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1 1 DS1 Sciences Physiques MP Devoir surveillé de Sciences Physiques n 1 du Durée : 4 heures Problème n o 1 Capteurs de proximité E3A PSI 2013 Les capteurs de proximité sont caractérisés par l absence de liaison mécanique entre le dispositif de mesure et l objet constituant la cible. L interaction entre eux est réalisée par l intermédiaire d un champ électrique, d un champ magnétique ou d un champ électromagnétique. On donne les relations : Informations sur l amplificateur opérationnel : 2sinasinb = cos(a b) cos(a+b) et cosa = 1 tan2 a/2 1+tan 2 a/2 i = 0 - ε = 0 + V i + = 0 V + i s 0 u s Figure 1 Amplificateur opérationnel idéal utilisé en régime linéaire L amplificateur opérationnel est un amplificateur différentiel. Il est alimenté en ±15 V par rapport à la masse. Cette alimentation est à l origine de l énergie demandée au niveau de la sortie. L amplificateur opérationnel idéal présente de très fortes impédances d entrée, les courants en entrée sont extrêmement faibles comme pour le circuit multiplieur. On considère que i + = i = 0. L amplificateur opérationnel présente deux types de fonctionnement : le régime linéaire où la tension de sortie est reliée à la tension différentielle d entrée ε par le loi donnée ci-dessous et le régime non linéaire où la tension de sortie sature comme pour le multiplieur au niveau des tensions ±15V = ±V sat. C est cette alimentation qui permet de fournir de la puissance en sortie en assurant un courant d intensité i s pouvant aller à des ordres de grandeurs de dizaines de milliampères. La relation entrée différentielle - sortie du domaine linéaire est modélisée par une fonction passe-bas d ordre 1 : u s = µε = µ 0 1+j ω ω 0 ε avec µ et ω rad s 1. Ainsi en considérant, dans le cadre du modèle d amplificateur opérationnel idéal, que le gain µ 0, on n obtient une sortie bornée que si ε = 0. En fonctionnement non linéaire, on a u s = +V sat lorsque ε > 0 et u s = V sat lorsque ε < 0. Capteur capacitif A. Association de condensateurs La tête de mesure de ce capteur est formée d un conducteur cylindrique (A) et d une enveloppe métallique coaxiale (B) réalisant un condensateur de capacité fixe C e, voir le schéma de la figure 2. Lorsque la cible métallique s approche de l extrémité des conducteurs (A) et (B), ceux-ci constituent avec elle deux autres condensateurs. L un de capacité C(z) a pour armatures le disque externe du conducteur central cylindrique (A) de diamètre 2r, z est la distance qui le sépare de la cible. L autre est un condensateur parasite, de capacité C p (z), formé par l enveloppeextérieure(b) du capteur et la cible. La capacitéd un condensateurplan de surface S et d épaisseur d est donnée par : C plan = ε 0S d La capacité d un condensateur cylindrique de rayons r 1 et r 2 > r 1 et de hauteur l est :

2 Sciences Physiques MP DS1 2 C cyl = 2πε 0l ln(r 2 /r 1 ) cible métallique z C(z) C e armature interne (A) 2r C p (z) e l armature externe (B) B A C(z) C p (z) C e A B Figure 2 Modélisation du capteur capacitif 1. Exprimer C(z) en fonction de r, z et ε 0 puis C e en considérant que e r ce qui permet de faire un développement limité au premier ordre en e/r. Déterminer la capacité équivalente C AB en fonction de C p (z), C(z) et C e. 2. Si on considère que C p (z), comment évolue l expression de C AB? Proposer une opération technique simple permettant de s affranchir de la capacité parasite C p (z) (ce qui sera le cas dans la suite du problème : C p (z) ). 3. Montrer que la capacité C AB peut s écrire sous la forme : ( C AB = C 0 1+k z ) [ r avec C 0 = πε 0 r + 2l ] z 0 z 0 e et k = lz 0 re 4. Déterminer numériquement C 0 et k sachant que r = l = 10mm, e = 1mm, z 0 = 2mm et ε 0 = 8, F m 1. B. Conditionnement du capteur À la tension électrique v(t) = V 0 cos(ωt + φ) peut être associée en notation complexe, le signal analytique v(t) = V 0 expjωt où V 0 = V 0 expjφ désigne l amplitude complexe du signal et j le complexe tel que j 2 = 1. Les amplificateurs opérationnels(ao) sont supposés idéaux et en fonctionnement linéaire. Le capteur de capacité C AB est inséré dans un circuit de mesure comportant deux blocs : un bloc amplificateur et un bloc de filtrage, voir le schéma de la figure 3. R 2 R 1 + v 2 v 1 - amplification v 3 R C AB C filtrage R v 4 Figure 3 Amplification-Filtrage 5. Exprimer les fonctions de transfert (ou transmittances) en boucle ouverte H 1 = V 2 (jω)/v 1 (jω) et H 2 = V 4 (jω)/v 3 (jω) en supposant chacun des blocs alimenté par une tension sinusoïdale. Préciser la nature du filtre de fonction de transfert H 2 (jω). La borne de sortie de l amplificateur est reliée à l entrée du filtre et la borne de sortie du filtre est reliée à la borne non inverseuse de l AO, de sorte que v 1 = v 4 et v 2 = v 3 = v s. 6. Quelle est l expression de la fonction de transfert H(jω) = H 1 (jω) H 2 (jω) en régime sinusoïdal? En déduire l équation différentielle à laquelle obéit la tension v s (t) pour un régime quelconque. Pour quelle valeur

3 3 DS1 Sciences Physiques MP de R 2, fonction de R 1, C et C AB, des oscillations sinusoïdales stables peuvent-elles s établir? Quelle est alors la pulsation ω 0 de ces oscillations? Fixons C = C 0 et R = R 1 = 100kΩ et supposons que z = Déterminer les valeurs de la résistance R 2 et de la pulsation ω 0 de l oscillateur. Dès que la tête du capteur se déplace par rapport à la cible, la capacité C AB varie. La résistance R 2 garde la valeur obtenue dans la question précédente et C est fixée à C Réécrire, pour un faible déplacement de la cible ( z/z 0 1), l équation différentielle vérifiée par v s (t) en faisant apparaître les paramètres k, C 0, R et z/z 0. Comment évolue alors v s (t) pour un faible déplacement z positif ou négatif de la cible? La condition d oscillationn est plus vérifiée à chaqueinstant par une résistancer 2 fixe carcette condition s écrit en fonction de la capacité C AB variable. La résistance R 2 est remplacée par un montage approprié assurant les oscillations. Ce montage ne sera pas étudié ici. 9. Pour une valeur adaptée de R 2, quelle est l expression de la pulsation ω osc des oscillations obtenues en fonction de ω 0, k et z/z 0? C. Conditionnement du signal La tension v 2 (t) = V 0 sinωt est injectée dans une série de trois montages élémentaires A, B et C ne comportant que des composants idéaux, voir le schéma de la figure 4. A B C X R 3 R E Z Y XY Z v 6 R 4 C 4 v SC v 2 R 3 C 3 v 5 Figure 4 Conditionnement du signal du capteur capacitif 10. Déterminer la transmittance T A (jω) = V 5 (jω)/v 2 (jω). Comparer les amplitudes V 5 et V 2 puis exprimer le déphasage ϕ de v 5 par rapport à v 2. Préciser la fonction de cet étage. E représente une tension continue délivrée par un générateur. 11. Préciser le rôle joué par le bloc B. Exprimer la tension instantanée v 6 (t) en sorti de ce bloc, en fonction de l amplitude V 0, du déphasage ϕ, de la tension E, de la pulsation ω et de t. 12. Déterminer la fonction de transfert T C (jω) = V SC (jω)/v 6 (jω). En déduire le rôle de l étage C ainsi que sa pulsation caractéristiqueω C. Montrer que, par un choix judicieux de ω C, la tension de sortie v SC est continue et image de cosϕ. 13. Choisir la valeur particulière du produit R 3 C 3 pour que la tension de sortie V SC du montage soit continue et proportionnelle à la variation z de la distance entre la tête de mesure et la cible (au premier ordre non nul en z/z 0 ). Donner son expression, notée V SC (car indépendante du temps), en fonction de E, k, V 0 et du rapport z/z Proposer une définition de la sensibilité S de ce capteur. L exprimer en fonction de k, V 0, E et z 0, puis la calculer sachant que V 0 = 5,0V et E = 0,5V. 15. Citer les avantages et les inconvénients à l utilisation de ce capteur capacitif.

4 Sciences Physiques MP DS1 4 Problème n o 2 Traitement d un signal Agrégation 2015 A. Modulation Les ondes électromagnétiques sont le support permettant la communication entre un satellite et une station terrestre, qui reçoit et interprète le signal émis par le satellite. Mais, pour transporter une information, la structure de l onde doit être plus complexe qu une simple onde plane progressive sinusoïdale : les ondes doivent être modulées. Ce problème a pour but d illustrer le principe de la modulation d amplitude en supposant que l information à transporter est un signal audible (une vois, une chanson, un son...) et en considérant une porteuse d une fréquence de l ordre du mégahertz dont l amplitude portera l information nécessaire. Dans un premier temps, on étudie la modulation, c est-à-dire la fabrication du signal électrique modulé. Cette étape doit être réalisée avant que le signal soit envoyé sur une antenne émettrice. Puis, dans un second temps, on s intéresse à la démodulation, qui a lieu après réception du signal : à partir du signal reçu, il faut extraire l information transportée. Modulation d amplitude On s intéresse ici à la modulation du signal électrique qui sera envoyé sur l antenne émettrice. Le signal de fréquence élevée, la porteuse, est une tension qui s écrit : U p = U 0 cosω p t L information à transmettre est une tension dont la fréquence est audible, que l on considère pour l instant sinusoïdale : U m = U 1 cosω m t avec U 1 et U 0 deux constantes positives. On injecte ces signaux sur le circuit de la figure 5. E U m (t) additionneur U p (t) multiplieur β U(t) Figure 5 Montage électrique permettant la modulation d amplitude La tension E est une tension continue positive. Dans le circuit multiplieur, la tension sortante est le produit des deux tensions entrantes multiplié par une constante β positive. 1. Pourquoi faut-il moduler un signal audible? 2. Que peut-on dire du rapport ω p /ω m? 3. Déterminer l expression du signal U(t) en sortie du dispositif de modulation. 4. Tracer l allure du graphique U(t) dans le cas où U 1 < E. On fera figurer les différentes échelles caractéristiques temporelles et les échelles de tension. 5. Montrer que le signal U(t) peut d écrire sous la forme suivante : U(t) = βeu 0 (cosω p t+ m 2 cos(ω p +ω m )t+ m ) 2 cos(ω p ω m )t où la grandeur m est à exprimer. 6. Tracer l allure du spectre de U(t). Démodulation d amplitude La tension U(t) est envoyée sur une antenne émettrice, qui transmet un signal à une antenne réceptrice. On souhaite, à partir du signal détecté, extrairele signal intéressant, à savoir la tension U m (t). Pour cela on suppose que le signal délivré par l antenne réceptrice est exactement U(t). On envoie cette tension sur le montage de la figure 6, appelé détecteur de crête.

5 5 DS1 Sciences Physiques MP U(t) R C U c (t) Figure 6 Montage détecteur de crête Le montage de la figure 6 est constitué d une diode idéale dont la caractéristique est donnée à la figure7, puis d une résistance et d un condensateur en parallèle. La diode est un composant électronique dont nous donnerons le modèle idéal : elle se comporte comme un interrupteur ouvert lorsque la tension à laquelle on la soumet est négative u d < 0 et comme un interrupteur fermé lorsque le courant qui la traverse est positif i d > 0. Ces informations peuvent aussi être obtenues par l étude de sa caractéristique courant-tension, voir le schéma de la figure 7. Pour distinguer les deux régimes de fonctionnement de la diode, on dit aussi qu elle est passante lorsque i d > 0 et qu elle est bloquée sinon puisqu alors i d = 0. u d i d i d inter. fermé inter. ouvert 0 u d Figure 7 Diode idéale 7. À quelle condition sur U(t) et U c(t) la diode est-elle passante? bloquée? 8. Supposons qu à t = 0, la diode se bloque, la tension U c vaut alors U c (0). Établir l équation différentielle vérifiée par U c (t) pour t > 0. La résoudre et tracer la courbe U c (t). 9. Sur le graphique de la figure 8, sont tracées les allures des courbes U(t) et U c (t). Reproduire sur la copie ces allures en identifiant les deux courbes. Indiquer quand la diode est passante et quand elle est bloquée. Figure 8 Allure des signaux à l entrée et à la sortie du détecteur de crête 10. Quelle doit être la condition sur ω p, R et C pour que la tension de sortie U c (t) reproduise le mieux la crête de la tension U(t)? Proposer des valeurs raisonnables pour R et C satisfaisant cette condition. 11. En sortie du détecteur de crête, on obtient donc un signal de la forme suivante : U c (t) = E +U m (t) = E +U 1 cosω m t Proposer un montage pour obtenir le signal U m (t) = U 1 cosω m t à partir de la tension U c (t). Préciser les valeurs numériques des composants utilisés. 12. Le montage détecteur de crête de la figure 6 a été réalisé afin de démoduler un signal de la forme U(t). Pour cette expérience, la valeur de la fréquence de la porteuses a été choisie à 5kHz, alors que la fréquence de

6 Sciences Physiques MP DS1 6 la tension U m (t) a été fixée à une valeur de 500Hz. La figure 9 montre des enregistrements des tensions U(t) et U c (t) pour différentes valeurs de R et de C. Commenter les signaux obtenus dans le cas où R = 51kΩ et C = 20nF. La courbe U c (t) est-elle en accord avec l allure théorique attendue de ces deux courbes, présentée à la figure 8? Expliquer les éventuelles différences. 13. Les autres valeurs de R et de C ont-elles été bien choisies? On justifiera la réponse avec des ordres de grandeurs quantitatifs. 14. Sur toutes les figures, on constate que pour ces trois valeurs différentes de C, après démodulation, on n a jamais retrouvé exactement l allure du signal U m (t) en sortie. Proposer une solution pour améliorer le résultat. Figure9 TensionsU(t)etU c (t)mesurées:visualisationdusignalavantetaprèsdémodulationpourr = 51kΩ et différentes valeur de C : 20nF, 4nF et 210nF.

7 7 DS1 Sciences Physiques MP B. Numérisation De nos jours, de nombreux signaux de télécommunications sont transportés sous forme numérique (la télévision depuis 2011, la radio numérique est actuellement en développement...). Cette partie est consacrée à l étude de la transformation d un signal numérique en signal analogique et réciproquement. Le signal physique est une tension comprise entre 0 et 5V. On suppose que le signal numérique correspondant est codé sur un octet, c està-dire 8 bits, chaque bit pouvant prendre la valeur 0 ou 1. Réciproquement, lors du passage du signal numérique à un signal analogique, on souhaite que ce dernier soit également compris entre 0 et 5V. Convertisseur numérique analogique 15. L octet correspondantà la tension 0V est ,et l octet correspondantà la tension 5V est En déduire l octet correspondant à la tension 3, 549 V. On appelle V i avec i [0..7] les huit tensions d entrée d un montage additionneur, qui correspondent aux 8 bits de la valeur numérique de la tension à rendre analogique. V i = 0 si le bit numéro i vaut 0 et V i = u 0 = 40mV 7 si le bit numéro i vaut 1. En sortie de l additionneur, on a V A = 2 i u 0 pour les bits i non nuls. La sortie de l additionneur est reliée à l entrée d un amplificateur de gain γ fournissant une tension V S = γv A. L ensemble constitue un convertisseur numérique analogique (CNA). 16. Dans quel intervalle est comprise la tension intermédiaire V A? 17. Écrire l expression de la tension de sortie V S en fonction des tensions d entrée V i. Quelle doit être la valeur de γ pour que V S soit comprise entre 0 et 5V? 18. En déduire la plus petite valeur de tension non nulle que l on peut mesurer. 19. Soit l octet suivant : Quelles sont les valeurs numériques des tensions d entrée V 0, V 1, V 2...V 7 pour cet octet? 20. La conversion numérique analogique est-elle instantanée? Quels sont les éléments du montage qui limitent la fréquence de conversion? Convertisseur analogique numérique Pour transformer un signal analogique en signal numérique, on utilise un convertisseur analogique-numérique (CAN). On note V la tension analogique à convertir en écriture numérique. La figure 10 propose un exemple de CAN. Le compteur est un élément qui compte en binaire : il part de , puis augmente régulièrement , , La durée entre l affichage de deux octets successifs est notée t 0. Ensuite, un convertisseur numérique analogique transforme ces nombres binaires en tension V B comprise entre 0 et 5V. i=0 ε > 0 alors V D = +V sat ε < 0 alors V D = V sat V 7 V 6 V 5 V 4 V 3 V 2 V 1 V 0 CNA + - ε V B V V D compteur bascule de V D blocage du compteur Figure 10 Schéma complet d un convertisseur analogique-numérique : la tension analogique à numériser est V. Un compteur permet de compter en binaire, et grâce à un convertisseur numérique-analogique, de créer une tension V B analogique qui augmente tous les t 0. Les tensions V B et V sont comparées et le compteur s arrête lorsque la tension V D change de signe.

8 Sciences Physiques MP DS Lorsque la tension V D change de signe, le compteur se bloque, et on peut y lire la tension numérisée en nombre binaire. Combien de temps faut-il pour que V B passe de 0 à 5V? Dessiner l allure de V B (t) en faisant apparaître une échelle caractéristique sur chaque axe. 22. On souhaite numériser la tension V = 1, 781 V. Expliquer succinctement le fonctionnement du montage et donner la valeur obtenue au compteur une fois qu il est bloqué. Quel est le temps nécessaire pour numériser cette tension avec ce montage?