Master en Droit et Economie / Automne 2015 / Prof. F. Alessandrini. Chapitre 1 : principes. 2 ème partie : la valeur temps de l argent

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1 Chapitre 1 : principes 2 ème partie : la valeur temps de l argent

2 Plan du cours Arbitrage et décisions financières valeur actuelle arbitrage loi du prix unique Valeur temps valeur actuelle et valeur future valeur actuelle nette (VAN) annuités et perpétuités Taux d intérêt taux nominal vs. taux réel courbe des taux taux risqués Bibliographie: Berk, DeMarzo: ch. 4 2

3 L échéancier Échéancier ou diagramme des flux (timeline) Prenons le cas d une banque s apprêtant à recevoir d un emprunteur 2 paiements égaux de , à la fin des deux prochaines années: 3

4 Flux et séquence de flux Prêt de rembourser par deux versements de : 4

5 Construction d un échéancier Frais de scolarité = par an. La scolarité dure deux ans. Les paiements doivent être effectués à parts égales à chaque début de semestre. Quel est le diagramme de flux? 5

6 Les trois règles du «voyage dans le temps» 1. Pour comparer des flux se produisant à différentes dates, il faut tenir compte de la valeur temps de l argent. 2. Pour transposer un flux dans le futur, il faut le capitaliser. 3. Pour transposer un flux dans le passé, il faut l actualiser. 6

7 Transposer des flux dans le futur On dispose de aujourd hui. Taux d intérêt = 10%. Quel est le montant équivalent dans un an? Dans deux ans? Dans trois ans? 7

8 Transposer des flux dans le futur 8

9 La puissance de la capitalisation Placer sur un compte rémunéré au taux annuel (fixe) de 10 % permet de recevoir 100 d intérêts à la fin de la 1 ère année, soit une richesse totale de Qu en est-il dans 20 ans? Que se passe-t-il les 20 années suivantes? 9

10 La puissance de la capitalisation 10

11 Transposer des flux dans le passé Quelle est la valeur aujourd hui de à recevoir dans un an alors que le taux d intérêt est de 10 %? Dans deux ans? Dans trois ans? 11

12 Valeur actuelle d un flux futur simple On envisage l achat d une obligation. Ce titre donne droit à un flux unique de dans 10 ans. Le taux d intérêt, sur le marché, est de 6 %. Quelle est la valeur de l obligation aujourd hui? 12

13 Les trois règles du «voyage dans le temps»: synthèse 13

14 Application des règles du «voyage dans le temps» On envisage de placer aujourd hui et 1000 à la fin de chacune des deux prochaines années. Le taux d intérêt annuel est de 10 %. Quelle somme obtient-on dans 3 ans? => Plusieurs possibilités, mais une seule bonne réponse! 14

15 Application des règles du «voyage dans le temps» 1 ère possibilité 2 ème possibilité 15

16 Application des règles du «voyage dans le temps» 3 ème possibilité 16

17 Valeur actuelle et future d une séquence de flux 17

18 Valeur actuelle et future d une séquence de flux La valeur actuelle d une séquence de flux est égale à la somme des valeurs actuelles des flux qui composent. Généralisation: 18

19 Valeur actuelle nette (VAN) d une séquence de flux Un projet peut être représenté sur un échéancier comme une séquence de flux, positifs ou négatifs. dépenses / coûts / investissements = sorties d argent = flux négatif recettes / bénéfices = entrées d argent = flux positif La VAN d un projet peut se calculer comme la valeur actuelle de tous les flux présents et futurs liés au projet 19

20 La VAN d un projet d investissement Possibilité d investir aujourd hui en échange de 500 à la fin de chacune des trois prochaines années. Possibilité de placer au taux de 10 % par an. Doit-on investir dans ce projet? VAN = /1, /1, /1,1 3 = 243,43 20

21 Rentes perpétuelles, annuités et autres cas particuliers Les formules développées jusqu à maintenant permettent de calculer les valeurs actuelles et futures de n importe quelle séquence de flux. En pratique, lorsque les flux s étalent sur plus de quatre ou cinq périodes (ce qui est souvent le cas), les calculs peuvent être longs et fastidieux. Dans certains cas particuliers, il existe toutefois des formules simplifiées. 21

22 Les rentes perpétuelles 22

23 Les rentes perpétuelles En plaçant 100 on crée donc une rente perpétuelle de 5 par an. D après la Loi du prix unique, la VA d une rente perpétuelle de 5 par an doit être de 100. Généralisons : en plaçant P euros sur un compte bancaire, il est possible de retirer chaque année les intérêts, F = r P, et laisser le principal, P, sur le compte. 23

24 Exemple: créer une rente perpétuelle L association des étudiants du master finance décide de créer un gala annuel. Le coût annuel d un gala est de Les placements sont rémunérés au taux de 8 %. Le premier gala est prévu dans un an. Quelle somme l association doit-elle placer afin de pouvoir financer l organisation du gala chaque année éternellement? 24

25 Les annuités constantes 25

26 Les annuités constantes 26

27 Exemple: valeur actuelle d une annuité constante La loterie nationale propose à ses gagnants de recevoir : 1 M tous les ans pendant 30 ans (le premier versement ayant lieu aujourd hui) ; 15 M immédiatement. Le taux d intérêt est de 8 %. Quelle solution retenir? 27

28 Les annuités constantes 28

29 Exemple: se constituer une épargne retraite Stéphanie a 35 ans et décide d épargner pour sa retraite tous les ans jusqu à ses 65 ans. Le compte retraite est rémunéré à 10 %. De quelle somme Stéphanie disposera-t-elle le jour de ses 65 ans? VF = (1 / 0,1) (1,1 30 1) = ,49 = 1,645 M à 65 ans 29

30 Les rentes perpétuelles croissantes Une rente de ce type ne peut exister que si g < r. Dans le cas contraire (g > r), la somme tend vers l infini, de même que le prix. Si g < r, alors la somme est finie et l on peut déterminer un prix. 30

31 Les rentes perpétuelles croissantes 31

32 Les rentes perpétuelles croissantes 32

33 Exemple: créer une rente perpétuelle (bis) L association des étudiants du master finance décide de créer un gala annuel. Le coût annuel d un gala est de Le coût augmente de 4 % par an. Les placements sont rémunérés au taux de 8 %. Le premier gala est prévu dans un an. Quelle somme l association doit-elle placer afin de pouvoir financer l organisation du gala chaque année éternellement? 33

34 Les annuités croissantes L annuité ayant un nombre fini de termes, la valeur peut être calculée même si g > r 34

35 Exemple: se constituer une épargne retraite (bis) Stéphanie a 35 ans et décide d épargner pour sa retraite tous les ans jusqu à ses 65 ans. Le compte retraite est rémunéré à 10 %. Elle prévoit une augmentation de salaire de 5 % tous les ans, ce qui lui permettra d augmenter ses placements de 5 % par année. De quelle somme disposera-t-elle le jour de ses 65 ans? 35

36 Les annuités croissantes La formule de l annuité croissante est une formule générale à partir de laquelle il est possible de déduire toutes les formules présentées dans cette partie : Une rente perpétuelle croissante peut être vue comme une annuité croissante avec N. Si g < r, alors (1 + g) / (1 + r) < 1. Puisque N, [(1 + g) / (1 + r)] N 0. La formule d une annuité croissante quand N est donc : 36

37 Calculer les flux, le TRI et le nombre de périodes L objectif jusque là a été de calculer la valeur actuelle ou la valeur future d une séquence de flux. Il arrive cependant, parfois, que la valeur actuelle ou future soit connue, mais pas le taux d intérêt, le nombre de périodes ou le montant des flux. Exemples Lorsqu on contracte un prêt, on sait combien on désire emprunter, on connaît le taux d intérêt, mais pas, a priori, ce que l on devra payer au total pour honorer le prêt. On peut aussi se demander combien de temps est nécessaire pour se constituer un certain capital, étant donné le montant que l on est prêt à épargner à chaque période et le taux d intérêt. 37

38 Calculer le montant des flux Une entreprise envisage d acheter à crédit une machine d une valeur de Remboursement par annuités constantes pendant dix ans (le premier versement a lieu dans un an). Le taux d intérêt est de 8 %. Quel est le montant du versement annuel? 38

39 Calculer le montant des flux = VA(annuité de F par an pendant 10 ans actualisée au taux de 8 %) <=> = F x (1 / 0,08) x (1 1,08-10 ) = F x 6,71 <=> F = / 6,71 = En généralisant : 39

40 Calculer le Taux de Rentabilité Interne (TRI) Le taux de rentabilité interne (TRI) est le taux d intérêt qui annule la VAN. Considérons un projet qui nécessite un investissement immédiat de et qui rapporte dans 6 ans. On cherche r tel que :? Lorsqu il y a seulement deux flux, comme dans l exemple précédent, il est simple de calculer le TRI. TRI avec deux flux = ( VF / P ) 1/N

41 Calculer le TRI Une entreprise désirant acheter un monte-charge a le choix entre : un achat comptant au prix de ; 4 versements annuels de L entreprise doit comparer le taux de l emprunt proposé par le vendeur à celui qu elle pourrait obtenir d une banque => TRI «implicite». 41

42 Calculer le TRI Formule générale : r = 10 % : r = 20 % : r = 18,450 % : 42

43 Calculer le nombre de périodes On place sur un compte rémunéré à 10 % par an. Combien de temps faut-il attendre avant de disposer de ? 43

44 Exemple: nombre de périodes d un plan d épargne nécessaires à un achat Julien épargne pour se constituer un apport personnel en vue d un achat immobilier. Il dispose déjà de et peut épargner à la fin de chaque année. L épargne est rémunérée à 7,25 % par an. Combien d années doit-il attendre avant de disposer de ? 44

45 La «règle des 72» Combien de temps faut-il pour qu un capital double, compte tenu du taux d intérêt? On cherche N tel que : VF = 1 (1 + r) N = 2 Approximation : N = 72 / r. Exemple : r = 9 % Il faut 8 ans pour que le capital double (1,09 8 = 1,99). L approximation donne : 72 / 9 = 8 ans. 45

46 Critères d investissement: la valeur actuelle nette Un projet ne doit être mis en œuvre que si sa valeur actuelle nette ou VAN, définie comme la somme actualisée des flux futurs (cash flow), est positive. Lorsqu on a le choix entre plusieurs projets, on doit opter pour celui qui génère la plus forte VAN. VAN T t t t 0 1 r F 46

47 La VAN d un projet d investissement La Fantastique Ferme Française (FFF) un nouveau fertilisant Échéancier en millions d euros 47

48 La VAN d un projet d investissement 48

49 Critères d investissement: le taux de rentabilité interne (TRI) Taux de rentabilité interne : TRI (ou TIR) = taux d actualisation pour lequel la VAN s annule. Hypothèse implicite : tous les flux futurs pourront être réinvestis à un taux égal au TRI. 0 T F t t t 0 1 TRI 49

50 Le taux de rentabilité interne (TRI) Critère du TRI Tout investissement dont le TRI dépasse le coût du capital doit être réalisé. Tout investissement dont le TRI est inférieur au coût du capital doit être refusé Le TRI est en général un bon critère (i.e. il conduit à maximiser la richesse créée par les actionnaires) lorsque : le projet est unique ; les flux négatifs précèdent les flux positifs. 50

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