Géométrie. Judicaël Courant. 31 mai 2010

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1 31 mai 2010

2 Plan Introduction 1 Introduction 2 Plan et espace euclidiens 3 Droites 4 Plans de l'espace euclidien 5 Cercles et sphères 6 Angles orientés 7 Produit vectoriel

3 Objectifs de ce cours Introduction Montrer comment on peut fonder la géométrie euclidienne sur les notions algébriques vues cette annéee Donner des méthodes de calcul des objets géométriques usuels

4 Introduction Fondements de la géométrie euclidienne Euclide a fondé de façon rigoureuse la géométrie euclidienne en partant de 5 postulats (ou axiomes) Quel lien y a t-il entre ces postulats et le reste des mathématiques? Aux XIX e et XX e siècles on découvre 1 Que la géométrie peut être fondée essentiellement sur la notion de distance entre deux points 2 Que pour la géométrie euclidienne, la notion de distance peut-être fondée sur la notion de produit scalaire

5 Introduction Approche suivie dans ce cours 1 Notion de produit scalaire 2 Dénition des vecteurs du plan et de l'espace euclidiens 3 Dénition du plan et de l'espace euclidiens

6 Plan Plan et espace euclidiens 1 Introduction 2 Plan et espace euclidiens 3 Droites 4 Plans de l'espace euclidien 5 Cercles et sphères 6 Angles orientés 7 Produit vectoriel

7 Plan Plan et espace euclidiens Vecteurs du plan et de l'espace euclidien 2 Plan et espace euclidiens Vecteurs du plan et de l'espace euclidien Produit scalaire Espaces vectoriels euclidiens Bases orthonormales Propriétés géométriques Plan euclidien, espace euclidien

8 Dénition Plan et espace euclidiens Vecteurs du plan et de l'espace euclidien Dénition On choisit un R-espace vectoriel de dimension 2 muni d'une base ( i, j ) (resp. ( i, j, k )) qu'on appelle espace des vecteurs du plan euclidien (resp. des vecteurs de l'espace euclidien) et qu'on note V 2 (resp. V 3 ). Étant donnés deux vecteurs u et v de coordonnées respectives (x 1, y 1 ) et (x 2, y 2 ) (resp. (x 1, y 1, z 1 ) et (x 2, y 2, z 2 )) dans cette base, on appelle produit scalaire de u et v et on note u. v le réel x 1 x 2 + y 1 y 2 (resp. x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 ). NB : le choix de V 2 (resp. V 3 ) importe peu, tous les espaces vectoriels euclidiens de même dimension étant isomorphes V 2, R 2 et M 2,1 (R) (resp. V 3, R 3 et M 3,1 (R)) étant isomorphes, on aura tendance à les identier.

9 Notation Plan et espace euclidiens Vecteurs du plan et de l'espace euclidien Soit u V2 (resp. u V 3 ) (α, β) R 2 (resp. (α, β, γ) R 3 ) On note u α β (resp. α u β ) la proposition u = α i + β j (resp. γ u = α i + β j + γ k )

10 Plan Plan et espace euclidiens Produit scalaire 2 Plan et espace euclidiens Vecteurs du plan et de l'espace euclidien Produit scalaire Espaces vectoriels euclidiens Bases orthonormales Propriétés géométriques Plan euclidien, espace euclidien

11 Forme bilinéaire Plan et espace euclidiens Produit scalaire Dénition Soit E un R-espace vectoriel et φ : E 2 R. On dit que φ est 1 linéaire à gauche si et seulement si pour tout y E, l'application x φ(x, y) est linéaire, c'est-à-dire λ R (x 1, x 2, y) E 3 φ(x 1 + λx 2, y) = φ(x 1, y) + λφ(x 2, y) 2 linéaire à droite si et seulement si pour tout x E, l'application y φ(x, y) est linéaire, c'est-à-dire λ R (x, y 1, y 2 ) E 3 φ(x, y 1 + λy 2 ) = φ(x, y 1 ) + λφ(x, y 2 ) 3 bilinéaire (ou est une forme bilinéaire) si et seulement si φ est à la fois linéaire à gauche et à droite

12 Produit scalaire Plan et espace euclidiens Produit scalaire Dénition Soit E un R-espace vectoriel et φ : E 2 R une forme bilinéaire. On dit que φ est 1 symétrique si et seulement si (x, y) E 2 φ(x, y) = φ(y, x) 2 positive si et seulement si x E φ(x, x) 0 3 dénie si et seulement si x E φ(x, x) = 0 x = 0 4 un produit scalaire sur E si et seulement si φ est une application bilinéaire symétrique dénie positive

13 Exemples Plan et espace euclidiens Produit scalaire 1 Soit Ω un espace probabilisé ni. La covariance est une application bilinéaire symétrique positive sur l'espace vectoriel des variables aléatoires sur Ω. 2 Le déterminant de deux vecteurs du plan euclidien est une forme bilinéaire non symétrique (dite antisymétrique car det( u, v ) = det( v, u )) 3 Le produit scalaire sur V 2 (resp. sur V 3 ) est bien un produit scalaire

14 Plan Plan et espace euclidiens Espaces vectoriels euclidiens 2 Plan et espace euclidiens Vecteurs du plan et de l'espace euclidien Produit scalaire Espaces vectoriels euclidiens Bases orthonormales Propriétés géométriques Plan euclidien, espace euclidien

15 Dénition Plan et espace euclidiens Espaces vectoriels euclidiens Dénition On appelle espace vectoriel euclidien tout espace vectoriel E muni d'un produit scalaire E 2 R ( u, v ) u. v NB : l'espace des vecteurs du plan euclidien (resp. de l'espace euclidien) est donc un espace vectoriel euclidien.

16 Norme Plan et espace euclidiens Espaces vectoriels euclidiens Dénition Soit Alors E un espace vectoriel euclidien u E On note u 2 le réel u. u On appelle norme euclidienne de u et on note u le réel u 2

17 Orthogonalité Plan et espace euclidiens Espaces vectoriels euclidiens Dénition Soit E un espace vectoriel euclidien ( u, v ) E 2 Alors on dit que u et v de E sont orthogonaux et on note u v pour exprimer que u. v = 0

18 Plan Plan et espace euclidiens Bases orthonormales 2 Plan et espace euclidiens Vecteurs du plan et de l'espace euclidien Produit scalaire Espaces vectoriels euclidiens Bases orthonormales Propriétés géométriques Plan euclidien, espace euclidien

19 Dénition Plan et espace euclidiens Bases orthonormales Dénition Soit Alors n N E un espace vectoriel euclidien de dimension n (e 1,..., e n ) une base de E On dit que cette base est orthogonale si et seulement si ses vecteurs sont deux-à-deux orthogonaux, c'est-à-dire (i, j) [[1, n]] i j e i e j On dit qu'elle est orthonormale (ou orthonormée) si et seulement si elle est orthogonale et que de plus tous ses vecteurs sont de norme 1, c'est-à-dire i [[1, n]] e i = 1

20 Plan et espace euclidiens Bases orthonormales NB : les bases ( i, j ) de V 2 et ( i, j, k ) de V 3 sont des bases orthonormées

21 Plan et espace euclidiens Orthogonalité et liberté Bases orthonormales Proposition Soit E un espace vectoriel euclidien k N (e 1,..., e k ) une famille de k vecteurs tous non-nuls deux à deux orthogonaux Alors la famille (e 1,..., e k ) est libre.

22 Plan et espace euclidiens Bases orthonormales Corollaire Soit n N E un espace vectoriel euclidien de dimension n (e 1,..., e n ) une famille de n vecteurs tous non-nuls et deux à deux orthogonaux Alors la famille (e 1,..., e n ) est une base orthogonale. Corollaire Soit n N E un espace vectoriel euclidien de dimension n (e 1,..., e n ) une famille de n vecteurs Alors (e 1,..., e n ) est une base orthonormale de E si et seulement si (i, j) E 2 e i.e j = δ ij

23 Plan et espace euclidiens Existence de bases orthonormales Bases orthonormales Théorème (admis) Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension nie. Alors E admet des bases orthonormales. NB : La démonstration classique de ce résultat consiste à donner un procédé de construction d'une base orthonormale à partir d'une base donnée (procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt)

24 Plan et espace euclidiens Calcul du produit scalaire Bases orthonormales Proposition Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension nie n B une base orthonormale de E ( u, v ) E 2 Posons Alors α 1.. α n = M B ( u ) et u. v = β 1.. β n = M B ( v ) n α i β i = t M B (u)m B (v) i=1 NB : On aurait donc pu dénir V 2 en disant V 2 est un espace vectoriel euclidien de dimension 2, on notera ( i, j ) une de ses bases orthonormées

25 Plan Plan et espace euclidiens Propriétés géométriques 2 Plan et espace euclidiens Vecteurs du plan et de l'espace euclidien Produit scalaire Espaces vectoriels euclidiens Bases orthonormales Propriétés géométriques Plan euclidien, espace euclidien

26 Plan et espace euclidiens Propriétés de la norme Propriétés géométriques Proposition Soit u un vecteur du plan (resp. de l'espace) et λ R. Alors λ u = λ u

27 Plan et espace euclidiens Propriétés géométriques Proposition (identités remarquables) Soit u et v deux vecteurs du plan (resp. de l'espace). Alors 1 u + v 2 = u u. v + v 2 u v 2 = u 2 2 u. v + v 3 u 2 v 2 = ( u v ).( u + v ) Proposition Soit u et v deux vecteurs du plan (resp. de l'espace). Alors u. v u v (inégalité de Cauchy-Schwarz) u. v = u v si et seulement si u et v sont colinéaires u + v u + v (inégalité triangulaire)

28 Plan et espace euclidiens Théorème de Pythagore Propriétés géométriques Théorème (de Pythagore et réciproque, version vectorielle) Soit u et v deux vecteurs d'un espace euclidien. Alors u v u + v 2 = u 2 + v 2

29 Plan et espace euclidiens Propriétés géométriques Orthogonal d'un sous-espace vectoriel Proposition Soit E un espace vectoriel euclidien et soit v un vecteur de E. Alors { u E u } v est un sous-espace vectoriel de E.

30 Plan et espace euclidiens Projection orthogonale Propriétés géométriques Dénition Soit u un vecteur d'un espace vectoriel euclidien et D un sous-espace vectoriel de dimension 1 de V 2. Alors il existe un unique couple de vecteurs ( w, w ) vériant 1 u = w + w 2 et w D 3 et w est orthogonal à tout vecteur de D. w est appelé projeté orthogonal de u sur D. Démonstration : Soit v D avec v 0. On montre que les conditions ci-dessus sont équivalentes à u. v w = v 2 v et w = u w

31 Plan et espace euclidiens Propriétés géométriques Proposition Soit u et v deux vecteurs d'un espace vectoriel euclidien, avec v 0 et notons w le projeté orthogonal de u sur Vect( v ). Alors w = u. v v

32 Angle géométrique Plan et espace euclidiens Propriétés géométriques Dénition Soit u et v deux vecteurs non-nuls du plan ou de l'espace. Alors on appelle angle géométrique (ou non-orienté) de u et v l'unique θ [0, π] vériant u. v = u v cos θ Notation Lorsque u et v sont deux vecteurs non-nuls de l'espace euclidien, on note généralement leur angle géométrique ( u, v ) Attention : lorsque u et v sont deux vecteurs non-nuls du plan euclidien, cette notation ne désigne généralement pas l'angle géométrique mais l'angle orienté des deux vecteurs (voir plus loin)

33 Plan et espace euclidiens Propriétés géométriques Proposition Soit u et v deux vecteurs non-nuls du plan ou de l'espace. Alors u v si et seulement si leur angle géométrique vaut π 2

34 Plan Plan et espace euclidiens Plan euclidien, espace euclidien 2 Plan et espace euclidiens Vecteurs du plan et de l'espace euclidien Produit scalaire Espaces vectoriels euclidiens Bases orthonormales Propriétés géométriques Plan euclidien, espace euclidien

35 Plan et espace euclidiens Plan euclidien, espace euclidien Dénition On choisit un ensemble P (resp. E) appelé plan euclidien (resp. espace euclidien), dont les éléments sont appelés points, qui permet de représenter les vecteurs du plan (resp. de l'espace) euclidien au sens suivant : En posant A = P (resp. A = E) et A = V 2 (resp. A = V 3 ), on a 1 A est non-vide 2 A est muni d'une application de A 2 dans A qui, à tout couple de points (A, B) associe un vecteur de A noté AB 3 cette application vérie la relation de Chasles : (A, B, C) A 3 AB + BC = AC 4 Pour tout point O de A et tout vecteur u de A, il existe un unique point M de A vériant OM = u. Ce point est noté O + u.

36 Plan et espace euclidiens Plan euclidien, espace euclidien NB : Il s'agit de montrer qu'un tel ensemble existe Par la suite, savoir lequel a été choisi n'a aucune importance Dans tout ce qui suit, on utilisera ces notations A et A.

37 Repère Plan et espace euclidiens Plan euclidien, espace euclidien Dénition On appelle repère de A tout couple (M, B), où M est un point de A appelé origine du repère et B est une base de A. NB : Pour alléger la notation, un repère (M, ( u 1, u 2 )) sera plutôt noté (M; u 1, u 2 ) ou (M, u 1, u 2 ) Une origine O étant choisie, (O; i, j ) (resp. (O; i, j, k )) est un repère du plan (resp. de l'espace) euclidien

38 Plan et espace euclidiens Coordonnées d'un point Plan euclidien, espace euclidien Dénition 1 On dit qu'un point M du plan a pour coordonnées (x, y) dans le repère (O; i, j ) et on note M(x, y) si et seulement si OM = x i + y j 2 On dit qu'un point M de l'espace a pour coordonnées (x, y, z) dans le repère (O; i, j, k ) et on note M(x, y, z) si et seulement si OM = x i + y j + z k

39 Plan et espace euclidiens Plan euclidien, espace euclidien Changement de repère dans le plan euclidien Soit Notons (O 1, i 1, j 1 ) et (O 2, i 2, j 2 ) deux repères du plan M P (x O1, y O1 ) les coordonnées de O 1 dans le second repère. (x 1, y 1 ) (resp. (x 2, y 2 )) les coordonnées de M dans le premier (resp. second) repère A la matrice 2 2 dont la première (resp. deuxième) colonne est celle des coordonnées de i 1 (resp. j 1 ) dans la base ( i 2, j 2 ) Alors ( x2 y 2 ) ( ) xo1 = + A y O1 ( x1 y 1 )

40 Plan et espace euclidiens Plan euclidien, espace euclidien Changement de repère dans l'espace euclidien Soit Notons Alors (O 1, i 1, j 1, k 1 ) et (O 2, i 2, j 2, k 2 ) deux repères de l'espace euclidien. M E (x O1, y O1, z O1 ) les coordonnées de O 1 dans le second repère. (x 1, y 1, z 1 ) (resp. (x 2, y 2, z 2 )) les coordonnées de M dans le premier (resp. second) repère A la matrice 3 3 dont la première (resp. deuxième, resp. troisième) colonne est celle des coordonnées de i 1 (resp. j 1, resp. k 1 ) dans la base ( i 2, j 2, k 2 ) x 2 y 2 = x O1 y O1 + A x 1 y 1 z 2 z O1 z 1

41 Plan Droites 1 Introduction 2 Plan et espace euclidiens 3 Droites 4 Plans de l'espace euclidien 5 Cercles et sphères 6 Angles orientés 7 Produit vectoriel

42 Plan Droites Dénitions 3 Droites Dénitions Parallélisme Équation paramétrique d'une droite Angle de deux droites Droites du plan euclidien

43 Droites Dénitions Dénition Soit D un sous-espace vectoriel de A de dimension 1 A un point de A On appelle droite passant par A et de direction D l'ensemble { A + u u D }. vecteur directeur de tout vecteur non nul de D Remarque 1 A d'où le terme droite passant par A { } 2 D = AB (A, B) 2 3 la direction d'une droite est donc unique

44 Droites Dénitions Remarque 1 Pour tout vecteur directeur u de, on a Vect( u ) = D et = { A + t u t R } 2 Pour tout (A, B) A 2 avec A B, on note (AB) la droite de vecteur directeur AB passant par A. On a 3 Soit Alors A A M (AB) AM Vect( AB) D un sous-espace vectoriel de dimension 1 passant par A = { D = D et A

45 Plan Droites Parallélisme 3 Droites Dénitions Parallélisme Équation paramétrique d'une droite Angle de deux droites Droites du plan euclidien

46 Droites Parallélisme Dénition On dit que deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont même direction Dénition On dit que deux droites sont sécantes si et seulement si leur intersection est un singleton Proposition 1 Deux droites quelconques sont parallèles ou sécantes 2 Deux droites parallèles sont confondues ou disjointes

47 Plan Droites Équation paramétrique d'une droite 3 Droites Dénitions Parallélisme Équation paramétrique d'une droite Angle de deux droites Droites du plan euclidien

48 Droites Équation paramétrique d'une droite Équation paramétrique d'une droite du plan Proposition Soit A x A un point du plan euclidien y A u α β un vecteur non-nul du plan euclidien Notons la droite passant par A de vecteur directeur u. On a { x = x A + tα M t R y = y A + tβ

49 Droites Équation paramétrique d'une droite Corollaire Soit A x A et B y A x B deux points distincts du plan euclidien On a y B M (AB) t R { x = x A + t(x B x A ) y = y A + t(y B y A )

50 Droites Équation paramétrique d'une droite Équation paramétrique d'une droite de l'espace On a exactement les mêmes résultats (en rajoutant la troisième coordonnée)

51 Plan Droites Angle de deux droites 3 Droites Dénitions Parallélisme Équation paramétrique d'une droite Angle de deux droites Droites du plan euclidien

52 Angle de deux droites Droites Angle de deux droites Dénition Soit 1 et 2 deux droites du plan où de l'espace, de vecteurs directeurs respectifs u et v. Alors on appelle angle géométrique (ou non-orienté) de 1 et 2 l'unique θ [0, π 2 ] vériant u. v = u v cos θ Remarque 1 Un tel θ existe bien et est unique, on a ( u. ) v θ = arccos u v 2 θ ne dépend pas du choix de u et v 3 l'angle géométrique de u et v vaut θ ou π θ.

53 Plan Droites Droites du plan euclidien 3 Droites Dénitions Parallélisme Équation paramétrique d'une droite Angle de deux droites Droites du plan euclidien

54 Vecteur normal Droites Droites du plan euclidien Dénition (Vecteur normal à une droite) Soit u un vecteur du plan une droite du plan On dit que 1 u est orthogonal à si et seulement s'il est orthogonal à tout vecteur directeur de 2 u est normal à si et seulement s'il est non-nul et orthogonal à Remarque La direction de étant un sous-espace vectoriel de dimension 1, pour que u soit orthogonal à, il sut qu'il soit orthogonal à l'un des vecteurs directeurs de.

55 Droites Équation cartésienne d'une droite Droites du plan euclidien Proposition Soit A(x A, y A ) et M(x, y) deux points du plan une droite passant par A u a b un vecteur du plan normal à Alors M a(x x A ) + b(y y B ) = 0 Lemme Soit u et v deux vecteurs orthogonaux non-nuls { Alors w V2 w } v = Vect( u )

56 Droites Droites du plan euclidien Proposition Soit u a b un vecteur du plan. Alors le vecteur v et de même norme que u b a est orthogonal à u Proposition Soit Alors A(x A, y A ) et M(x, y) deux points du plan une droite passant par A u a b un vecteur directeur de M b(x x A ) a(y y B ) = 0

57 Droites Droites du plan euclidien Proposition Soit (a, b, c) R 3 avec (a, b) (0, 0). L'équation ax + by + c = 0 est l'équation d'une droite de vecteur normal u v b a a b (D) et de vecteur directeur

58 Droites Droites du plan euclidien Projeté orthogonal d'un point sur une droite Proposition Soit Alors M un point du plan une droite 1 il existe un unique point H de tel que HM soit orthogonal à 2 soit A un point de alors AH est le projeté orthogonal de AM sur la direction de 3 H est le point de le plus proche de A Dénition Ce point H est appelé projeté orthogonal de M sur et la distance MH est appelée distance de M à.

59 Droites Droites du plan euclidien Calcul de la distance d'un point à une droite Proposition Soit une droite du plan de vecteur normal n M un point du plan Alors pour tout point A de, la distance de M à est. AM n n Proposition Soit (a, b, c) R 3 la droite d'équation ax + by + c = 0 M(x, y) un point du plan Alors la distance de M à vaut ax+by+c a2 +b 2

60 Plan Plans de l'espace euclidien 1 Introduction 2 Plan et espace euclidiens 3 Droites 4 Plans de l'espace euclidien 5 Cercles et sphères 6 Angles orientés 7 Produit vectoriel

61 Plan Plans de l'espace euclidien Dénition 4 Plans de l'espace euclidien Dénition Équation paramétrique Parallélisme Vecteur normal à un plan

62 Plans de l'espace euclidien Dénition Dénition Soit D un sous-espace vectoriel de V 3 de dimension 2 A un point de E On appelle plan P passant par A et de direction D l'ensemble { A + u u D }. Pour tous vecteurs u 1 et u 2 non colinéaires de D, on dit que u 1 et u 2 dirigent P. Remarque 1 D = { AB (A, B) P 2 } 2 Pour tous vecteurs u 1 et u 2 de D non colinéaires, D = Vect( u 1, u 2 ). P est donc l'unique plan passant par A dirigé par u 1 et u 2. 3 le plan passant par A dirigé par u 1 et u 2 est l'ensemble { A + λ u 1 + λ u 2 (λ, µ) R } 2

63 Plan Plans de l'espace euclidien Équation paramétrique 4 Plans de l'espace euclidien Dénition Équation paramétrique Parallélisme Vecteur normal à un plan

64 Plans de l'espace euclidien Équation paramétrique Proposition Soit A(x A, y A, z A ) et M(x, y, z) deux points de E α 1 u 1 β 1 et α 2 u 2 β 2 deux vecteurs non colinéaires de V 3 γ 1 γ 2 Notons P le plan passant par A dirigé par u 1 et u 2. Alors x = x A + λα 1 + µα 2 M P (λ, µ) R 2 y = y A + λβ 1 + µβ 2 z = z A + λγ 1 + µγ 2

65 Plan Plans de l'espace euclidien Parallélisme 4 Plans de l'espace euclidien Dénition Équation paramétrique Parallélisme Vecteur normal à un plan

66 Plans de l'espace euclidien Parallélisme Dénition On dit que deux plans sont parallèles s'ils ont même direction.

67 Plans de l'espace euclidien Parallélisme Proposition 1 Deux plans non parallèles ont une intersection non-vide 2 Deux plans parallèles sont confondus ou disjoints

68 Plan Plans de l'espace euclidien Vecteur normal à un plan 4 Plans de l'espace euclidien Dénition Équation paramétrique Parallélisme Vecteur normal à un plan

69 Plans de l'espace euclidien Vecteur normal à un plan Dénition Soit u un vecteur de V3 P un plan de l'espace euclidien On dit que 1 u est un vecteur orthogonal à P si et seulement si u est orthogonal à tous les vecteurs de la direction de P 2 u est normal à P si et seulement s'il est non-nul et orthogonal à P Remarque 1 La direction de P étant un sous-espace vectoriel de dimension 2, pour que u soit orthogonal à, il sut qu'il soit orthogonal à deux vecteurs dirigeant P. 2 On dira qu'une droite est normale à P si et seulement si les vecteurs de sa direction sont orthogonaux à P (ou de façon équivalente, si et seulement si un de ses vecteurs directeurs est normal à P)

70 Plans de l'espace euclidien Vecteur normal à un plan Proposition Soit ( e 1, e 2, e 3 ) une base de V 3. Alors il existe une base orthogonale ( e 1, e 2, e 3 ) vériant { e 1 = e 1 et Vect( e 1, e 2) = Vect( e 1, e 2 ) Corollaire Soit e 1 un vecteur de V 3. Alors il existe e 2 et e 3 tels que ( e 1, e 2, e 3 ) soit une base orthogonale. Corollaire Un plan admet des vecteurs normaux. Deux vecteurs normaux à un même plan sont toujours colinéaires.

71 Plans de l'espace euclidien Équation cartésienne d'un plan Vecteur normal à un plan Proposition Soit P un plan de vecteur normal u P a pour équation a b c et passant par A(x A, y A, z A ). Alors a(x x A ) + b(y y A ) + c(z z A ) = 0

72 Plans de l'espace euclidien Vecteur normal à un plan Projeté orthogonal d'un point sur un plan Proposition Soit Alors M un point de l'espace P un plan de l'espace 1 il existe un unique point H tel que HM est orthogonal à P 2 H est le point de P le plus proche de M Dénition Ce point H est appelé projeté orthogonal de M sur P et la distance MH est appelée distance de M à P

73 Plans de l'espace euclidien Vecteur normal à un plan Calcul de la distance d'un point à un plan Proposition Soit P un plan d'équation ax + by + cz + d = 0, où (a, b, c, d) R 4 M(x, y, z) un point de l'espace Alors la distance de M à P vaut ax+by+cz+d a2 +b 2 +c 2

74 Angles de plans Plans de l'espace euclidien Vecteur normal à un plan Dénition Soit P 1 et P 2 deux plans de vecteurs normaux respectifs n 1 et n 2. Alors ( 1 n 1. ) n 2 On appelle angle de P 1 et P 2 le réel arccos n 1 n 2 2 On dit que deux P 1 et P 2 sont perpendiculaires et on note P 1 P 2 si et seulement si cet angle vaut π 2 Remarque Deux plans sont parallèles si et seulement s'ils forment un angle nul

75 Plans de l'espace euclidien Position relative de deux plans Vecteur normal à un plan Proposition Soit P 1 et P 2 deux plans d'équations respectives { a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 et a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 Alors on est dans une et une seule des trois situations suivantes : (a 1, b 1, c 1, d 1 ) et (a 2, b 2, c 2, d 2 ) sont proportionnels. Alors P 1 et P 2 sont confondus (a 1, b 1, c 1, d 1 ) et (a 2, b 2, c 2, d 2 ) ne sont pas proportionnels mais (a 1, b 1, c 1 ) et (a 2, b 2, c 2 ) le sont. Alors P 1 //P 2 et P 1 P 2 = (a 1, b 1, c 1 ) et (a 2, b 2, c 2 ) ne sont pas proportionnels. Alors P 1 P 2 est une droite

76 Plan Cercles et sphères 1 Introduction 2 Plan et espace euclidiens 3 Droites 4 Plans de l'espace euclidien 5 Cercles et sphères 6 Angles orientés 7 Produit vectoriel

77 Dénition Cercles et sphères Dénition Soit Ω un point du plan (resp. de l'espace) R R + On appelle cercle (resp. sphère) de centre Ω et de rayon R l'ensemble des points M du plan (resp. de l'espace) vériant ΩM = R. Soit A et B deux points de cet ensemble vériant Ω est le milieu de [AB]. Alors le segment [AB] est appelé un diamètre du cercle (resp. de la sphère) Proposition Soit S un cercle (resp. une sphère) de centre Ω et de rayon R. Soit [AB] un diamètre de S. Alors, en notant A le plan (resp. l'espace) euclidien { S = M A } AM. BM = 0

78 Cercles et sphères Équation d'un cercle et d'une sphère Proposition Soit R R + Ω(α, β, γ) un point de l'espace Alors la sphère de centre Ω et de rayon R a pour équation (x α) 2 + (y β) 2 + (z γ) 2 R 2 = 0

79 Cercles et sphères Remarque 1 S a donc une équation de la forme x 2 + y 2 + z 2 2αx 2βy 2γz + δ = 0 où δ α 2 + β 2 + γ 2 (on a δ = α 2 + β 2 + γ 2 R 2 ) 2 Réciproquement toute équation de la forme x 2 + y 2 + z 2 2αx 2βy 2γz + δ = 0 où δ α 2 + β 2 + γ 2 est l'équation de la sphère de centre le point de coordonnées (α, β, γ) et de rayon α2 + β 2 + γ 2 δ. 3 On a des résultats analogues pour le cercle

80 Plan Angles orientés 1 Introduction 2 Plan et espace euclidiens 3 Droites 4 Plans de l'espace euclidien 5 Cercles et sphères 6 Angles orientés 7 Produit vectoriel

81 Angles orientés Coordonnées polaires On se xe dans V 2 une base orthonormée ( i, j ) qui servira de référence pour l'orientation. Proposition Soit u un vecteur du plan non-nul. Alors il existe (ρ, θ) R + R vériant u = ρ cos θ i + ρ sin θ j Dénition Ce couple (ρ, θ) est appelé couple des coordonnées polaires de u dans la base ( i, j ). On dit que θ est un angle polaire de u.

82 Angles orientés Remarque 1 Il n'y a pas unicité du couple (ρ, θ) 2 Si (ρ 1, θ 1 ) et (ρ 2, θ 2 ) sont deux couples de coordonnées polaires de u dans la base ( i, j ) alors ρ 1 = ρ 2 et θ 1 = θ 2 [2π].

83 Angles orientés Mesure d'un angle orienté Dénition Soit u 1 et u 2 deux vecteurs non nuls Notons θ 1 et θ 2 leurs angles polaires respectifs. Alors 1 La mesure de l'angle orienté ( u 1, u 2 ) est un réel, noté mes( u 1, u 2 ) ou ( u 1, u 2 ) vériant mes( u 1, u 2 ) = θ 2 θ 1 [2π] 2 On dit que deux angles ( u 1, u 2 ) et ( v 1, v 2 ) sont égaux si et seulement si mes( u 1, u 2 ) = mes( v 1, v 2 )[2π]

84 Angles orientés Proposition Soit u, v et w trois vecteurs non nuls du plan. 1 mes( u, v ) + mes( v, w ) = mes( u, w )[2π] 2 mes( u, u ) = 0[2π] 3 mes( u, v ) = mes( v, v )[2π] 4 mes( u, u ) = π[2π] 5 mes( u, v ) = 0[π] si et seulement si u et v sont colinéaires 6 mes( u, v ) = π 2 [π] si et seulement si u v

85 Angles orientés Base orthonormale directe Dénition Soit ( u, v ) une base orthonormale du plan. On dit que ( u, v ) est 1 une base orthonormale directe si ( u, v ) = π [2π] 2 2 une base orthonormale indirecte si ( u, v ) = π [2π] 2 Remarque 1 D'après ce qui précède, toute base orthonormale est soit directe, soit indirecte 2 La base de référence ( i, j ) est directe 3 La convention pour donner une représentation graphique d'une base directe par le dessin est que j soit obtenu par application d'une rotation d'un angle de π 2 dans le sens trigonométrique sur i

86 Angles orientés Déterminant de deux vecteurs Dénition Soit x 1 u 1 et u 2 y 1 x 2 deux vecteurs. Le déterminant de u 1 et u 2 noté y 2 det( u 1, u 2 ) ou x 1 y 1 x 2 y 2 est le réel x 1y 2 y 1 x 2. Remarque det est une forme bilinéaire antisymétrique

87 Angles orientés Proposition Soit u et v deux vecteurs non nuls du plan. Notons θ une mesure de leur angle orienté. Alors u. v cos θ = u v et sin θ = det( u, v ) u v

88 Plan Produit vectoriel 1 Introduction 2 Plan et espace euclidiens 3 Droites 4 Plans de l'espace euclidien 5 Cercles et sphères 6 Angles orientés 7 Produit vectoriel

89 denition Produit vectoriel Dans ce qui suit, on se xe une base de référence ( i, j, k ) de V 3. Proposition Il existe une unique application vériant : V 2 3 V 3 ( u, v ) u v 1 est une application bilinéaire antisymétrique 2 3 i j = k j k = i 4 k i = j

90 Produit vectoriel Démonstration : La démonstration peut s'eectuer par analyse-synthèse. On peut notamment montrer que les conditions suivantes sont nécessaires : 1 u V 3 u u = 0 2 j i = k 3 k j = i 4 i k = j Puis que pour tout x 1 u y 1 et tout v z 1 x 2 y 2 z 2 on a nécessairement u y v = 1 y 2 z z 1 z 2 i + 1 z 2 x x 1 x 2 j + 1 x 2 y 1 y 2 k

91 Produit vectoriel Dénition Cette unique application est appelée produit vectoriel. u et v étant deux vecteurs de l'espace euclidien, on note u v le produit vectoriel de u et v. Étant donnés trois vecteurs de l'espace euclidien u, v et w, on appelle produit mixte de u, v et w et on note [ u, v, w ] ou det( u, v, w ) le réel ( u v ). w Remarque Le produit vectoriel de u et v est noté u v dans la littérature anglophone.

92 Produit vectoriel Proposition Soit u et v deux vecteurs de l'espace euclidien. Alors 1 u v u 2 et u v v 3 et u v = 0 si et seulement si u et v sont colinéaires Remarque On peut donc obtenir un vecteur normal à un plan à partir de deux vecteurs non colinéaires de sa direction.

93 Produit vectoriel Proposition Soit u et v deux vecteurs de l'espace, d'angle géométrique θ. Alors u v = sin θ u v Corollaire Soit ( u, v, w ) une base orthonormale. Alors u v vaut w ou w.

94 Produit vectoriel Dénition Soit ( u, v, w ) une base orthonormale. On dit que cette base est 1 une base orthonormale directe si w = u v 2 une base orthonormale indirecte si w = u v

95 Calculs d'aire Produit vectoriel 1 Soit A, B, C trois points distincts de l'espace euclidien. Alors l'aire du triangle ABC est 1 2 AB AC. 2 Soit D un quatrième point tel que ABCD soit un parallélogramme. Alors l'aire du parallélogramme ABCD est AB AB.