Méthode du pivot de Gauss
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- Anatole Lecompte
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1 Agnès DURRA-GRAS Méthode du ivot de Gauss I Réduite de Gauss d une matrice. Définition Soit ( K ) A M n, Grâce à des oérations élémentaires effectuées sur les lignes et/ou les colonnes de A on eut obtenir à artir de A des matrices de la forme * 0 0 / ( 0) / / * / / 0 qu on aelle réduites de Gauss de A * / / / 0 / / ( 0 ) * 0 0 Les * rerésentent des réels non nuls aelés ivots de la réduite. ou EXP 2. Méthode our obtenir une réduite de Gauss d une matrice Réduite de GAUSS du tye * / / / 0 / / ( 0 ) * 0 0 Par des échanges de lignes uis si nécessaire de colonnes on fait en sorte que le remier cœfficient de la remière ligne soit un ivot. Grâce à lui on annule les remiers L a L a L cœfficients des autres lignes ar i i i A artir de là on ne touche lus la remière ligne. On recommence la méthode avec le deuxi coefficient de la deuxi ligne. On arrête lorsqu il n est lus ossible de mettre un ivot à la lace du i coefficient de la i ligne. Réduite de GAUSS du tye * 0 0 / ( 0) / / * / / 0 Par des échanges de colonnes uis si nécessaire de lignes on fait en sorte que le remier cœfficient de la remière colonne soit un ivot. Grâce à lui on annule les remiers C a C a C cœfficients des autres colonnes ar i i i A artir de là on ne touche lus la remière colonne. On recommence la méthode avec le deuxi coefficient de la deuxi colonne. On arrête lorsqu il n est lus ossible de mettre un ivot à la lace du i coefficient de la i colonne.
2 Agnès DURRA-GRAS 2 II Alications Dans la suite E et F sont des EXP. Calcul du rang d une matrice Soit ( K ) A M n, K esaces vectoriels de dimensions finies resectives n, Le rang de A est égal au nombre de ivots de toute réduite de Gauss de A 2. Détermination du rang d une famille finie de vecteurs A une famille de vecteurs de E Soit = ( u,, ) On écrit la matrice de = ( u,, ) grâce à II. A dans une base de E et on détermine son rang 3. Comléter une famille libre de E en une base de E A = u,, une famille libre de vecteurs de E Soit ( ) On écrit la matrice de = ( u,, ) A dans une base de E On en détermine une réduite de Gauss en travaillant sur les lignes. vecteurs de Cette réduite de Gauss à ivots est ensuite comlétée ar n M n, ( ) K dans le but d obtenir une réduite de Gauss à n ivots. EXP 2 EXP 3 4. Détermination du rang d une alication linéaire de E dans F Soient f L( E, F) et B = ( e,, en ) une base de E On écrit la matrice de f relativement à B et on détermine son rang grâce à II. 5. Détermination d une base de Im f et d une base de Kerf B = ( e e ) une base de E et A M ( f ) Soient f L( E, F),, n = B On détermine une réduite de Gauss de A en travaillant sur les colonnes. f ( ε )... f ( ε ) f ( ε )... f ( ε ) Cette réduite de Gauss est de la forme (,, k ) k k + n * 0 0 / ( 0) / / * / / / 0 / / / / / / / / / 0 ε k +,, ε n une base de Kerf Alors f ( ε ) f ( ε ) est une base de Im f et ( )
3 Agnès DURRA-GRAS 3 6. Caractérisation de l inversibilité et calcul de l inverse Soit ( K ) A M n Si A ossède une réduite de Gauss à n ivots alors A est inversible et toutes ses réduites de Gauss ossèdent n ivots. A si A est inversible : Méthode our déterminer En effectuant des oérations élémentaires sur les lignes de A on arvient à transformer A en la matrice identité. Les mêmes oérations élémentaires effectuées dans le même ordre sur les lignes de I transforme I en k A P A P P A 2 2 I P P P I = P P P A P P P = A 2 k 2 Où les Pi, i k sont des matrices (inversibles) de transosition, dilatation et transvection. A EXP 4 7. Résolution des systs linéaires a. Définitions,, a a K et b K donnés. Soient ( ) Une équation de la forme ax + + ax = b est une équation linéaire. Les ai, i s aellent les coefficients de l équation Les xi, i en sont les inconnues b est le second membre de l équation On aelle syst linéaire à n équations et inconnues un syst comosé de n équations linéaires qui ont les mêmes inconnues. ax + a2 x2 + + = b = b anx + an2x + + an x = bn Les a, i n, j sont les coefficients du syst. Un syst linéaire ( S ) est donc de la forme : ( S ) ij Les xi, i sont les inconnues du syst. A a La matrice ( ij ) = est la matrice associée au syst. i n j
4 Agnès DURRA-GRAS 4 La matrice colonne La matrice colonne b b est la matrice du second membre du syst. n x x est la matrice des inconnues du syst. On aelle solution du syst tout ulet ( c c ) équations. ( S ) 0 ax + a2 x2 + + a x = 0 a2x + a22x2 + + a2 x = 0 anx + an2x + + an x = 0 ulet 0,,0 ( S 0 ) admet toujours le ( ) On aelle rang de ( ),, K qui vérifie les n est le syst homogène associé à ( S ) comme solution. S le rang de sa matrice associé = ( ij ) A a i n j NB : b. Interrétation vectorielle et matricielle d un syst EXP 5 ( S 3 ) On rerend les notations de la définition. Interrétation matricielle : ( S ) AX = B où Interrétation vectorielle : x X = x et b B = b n = et Soient f l alication linéaire canoniquement associée à A, x ( x,, x ) ( ) b = b,, bn AX = B est l écriture matricielle de f ( x) solutions si et seulement si Si les ulets α et β de b Im f = b ce qui signifie que ( S ) admet des K sont solutions de ( ) f ( α ) = b et f ( β ) = b. On en déduit que α β Kerf Donc si ( S ) admet des solutions l ensemble des solutions de ( ) α + Kerf où α est une solution articulière de ( S ) On remarquera que si { 0} ( S ) admet une unique solution. S alors α et β vérifient S est de la forme Kerf = ie si f est bijective ou si A est inversible alors
5 Agnès DURRA-GRAS 5 c. Systs de Cramer En rerenant les notations récédentes ( S ) est un syst de Cramer si A est inversible. Il admet donc une unique solution : le ulets de K dont la matrice relativement à la base canonique de K est A B d. Systs équivalents Deux systs sont dits équivalents s ils ossèdent le même ensemble de solutions. e. Systs échelonnés Définition : C est un syst dont la matrice associée est une réduite de Gauss. Proosition : Tout syst est équivalent à un syst échelonné. Méthode our obtenir un syst échelonné équivalent EXP 5 ( S ) Soient ( S ) un syst linéaire de matrice associée A de matrice des inconnues X et de matrice de second membre B Soient A ' une réduite de Gauss de A B ' la matrice obtenue à artir de B en effectuant sur ses lignes dans le même ordre les oérations élémentaires sur les lignes qui ont ermis de transformer A en A ' Alors le syst linéaire ( S ') de matrice associée A ' de matrice des inconnues X ' et de matrice de second membre B ' est équivalent à ( S ) NB : Cette roosition nous ermet de ramener la résolution des systs linéaires à celle des systs linéaires échelonnés. Résolution des systs linéaires échelonnés EXP 5 S ' un syst linéaire échelonné de matrice associée A ' de matrice des Soient ( ) inconnues cas : X ' et de matrice de second membre * / / A' = / ( 0) * A ' est inversible donc ( ') A ' est carrée. B ' S est un syst de Cramer. ( S )
6 Agnès DURRA-GRAS 6 2 cas : * / / / A' = / / avec r ivots r = n et r < ( 0) * ( S ') solutions. ax + a2 x2 + + a r xr = b a r+ xr+ a x + + = b r r 2 2r+ r+ 2 = b rr r r rr+ r+ r x,, xr (inconnues rinciales) sont définies en fonction de x,, r x auxiliaires) qui décrivent chacune R ( S 2 ) admet une infinité de + (inconnues 3 cas : * / / / A' = ( 0) * avec r ivots r = et r < n Il y a une condition de comatibilité ar raort à la matrice du second membre : = b b ' = = + b ' = n 0 r ( ' ) 2 2 r r + + = b r r 2 S = b rr r r 0 = 0 0 = 0 a une unique solution ( S 3 ) L un des b ', r + i n est non nul le syst est dit incomatible : il n admet as de solution ( S ' 3 ) i
7 Agnès DURRA-GRAS 7 4 cas : * / / / / / A' = * ( 0) avec r ivots r < et r < n Il y a une condition de comatibilité ar raort à la matrice du second membre : = b 2 2 r r r + r = b r r 2 2r + r + 2 b ' = = + b ' = n 0 ( ' ) S = b rr r r rr + r + r 0 = 0 0 = 0 admet une infinité de solutions. x,, xr (inconnues rinciales) sont définies en fonction de x,, r+ x (inconnues r auxiliaires) qui décrivent chacune R ( S 4 ) Si l un des b ', r + i n est non nul le syst est dit incomatible : il n admet as de solution ( S ' 4 ) i
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