I. Propriétés globales sur les fonctions

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1 Chapitre... : Fonctions usuelles I. Propriétés globales sur les fonctions I.1. Généralités Définition : Fonction numérique n dit que f est une... d une variable réelle s il eiste un sousensemble D R tel que chaque nombre D possède une unique image f () qui est un nombre réel. n note Remarques. D f. L ensemble D est appelé... de f. n le note parfois n dit que a est... de b par f si b est l... de a par f, autrement dit b = f (a). Les réels qui possèdent un antécédent par f constituent l... de f noté f (D). L ensemble des points du plan de coordonnées (;f ()) où est un élément de D s appelle la Bien souvent, on définira l ensemble de définition D à l aide d intervalles mais attention : cet ensemble D n est pas nécessairement égal à un intervalle. Eemple 1. Soit f la fonction définie par f () = 2 1. Que vaut D? Image/Antécédent Lecture d image C f Recherche d antécédent(s) : C f f ( 0 ) c Les antécédents de c par f sont 1 et 2. Eemple 2. Soit f la fonction définie par f () = Déterminer l ensemble de définition de f. Lcée Gambetta-Carnot Page 1/

2 2. Déterminer l image de 5 par la fonction f. 3. Le réel 1 admet-il un antécédent par la fonction f? pérations sur les fonctions f et g désignent des fonctions numériques définies sur D. 1. La somme de f et g est la fonction notée f + g, elle est définie par D, (f + g)() = f () + g(). 2. Le produit de f et g est la fonction notée f g, elle est définie par D, (f g)() = f () g(). 3. Le produit du réel λ par f est la fonction notée λf définie par : D, (λf )() = λf (). 4. Si g ne s annule pas sur D, c est-à-dire si D, g() 0 alors le quotient de f par g est la fonction définie sur D par f f () D, () = g g() 5. Si g est définie sur f (D) alors la composée de g par f est la fonction g f définie sur D par D, (g f )() = g (f ()) Eemple 3. Écrire la composée g f lorsque f () = 2 3 et g() = 1. Quel est l ensemble de définition de g f? I.2. Éléments remarquables d une fonction Définition : Majorants, minorants Une fonction f définie sur un ensemble I est : majorée sur I s il eiste M R tel que minorée sur I s il eiste m R tel que bornée sur I si elle est à la fois minorée et majorée, c est-à-dire qu il eiste m R et M R tels que... Eemple 4. Soit f la fonction définie sur ]1;+ [ par f () = Démontrer que f est bornée par 0 et 1. Indication. Écrire f () sous la forme f () = a + b avec a et b deu réels à déterminer. 2 Lcée Gambetta-Carnot Page 2/

3 Proposition : Caractérisation des fonctions bornées avec la valeur absolue Dire que f est bornée sur I revient à dire qu il eiste un réel k > 0 tel que :... Voir le paragraphe III.9. pour plus de détails sur la valeur absolue. Remarques. 1. Un majorant n eiste pas toujours! Par eemple la fonction carré (voir paragraphe III.3.) f : 2 n admet pas de majorant sur R Un majorant quand il eiste n est pas unique. Si M est un majorant alors M + 1 l est également. D une manière générale, n a une situation analogue pour les minorants : si m est un minorant alors tout réel inférieur ou égal à m est un minorant. La fonction carré ci-dessus admet 0 comme minorant mais aussi tout réel négatif. I.3. Etremum Définition : Etremum Soit 0 un élément de I. n dit que : 1. f admet un... en 0 sur I si f ( 0 ) est un majorant de f sur I. Autrement dit : I, f () f ( 0 ) 2. f admet un... en 0 sur I si f ( 0 ) est un minorant de f sur I. Autrement dit : I, f ( 0 ) f () 3. Un... désigne un minimum ou un maimum. Définition : Etremum local Il est possible que la propriété 1 ou 2 ne soit pas vérifiée sur I tout entier mais seulement sur un petit intervalle ouvert contenant 0. n dit alors que f admet un etremum local (maimum local ou minimum local) Eemple 5. Soit f une fonction définie sur un intervalle I dont la courbe représentative est donnée ci-contre. La fonction f admet-elle des etrema sur I? Précisez s ils sont locau ou globau. C f Eemple 6. À l aide d un tableau de variations, montrer que la fonction f définie par f () = 2( 4) possède un etremum. Lcée Gambetta-Carnot Page 3/

4 I.4. Parité Définition : Fonction impaire C f Soit f une fonction définie sur D. n dit que f est... lorsque : Si D alors La courbe représentative d une telle fonction est alors smétrique par rapport à l origine (voir ci-contre). Eemple 7. Démontrer que la fonction f définie sur R par f () = 1 est paire. Définition : Fonction paire C f Soit f une fonction définie sur D. n dit que f est... lorsque : Si D alors La courbe représentative d une telle fonction est alors smétrique par rapport à l ae des ordonnées. Eemple 8. Démontrer que la fonction f définie par f () = 1 2 est impaire. + 1 Intérêt d avoir une fonction paire ou impaire Pour étudier une fonction paire ou impaire sur son ensemble de définition D, il suffit de l étudier sur D [0;+ [. Par smétrie on en déduit son comportement sur D ] ;0] puis sur D tout entier. II. Variations d une fonction Définition : Monotonie d une fonction Soit f une fonction définie sur un intervalle I. f est croissante sur I si :... f est strictement croissante sur I si :... Lcée Gambetta-Carnot Page 4/

5 f est décroissante sur I si :... f est strictement décroissante sur I si :... f est monotone si.... f est strictement monotone si Remarque. n dit qu une fonction croissante conserve l ordre alors qu une fonction décroissante l inverse. III. Fonctions usuelles III.1. Fonctions affines Définition : Fonction affine n appelle... toute fonction f dont l epression est donnée par : où m et p sont deu réels. f () = m + p Proposition : Signe d une fonction affine Soient m,p R avec m 0. n a le tableau de signes suivant : m + p Proposition : Monotonie d une fonction affine Si m > 0 Si m < m + p m + p Remarques. m est appelé la... ou le... de f. p est l... de f. Lcée Gambetta-Carnot Page 5/

6 Si p = 0, la fonction est... Si m = 0, la fonction est... Représentation graphique d une fonction affine Eemple 9. Soient f et g deu fonctions définies pour tout R par f () = et g() = + 5. Tracer les 2 courbes représentatives de ces deu fonctions et déterminer leur point d intersection. labla III.2. Fonctions trinômes du second degré Définition : Fonction trinôme du second degré Une fonction f est appelée trinôme du second degré si son epression est donnée par : où a est un réel non nul et b, c deu réels. Proposition : Discriminant, forme canonique et représentation graphique Soit f la fonction trinôme du second degré définie ci-dessus. n appelle... de f () le nombre =... La... de f () est ( La représentation graphique d une telle fonction est une parabole de sommet S b 2a ; ). 4a Pour les eercices qui suivent, on pourra s aider du tableau récapitulatif page 16. Eemple 10. Déterminer ci-dessous la représentation graphique de la fonction f définie par f () = dfdfd Lcée Gambetta-Carnot Page 6/

7 Eemple Déterminer le signe de en fonction de. 2. Résoudre < 0 3. Résoudre = 0 sur R. III.3. Fonctions puissances entières Définition : Fonction carré Représentation graphique de la fonction carré n appelle..., la fonction qui, à un nombre réel, associe le réel 2. Monotonie de la fonction carré Définition : Fonction cube n appelle..., la fonction qui, à un nombre réel, associe le réel 3. Monotonie de la fonction cube Représentation graphique de la fonction cube Proposition : Fonction n Plus généralement : Si n est un entier naturel pair supérieur (ou égal) à 2, alors la fonction n est strictement décroissante sur R et strictement croissante sur R +. De plus, la courbe de celle-ci a la même allure que celle de la fonction carré. Si n est un entier naturel impair, alors la fonction n est strictement croissante sur R. De plus, la courbe de celle-ci a la même allure que celle de la fonction cube. III.4. Fonction inverse Lcée Gambetta-Carnot Page 7/

8 Définition : Fonction inverse n appelle..., la fonction qui, à tout nombre réel non nul, associe 1/. Remarque. L ensemble de définition de la fonction inverse est... Monotonie de la fonction inverse Représentation graphique de la fonction inverse ATTENTIN. Ne JAMAIS écrire que la fonction inverse est décroissante sur R. Eemple 12. Encadrer l epression 2 pour [0,1] III.5. Fonction racine carrée Ce paragraphe complète la section I.3. du chapitre 0 «Rappels». Définition : Racine carrée La fonction racine carrée est la fonction qui, à tout R +, associe. Représentation graphique de la fonction racine carrée Monotonie de la fonction racine carrée 0 a Dans Scilab, la fonction racine carrée s obtient grâce à la commande sqrt() III.6. Logarithme népérien Définition/Proposition: Logarithme népérien Lcée Gambetta-Carnot Page 8/

9 La fonction..., notée ln, est l unique primitive sur ]0,+ [ de la fonction inverse qui s annule en 1. Autrement dit : ln est définie et dérivable sur... ln(1) =... Pour tout > 0, ln () =... Théorème : Propriétés algébriques Soit a et b deu réels strictement positifs et n un entier relatif. ln(ab) =... ( ) 1 ln =... a ln(a n ) =... ( ) a ln =... b ln(a) = ln(b)... ln(a) = 0... ln(a) < ln(b)... Monotonie de la fonction ln Représentation graphique de la fonction Logarithme népérien 0 a ln() Eemple 13. Sachant que ln(2) 0.69, donner une valeur approchée de ln(4), ln(8) et de ln(1/2). Eemple 14. Résoudre l inéquation 0 ln( 2 + 5). Dans Scilab, la fonction logarithme néperien s obtient grâce à la commande log() III.7. Fonction eponentielle Définition/Proposition: Fonction eponentielle Pour tout réel, il eiste un unique réel strictement positif tel que ln =. n note e ou ep() ce Lcée Gambetta-Carnot Page 9/

10 nombre réel. n appelle... la fonction, noté ep, qui à associe le réel e. Remarques. La fonction eponentielle est donc définie sur R. Pour tout R, on a e > 0. e 0 =... et e 1 = e 2,72. Par définition, on a ln(e 1 ) = ln(e) =... Monotonie de la fonction eponentielle Représentation graphique de la fonction eponentielle a + 1+ e + 1 Proposition : Lien eponentielle/logarithme a R, b R +, e a = b... a R +, e ln(a) =... a R, ln(e a ) =... Eemple 15. Résoudre l équation e 2 8 = 0. Théorème : Propriétés algébriques Soient a,b deu réels et n un entier relatif. e a+b =... e a =... (e a ) n =... e a b =... e a = e b... e a = 1... e a < e b... Dans Scilab, la fonction eponentielle s obtient grâce à la commande ep() III.8. Fonction puissance Cette section entre en complément avec le paragraphe I.2. du chapitre 0 : «Rappels» Lcée Gambetta-Carnot Page 10/

11 Définition : Fonction puissance Représentation graphique de différentes fonctions puissances Pour tout R + et α R, on pose α = e α ln(). La fonction... est la fonction qui à tout nombre réel strictement positif associe α. α = 3,5 α = 1,5 α = 1 Remarque. La fonction puissance α est donc définie sur... Eemple 16. Pour tout R +, 3/2 =... Remarques. 1 α = 1 3 Pour tout R + et α R, ln( α ) =... Pour tout α R, 1 α =... 1 Proposition : Propriétés des fonctions puissances réelles Soient, deu réels strictement positifs et α,β deu réels. α β =... α α =... ( α ) β =... α =... α + α... 0 =... α β =... α + β... III.9. Valeur absolue Définition : Valeur absolue La fonction... est la fonction définie sur R par Représentation graphique de la fonction valeur absolue = { Eemple =..., 2 = La valeur absolue d un nombre réel est sa valeur numérique en «ne tenant pas compte du signe». Eemple 18. Eprimer sans valeur absolue et selon les valeurs de, l epression A() = Valeur absolue et distance à 0 D un point de vue géométrique la valeur absolue d un réel est égal à la (sur un ae gradué représentant la droite réelle). Lcée Gambetta-Carnot Page 11/

12 3 = = 2 Valeur absolue et distance entre deu nombres Pour, R, l epression représente la... 3 ( 1) = Proposition : Propriétés de la fonction valeur absolue Soient, deu réels et n un entier naturel. 2 =... =... n =... Si 0, = Eemple 19. Calculer 7 6 ( 6) 2 Proposition : Valeur absolue et équations/inéquations Soient, deu réels et ε un réel strictement positif. 2 =... ε... =... = ε... ATTENTIN. Pour tout 0, ( ) 2 =... et pour tout R, 2 =... Eemple 20. Résoudre les équations/inéquations suivantes : = Théorème : Inégalité triangulaire, R, +... Dans Scilab, la fonction valeur absolue s obtient grâce à la commande abs() Lcée Gambetta-Carnot Page 12/

13 III.10. Partie entière Théorème R,!n Z, n < n + 1. Autrement dit : Définition : Partie entière D après le théorème précédent, on sait que tout réel est compris entre deu entiers consécutifs n et n + 1. Cet unique entier n est appelé... de et on le note. Par définition on a alors :... La partie entière d un réel est le plus grand entier inférieur ou égal à ce réel. Eemple 21. 7,15 =..., 1,2 =..., e =..., 2 =... Représentation graphique de la fonction partie entière 1 1 Eemple 22. Résoudre l équation = 5. Dans Scilab, la fonction partie entière s obtient grâce à la commande floor() IV. Rappels sur les dérivées Nous rappelons dans cette section les méthodes de calcul des dérivées usuelles. n étudiera en détail au deuième semestre la notion de dérivée d une fonction d une manière plus théorique. D ici là, il est important de savoir calculer la dérivée d une fonction et d étudier les variations d une fonction à l aide du signe de cette dérivée. IV.1. Dérivées des fonctions usuelles Voici le tableau des dérivées usuelles. D f est l ensemble de définition de la fonction et D f fonction est dérivable. l ensemble où la Lcée Gambetta-Carnot Page 13/

14 Fonction f D f f () D f k (k R) n (n N) e ln() IV.2. Règles de dérivation n rappelle aussi les règles de dérivation d une somme, d un produit et d un quotient de fonctions dérivables. Pour les deu dernières formules, on suppose que la fonction au dénominateur ne s annule pas. (u + v) =... (uv) =... ( ) 1 =... v ( ) u =... v Proposition Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I de R alors la fonction e u est dérivable sur I et (e u ) =... Eemples. 1. La fonction f définie sur R par f () = e 3+1 est dérivable sur R. De plus pour tout R, f () = La fonction g définie sur R par g() = e est dérivable sur R. De plus pour tout R, g () = La fonction h définie sur R par h() = e 2 est dérivable sur R. De plus pour tout R, h () =... Proposition : Dérivées des fonctions puissances réelles Soit α un réel. La fonction f α : α est dérivable sur R + et pour tout réel strictement positif, on a f α() =... Eemple 23. La fonction f définie pour tout > 0 par f () = 3/2 est dérivable sur R + et pour tout > 0, f () = Lcée Gambetta-Carnot Page 14/

15 Théorème : Monotonie et dérivée Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f est nulle sur I alors f est constante sur I. Si f 0 sur I et ne s annule qu en un nombre fini de points alors f est strictement croissante sur I. Si f 0 sur I et ne s annule qu en un nombre fini de points alors f est strictement décroissante sur I. Méthode : Plan d étude d une fonction f Pour étudie une fonction dérivable : 1. Ensemble de définition : n recherche D f s il n est pas déjà donné dans l énoncé. 2. Parité (si demandé) : n recherche la parité en vérifiant : que D f est smétrique par rapport à 0. en comparant f ( ) avec f (). 3. Variations : n étudie l ensemble de dérivabilité puis la dérivée pour obtenir le tableau de variations de f et les etrema. Remarque. Lorsque f est compliquée, on peut parfois étudier les variations de f pour en déduire celles de f. 4. Courbe : n trace éventuellement certaines tangentes et on représente la courbe de manière cohérente avec l étude. Eemple 24. Étudier la fonction f définie pour tout R par f () = ( + 1)e. Lcée Gambetta-Carnot Page 15/

16 V. Complément : Tableau récapitulatif sur le second degré n pose f () = a 2 + b + c avec a 0 et = b 2 4ac. < 0 = 0 > 0 Courbe Si a > 0 Si a < 0 Si a > Si a < Si a > Si a < Racines Pas de racine Une racine : 0 = b 2a Deu racines : 1 = b 2a 2 = b + 2a Factorisation Pas de factorisation f () = a( 0 ) 2 f () = a( 1 )( 2 ) Signe f () + Sgn(a) f () 0 + Sgn(a) 0 Sgn(a) Sous réserves que 1 < f () Sgn(a) 0 Sgn( a) 0 Sgn(a) Lcée Gambetta-Carnot Page 16/

17 Eercices Eercice 1 (Révisions). Soit f une fonction définie sur R. Traduire à l aide des quantificateurs les epressions suivantes : 1. La fonction f ne s annule pas. 2. La fonction f est positive. 3. La fonction f n est pas positive. 4. La fonction f n est pas la fonction nulle. Eercice 2. Donner l ensemble de définition des fonctions suivantes : 1. f () = g() = h() = g() = Eercice 3. Soient f la fonction inverse et g la fonction définie sur R par g() = Déterminer g f et f g (on précisera les ensembles de définition de ces fonctions). Eercice 4. Soit f la fonction définie sur R par f () = Montrer que f est minorée par 1 et majorée par Eercice 5. Soit f la fonction définie par f () = Donner l ensemble de définition de la fonction. 2. f est-elle minorée? majorée? bornée? Eercice 6. Résoudre les équations suivantes : 1. e = e e 3+6 = e 2 1 = e + 6e = ln() + 2 = ln() ln( 1) = 1. Eercice 7. Résoudre les inéquations suivantes : ln() > ln() 2 < e 2e < / e 2 e ( e + 3) > 0 Eercice 8. Soit f la fonction définie par f () = e2 1 e Déterminer l ensemble de définition de f. 2. Étudier les variations de f. 3. Montrer que pour tout D f, f (2) = 2f () 1 + (f ()) 2 Eercice 9. Simplifier, pour > 0, ln() e ln()2 Eercice 10. Étudier la parité de la fonction f définie par f () = ln Eercice 11. Résoudre les équations et inéquations suivantes : = = > = > 6. Eercice 12. Montrer que pour tous réels,, + +. Eercice 13. Montrer que pour tout R, + 1 = + 1. Eercice 14. Montrer à l aide d une étude de fonctions que pour tout > 0, ln() 1. Lcée Gambetta-Carnot Page 17/

18 Eercice 15. Étudier les variations, sur les ensembles de définition correspondants, des fonctions dont les epressions sont données par : 1. f () = + e g() = 2 ln(). 3. h() = ln() Eercice 16. n pose f () = i() = (ln())2 5. j() = e + e 2 6. k() = ln(). En déduire le signe de k. 1. Donner l ensemble de définition de la fonction f. 2. n admet que f est dérivable sur D f. Donner l epression de f () pour tout D f. 3. En déduire les variations de f. Eercice 17. n considère la fonction f définie sur ]0,+ [ par f () = (a) Montrer que pour tout réel strictement positif, on a (b) Etudier le signe de f () sur ]0,+ [. f () = (c) En déduire les variations de la fonction f sur ]0,+ [. n ne cherchera pas à calculer certaines valeurs particulières de la fonction. 2. (a) Développer l epression ( 2)( ). (b) En déduire l ensemble des solutions de l équation f () = 3 2 Eercice 18. Pour tout entier naturel non nul n, on définit la fonction f n sur R par : 1. Étude de la fonction f 1. (a) Vérifier que pour tout réel, f 1 () = (b) Étudier les variations de f 1. f n () = e (c) Montrer que pour tout réel, 0 < f 1 () < 4. 4en e n + 7 (d) Donner une équation de la tangente à la courbe de f 1 au point d abscisse ln(7). (i) 2. Étude générale. (a) Montrer que pour tout entier naturel non nul n, le point de la fonction f n, notée C n. ( 0, 1 ) appartient à la courbe représentative 2 (b) Démontrer que pour tout entier naturel non nul n, la courbe C n et la droite d équation = 2 ont un unique point d intersection dont on précisera l abscisse. (i). Rappelons que si f est une fonction dérivable en un point a alors l équation de la tangente à sa courbe au point d abscisse a est = f (a)( a) + f (a) Lcée Gambetta-Carnot Page 18/