1 et 1 DS de Mathématiques N 7 Lundi 12 Mars 2018 Nom :. (Durée 1 h) c. d.

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1 La présentation, la rédaction et la rigueur des résultats proposées entreront pour une part non négligeable dans l évaluation de la copie. La machine à calculer est autorisée. Le sujet complété (exercice N 2) est à rendre avec la copie. Exercice N 1: ( ) Les courbes 1, 2, 3, données ci-contre sont les courbes représentatives de quatre fonctions f, g, h et k. Les courbes a, b, c, d ci-contre sont les courbes représentatives de leurs fonctions dérivées f, g, h, k dans le désordre. Associer à la courbe de chaque fonction la courbe de sa fonction dérivée. Recopier sur votre copie les paires de courbes fonction fonction dérivée. Aucune justification n est demandée a. b. c. d.

2 Exercice N 2 : ( ) Les parties A et B sont indépendantes. Partie A : Donner la mesure principale des angles suivants et placer les correspondants sur le cercle trigonométrique donné dessous. Partie B : Calculer la valeur exacte de cos(x) sachant que sin(x) - et x ϵ ] - ; 0[ Exercice N 3 : ( ) ABC est un triangle non aplati. D est le point tel que : Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Exercice N : (8 ) Une pyramide de base carrée de centre O et de hauteur h (en cm) est telle que SA 12 cm. Les triangles SOA, SOB, SOC et SOD sont rectangles en O. 1. Montrer que (a) On rappelle que le volume V d une pyramide est donnée par V B h, ou B est l aire de la base et h la hauteur de la pyramide. Démontrer que, pour 0 h 12, le volume V de la pyramide en est défini par : V(h) - +96h. (b) Déterminer V (h) pour 0 h 12. (c) Déterminer pour quelle valeur de h le volume V de la pyramide est maximal. On donnera une valeur exacte du volume en, puis une valeur approchée arrondie au centième.

3 Correction : Exercice 1 : Réponse : 1 b ; 2 c ; 3 a ; - d Explications (non demandées) : La fonction représentée par la courbe 1 est croissante sur ]--,0[ et décroissante sur ]0 ; + [. Sa dérivée doit donc être positive sur ]-,0[ et négative sur ]0 ; + [ : cela correspond à la courbe b. La fonction représentée par la courbe 2 est décroissante sur ]- ; 0[ et aussi sur ]0 ; + [. Sa dérivée sera donc négative sur ]- ;0[ et aussi sur ]0 ; + [ : cela correspond à la courbe c. La fonction représentée par la courbe 3 est décroissante sur ]-,-6], croissante sur [-6 ; 0] puis décroissante sur [0 ;6] et enfin croissante sur [6 ;+ [. Sa dérivée sera donc négative sur ]-,-6], positive sur [-6 ; 0] puis négative sur [0 ;6] et enfin positive sur [6 ;+ [.Cela correspond à la courbe a. La fonction représentée par la courbe 3 est croissante sur ]-,-0,5], décroissante sur [0,5 ;2,5] puis croissante sur [2,5 ;+ ]. Sa dérivée sera donc positive sur ]-,-0,5], négative sur[0,5 ;2,5] puis positive sur [2,5 ;+ ].Cela correspond à la courbe d. Exercice 2 : Partie A : +3 2π, ]-π ;π]. Donc, est la mesure principale de π, ]-π ;π]. Donc, est la mesure principale de. Partie B : (x) + (x) 1 donc, (x) 1- (x). Ainsi, cos(x) ou cos(x) - ; Mais, x ] ;0] donc cos(x)>0. Ainsi, cos(x).

4 Exercice 3 : Méthode 1 : ABC est un triangle. D est le point tel que : Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. é. Méthode 2 : Montrons qu il existe un réel k tel que. Exercice : 1) ABC est un triangle rectangle en B donc d après le théorème de Pythagore : +, or, AB BC car ABCD est un carré d où : AOS est un triangle rectangle en O donc d après le théorème de Pythagore : (2) Mais, AO AC donc, d où en remplaçant dans (2) : (1 - ). (1 - ) 2(1 - ) ) a) h [0;12], V(h) SO (288-2 )h96h-. b) v est définie et dérivable sur [0;12] et h [0;12], V (h) c) Etudions les variations de V sur [0;12] : Etude du signe de V (h) sur [0;12] : 96-2(8 - ) ; 8 - est un trinôme du second degré de racines et - -. Il est du signe de a (ici a -2) à l extérieure de ses racines, soit positif sur l intervalle [0 ; ] et négatif sur l intervalle [ ;12]. On en déduit le tableau de variation de V sur [0;12] : h 0 12 Signe de V (h) Variation de V Conclusion : D après le tableau de variation la fonction V admet un maximum qui est V( ) 256 atteint en h. On en déduit que le volume de la pyramide sera maximal lorsque h et que ce volume maximal est 256 dont une valeur approchée au centième est 3,1.

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