chapitre 0 Rappels : trigonométrie et continuité Objectifs : Ce chapitre a pour but de rappeler cours;

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1 chapitre 0 Rappels : trigonométrie et continuité Objectifs : Ce chapitre a pour but de rappeler 1 les relations trigonométriques dans un triangle rectangle; quelques propriétés trigonométriques utiles dans le cadre de ce cours; 3 les fonctions exponentielle et logarithme et leurs propriétés; 4 les limites et la continuité.

2 section 0.1 Fonctions trigonométriques Dans cette section, on revisitera quelques propriétés trigonométriques parmi les plus courantes 1 Identités trigonométriques. Fonctions trigonométriques et leurs inverses. 3 Propriétés des fonctions trigonométriques.

3 1. identités du triangle rectangle (hypoténuse) θ (adjacent) a c (opposé) b Soit le triangle rectangle ci contre. On a Relation de Pythagore c = a + b Relations trigonométriques cos(θ) = adj. hyp. = a opp., sin(θ) = c hyp. = b c, tan(θ) = b a.. Fonctions trigonométriques et leurs inverses On définit les fonctions csc(x) = 1 sin(x), sec(x) = 1 cos(x), cot(x) = 1 tan(x) y 1 sec(θ) sin(θ) θ cos(θ) tan(θ) 1 x On déduit de la relation de Pythagore les identités a) sin (θ) + cos (θ) = 1, θ; b) 1 + tan (θ) = sec (θ), θ; c) 1 + cot (θ) = csc (θ), θ. Z. Coulibaly MTH0103--H018 : 9 janvier / 13

4 graphiques de fonctions trigonométriques usuelles graphiques de fonctions trigonométriques inverses usuelles

5 3. Propriétés des fonctions trigonométriques usuelles sin(x) et cos(x) sont périodiques de période π : cos(x + kπ) = cos(x) et sin(x + kπ) = sin(x) pour tout k Z. sin(x) est impaire sin( x) = sin(x) et cos(x) est paire cos( x) = cos(x); Somme et différence d angle 1. cos(a ± b) = cos(a) cos(b) sin(a) sin(b).. sin(a ± b) = cos(a) sin(b) ± sin(a) cos(b). tan(a) + tan(b) tan(a) tan(b) 3. tan(a + b) = et tan(a b) = 1 tan(a) tan(b) 1 + tan(a) tan(b). On en déduit les formules de linéarisation cos (a) = 1 + cos(a) et sin (a) = 1 cos(a). Formules de déphasage ( ) π 1. cos x = sin(x); 3. cos(π x) = cos(x); ( ) π. sin x = cos(x); 4. sin(π x) = sin(x); Z. Coulibaly MTH0103--H018 : 9 janvier / 13

6 Formules de décalage ( π ) 1. cos + x = sin(x); 3. cos(π + x) = cos(x);. sin( π + x) = cos(x); 4. sin(π + x) = sin(x); Formules d Euler 1. cos(x) = eıx + e ıx (= cosh(ıx)), où ı = 1.. sin(x) = eıx e ıx (= 1 ) ı ı sinh(ıx). Équations trigonométriques 1. cos(x) = cos(y) x = ±y + nπ, n Z.. sin(x) = sin(y) x = y + nπ ou x = π y + nπ, n Z. 3. tan(x) = tan(y) x = y + nπ, n Z. Z. Coulibaly MTH0103--H018 : 9 janvier / 13

7 Transformation de produits en sommes Formules de transformation de produits en sommes cos(a b) cos(a + b) 1. sin(a) sin(b) =. cos(a b) + cos(a + b). cos(a) cos(b) =. sin(a b) + sin(a + b) 3. sin(a) cos(b) =. Transformation de sommes en produits Formules de transformation de sommes en produits ( ) ( ) a + b a b 1. sin(a) + sin(b) = sin cos. ( ) ( ) a + b a b. sin(a) sin(b) = cos sin. ( ) ( ) a + b a b 3. cos(a) + sin(b) = cos cos. ( ) ( ) a + b a b 4. cos(a) cos(b) = sin sin. Z. Coulibaly MTH0103--H018 : 9 janvier / 13

8 angles remarquables π θ y π θ π 3 π 4 π 6 1 x x 0 cos(x) 1 π 6 3 π 4 π 3 1 π 0 θ ±π sin(x) Définition 1 : Fonctions trigonométriques inverses 1. arccos(x) = y cos(y) = x pour x [ 1,1], y [0; π]; [. arcsin(x) = y sin(y) = x pour x [ 1,1], y π ; π ] ; [ 3. arctan(x) = y tan(y) = x pour x R, y π ; π ] ; Z. Coulibaly MTH0103--H018 : 9 janvier / 13

9 section 0. Fonctions exponentielle et logarithme Dans cette, on fait un bref rappel sur les fonctions exponentielles et leurs inverses, les fonctions logarithmes. On énonce également les notions de limite et de continuité. 1 fonction exponentielle. fonction logarithme. 3 Limites et continuités.

10 1. fonction exponentielle Soit a un nombre positif. La fonction exponentielle de base a,a x définie pour tout x R vérifie 1. a x > 0, x R,a 0 = 1 et a x+y = a x a y.. a x = 1 a x. 3. (a x ) y = a xy. 4. lim x + a x = + si a > 1 et lim x + a x = 0 si a < lim x ax = 0 si a > 1 et lim x ax = + si a < 1. fonctions cosinus et sinus hyperboliques 1. cosh(x) = ex + e x, x.. sinh(x) = ex e x, x. Z. Coulibaly MTH0103--H018 : 9 janvier / 13

11 . fonctions logarithmes 4. log a ( x y ) = log a (x) log a (y); 5. log a (x) = log b (x) log b (a) et donc log ln(x) a (x) = ln(a) ; On définit la fonction inverse de l exponentielle a x par la fonction logarithme log a (x) = y a y = x. Le logarithme naturel ou népérien est ln(x) = log e (x). La fonction logarithme de base a vérifie 1. log a (1) = 0, log a (a) = 1.. log a (xy) = log a (x) + log a (y). 3. log a (x r ) = r log a (x). Relation entre l exponentielle et le logarithme On a a log a (x) = x = log a (a x ). Z. Coulibaly MTH0103--H018 : 9 janvier / 13

12 3. limite d une fonction La fonction f : R R converge vers l lorsque x tend vers a si pour tout nombre réel ǫ > 0, il existe un nombre η > 0 tel que x a < η f (x) l < ǫ arithmétique des limites Si lim f (x) = u et lim g(x) = v, alors [f (x) ± g(x)] = u ± v. 1. lim. lim [f (x)g(x)] = uv et lim f (x) g(x) = u, si v 0. v Limite de la composée Si lim f (x) = u et lim g(x) = v, alors x u ( ) lim g(f (x)) = g lim f (x) = v. Z. Coulibaly MTH0103--H018 : 9 janvier / 13

13 Définition 1 : fonction continue y f(x) y f(x) f(a) +ǫ f(a) +ǫ f(a) f(a) ǫ ǫ f(a) f(a) ǫ a η a a+η η fonction continue en a x a + a a Fonction non continue en a x La fonction f : R R est continue en a si lim f (x) = f (a), c est-à-dire que a) f (a) existe, et b) la limite de f quand en x a est égale à la valeur de la fonction f en a. Remarques a) Une fonction f : R R est continue sur un intervalle I si elle est continue en tout point de I. b) Les fonctions suivantes sont continues partout où elles sont définies (i) polynômes, fonctions trigonométriques, (ii) exponentielles et logarithmes, (iii) tous produit, somme ou composition de ces fonctions. Z. Coulibaly MTH0103--H018 : 9 janvier / 13