection de ce cercle avec les axes du repère. Exercice 8 éterminer l équation du cercle de centre 1; et tangent à l axe des abscisses. Exercice 9 On donne le point 1; et la droite d d équation x+y = 0. émontrer que le cercle de centre passant par O est tangent à d. Exercice 0 O; i, j est un RON direct. Soit et les points du cercle trigonométrique associés aux angles et. 1. Quelle est la mesure de l angle ÂO?. a Quelles sont les coordonnées de et? b En déduire que + 6 O O =.. a Justifier que O O = cos 1. b En déduire la valeur exacte de cos 1, puis vérifier que sin 6 1 =. Exercice 1 Soit un carré. On construit un rectangle PQR tel que : P et R sont sur les côtés [] et [] P = R. 1. Justifier que : Q PR = Q R P.. En déduire que les droites Q et P R sont perpendiculaires. P Y. Morel - xymaths.free.fr/lycee/1s/ ngles orientés- 1ère S - 9/10 R Q est :

10 Exercice On se place dans un RON, dans lequel on considère le triangle avec 1;, ;1 et ;. 1. éterminer une équation de la médiatrice de [].. éterminer une équation de la hauteur issue de dans le triangle. Exercice ans un RON, on donne Ω;. 1. éterminer l équation du cercle de centre Ω et de rayon R = 5.. émontrer que le point ;0 est un point du cercle.. éterminer une équation cartésienne de la tangente en au cercle. Exercice est un rectangle tel que = et = 5. E est le milieu de []. 1. alculer les longueurs et E.. En exprimant chacun des vecteurs et E en fonction des vecteurs et, calculer le produit scalaire E.. Endéduirela valeurdel angleθ = E, à10 degréprès. θ Exercice 5 E et EFG sont deux carrés de côtés respectifs 6 cm et cm. O est le milieu de [G]. Les droites O et E sont-elles perpendiculaires? G O F E Y. Morel - xymaths.free.fr/lycee/1s/ ngles orientés- 1ère S - 10/10