FIXAGE. Le risque de taux en assurance-vie : Modélisation stochastique et fair value

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1 FIXAGE Le risque de taux en assurance-vie : Modélisation stochastique et fair value Petit-déjeuner du 9 janvier 2003 animé par Michel PIERMAY et Arnaud COHEN FIXAGE 11, avenue Myron Herrick Paris - FRANCE Téléphone : 33 (1) Télécopie : 33 (1) Mél : - Site : Société anonyme au capital de R.C.S.Paris B Code APE 741G

2 Le problème : Nous partons du portefeuille réel d une compagnie d assurance à fin décembre Le portefeuille garantit des taux, sur les contrats, entre 0% et 6%. Le taux minimum garanti moyen est de 2,83%. La compagnie désire apprécier son risque de taux. La difficulté principale réside dans les liens entre la durée effective des contrats, leur valeur de rachat et le cheminement futur des taux d intérêt. 9 janvier 2003 FIXAGE - 2 / 20 -

3 La méthode : Le lien entre le cheminement des taux d intérêt et le comportement du passif de l assureur conduit à une modélisation stochastique dans laquelle les taux d intérêt comme les flux de passif sont des variables aléatoires et non pas des grandeurs déterministes fixées a priori par un scénario. L approche déterministe ne peut évidemment pas modéliser le lien taux / durée du passif. En utilisant un atelier logiciel de développement actuariel, nous simulons un grand nombre de scénario d évolution des taux d intérêt (approche de type Monte-Carlo). Nous calculons pour chaque scénario, la valeur d un critère en fair value, le ratio de financement. Nous étudions ensuite la distribution de ce critère suivant l ensemble des scénarios. 9 janvier 2003 FIXAGE - 3 / 20 -

4 1. La problématique de la gestion actif-passif en assurance vie Le bilan d une compagnie d assurance vie peut être schématisé comme suit : Actif Passif Fonds propres Placements Provisions techniques (représentation comptable des engagements) Le bilan peut être évalué de différentes façons, et notamment : Selon les principes du coût historique, de la continuité d exploitation et de la prudence comptable qui caractérisent la comptabilité française. Selon une approche de type fair value, en valeur de marché pour les actifs et en valeur actuelle selon une courbe des taux zéro coupon des engagements. 9 janvier 2003 FIXAGE - 4 / 20 -

5 L assurance vie est une activité à fort levier par rapport au risque de taux. Les risques supportés par la société d assurance-vie ne peuvent être appréhendés par la seule lecture d un bilan qu il soit comptable ou en fair value. Les flux résultant des engagements des assureurs ne sont pas déterministes. Les contrats comprennent des options qui représentent un risque pour l assureur en cas de hausse ou de baisse des taux d intérêt. 9 janvier 2003 FIXAGE - 5 / 20 -

6 2. Un critère de Fair Value Le principe de fair value consiste à retenir le prix auquel un actif ou un passif pourrait être échangé entre deux parties bien informées et consentantes dans le cadre d une transaction effectuée dans des conditions de concurrence normale. Un critère en fair value couramment utilisé, notamment dans certains modèles d optimisation est le ratio de financement défini comme le rapport de l actif en valeur de marché et de la valeur actuelle des engagements. 9 janvier 2003 FIXAGE - 6 / 20 -

7 Nous actualiserons ici les engagements avec une courbe zéro coupon des taux d intérêt comme dans l état réglementaire trimestriel T3 établi par les compagnies d assurances et destiné à la Commission de Contrôle des Assurances. Rappelons que dans cet état les actifs sont évalués en valeur de marché et les engagements en valeur actuelle selon une courbe des taux. La valeur actuelle des contrats rachetables est bornée inférieurement à la valeur de rachat. Le coût maximal de l option de rachat est donc pris en compte. 9 janvier 2003 FIXAGE - 7 / 20 -

8 160% 150% 140% 130% 120% 110% 100% 90% 80% 70% 60% Ratio de financement en fonction des variations de taux obligataires Taux de rachat constant - Revalorisation au TMG - Pas de participations aux bénéfices -3% -2% -1% - 1% 2% 3% 4% 5% 6% Valeur actuelle des engagements au taux de marché hors prise en compte de l'option de rachat Valeur actuelle des engagements au taux de marché borné par la valeur de rachat Exemple correspondant au portefeuille obligataire et au portefeuille de contrats d épargne en euros d un bancassureur et réalisé à partir de l Atelier Logiciel de Développement Actuariel MG-ALFA TM. 9 janvier 2003 FIXAGE - 8 / 20 -

9 3. Le traitement de la participation aux bénéfices des contrats Le ratio de financement permet notamment d apprécier la capacité de distribution de l assureur au-delà du taux minimum garanti. Hypothèse : La participation aux bénéfices est versée annuellement aux assurés et correspond au contrat d assurance. Il n y a pas de lissage des taux servis autre que celui résultant du mode comptabilisation des actifs ( pas de jeu de la provision pour participation aux bénéfices ). Pour chaque contrat, la revalorisation annuelle correspond au résultat financier de l année diminué des chargements de gestion et du taux de prélèvement sur les produits financiers. Elle ne peut être inférieure au taux minimum garanti. 9 janvier 2003 FIXAGE - 9 / 20 -

10 Ratio de financement en fonction des variations de taux obligataires Taux de rachat constant - Affectation des participations aux bénéfices sans lissage 120% 110% 100% 90% 80% 70% 60% -3% -2% -1% - 1% 2% 3% 4% 5% 6% Valeur actuelle des engagements au taux de marché hors prise en compte de l'option de rachat Valeur actuelle des engagements au taux de marché borné par la valeur de rachat Exemple correspondant au portefeuille obligataire et au portefeuille de contrats d épargne en euros d un bancassureur et réalisé à partir de l Atelier Logiciel de Développement Actuariel MG-ALFA TM. 9 janvier 2003 FIXAGE - 10 / 20 -

11 4. La notion de fonction de comportement L exercice des options de rachat anticipé ne sera pas automatique pour tous les assurés en cas de remontée des taux d intérêt. Le taux de rachat d un contrat peut être considéré comme la somme d une constante et en cas de hausse des taux du résultat d un comportement d arbitrage des clients. Ce taux de rachat peut être modélisé à l aide d une fonction logit : taux de rachat(, i r) = constante + b.exp( ai ( r)) c+ e.exp( di ( r)) où i représente le taux du marché obligataire (emprunts d état à 10 ans), r le taux de revalorisation du contrat. 9 janvier 2003 FIXAGE - 11 / 20 -

12 Le comportement des assurés dépendra de la rentabilité de leurs contrats par comparaison avec la rentabilité qu ils pourraient obtenir sur un autre placement (ex. marché obligataire). 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% Taux de rachat d'après la fonction de comportement 0% -4% -3% -2% -1% 0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% Différentiel (taux de marché des OAT à 10 ans - taux servi) 9 janvier 2003 FIXAGE - 12 / 20 -

13 Ratio de financement en fonction des variations de taux obligataires Taux de rachat variant selon la fonction de comportement Affectation des participations aux bénéfices sans lissage 120% 110% 100% 90% 80% 70% 60% ratio de financement de 105,30% en l'absence de variation des taux d'intérêt -3% -2% -1% - 1% 2% 3% 4% 5% 6% Exemple correspondant au portefeuille obligataire et au portefeuille de contrats d épargne en euros d un bancassureur et réalisé à partir de l Atelier Logiciel de Développement Actuariel MG-ALFA TM. 9 janvier 2003 FIXAGE - 13 / 20 -

14 5. Une concavité du ratio de financement comme fonction des variations de taux Le ratio de financement calculé comme fonction des taux d intérêt à la date d observation est une fonction concave. Il résulte d une propriété évidente des fonctions concaves que la moyenne des ratios de financement correspondants à deux bornes de taux (sur le graphe 3 pts et +3 pts) est inférieure au ratio de financement du point central (taux d intérêt constant). 9 janvier 2003 FIXAGE - 14 / 20 -

15 Effet de la concavité du ratio de financement comme fonction des taux 120% 105,30% 110% 100% 90% 80% 70% 105,06% 100,65% 96,23% 60% -3% -2% -1% - 1% 2% 3% 4% 5% 6% variation des taux obligataires L utilisation du ratio de financement calculé aux conditions de marché risque de conduire à une appréciation un peu optimiste. 9 janvier 2003 FIXAGE - 15 / 20 -

16 6. Le modèle stochastique des taux Les évolutions futures de la courbe des taux d intérêt sont modélisées année par année à partir de lois normales et de corrélations entre différents points de la courbe des taux. La diffusion des taux d intérêt provient de l algorithme de Steve Miller présenté dans la revue Risks and Rewards (1992). Cet algorithme permet la simulation de scénarios de diffusion simples. Il n y a pas de force de rappel. 9 janvier 2003 FIXAGE - 16 / 20 -

17 Diffusion des taux (60 premières séries de tirages pour le taux à 7 ans) 20% 18% 16% 14% 12% 10% 8% 6% 4% 2% 0% Tirages réalisés à partir de l Atelier Logiciel de Développement Actuariel MG-ALFA TM. 9 janvier 2003 FIXAGE - 17 / 20 -

18 7. Une distribution asymétrique du ratio de financement 50% 45% 40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% Distribution du ratio de financement 103,50% 104,13% 0% 100% 102% 104% 106% 108% 110% Moyenne mobile (densité empirique) Densité normale Densité empirique Exemple réalisé à partir de l Atelier Logiciel de Développement Actuariel MG-ALFA TM. La courbe jaune représente la moyenne mobile centrée d ordre 7 des points constitutifs de la densité empirique (pas de 0,125%). La densité de la loi normale représentée ci-dessus en bleu a la même moyenne et le même écart-type que la densité empirique. 9 janvier 2003 FIXAGE - 18 / 20 -

19 Les résultats font apparaître une forte asymétrie de la distribution (mode inférieur à la moyenne) et indiquent que le calcul du ratio de financement à partir des seuls taux de marché de l époque donne une vision un peu optimiste de la solvabilité de la société. L analyse de la distribution du ratio de financement pour 200 tirages permet de constater que : Le ratio de financement moyen est de 104,13%. Rappelons que le ratio de financement est de 105,30% dans le scénario déterministe qui correspond à une courbe des taux inchangée. Le ratio de financement le plus probable est de 103,50% (mode de la densité estimée par une moyenne mobile). 9 janvier 2003 FIXAGE - 19 / 20 -

20 L approche stochastique permet d avoir une vision plus prudente de la solvabilité de la compagnie et permet d apprécier en lecture directe sur un graphique des scénarios extrêmes. Il est bien sûr possible d utiliser d autres modèles de diffusion de taux et de prendre en compte d autres types d actifs. Il peut être intéressant d utiliser le datascreening pour observer de plus près les scénarios extrêmes (stress-testing) 9 janvier 2003 FIXAGE - 20 / 20 -

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