Exponentielles et Logarithmes
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- Florence Marion
- il y a 6 ans
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1 Epotills t Logritms Il ist d ombru péomès pysiqus où u grdur y vri octio d u grdur d tll sort qu lorsqu s ccroît d u vlur T, y s trouv divisé pr 2. Aisi st il d l loi d décroissc rdioctiv, d l décrg d u codstur. Cci coduit turllmt à crcr u octio mtémtiqu () tll qu : Où k > 0 t C problèm srit lors résolu si o trouvit ds octios vériit pour tous t y réls : ( + y) = () (y) O ot lors qu ls octios puisscs d u ombr positi doé à post vribl c'st-à-dir d l orm vc ot ctt propriété mis sulmt pour t y tirs rltis t mêm rtiols. pour l istt t ps d ss. Il covidrit lors d costruir d tlls octios qui prologt l déiitio d u ombrs irrtiols, t qui soit dérivbls sur. Ai d costruir d tlls octios, supposos qu lls istt t ttos d déduir ds propriétés cocrt lur dérivé. Soit doc u octio dérivbl sur vériit : ( + y) = () (y) (0) = 1 Evluos lors l tu d ccroissmt d tr t : 1
2 E psst à l limit pour ié t tdt vrs 0 o doc : E ott k l ombr, o voit qu st doc solutio d u équtio dit diértill du prmir ordr d l orm : Rpplos qu st ssé prologr d mièr «cotiu» l déiitio ds puisscs rtiolls d u ombr strictmt positi. st doc ssé êtr strictmt positiv t strictmt croisst déii sur t à vlurs ds. Ell st doc ssé dmttr u réciproqu g déii sur t à vlurs ds. L réciproqu g d vérii doc : : g ( ()) = E dérivt ctt rltio il vit : Soit cor : : g ( ()) = 1 Filmt post y = () : g g Autrmt dit l réciproqu st u primitiv d u octio simpl sur. Il y doc du vois pour costruir ds octios yt l propriété ds puisscs t pplés potills. L prmièr cosist à crcr ds solutios à l équtio diértill vériié pr. L scod cosist à 2
3 costruir ls réciproqus pplés logritms crct ds solutios à l équtio vériié pr g. Nous llos doc visgr l problèm sous ls du gls. I Costructio ds octios potills L problèm s pos isi : Trouvr u octio dérivbl sur vériit : t 1) potill d bs : Commços pr l cs où k = 1. Crcos sous orm d u «sort d polyôm» ous llos voir qul ss. Puisqu (0) = 1, c polyôm doit voir pour trm costt 1.Soit : Doc :.. Doc. Doc. 3
4 Et isi d suit. O obtit isi : lim. s prést doc pour ié comm limit d u suit dot il ut s ssurr qu ll covrg. C poit it prti d l étud ds séris tièrs. L pruv d l covrgc s it pour > 0 utilist l critèr d Dlmbrt (voir ic à c sujt) mis pour 0 < < 1 u pruv put êtr obtu cilmt ott qu l suit st croisst t mjoré comm suit :. Nous llos lors ss utilisr ls résultts sur ls séris tièrs l dérivbilité d () sur. Mis u prélbl ous llos étblir qu vérii l propriété pour lqull ous l vios costruit à svoir : ( + y) = () (y) Nous vos d u prt : Doc : m D utr prt : m m 4
5 Doc : m m L prmir mmbr td vrs qud N td vrs l iii, l prmir trm du scod mmbr td vrs () (y), il rst doc à motrr qu l duièm trm td vrs 0.Notos pour cl : m m Or : lim lim Doc l mjort du duièm trm td vrs églmt. d où l duièm trm O déduit lors l rltio crcé : ( + y) = () (y) Nous llos pouvoir lors motrr qu st dérivbl sur utilist ctt propriété. Formos t l tu d ccroissmt d tr t : 5
6 Il suit doc d motrr qu st dérivbl 0. Or : Et pr pssg à l limit qud N td vrs l iii t pour ié : D où : Et pour : Fisos tdr N vrs l iii pour ié. Pr compriso il vit : L qutité mjort tdt vrs 0 qud td vrs 0, o déduit : lim D où : lim Et : 6
7 lim Nous llos lors motrr qu st strictmt positiv sur. Pour 0, cl st évidt pr pssg à l limit cr : Pour < 0, il suit d otr qu : 1 = (0) = ( + (-)) = () (-) Doc () t (- sot ivrss l u d l utr t doc d mêm sig. Il découl qu st strictmt croisst sur. Emios lors ls limits plus t mois l iii. Notos pour cl, pr u récurrc évidt, qu : t qu : il découl : (2) > 1 lim lim étt strictmt croisst il résult : D utr prt : lim lim lim lim lim t Rst à voir si prolog l déiitio d u octio d l orm pour >0. 7
8 Posos : lim. Dot u vlur pprocé à 0,01 près st 2,72. Alors pour tir turl : t pour m tir turl o ul t tir rlti : m m m m m m D où m m Autrmt dit pour rtiol : O covit d otr () sous ctt orm pour tous ls réls, c'st-à-dir y iclut ls irrtiols, compt tu ds propriétés d qui s pprtt à cll ds puisscs, t qu ous résumos ici : Pour tout coupl (,y) d réls : ( + y) = () (y) (0) = 1 8
9 Nous vrros, près voir déii ls potills bs (>0) qu l o put églmt joutr u propriété propr u puisscs : Cci prmttr d utilisr l s mbol comm si o vit ir à l puissc d u ombr, c qui st l cs qu pour ls ombrs rtiols. Ls propriétés s réécrivt d u mièr simpl à mémorisr : = 1 Crcos mitt s il ist d utrs solutios qu cll qu ous vos d costruir u problèm : Notos qu c c Doc otr problèm u solutio uiqu, puisqu (0) = 1 impos à l costt c d vloir 1. 9
10 Pssos mitt à l potill bs qulcoqu 2)potill d bs > 0 : Rpros l problèm iitil, à svoir, trouvr u octio vériit C problèm s résout d u mièr totlmt logu à clui pour lqul k = 1 t coduit pour rél à u solutio uiqu déii pr : lim. Autrmt dit : Et post = (1) = o pour rtiol : Il st isé d costtr qu ls mêms propriétés qu c qui prmt d étdr l ottio précédt u ombrs réls. Ls propriétés s résumt lors isi : = 1 Notos qu l tsio d l ottio coduit déiir à prtir d rél sous orm : pour 10
11 Et doc pour k t réls qulcoqus : C qui cèv d démotrr u propriété lissé précédmmt suspd t prmt d démotrr l drièr propriété à svoir : II Costructio ds octios logritms Ls logritms sot ls octios réciproqus ds octios potills. 1) logritm d bs : Commços pr l logritm épéri L, qui st l réciproqu d l octio potill bs. S déiitio st l suivt : Tout ombr rél strictmt positi possèd u técédt y pr l octio potill, c ombr st lors l img d pr l octio L. Autrmt dit : Pour rél strictmt positi t y rél Il découl : L L Ls propriétés du logritm vot lors s déduir d clls d l potill. Il suit d écrir tout ombr sous orm d l potill d u ombr. E t posos pour t du réls strictmt positis : 11
12 lors : L L L L Doc : L L L L L L L Doc : L L L E prticulir : L L L L Et pour k rél : L L L Soit : L L Rvos sur l déiitio d l potill d bs. vc Autrmt dit ls potills d bs s primt sous l orm : t lur dérivé st soit : L 12
13 Notr qu ctt ormul s rtrouv vc l dérivtio d l composé d t d L(). 2) logritm d bs L logritm d bs st l réciproqu d l octio potill d bs. Pour rél strictmt positi t y rél Il découl : Log Log Nous llos voir qu c logritm s prim simplmt à prtir du logritm épéri. E t : Soit l img pr Log d > 0, lors doc L L L L D où Log L L L Autrmt dit l logritm bs st proportiol u logritm épéri. Ls propriétés du logritm bs s déduist doc d clls du logritm épéri à svoir Pour t réls strictmt positis t rél : Log Log Log Log Log Log 13
14 Log Log Log Log II Costructio prmir ds octios logritms Nous pouvos ivrsr l problèm t commcr pr costruir ls octios logritms, ls potills srot lors déiis comm lurs réciproqus. Ctt costructio écssit l coissc du clcul itégrl t d ss propriétés. Ell s vèr lors plus simpl qu l précédt. Rpplos qu il s git d trouvr ls octios g dérivbls sur l smbl ds réls strictmt positi t vériit g g(1) = 0 C problèm s rmè à u rcrc d primitiv. Il suit d l résoudr pour k = 1, c qui corrspod à l costructio du logritm épéri. Or l clcul itégrl ous ourit u répos, l octio ivrs étt cotiu sur doc itégrbl sur tout sous itrvll rmé boré. Posos pour : L t dt U téorèm sur l itégrl ous ssur qu L st dérivbl sur t qu : L Pr dérivtio composé, o déduit si u st u octio dérivbl : 14
15 L u u u Cosidéros lors pour y>0 l octio d prmétré pr y : g L Et dérivos l sur : g L Doc il ist u costt c(y) ( dépdt ps d mis du prmètr y) tll qu : g L L c Pour détrmir c, il suit d écrir l rltio pour, cl do : Soit : L L c c L O déduit : L L L E prt pour l ivrs d, ctt ormul coduit à : L L Puis : L L L L L L Pr récurrc évidt sur tir turl : L L 15
16 D où o déduit : L L L L Puis pour p tir rlti t m tir turl : m L L p L D où : Soit pour tout rtiol : L L p m L L Nous vrros qu ctt rltio s étd à rél près voir déii l potill d bs. A t costruit l logritm épéri, ls utrs logritms s déduist cilmt. C sot ls octios d l orm : g L II Costructio ds potills à prtir ds logritms Nous pouvos lors costruir ls potills comm réciproqus ds logritms commçt pr l réciproqu du logritm épéri, qu ous otros Ep() ds u prmir tmps t déii pr : Pour rél t y strictmt positi : D où o déduit Ep L Ep L L Ep Ls propriétés lgébriqus d l potill s déduist : 16
17 E post pour tout t réls : L t L o : Ep Ep l L Ep L Soit : Ep Ep Ep L coduist à Ep o déduit prt - : Ep Ep Ep Ep Soit : Ep Ep Puis : Soit : Ep Ep Ep Ep Ep Ep Pr récurrc sur tir turl : Ep Ep Ep Ep Ep Ep Ep Ep Ep Et pour p tir rlti, m tir turl : Doc : Ep p m Ep m p Ep p Ep m Ep p m Ep 17
18 Doc rtiol t rél : Ep Ep Nous vrros qu ctt rltio s étd à rél. Vos lors à l costructio ds utrs octios potills cosidért ls octios d l orm : Ep vériios qu lls sot réciproqus ds octios : g L E t otos t vériios qu st l técédt d pr g soit g(y) = : g L L Ep Posos lors = Ep(k), il vit pour rtiol : Ep Ep Il st isé d costtr qu vérii (0) = 1 t pour tout coupl (,y) d réls : ( + y) = () (y) E ott qu = Ep(k) coduit à k = L() o églmt : Ep L Compt tu ds propriétés d, o covit lors d otr pour tout rél t tout strictmt positi : Ep 18
19 Ep L O déiit isi ls potills d bs t d bs. Il st à otr qu ctt déiitio coduit à l propriété pour tout t y réls t tout strictmt positi : II Limits t dérivés ds potills t ds logritms 19
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