1.1 Forme algébrique d'un nombre complexe

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1 Chapitre 1 Nombres Complexes 1.1 Forme algébrique d'un nombre complexe Dénition L'ensemble des nombres complexes noté C, est l'ensemble d'éléments pouvant s'écrire sous la forme a + ib, où a et b sont des réels, et i tel que i 2 = 1. C = { z = a + ib/(a, b) R 2} Les nombres réels a et b sont appelés respectivement partie réelle et partie imaginaire de z ; ils sont notés : a = Re(z), et b = Im(z). Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle est dit imaginaire pur. Un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle n'est autre qu'un nombre réel Opérations dans C Soient z 1 = a 1 + ib 1 et z 2 = a 2 + ib 2 deux nombres complexes. Addition z 1 + z 2 = (a 1 + ib 1 ) + (a 2 + ib 2 ) = (a 1 + a 2 ) + i (b 1 + b 2 ) 1

2 2 Nombres Complexes - Dr. Rajaa Akoury Multiplication z 1.z 2 = (a 1 + ib 1 ). (a 2 + ib 2 ) = (a 1 a 2 b 1 b 2 ) + i (a 1 b 2 + a 2 b 1 ) Division z 1 = a 1a 2 + b 1 b 2 + i a 2b 1 a 1 b 2 z 2 a b 2 2 a b 2 2 Puissance de i Pour tout k N : i 4k = 1 i 4k+1 = i i 4k+2 = 1 i 4k+3 = i A noter que l'addition et la multiplication sont deux lois commutatives et associatives ; elles confèrent à C une structure de corps. L'élément neutre de l'addition est le 0 = 0 + i0. L'élément neutre de la multiplication est le 1 = 1 + i0. Lorsque z = a + ib est non nul, on dénit l'inverse de z par : 1 z = 1 a + ib = a a 2 + b i b 2 a 2 + b Conjugué d'un nombre complexe Dénition Soit z = a + ib un nombre complexe. On appelle conjugué de z, et on note z, le nombre complexe déni par : z = a ib Conséquences 1. z + z = 2Re(z). 2. z z = 2iIm(z). 3. z.z R +

3 Dr. Rajaa Akoury 3 En eet, soit z = a + ib, alors z = a ib. Ainsi : z + z = a + ib + a ib = 2a = 2Re(z) z z = a + ib (a ib) = 2bi = 2iIm(z) z.z = (a + ib)(a ib) = a 2 (ib) 2 = a 2 + b 2 R + On en déduit les résultats suivants : 1. z est un réel Im(z) = 0 z = z. 2. z est un imaginaire pur Re(z) = 0 z = z Dénition On appelle module d'un nombre complexe z = a + ib, le nombre réel positif ou nul déni par : z = zz = a 2 + b 2 Propriétés du conjugué 1. z = z. 2. z 1 + z 2 = z 1 + z z 1 z 2 = z 1.z 2. ( ) 1 4. = 1, pour z 0. z z ( ) z1 5. = z 1, pour z 2 0. z 2 z 2 6. (z) n = z n n N. En eet, soit z = x + iy, z 1 = x 1 + iy 1 et z 2 = x 2 + iy 2, alors : z = x + iy = x iy = x + iy = z.

4 4 Nombres Complexes - Dr. Rajaa Akoury z 1 + z 2 = (x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 ) = (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 ) = (x 1 + x 2 ) i(y 1 + y 2 ) = (x 1 iy 1 ) + (x 2 iy 2 ) = z 1 + z 2 z 1 z 2 = (x 1 + iy 1 ).(x 2 + iy 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) z 1.z 2 = (x 1 iy 1 ).(x 2 iy 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) = z 1 z 2 ( ) ( ) ( ) 1 1 x iy = = = x + iy z x + iy x 2 + y 2 x 2 + y 2 1 z = 1 x iy = x + iy x 2 + y = 2 ( z1 z 2 ) ( ) 1 z = z 1. 1 ( ) 1 = z 1. = z 1. 1 = z 1 z 2 z 2 z 2 z 2 La proposition (z) n = z n n N peut être démontrée par récurrence : Pour n = 0, z 0 = 1 = z 0. Pour n = 1, z 1 = z 1 = z Supposons la propriété varie jusqu'à l'ordre n, c'est dire (z) n = z n, et montrons-la pour l'ordre n + 1. (z) n+1 = z n.z = z n.z = z n Représentation géométrique des nombres complexes On suppose que le plan est rapporté à un repère orthonormé. A tout nombre complexe z = a + ib, on associe un point M du repère, souvent noté M(z). Ce point peut être repéré de deux façons : soit par ses coordonnées cartésiennes (x, y), soit par ses coordonnées polaires (r, θ).

5 Dr. Rajaa Akoury Représentation cartésienne A tout nombre complexe z = a + ib, on associe le point M(a; b), d'abscisse a et d'ordonnée b. M est l'image de z dans le repère. z est l'axe du point M ou du vecteur OM. Figure 1.1 Image du nombre complexe z = a + ib dans un plan orthonormé L'axe (x Ox) est l'axe des nombres réels. L'axe (y Oy) est l'axe des nombres imaginaires purs. L'origine O est l'image du nombre complexe z = Représentation polaire L'image d'un nombre complexe z = x + iy peut être représentée en coordonnées polaires M(r, θ) (gure 1.2). Dénition On appelle module d'un nombre complexe z, notée z, la norme r du vecteur OM. Dénition On appelle argument d'un nombre complexe z, noté arg(z), l'angle θ que fait OM avec l'axe des x. En projetant M sur chacun des axes du repère, on obtient : x = r cos θ et y = r sin θ

6 6 Nombres Complexes - Dr. Rajaa Akoury Figure 1.2 Représentation de l'image en coordonnées polaires En appliquant le théorème de Pythagore : z = r = x 2 + y 2 On peut déduire que : x y cos θ = et sin θ = x2 + y 2 x2 + y. ( 2 y arg(z) = θ(2π) = arctan (si x 0) x) 1 si x = 0 (z imaginaire pur) alors : arg(z) = π 2 + 2kπ si Im(z) > 0, et arg(z) = π 2 + 2kπ si Im(z) < Image d'un conjugué Soit z = a + ib = r (cos θ + i sin θ), alors : z = a ib = r (cos θ i sin θ) = r (cos( θ) + i sin( θ)) Donc z et z ont même module et des arguments opposés. Leurs images sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. z = a ib = r ( cos θ i sin θ) = r (cos(π + θ) + i sin(π + θ)) Donc z et z ont même module et des directions opposés. Leurs images sont symétriques par rapport à l'origine 1. Le signe de x et de y détermine d'une façon unique le cadran d'appartenance.

7 Dr. Rajaa Akoury 7 z = a + ib = r ( cos θ + i sin θ) = r (cos(π θ) + i sin(π θ)) Donc z et z ont même module et des arguments complémentaires. Leurs images sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. Figure 1.3 représentation géométrique de z, z, ( z) et ( z) 1.3 Forme trigonométrique et forme exponentielle Dénition Soit z = x + iy un nombre complexe. On dénit la forme trigonométrique de z par où x = r cos θ et y = r sin θ. En utilisant les formules d'euler : on peut déduire que cos θ = eiθ + e iθ 2 z = r(cos θ + i sin θ) ; sin θ = eiθ e iθ cos θ + i sin θ = e iθ Dénition Soit z = x+iy = r(cos θ+i sin θ) un nombre complexe. On dénit la forme exponentielle de z par z = re iθ 2i

8 8 Nombres Complexes - Dr. Rajaa Akoury où x = r cos θ et y = r sin θ. 1.4 Propriétés et Formule de De Moivre Par la suite, on considère deux nombres complexes : z = re iθ z = r e iθ 1. z = z et arg(z) = arg(z) En eet, si z = re iθ = r cos θ + ir sin θ alors z = r cos θ ir sin θ = r cos( θ) + ir sin( θ) = re iθ. 2. zz = z. z et arg(zz ) = arg(z) + arg(z ) En eet, zz = ( re iθ). ( r e iθ ) = rr e i(θ+θ ) d'où : zz = rr = z. z etarg(zz ) = θ + θ = arg(z) + arg(z ) 3. De la même manière, si z 0, on peut montrer que : 4. 1 z = 1 z et z z = z z arg et ( z ) arg = arg(z) arg(z ) z ( ) 1 = arg(z)) z 5. Inégalité triangulaire : z + z z + z. 6. z n = z n et arg(z n ) = narg(z) En eet, z n = ( re iθ) n = r n e inθ alors z n = r n = z n et arg(z n ) = nθ = n arg(z).

9 Dr. Rajaa Akoury 9 7. Formule de De Moivre : (cos θ + i sin θ) n = cos(nθ) + i sin(nθ). Sachant que z n = ( re iθ) n = r n e inθ, on peut déduire que r n (cos θ + i sin θ) n = r n (cos(nθ) + i sin(nθ)) D'où la formule de De Moivre. 1.5 Interprétation géométrique de relations complexes Soient M(x, y) et C(x 0, y 0 ) deux points d'axes respectives z = x + iy et z 0 = x 0 + iy 0. Si z z 0 = r où r R +, alors le point M appartient au cercle de centre C et de rayon r. En eet, z z 0 = r (x x 0 ) + i(y y 0 ) = r (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2 qui est l'équation du cercle de centre (x 0, y 0 ) et de rayon r. Soient A, B et M trois points d'axes respectives z a, z b et z. Si z z a = z z b alors AM = BM, ce qui signie que le point M appartient à la médiatrice du segment [AB]. Un argument d'un quotient de deux nombres complexes non nuls est un angle de vecteurs. Ainsi, soient les 4 points distincts A(z A ), B(z B ), C(z C ) et D(z D ), alors ( ) za z B arg z C z D = ( DC, BA)(2π) ABC est un triangle rectangle isocèle en B z A z B π = e i 2 = i. z C z B ABC est un triangle équilatéral z B z A = z C z B = z C z A π z C z A = e ±i 3. z B z A

10 10 Nombres Complexes - Dr. Rajaa Akoury ABCD est un parallélogramme z B z A = z C z D. 1.6 Racine n ieme d'un nombre complexe Dénition On appelle racine n ieme d'un nombre complexe u tout nombre complexe z vériant z n = u A noter que si u 0, alors il existe n racines n iemes de u. Application 1 Cherchons les deux racines carrées du nombre complexe : u = 3 + 4i. Il s'agit alors de trouver les deux nombres complexes vériant z 2 = 3 + 4i. Posons z = x + iy et trouvons les deux réels x et y qui vérent l'égalité précédente, alors : (x + iy) 2 = x 2 + 2ixy y 2 = 3 + 4i En plus, z 2 = u z 2 = z 2 = x 2 + y 2 = u = ( 3) = 5. alors, x et y vérient les trois équations suivantes : x 2 + y 2 = 5 x 2 y 2 = 3 2xy = 4 En additionnant les deux premières équations, on aura : 2x 2 = 2 x = ±1. Ainsi, pour x 1 = +1, la dernière équation donne 2y 1 = 4 y 1 = 2, et pour x 2 = 1, y 2 = 2. Les deux racines carrées de u = 3 + 4i sont alors z 1 = 1 + 2i et z 2 = 1 2i

11 Dr. Rajaa Akoury 11 Application 2 Calculons les racines cubiques de 1 en utilisant la forme exponentielle. Il s'agit alors de trouver z = re iθ vériant : z 3 = 1 r 3 e 3iθ = e 0+2kπ, alors r 3 = 1 r = +1(r R + ) k = 0 θ 1 = 0 z 1 = e i0 = 1 k = 1 θ 2 = 2π 3 3θ = 2kπ θ = 2kπ 3 k = 2 θ 3 = 4π 3 z 2 = e i 2π 3 = i 3 2 = j z 3 = e i 4π 3 = 1 2 i 3 2 = j = j2 On note les racines cubiques de u = 1 par 1, j et j 2. A noter que ces racines sont solutions de l'équation z 3 = 1 z 3 1 = (z 1)(z 2 +z +1) = 0 alors j et j 2 doivent vérier l'équation z 2 + z + 1 = 0, c'est à dire : j 2 + j + 1 = 0 Application 3 On peut généraliser la méthode précédente pour calculer les n racines n iemes de l'unité (1) : Cherchons alors z = re iθ tel que z n = 1 r n e inθ = e i2kπ, alors r n = 1 et nθ = 2kπ, d'où les solutions sont de la forme z k = r k e iθ k, avec : Ces n racines vérient : { rk = 1 θ k = 2kπ n, pour k = 0, 1,..., n 1 z 0 + z z n 1 = 0 avec z 0 = 1. En eet, il s'agit da la somme des n premiers termes d'une suite 2π géométrique de premier terme z 0 = 1 et de raison q = e i n. Cette somme 2 est alors 2. S = u 1 1 qn 1 q

12 12 Nombres Complexes - Dr. Rajaa Akoury égale à : S = 1. 2π 1 e i n 2π 1 e i n n = 1 1 2π 1 e i n = 0 Application 4 Résolution d'équations du second degré : az 2 + bz + c = 0 Soit = b 2 4ac le discriminant de cette équation ; 3 cas se présentent : 1. > 0 : l'équation admet deux racines réelles simples : z 1 = b 2a z 2 = b +. 2a et 2. = 0 : l'équation admet une racine réelle double : z 1 = z 2 = b 2a. 3. < 0 : l'équation admet deux racines complexes conjuguées : z 1 = b i 2a et z 2 = b + i 2a