Chapitre 3 : Fonctions de références

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1 Chapitre 3 : Fonctions de références En mathématiques, il eiste de nombreuses fonctions. Cependant, on va s intéresser à l étude d un groupe de fonction de la classe de première S appelée les fonctions de références. La mécanique de la rupture fait intervenir des problèmes de résistance des matériau qui fait intervenir de nombreuses contraintes pouvant s eprimer par des études de fonctions. I. Les fonctions de références en classe de 1 er S On va s intéresser à deu nouvelles fonctions de référence à la classe de 1 er S. Mais avant, nous allons faire un bref rappel de la classe de seconde. A. Rappel de seconde f est la fonction définie sur R par f() = a + b a > 0 a < 0 Représentation graphique Sens de variation La représentation graphique d une fonction affine est une droite. Dans le cas d une fonction linéaire, la droite passe par l origine O du repère. f est strictement croissante sur R. f est strictement décroissante sur R. Dans chaque cas f est strictement monotone sur R. Tableau de variation + f() + f() Signe b a f() + b a f() + Définition : Fonction inverse La fonction inverse est définie sur R\{0} = R par f: 1, soit f() = 1. On peut facilement tracer la courbe représentative de la fonction inverse. 1

2 Définition : Hyperbole Dans un repère orthogonal d origine O, la représentation graphique de la fonction inverse est appelée hyperbole. Propriété : Variation La fonction inverse est strictement décroissante sur R. B. La fonction racine carrée Définition : Fonction racine carrée La fonction racine carrée est définie sur [0; + [= R + par f:, soit f() =. Propriété : Variation La fonction racine carrée est strictement croissante sur R +. Démonstration : Soit a et b deu réels tels que 0 a < b. Comparons a et b On étudie pour cela le signe de b a, en utilisant l epression conjuguée. ( b a)( b + a) b a = b + a = ( b2 a 2 ) b + a Puisque 0 a < b, on a b a > 0 et b + a > 0 et donc b a b+ a > 0. b a = b + a On en conclut que b a > 0. On a démontré que si 0 a < b, alors a < b. Donc la fonction racine carrée est croissante sur R +. 2

3 Propriété : Position par rapport au autres courbes de fonction On note C 1, C 2 et C 3 les courbes d équations y =, y = 2 et y =. Les points O(0; 1) et A(1; 1) sont communs à ces trois courbes. - Sur ]0; 1[, C 2 est en dessous de C 1, elle-même en dessous de C 3 Si 0 < < 1 alors 0 < 2 < < < 1 - Sur ]1; + [, C 3 est en dessous de C 1, elle-même en dessous de C 2 Si > 1 alors 1 < < < 2 Remarque : Dans un repère orthonormé, les courbes représentant les fonctions carré et racine carrée sur [0; + [ sont symétriques l une de l autre par rapport à la droite d équation y =. Démonstration : Pour > 0, 2 est un trinôme de degré 2 dont les racines sont 0 et 1. Si 0 < < 1, on a 2 < 0 soit 2 <, et si > 1, on a 2 > 0 donc 2 >. Pour > 0, = 2 = ( 1) Si 0 < < 1, < 1 par stricte croissance de la fonction racine carrée, donc 1 < 0. Comme > 0, on en déduit que < 0 et par suite que <. De même, si > 1 alors 1 < et donc 1 > 0 et par suite, > 0 d où >. C. La fonction valeur absolue Définition : Valeur absolue La valeur absolue d un nombre réel positif est le nombre lui-même. La valeur absolue d un nombre réel négatif est l opposé de ce nombre. Autrement dit, la valeur absolue du nombre, notée, est si < 0 = { si > 0 Eemple : 4 = 4, 2,4 = 2,4 et 0 = 0 2 π = (2 π) car 2 π est négatif donc 2 π = π 2 1,14. Plus généralement, si a et b sont deu réels, a b est la distance entre a et b. 3

4 Propriété : Simplifications Pour tout réel, - = 0 si et seulement si = 0 - = - 2 = Démonstration : - = 0 si et seulement si = 0 ou = 0 donc = 0. - = ou = ( ) = donc =. - 2 est le nombre positif qui a pour carrée 2. Or 2 = 2 que soit positif ou négatif. On sait que 0 donc pour tour réel, 2 =. Définition : Fonction valeur absolue La fonction valeur absolue est la fonction définie sur R par f: soit f() = Propriété : Variation La fonction valeur absolue est strictement décroissante sur ] ; 0] = R_ La fonction valeurs absolue est strictement croissante sur [0; + [= R + Démonstration : La fonction valeur absolue coïncide avec : - La fonction sur R_, fonction affine strictement décroissante sur R_. - La fonction sur R +, fonction affine strictement croissante sur R +. 4

5 Propriété : Symétrie La courbe représentative de la fonction valeur absolue est la réunion de deu demi-droites. Dans un repère orthogonal, cette courbe est symétrique par rapport à l ae des ordonnées. Démonstration : Cette courbe coïncide avec la droite d équation y = pour 0 et avec la droite d équation y = pour 0. Pour tout, = donc les points M(; ) et M ( ; ) de la courbe représentant la fonction valeur absolue, ont des abscisses opposées et la même ordonnée puisque =. Ils sont donc symétrique par rapport à l ae des ordonnées dans un repère orthogonal. Remarque : Pour le moment vous avez les fonctions de référence suivantes en classe de 1 er S : - Les fonctions constantes : f() = c pour tout R (où c R) - Les fonctions affines : f() = a + b pour tout R (où a, b R avec a 0) - Les fonctions trinômes : f() = a 2 + b + c pour tout R (où a, b, c R avec a 0) - La fonction inverse : f() = 1 pour tout R. - La fonction racine carrée : f() = pour tout R +. - La fonction valeur absolue : f() = pour tout R. Ils nous restent en classe de 1 er S, la fonction cosinus, sinus à voir au chapitre de trigonométrie. En classe de Terminale, vous verrez la fonction eponentielle et logarithme en plus. II. Fonction λ + u() et λ u() On va s intéresse à d autres fonctions construit par somme ou produit de nombre? Si u et v sont deu fonctions définies sur un intervalle I, on peut considérer leur : - somme, u + v définie sur I par (u + v): u() + v() soit (u + v)() = u() + v() - produit, u v définie sur I par (u v): u() v() soit (uv)() = u()v() Connaissant le sens de variation de u et de v sur I, on ne peut généralement pas en déduire celui de u + v et uv. Par eemple : - Si u() = 2 et v() = pour R alors (u + v)() = Si u() = 2 et v() = + 5 pour R alors (u + v)() = + 5. Dans chaque cas, u est strictement croissante sur I et v est décroissante sur I or (u + v) n est pas forcément croissante ou décroissante sur I. Si l une des deu fonctions est constante, on a en revanche les propriétés suivantes. Propriété : Somme avec un réel Soit u une fonction strictement monotone sur un intervalle I et λ un réel. La fonction définie sur I par u() + λ a même sens de variation que u sur I Démonstration : Supposons que u est strictement décroissante sur I pour tout a, b I tel que, a < b on a u(a) > u(b) et donc u(a) + λ > u(b) + λ. Donc u + λ est strictement décroissante sur I. Supposons que u est strictement croissante sur I pour tout a, b I tel que, a < b on a u(a) < u(b) et donc u(a) + λ < u(b) + λ. Donc u + λ est strictement croissante sur I. 5

6 Eemple 1 : La fonction f() = 3 est définie sur R + puisque la fonction racine carrée est définie sur R +. La fonction f est strictement croissante comme somme de la fonction u: strictement croissante sur R + et un réel λ = 3. Eemple 2 : La fonction g() = est définie sur R puisque la fonction inverse est définie sur R. La fonction g est strictement décroissante sur ] : 0[ et ]0; + [ comme somme de la fonction u: 1 strictement décroissante sur ] ; 0[ et ]0; + [ et un réel λ = 6. Propriété : Produit avec un réel Soit u une fonction strictement monotone sur un intervalle I et λ un réel. La fonction définie sur I par u() λ a : - même sens de variation que u sur I si λ > 0 - le sens de variation contraire de u sur I si λ < 0 Démonstration : Si u est une fonction strictement croissante sur I alors pour tout a, b I tel que a < b on a u(a) < u(b). Si λ > 0 alors u(a) λ < u(b) λ or si λ < 0 alors u(a) λ > u(b) λ. Donc si λ > 0, λu a même sens de variation que u sur I sinon la variation est contraire. Si u est une fonction strictement décroissante sur I alors pour tout a, b I tel que a < b on a u(a) > u(b). Si λ > 0 alors u(a) λ > u(b) λ or si λ < 0 alors u(a) λ < u(b) λ. Donc si λ > 0, λu a même sens de variation que u sur I sinon la variation est contraire. Eemple 1 : La fonction f() = 3 est définie sur R+ puisque la fonction racine carrée est définie sur R +. La fonction f est strictement croissante sur ] : 0[ et ]0; + [ comme produit de la fonction u: 1 strictement décroissante sur ] ; 0[ et ]0; + [ et un réel λ = 3 < 0. Eemple 2 : La fonction g() = 4 2 est définie sur R puisque la fonction carrée est définie sur R. La fonction g a même variation que la fonction carrée comme produit de la fonction u: 2 sur R et un réel λ = 4 > 0. Donc g est strictement décroissante sur R_ et strictement croissante sur R +. Eemple 3 : La fonction f() = 4 2 est définie sur R puisque la fonction inverse est définie sur R. f() = 4 2 La fonction 2 est strictement croissante sur ] : 0[ et ]0; + [ comme produit de la fonction u: 1 strictement décroissante sur ] ; 0[ et ]0; + [ et un réel λ = 2 < 0. Donc la fonction f est strictement croissante sur R et R + par somme de 2 et λ = 4. 6

7 III. Fonction u() et 1 u() On va s intéresse à d autres fonctions construit par composition avec la fonction racine carrée et la fonction inverse. Propriété : Composition avec la fonction racine carrée Soit u une fonction strictement monotone sur un intervalle I. Si pour tout I, u() 0 alors la fonction u: u() est bien définie sur I et a même sens de variation que u sur I. Démonstration : Supposons que u() 0 pour tout I, alors u() eiste pour tout I. Si u est strictement croissante sur I alors pour tout a, b I tel que a < b, on a 0 u(a) < u(b). Or la fonction racine carrée est strictement croissante sur R +, d où u(a) < u(b). u est donc strictement croissante sur I. Si u est strictement décroissante sur I alors pour tout a, b I tel que a < b, on a u(a) > u(b) 0. Or la fonction racine carrée est strictement croissante sur R +, d où u(a) > u(b) 0. u est donc strictement décroissante sur I. Dans les deu cas, u a même sens de variation que u sur I. Propriété : Composition avec la fonction inverse. Soit u une fonction strictement monotone sur un intervalle I. - 1 : 1 est définie en tout I tel que u() 0. u u() - Si u est toujours strictement positif ou strictement négatif sur Ialors 1 a le sens de variation u contraire à celui de u sur I.. Démonstration : Supposons que u() 0 pour tout I, alors 1 u() eiste pour tout I. Si u est strictement croissante sur I et u() 0 alors pour tout a, b I tel que a < b, on a 0 u(a) < u(b) or la fonction inverse est strictement décroissante sur R +, 1 d où > 1 > 0. 1 est donc strictement décroissante sur I. (Faire de même si u() 0). u(a) u(b) u Si u est strictement décroissante sur I et u() 0 alors pour tout a, b I tel que a < b, on a u(a) > u(b) 0 or la fonction inverse est strictement décroissante sur R +, d où 0 < 1 < 1. 1 est donc strictement croissante sur I. (Faire de même si u() 0). u(a) u(b) u Remarque : ATTENTION!!! Les variations d une fonction s étudie sur un intervalle et non une réunion d intervalle ou autre 7

8 Eemple : Etudions les variations de la fonction f() = 1 Soit la fonction u() = + 3. La fonction f est définie sur R\{ 3} puisque u() = 0 lorsque = 3. - Sur ] ; 3[, u() < 0 et u est strictement croissante donc 1 est strictement décroissante. u - Sur ] 3; + [, u() > 0 et u est strictement croissante donc 1 est strictement décroissante. u On en conclut que la fonction f est strictement décroissante sur ] ; 3[ et ] 3; + [. +3 8