Correction devoir surveillé 3 23 janvier 2013

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1 Correction devoir surveillé janvier 0 EXERCICE Le nénuphar Dans cette eercice toute trace d étude ou de recherche même non fructueuse sera prise en compte dans l évaluation. Dans un lac, un nénuphar mesure 00 de la taille du lac. Chaque jour, sa taille double. Dans combien de jours le lac sera trop petit pour héberger le nénuphar? On modélise la situation par une suite géométrique (u n ) de raison q = et de premier terme u 0 = 00. u n = n 00. Pour résoudre notre problème on cherche les solutions de l inéquation : u n, qui est successivement équivalente à : n 00 n 00 ln( n ) ln(00) n ln() ln(00) n ln(00) 6.6. ln() Donc entre le siième et le septième jours, le lac sera trop petit pour le nénuphar. Eercice. Résoudre dansrles équation est inéquation suivantes : a. e + = e Cette équation est successivement équivalente à : + = = b. e + >. Cette inéquation est successivement équivalente à : ln ( e +) > ln() + >ln() > ln(). L ensemble S des solutions est S =] ln() ; + [. Sans justification répondre au questions suivantes : a. Donner la dérivée de la fonction f définie surr par : f ()=e + +. La dérivée f de la fonction f est définie surrpar : f ()=e + +. b. Donner une primitive de la fonction g définie sur R par : g ()=e +. Une primitive G de la fonction g est définie surr par : G()= e+.

2 Baccalauréat STID c. Soit la fonction h définie surr par : Déterminer les limites suivantes : i. lim ii. iii. lim + lim 0 h()=0 h()=+ h()=+ h()=e + +. Eercice. Résoudre l équation X X =0. On calcul de discriminant =b ac = ( ) ( )= 9. Les solutions de cette équation sont alors données par : = b a = ( ) 9 et = b+ a = + = =. On souhaite résoudre l équation (E) : e e =0. Pour cela on pose X = e. =. a. Vérifier que l équation (E) s écrit sous la forme (E ) : ax +bx +c = 0, où a, b et c sont trois réels qu on précisera. L équation (E) s écrit : (e ) e = 0, en ayant posé X = e on déduit qu elle est équivalente à X X =0. D où sous la forme (E ) : ax + bx + c = 0, avec a=, b= et c =. b. Résoudre alors l équation (E ). Équation résolue à la question. c. Résoudre les équations e = et e =. e = est équivalente à = ln() c est-à-dire = 0. e = n admet pas de solutions car une eponentielle est toujours strictement positive. d. en déduire les solutions de l équation (E). On déduit que la solution de l équation (E) est = 0. Correction devoir surveillé n janvier 0

3 Baccalauréat STID Problème 8 points Partie A : La courbe C g ci-dessous est la représentation graphique d une fonction g définie et dérivable sur ]0 ; + [. Cette courbe passe par le point A( ; ) et sa tangente au point d abscisse est parallèles à l ae des abscisses. 7 C g 6 5 A B a. À partir des informations surc g, donner les valeurs de g () et g ( ). g ()= et g ( ) = 0 b. Par lecture graphique, faire une conjecture sur le signe de g () pour tout de l intervalle ]0 ; + [. Graphiquement, on conjecture que pour tout de l intervalle ]0 ; + [, g () 0.. On admet que la fonction g est définie sur ]0 ; + [ par g ()= a+b ln()+. En utilisant les résultats de.a., déterminer a et b. g ()= b + = b +. g ()= a+ b ln()+ = a+ b 0= a= ( ) g = 0 b + = 0 b+ =0 b= b= Dans la suite, on vient de démontrer, que pour tout de ]0 ; + [, g ()= ln()+. Correction devoir surveillé n janvier 0

4 Baccalauréat STID. a. Calculer g (), puis étudier son signe pour tout de l intervalle ]0 ; + [. g ()= + = + ( )(+ ) =. Le signe de la dérivée g est négatif sur ] 0 ; ] et positif sur [ ; + [. b. Dresser les tableau de variation de g (on ne demande pas les limites au bornes de l intervalle de définition). 0 + g () 0 + g () + ln() g ( ( ) = ln ( ) + ) = +ln()+ = + ln()>0 c. Justifier alors la conjecture émise à la question.b.. D après le tableau de variation, on constante que le minimum de cette fonction est atteint lorsque = et est strictement positif( g ( ) = + ln()) Partie B : Soit la fonction f définie sur ]0 ; + [ par : f ()= ln +. On appelle C f sa courbe représentative dans un repère orthogonal d unités graphique 5 cm en abscisse et cm en ordonnée.. Déterminer les limites de f au bornes de son intervalle de définition. En donner une interprétation graphique s il y a lieu. lim f ()= 0 Donc la droite d équation = 0 est asymptote verticale à la courbec f. lim f ()=+ +. On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f. Montrer que, pour tout de ]0 ; + [, f ()= g (). f ()= ln() + = ln() + = ln()+ = g ().. a. À l aide de vos résultats de la Partie A? en déduire le signe de f () pour de l intervalle ]0 ; + [. Dans la Partie A, on démontrer que pour tout dans l intervalle ]0 ; + [, g () est toujours positive. De plus, est également positive. Donc la dérivée f de la fonction f est positive pour tout dans l intervalle ]0 ; + [. b. Dresser le tableau de variation de f. Correction devoir surveillé n janvier 0

5 Baccalauréat STID 0 + f () + + f (). a. Calculer f () et f (). f ()= ln() + =. f ()= g () =. b. Construire la tangente àc f au point d abscisses, puis construirec f. 5 y = C f Correction devoir surveillé n 5 janvier 0

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