Mathématiques Stage n. Les puissances. (1 ère partie) C.F.A du bâtiment

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1 Mathématiques Stage n Les puissances (1 ère partie) C.F.A du bâtiment Ermont 1

2 Activité 1 A un jeu radiophonique, on propose au joueur de répondre à une question. Si celui-ci trouve la bonne réponse, il gagne 2 euros et il peut répondre à une 2 ème question. Si celui-ci trouve la bonne réponse à la 2ème question, ses gains doublent (ça veut dire qu ils sont multipliés par 2). Et ainsi de suite, c est à dire qu à chaque fois qu il trouve la bonne réponse à une question, ses gains doublent et il peut répondre à une autre question. 1) Calculer les gains du joueur ayant eu : 1 bonne réponse : 2 bonnes réponses : 3 bonnes réponses : 4 bonnes réponses : 5 bonnes réponses : 6 bonnes réponses : 7 bonnes réponses : 8 bonnes réponses : 9 bonnes réponses : 10 bonnes réponses : 2) Pouvez-vous écrire le calcul à effectuer pour connaître le montant des gains au bout de 50 bonnes réponses? Au bout de 100 bonnes réponses? Au bout de 1000 bonnes réponses? 3) Pouvez-vous calculer ces montants à la main? 2

3 Conclusion : Pour éviter d avoir à écrire des suites interminables de multiplications d un nombre par lui-même, et se perdre dans de longs calculs, on a inventé une nouvelle notation : les puissances. Dans notre exemple, cela permet d écrire : plutôt que d écrire 2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x.x2x2x2 (en tout 100 fois) Et cela permet aussi de calculer directement à la calculatrice la valeur de 2 100, plutôt que d effectuer 99 multiplications! Exercice : Trouvez la notation sous forme de puissance des nombres suivants puis calculez leur valeur : 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 5 x 5 x 5 = 9 x 9 = 1 x 1 = 0 x 0 = (-1) x (-1) = (-3) x (-3) x (-3) x ( -3) x (-3) = Remarque 1 : Les puissances les plus utilisées sont les puissances 2 et 3 : elles ont un vocabulaire spécifique : «puissance 2» peut se dire «au carré», «puissance 3» peut se dire «au cube». Remarque 2 : Le petit nombre en puissance s appelle l exposant. Exemple : dans 2 3, c est 3 l exposant. 3

4 Exercice 1: Complétez les trous : 1) 2,1² se lit «2,1 puissance 2» ou bien «2,1». 2) 1,4 3 se lit «1,4» ou bien «1,4 au cube». Exercice 2 : Calculez les valeurs des nombres suivants : 2 5 = 5 2 = 4 3 = 3 4 = 1 2 = 0 8 = 8 0 = 1,5² = 2,1 4 = 0,2 0 = 10 3 = (-2) 5 = (-3) 4 = (-10) 3 = 4

5 Activité 2 Document 1 : Distance Terre-Lune : kilomètres Distance Terre-Soleil : 150 millions de kilomètres. Distance parcourue par la lumière en 1 an : environ 10 milliards de kilomètres. Dimension de la voie lactée: environ années-lumière. Diamètre de l univers observable : environ 100 milliards d années-lumière. Difficile de se représenter et de comparer ces nombres le but de cette activité est de trouver une écriture rapide et efficace de ces nombres. 1) A l aide éventuellement de votre calculatrice, calculez la valeur des nombres suivants : 10 0 = 10 1 = 10² = 10 3 = 10 5 = 10 6 = 10 9 = 2) Pouvez-vous donner une règle simple permettant de calculer une puissance positive de 10 sans calculatrice? 5

6 Document 2 : l écriture scientifique d un nombre : Un nombre est écrit sous sa forme dite scientifique quand il se présente sous la forme d un nombre compris entre -10 et 10 (-10 et 10 non compris) multiplié par une puissance de 10. Exemples : 1249,2 = 1,2492 x 1000 = 1,2492 x = -3,7 x 1000 = -3,7 x ) En vous aidant du document 2, convertissez en km toutes les longueurs indiquées dans le document 1 et écrivez-les sous leur forme scientifique. Distance Terre-Lune : Distance Terre-Soleil : Distance parcourue par la lumière en 1 an : Dimension de la voie lactée : Diamètre de l univers observable : Exercice1 : Effectuez les calculs suivants : 2 4 = 3 5 = (-1)² = (-1) 3 = (-2) 4 = 10 9 = 5 x 10 7 = 50 x 10 7 = 4,5 x 10 7 = -7,3 x 10 2 = 5² x 3² x 2 = 7² + 3² x 2 = ² x 4 = 12 [(3-7) x5 + 5² x 10²] = 6

7 Exercice 2 : Complétez avec les puissances de 10 convenables : = = 8 x ,12 = 3,57812 x x 10 5 = : 10 3 = x 10 6 = 10. (10 3 )² = ² = 10. Problème : Un homme ayant gagné un pari demande à se faire payer avec des grains de riz disposés sur un échiquier de la façon suivante : 1 grain de riz sur la première case 2 grains de riz sur la seconde, 4 sur la troisième, 8 sur la quatrième etc, en doublant le nombre de grains de riz à chaque fois qu on change de case. Combien y a-t-il de grains sur la dernière case? 7

8 Synthèse : Les puissances positives Définition: a n = a x a x a x x a x a (en tout n fois) En particulier : a 0 = 1 a 1 = a Vocabulaire : a n se dit «a puissance n» ou parfois «a exposant n». a 2 se dit «a puissance 2» ou «a au carré». a 3 se dit «a puissance 3» ou «a au cube». Exemples : 5 0 = = 9 x 9 = = 4 x 4 x 4 = = 0 2 = 0 3 = = 0 (mais 0 0 =1!) Loi des puissances positives de 10 : 10 n = 10 x 10 x x 10 (en tout n fois) donne simplement 10 n = (avec n zéros en tout) Exemples : 10 0 = = 10 10² = =

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