Extrait gratuit de document, le document original comporte 24 pages.

Transcription

1 Exrai graui de documen, le documen original compore 24 pages.

2 Exrai graui de documen, le documen original compore 24 pages.

3 Exrai graui de documen, le documen original compore 24 pages.

4 Exrai graui de documen, le documen original compore 24 pages.

5 HEC-ESCP 2 Mah II opion scienifique ANNALES DE MATHEMATIQUES 2 HEC-ESCP OPTION SCIENTIFIQUE : MATH II CORRIGE a) n N, v n Parie I : quelques résulas préliminaires = h n+ ln(n + ) h n + ln n = n + ln( + n ) = n + n ln( + n ) Faisons un développemen limié à l ordre de + n l ordre 2 de ln( + n ). v n = n ( n + o( n )) ( n 2n 2 + o( n 2 )) = 2n 2 + n o( n ) + o( n 2 ) = 2n 2 + o( n 2 ) Conclusion : v n (+ ) 2n 2 en n e un développemen à La série de erme général 2n 2 es convergene (muliple de la série de Riemann n 2 ) ; par équivalence des séries de signe consan (ici négaives), b) Soi n 2, n n n v k = (γ k+ γ k ) = γ n γ ; donc γ n = v k + γ. k= k= k= la série v n es convergene Remarque : pour n =, la somme vau, on rerouve γ = γ. La série v k converge équivau à ( n ) v k converge, donc (γ n ) n es convergene n n k= Remarque : peu-êre avons-nous redémonré un résula du cours car la série (γn+ γ n ) es appelée série associée à la suie (γ n ) e on sai que la suie e la série son de même naure. c) d n, = γ + ln (n( + n ) ) h n = γ + ln n + ln( + n ) h n = γ γ n + ln( + n ) page Jean MALLET c EDUKLUB SA Tous drois de l aueur des oeuvres réservés. Sauf auorisaion, la reproducion ainsi que oue uilisaion des oeuvres aure que la consulaion individuelle e privée son inerdies. Exrai graui de documen, le documen original compore 24 pages.

6 2 HEC-ESCP 2 Mah II opion scienifique ( lim (γ γ n) = lim ln( + ) n + n + n ) = = lim d n, = n + 2 a) D après le cours E(X ) = V (X ) =. 2 b) ψ() = Γ () Remarquons que ψ es coninue, dérivable sur ], + [ d après le préambule. D après le héorème du ransfer, sous réserve de convergence de l inégrale, E(ln(X )) = = Γ (). (ln u) exp( u)u du D après le préambule, l inégrale donc appliquer le héorème du ransfer. E(ln(X)) = ψ() (cee inégrale converge d après le préambule) (ln u) 2 exp( u)u du converge, on peu E((ln(X )) 2 ) = (ln u) 2 exp( u)u du = Γ (). On en conclu que V (ln(x )) exise puisque les momens d ordre e 2 exisen e, d après la formule de Köenig-Huyghens, ( ) 2 V (ln(x )) = E((ln(X )) 2 ) E(ln(X )) 3 a) ) 2 = Γ () ( Γ () = Γ () Γ 2 (). Γ 2 () V (ln(x )) = ψ () L espérance E( X ) exise si e seulemen si l inégrale Or L inégrale Γ(α + ). u f X (u)du = exp( u)u 2 du. u f X (u)du es convergene. exp( u)u α du converge si e seulemen si α > e alors elle vau Ici, > ce qui équivau à 2 >. L inégrale Γ( ). En résumé, E( X ) exise e E( X ) = d après la relaion rappelée dans le préambule. exp( u)u 2 du converge e vau Γ( ) = page 2 Jean MALLET c EDUKLUB SA Tous drois de l aueur des oeuvres réservés. Sauf auorisaion, la reproducion ainsi que oue uilisaion des oeuvres aure que la consulaion individuelle e privée son inerdies. Exrai graui de documen, le documen original compore 24 pages.

7 HEC-ESCP 2 Mah II opion scienifique 3 3 b) x >, ln x x es due à la concavié de la foncion ln. x ln x ln x x ln( x ) x. C es aussi une inégalié de concavié. x >, x ln x x () Si < x, alors x de même que ln x ; x ln x = ln2 x ( x )2 ( x )2 + (x ) 2 }{{} Si x, alors ln x ainsi que x ; ln x (x ) = ln 2 x (x ) 2 (x ) 2 + ( x )2 }{{} 3 c) x >, ln 2 x (x ) 2 + ( x )2 La variable X prend ses valeurs dans R +, donc X L encadremen précéden () s applique égalemen pour >. X ln X X X ln X X. Sous réserve d exisence des espérances e par posiivié de l espérance, E( X ) E(ln X ) E(X ). D après le héorème du ransfer, sous réserve de convergence E(ln X ) = ln u exp( u)u du = D après le préambule, les inégrales exp( u)u du convergen pour >. ln u exp( u)u du ln ln u exp( u)u du e Donc E(ln X ) exise exp( u)u du. E( X ) exise pour > d après 3 a), donc E( X ) exise égalemen e elle vau E(X ) exise pour >, donc E( X E( X ) = =. ) exise e elle vau =. >, E(ln( X )) e >, E(ln(X )) De l encadremen : x >, ln 2 x (x ) 2 (x ) 2 + ( x )2, on dédui ln 2 ( X ) ( X ) 2 + ( X ) 2 X 2 + X2 2 page 3 Jean MALLET c EDUKLUB SA Tous drois de l aueur des oeuvres réservés. Sauf auorisaion, la reproducion ainsi que oue uilisaion des oeuvres aure que la consulaion individuelle e privée son inerdies. ln 2 ( X ) 2 X X. () Exrai graui de documen, le documen original compore 24 pages.

8 4 HEC-ESCP 2 Mah II opion scienifique D après le héorème du ransfer e sous réserve d exisence E(ln 2 X ) = Or ln 2 u ln 2 u exp( u)u Les rois inégrales = ln 2 u exp( u)u du ( ln u ln )) 2 = ln 2 u 2 ln u ln + ln 2 donc = ln 2 u exp( u)u 2 ln u ln exp( u)u + ln 2 exp( u)u ln 2 u exp( u)u du, convergen d après le préambule, donc E( X 2 ) exise E(ln 2 X ) exise e vau = u 2 exp( u)u du exp( u)u 3 du ln u exp( u)u du e ln 2 u exp( u)u du converge converge 3 > c es-à-dire > 2 Dans ces condiions, E( X 2 ) = exp( u)u 3 du = Γ( 2). Or = ( )Γ( ) = ( )( 2)Γ( 2), donc E( X ) exise si e seulemen si > ( ) E X 2 = ( )( 2) exp( u)u du Les deux aures espérances ( celles de X e X 2 ) exisen pour > Dans l inégalié () oues les espérances exisen. Par linéarié e posiivié de l espérance, on a : E(ln 2 X ) 2 2E( X ) + 2 E( ) + 2 E(X2 ) 2 E(X ) X ( )( 2) + 2 (V (X ) + (E(X )) 2 ) ( )( 2) + 2 ( + 2 ) ( )( 2) + + (d après Köenig-Huygens) 22 ( 2) ( + )( )( 2) ( )( 2) 22 + (2 ) ( )( 2) > 2 = (2 ) 2 2 ; > 2 > = ( )( 2) > ( 2) 2 >, donc ( )( 2) < ( 2) car la foncion inverse es sricemen décroissane sur 2 R + ( < (2 ) 2 2 e < 2 ( 2) 2 ( )( 2) < ( 2) 2 ) = 22 + (2 ) ( )( 2) 2 2 ( 2) 2 = ( > 2, E ln 2 X ) 2 ( 2) 2 page 4 Jean MALLET c EDUKLUB SA Tous drois de l aueur des oeuvres réservés. Sauf auorisaion, la reproducion ainsi que oue uilisaion des oeuvres aure que la consulaion individuelle e privée son inerdies. Exrai graui de documen, le documen original compore 24 pages.

9 HEC-ESCP 2 Mah II opion scienifique 5 3 d) >, n, ln( X +n ) adme une variance d après 2 b). Appliquons l inégalié de + n Markov : ( E(ln 2 ( X +n ln( X ε >, P +n + n ) + n )) > ε). (2) ε 2 D après la quesion précédene 3 c), dès que +n > 2, E(ln 2 ( X +n 2( + n) )) + n. ( + n 2) 2 Or lim n + 2( + n) ( + n 2) 2 = lim 2 n + n =. Donc par encadremen lim n + E(ln2 ( X +n + n )) = 4 a) ( ln( ε >, lim P X +n n + + n ) > ε) = d après l encadremen (2). Cela veu que la suie de variables ( ln( X +n + n )n ) converge en probabilié vers D n A n + B n + C n ; donc D n > ε = A n + B n + C n > ε. Cela se radui par ( D n > ε) ( A n + B n + C n > ε). De plus, A n + B n + C n > ε = ( A n > 3 ε ) ou ( B n > 3 ε ) ou ( C n > 3 ε ), car (( A n 3 ε ) e ( B n 3 ε ) e ( C n 3 ε ) ( ) ) = A n + B n + C n ε Conclusion : D n > ε = A n + B n + C n > ε = ( A n > ε 3 ou B n > ε 3 ou C n > ε 3 ) Finalemen ( D n > ε) ( A n > ε 3 ) ( B n > ε 3 ) ( C n > ε 3 ) Or, on sai peu-êre que, si A, B, C son rois événemens du même espace probabilisé, P (A B C) P (A) + P (B) + P (C). En effe, P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A) + P (B) P (A B C) = P ((A B) C) P (A B) + P (C) P (A) + P (B) + P (C). Ce qui donne : n, ε >, P ( D n > ε) P (( A n > 3 ε ) ( B n > 3 ε ) ( C n > 3 ε ) ) P ( A n > ε 3 ) + P ( B n > ε 3 ) + (P C n > ε 3 ) par l inclusion A n B n e C n convergen en probabilié vers zéro se radui par ε >, lim P ( A n > ε n + 3 ) = lim P ( B n > ε n + 3 ) = lim P ( C n > ε ) =, donc par n + 3 l encadremen P ( D n > ε) P ( A n > 3 ε ) + P ( B n > 3 ε )(P C n > 3 ε ), on conclu lim P ( D n > ε) = n + 4 b) A n B n e C n convergen en probabilié vers zéro implique D n converge en probabilié vers zéro ε >, ( V n > ε) = D n + u n u ) ( D n > 2 ε ) ( u n u > 2 ε ) d après le même raisonnemen que dans le 4 a). Or lim (u n u) =, donc il exise un rang n à parir duquel u n u < ε n page 5 Jean MALLET c EDUKLUB SA Tous drois de l aueur des oeuvres réservés. Sauf auorisaion, la reproducion ainsi que oue uilisaion des oeuvres aure que la consulaion individuelle e privée son inerdies. Exrai graui de documen, le documen original compore 24 pages.