StatEnAction 2009/10/30 11:26 page 111 #127 CHAPITRE 10. Machines à sous

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1 StatEnAction 2009/0/30 :26 page #27 CHAPITRE 0 Machines à sous Résumé. On étudie un problème lié aux jeux de hasard. Il concerne les machines à sous et est appelé problème de prédiction de bandits à deux bras ; son étude est menée par techniques de martingales. 0. Modèle et premiers résultats Une machine à sous est également appelée bandit manchot : on insère une pièce de e et on tire le levier (bras), ce qui fait défiler la combinaison. On imagine disposer dans ce qui suit d un bandit à deux bras : on insère une pièce, et on choisit le levier à actionner, A ou B, celui de gauche ou celui de droite. Chacun est paramétré par une loi de probabilité propre sur le gain, et on veut actionner davantage, et même quasi-uniquement, le meilleur des deux. Pour simplifier le problème, on suppose n avoir affaire qu à des lois de Bernoulli, de paramètres respectifs θ A et θ B. L objectif principal est de voir si l on peut exhiber une stratégie dont le gain moyen tende vers max { θ A, θ B}, qui est celui de l action optimale. Un objectif secondaire, qui est souvent un moyen d atteindre l objectif principal, est d estimer efficacement θ A et θ B, par exemple en exhibant des intervalles de confiance. On note que toute la difficulté du problème est que lorsque l on mise e, il faut choisir un bras et que l on n observe alors que le gain procuré par l actionnement de ce bras : autrement dit, on n a pas accès au gain qui serait survenu si l on avait jeté son dévolu sur l autre bras. Formellement, on considère une suite ( (E A, E B ) (, E A 2, E2 B ) ),... de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon la loi obtenue par produit de deux lois de Bernoulli de paramètres respectifs θ A et θ B (non nuls et différents de ). Au tour t, en se fondant sur les observations passées, on choisit l un des deux bras ; on note C t {A, B} ce choix. On gagne alors X t = E C t t ; et ce gain forme notre seule observation. La suite (G n ) n des gains moyens est donnée par G n = n X t. Si le joueur avait connaissance de l ordre entre θ A et θ B, il n actionnerait que le meilleur bras et la loi des grands nombres assurerait que son gain moyen est proche de max { θ A, θ B}.

2 StatEnAction 2009/0/30 :26 page 2 #28 2 CHAPITRE 0. MACHINES À SOUS On étudie ci-dessous les limitations et possibilités d un joueur n ayant accès qu à des informations partielles sur les paiements des deux bras, données par ses propres gains. Toutes les stratégies ne sont pas égales. D une manière générale, la loi des grands nombres pour les martingales (voir ci-dessous) montre que toute stratégie vérifie min { θ A, θ B} lim inf G n lim sup G n max { θ A, θ B} La question est de savoir si on peut faire aussi bien asymptotiquement que si l on avait connaissance presciente du meilleur bras, c est-à-dire, faire en sorte que G n max { θ A, θ B} Mis à part le cas (inintéressant pour le joueur, mais sans doute intéressant pour le casino!) où θ A = θ B, alterner strictement entre les deux bras ou choisir dès le début et une fois pour toutes un bras ne sont pas des stratégies convenables. p.s. p.s. 0.2 Loi des grands nombres pour les martingales Voici un résultat technique auquel on vient de faire allusion et qui servira encore plusieurs fois. Il généralise la loi des grands nombres aux martingales de carré intégrable. Soit (M n ) une telle martingale, adaptée à une filtration (F n ) ; on peut l écrire sous la forme d une somme d accroissements de martingale (Y t ) également (F t ) adaptés : il existe y 0 R tel que M n = y 0 + Y t où E [ ] Y t F t = 0. On note (V n ) la suite croissante définie par V n = y [ E Y 2 t ] F t ; on l appelle le compensateur prévisible de ( M 2 n ), car elle est (Fn ) adaptée (où F = F 0 est la tribu triviale) et telle que ( M 2 n V n) est une (Fn ) martingale. On note V la limite de (V n ). On a alors la loi des grands nombres suivante. Théorème 0. (Loi des grands nombres pour les martingales) Avec les notations précédentes,. sur { (V n ) est bornée }, la martingale (M n ) converge p.s. dans R ; 2. si V n p.s., alors M n = o(v n ).

3 StatEnAction 2009/0/30 :26 page 3 # UNE STRATÉGIE NAÏVE, À RECTIFIER 3 La preuve du point. consiste à exhiber une martingale bornée dans L 2. Pour tout entier c, on va arrêter (M n ) par ν c = inf {n 0 : V n+ > c} ; en étudiant au préalable la martingale ( M 2 n V n) arrêtée en νc, on montre que (M n νc ) est une martingale bornée dans L 2 (par c 2 ) et qu elle converge donc p.s. vers une limite notée M ν c. On en déduit finalement la convergence p.s. de (M n ) sur c N {ν c = } = {V < }. Le point 2. est en réalité un corollaire de. : soit (M n ) la martingale définie par M n = t=τ Y t V t, où l on a noté τ = inf {n N : V n > 0}. Son compensateur prévisible est majoré selon V n = t=τ [ Vt 2 E Y 2 t ] Ft = t=τ V 2 t (V t V t ) + dv < + V τ V τ v2 p.s. Donc, par le point., Y t /V t est p.s. une série convergente. Par le lemme de Kronecker, un résultat classique d analyse sur les suites, (V n ) étant positive et croissant vers +, on a finalement pour n τ, qui entraîne bien M n /V n 0 p.s. V n t=τ V t Y t V t Une stratégie naïve qui ne marche pas, mais dont on peut facilement rectifier les errements possibles p.s., Essayons de procéder par estimation des paramètres θ A et θ B ; on note Nn A et N n B de fois où les bras A et B ont été actionnés, le nombre Nn A = I {Ct =A} et Nn B = I {Ct =B}. On estime θ A seulement sur les tours de jeu où A a été choisi ; par exemple, lorsque Nn A, on pose θ n A = Nn A X t I {Ct =A}

4 StatEnAction 2009/0/30 :26 page 4 #30 4 CHAPITRE 0. MACHINES À SOUS (et on définit de même un estimateur θ n B de θ B ). La loi des grands nombres montre que ces estimateurs sont consistants pour peu que l on actionne une infinité de fois chaque bras, id est, que notre stratégie assure que Nn A, N n B p.s. Il est alors tentant de déterminer ses choix selon le schéma suivant, dit de décision selon les succès empiriques : C est tiré uniformément sur {A, B}, et pour t 2, A C t = B C si θ t A > θ t B, si θ t A < θ t B, sinon, où C est tiré uniformément sur {A, B}. Mais cette stratégie est parfois très mauvaise : avec probabilité positive, elle obtient un gain moyen de min { θ A, θ B}. En fait, les premières étapes sont cruciales, et on peut tomber rapidement et irrémédiablement dans une mauvaise situation dès le second tour, si au premier, on a choisi le mauvais bras et que ce dernier a eu un gain. Le problème est bien sûr qu ici la stratégie n assure pas la consistance des estimateurs, parce qu elle ne garantit pas que Nn A, N n B p.s. Un moyen de résoudre cette difficulté est de s assurer que l on explore suffisamment souvent le comportement de chacun des deux bras ; ainsi, on peut corriger en un temps raisonnable des estimées qui seraient trompeuses si jamais une suite d événements malheureux survenait dans les premiers tours de jeu. Plus précisément, on prend une suite (c k ) d éléments de N, croissant suffisamment vite (par exemple, c k k). Lorsque t n est pas l un des c k, on applique la règle de décision selon les succès empiriques ; s il existe un entier k tel que t = c 2k, on choisit C t = A ; enfin, si t est un c 2k+, on joue C t = B. On parle d excitation. Cette stratégie excitée assure presque sûrement un paiement moyen limite de max { θ A, θ B}. Cela se prouve en notant que Nn A, N n B p.s., de telle sorte que l on dispose bien d estimateurs consistants ; ce qui conduit alors, dans le cas où θ A = θ B, aux convergences p.s. N A n n I {θ A >θ B } et N B n n I {θ B >θ A }. L obtention d une formule de normalité asymptotique pour G n, n (G n max { θ A, θ B}) N ( 0, σ 2) (où σ 2 est à préciser), requiert à peine plus de travail. Il suffit d établir au préalable que celui des Nn A ou N n B qui est un o(n) est même en réalité un o( n ), puis d appliquer le lemme de Slutzky. Cela se fera par exemple en imposant c k k 2+α, où α > 0. En tout état de cause, on peut ainsi construire un intervalle de confiance asymptotique sur le paiement maximal moyen de cette stratégie excitée.

5 StatEnAction 2009/0/30 :26 page 5 #3 0.4 SUGGESTIONS DE DÉVELOPPEMENTS Suggestions de développements 0.4. Sur la modélisation En pratique, la loi des gains d une machine à sous est paramétrée par une probabilité sur un espace à N éléments (les N gains possibles). Dans le texte, N = 2 : à quel cas cela correspond-il, ce cadre est-il raisonnable? On pourra également se demander comment étendre les résultats à des lois plus complexes que celles de Bernoulli Définition d une stratégie Quelle est la définition mathématique précise d une stratégie de comportement du joueur? Remarquez qu on les construit dans le texte par considération d estimateurs. Auriez-vous d autres stratégies à proposer? On ne demande pas de justification poussée de leurs performances mais une heuristique ; en particulier, il se peut que vous ne puissiez prouver que leur gain moyen tende vers max { θ A, θ B}. Des simulations de performances et de comportements seront bienvenues. (Voir ci-dessous.) Simulations informatiques A propos de ce que valent les stratégies en pratique : comment calculeriez-vous ou estimeriezvous l espérance de leur gain moyen ou leur probabilité d avoir détecté le bon bras? Y a-t-il des stratégies naïves qui font bien mieux que la stratégie excitée, et cette dernière requiert-elle un grand nombre de tours de jeu pour être efficace? Quelle est l influence de l écart entre θ A et θ B? Celle de la taille de n? Et celle du choix de la suite des instants d excitation (c k )? Intervalles de confiance Le texte se termine par une formule de normalité asymptotique : indiquez comment elle permet de construire un intervalle de confiance sur max { θ A, θ B}. Pouvez-vous exhiber un intervalle de confiance également pour min { θ A, θ B}? Critère en espérance, plutôt qu en convergence p.s. ; compromis entre exploration et exploitation Le texte s intéresse à un certain critère (convergence p.s. de la moyenne des gains). Que pensezvous d un critère en espérance sur la moyenne des gains? Aurait-il été plus difficile ou moins difficile de construire un test de θ A θ B contre θ A < θ B (ou n y a-t-il aucun rapport entre un tel test et le sujet du texte)? En s inspirant de ces deux questions, on pourra par exemple considérer un critère de gain moyen en espérance proche à un facteur ε près du gain du meilleur bras. Cela revient à étudier le problème auxiliaire (statistique) d identifier le bon bras avec grande probabilité. Cette fois-ci, une stratégie par exploration pure (on sélectionne de manière déterministe des bras pour avoir de l information) risque d être efficace. Dans le texte (où ε = 0 essentiellement), il fallait faire un compromis entre exploration et exploitation : utiliser les informations recueillies lors de l exploitation pour jouer intelligemment. Avec ce critère d ( ε) approximation, exploration et exploitation peuvent apparaître en deux phases successives.

6 StatEnAction 2009/0/30 :26 page 6 #32

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