Exercice 2 (3.5 points) On donne les expressions suivantes : ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) , puisrésoudre A (x)

Transcription

1 Épreuve de mathématiques Nom : N o : L usage d une calculatrice est autorisé Cette épreuve comporte exercices Examen, juin 0 Classe : ème Durée : 0 minutes Exercice (5 points) On donne les nombres suivants: + = 4 ; B = ; C = 5 4 ) Montrer que est un rationnel non décimal ) Montrer que B est un entier ) Donner la notation scientifique de C 0 5 ( ) ( ) Exercice (5 points) On donne les expressions suivantes : ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ) actoriser (x) et B ( x), puisrésoudre (x) = B ( x) ) On considère la fraction rationnelle ( ) ( x) x = B( x) a) Trouver le domaine de définition de, puis simplifier ( x) x ( ) = 4x+ 5 x ; B x = x+ x x 8 x+ + 9x b) Calculer ( ) c) Résoudre ( x) = 5 Exercice ( point) Dire si c est vrai ou faux Justifier dans chaque cas : ) Si x est un angle aigu, on a alors : cos x + tan x = ) Soit (d) la droite d équation = x + 54 L angle aigu, arrondi à l unité près, que fait (d) avec l axe des abscisses est Exercice 4 ( points) Monsieur Salah achète 5 livres et stlos pour la somme de 5 00LL Le mois suivant, il achète 4 livres de la même qualité dont le prix a augmenté de 5% et stlos de la même qualité dont le prix a baissé de 0%, il paie alors 40 55LL Quel est le prix initial d un livre et le prix initial d un stlo? Exercice 5(,5 points)

2 Une enquête faite auprès de 40 élèves du collège porte sur le nombre de livres lus au cours du trimestre dernier Nombre de livres lus 0 4 Effectif x ) Quelle est la population étudiée? Quel est le caractère étudié? ) Sachant que la moenne de cette série est,5, compléter le tableau ci-dessus et donner les effectifs cumulés et les fréquences en pourcentage ) Construire le diagramme en bâtons des effectifs Exercice 6 (45 points) On considère sur une demi-droite [Cx) les points B et tels que CB = B = R ; on trace le cercle de diamètre [B] de centre O Soit () la tangente au cercle en T ) Démontrer que les triangles B et sont semblables En déduire que = CB C ) La droite () coupe la tangente menée de au cercle au point M a) Montrer la similitude des triangles O et CM b) Donner leur rapport de similitude c) Calculer M et CM en fonction de R d) Trouver le rapport de leurs aires ) Soit N le projeté orthogonal de sur (CM) Calculer N Exercice (5 points) Dans un repère orthonormé (x Ox, O), on donne les droites (D ) : x + 4 = 0 et (D ) : = x + ) Tracer (D ) et (D ) ) (D ) coupe ( O) en Trouver les coordonnées de ) Soit H le projeté orthogonal de E(- ; 8) sur (x Ox) Trouver l équation de (EH) 4) On mène par le point E la droite (D ) parallèle à (D ) Trouver l équation de (D ) 5) (D ) coupe(d ) en et (x Ox) en I a) Calculer les coordonnées de et de I b) Quelle est la nature du triangle I?

3 I ELEMENTS DE SOLUTION = = = la division de par 9 ne se termine pas, donc est un rationnel non décimal 4 4 B = ( + ) + ( 8) = ( ) + ( ) = Donc B est un entier C = = 0 0 = =,4 0 II a B ( x) = ( 4x + 5 x + )( 4x x ) = ( x + 8)( 6x + ) = 4( x + 4)( x + ) ( x) = ( x + )( x x x ) = ( x + )( 5x + 5) = 5( x + )( x + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) x = B x 4 x + 4 x + = 5 x + x + x + 4x + 6 5x 5 = 0 ( x + )( x + ) = 0 x = ou x = est définie pour tous les réels sauf b ( ) c et ; ( x) ( x + 8) ( x + ) = = = ( x) = 5 ( x + 8) = 5( 5x + 5) x = = Or, et donc, la solution de cette équation est = 5 III Vrai ; = = = = cos + tan x sin x cos x sin x + + cos x cos x cos x cos x x aux: tanα donc α tan () = = IV Soit x le prix initial d un livre et celui d un stlo La première équation est : 5 x + =5 00 Le prix d un livre après une augmentation de 5% est:,05 x et celui d un stlo après une réduction de 0% est: 0,9 La deuxième équation est: 4(,05 x ) + (0,9 )= x + = 500 D où le sstème: En résolvant le sstème on aura : x = 800 et =0650 4, x +, = 4055 Le prix d un livre est 800 LL et celui d un stlo est 0 650LL V La population étudiée est les élèves d une école Le caractère étudié est le nombre de livres lus

4 0x x = x =40 donc x =4 =, 5 donc = Nombre de livres lus 0 Effectif Effectifs cumulés 4 réquence en % ,5,5 C (angle commun) Considérons les triangles B et, ils ont: C TB T = B = Ces triangles sont donc semblables, d où le rapport de similitude : C = T TB d'ou = C CB = CB 5 VI a C Considérons les triangles O et CM, ils ont: (angle commun) C M = O = 90 Ces triangles sont donc semblables b Les C triangles O et CM sont semblables, d où le rapport CM M = = =k Or, C=4R et CB=R d où = R CO TO de similitude : 05 C Par conséquent, k = 4R = = R c M TO = donc M = R CM et = donc CM CO = R

5 d CM Les triangles O et CM sont semblables, donc = ( ) d'ou O CM O = CM est un triangle rectangle en, [N] est la hauteur relativee à l hpoténuse 4R R 4R D après les relations métriques, N CM = C M d'ou N = = R igure: ( O) donc x =0 et (D ) donc = - d où (0 ;-) (EH) (x Ox) donc (EH) // ( O) et comme elle passe par E donc (EH) : x=- VII 4 (D )//(D ) donc a = a = et comme E (D ) donc D D E = x E + b d où 0 = x a ( (D ) et (D ) d où = x 0 = x + par conséquent (4 ;4) 05 I ( (x Ox) donc I =0 et I ( (D ) donc x I = 0 d où I( (0 ;0) 5b On a a a = et = 5 = I D D donc I est un triangle rectangle isocèle en 5