Méthode du pivot de Gauss

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Méthode du pivot de Gauss"

Transcription

1 Agnès DURRA-GRAS Méthode du ivot de Gauss I Réduite de Gauss d une matrice. Définition Soit ( K ) A M n, Grâce à des oérations élémentaires effectuées sur les lignes et/ou les colonnes de A on eut obtenir à artir de A des matrices de la forme * 0 0 / ( 0) / / * / / 0 qu on aelle réduites de Gauss de A * / / / 0 / / ( 0 ) * 0 0 Les * rerésentent des réels non nuls aelés ivots de la réduite. ou EXP 2. Méthode our obtenir une réduite de Gauss d une matrice Réduite de GAUSS du tye * / / / 0 / / ( 0 ) * 0 0 Par des échanges de lignes uis si nécessaire de colonnes on fait en sorte que le remier cœfficient de la remière ligne soit un ivot. Grâce à lui on annule les remiers L a L a L cœfficients des autres lignes ar i i i A artir de là on ne touche lus la remière ligne. On recommence la méthode avec le deuxi coefficient de la deuxi ligne. On arrête lorsqu il n est lus ossible de mettre un ivot à la lace du i coefficient de la i ligne. Réduite de GAUSS du tye * 0 0 / ( 0) / / * / / 0 Par des échanges de colonnes uis si nécessaire de lignes on fait en sorte que le remier cœfficient de la remière colonne soit un ivot. Grâce à lui on annule les remiers C a C a C cœfficients des autres colonnes ar i i i A artir de là on ne touche lus la remière colonne. On recommence la méthode avec le deuxi coefficient de la deuxi colonne. On arrête lorsqu il n est lus ossible de mettre un ivot à la lace du i coefficient de la i colonne.

2 Agnès DURRA-GRAS 2 II Alications Dans la suite E et F sont des EXP. Calcul du rang d une matrice Soit ( K ) A M n, K esaces vectoriels de dimensions finies resectives n, Le rang de A est égal au nombre de ivots de toute réduite de Gauss de A 2. Détermination du rang d une famille finie de vecteurs A une famille de vecteurs de E Soit = ( u,, ) On écrit la matrice de = ( u,, ) grâce à II. A dans une base de E et on détermine son rang 3. Comléter une famille libre de E en une base de E A = u,, une famille libre de vecteurs de E Soit ( ) On écrit la matrice de = ( u,, ) A dans une base de E On en détermine une réduite de Gauss en travaillant sur les lignes. vecteurs de Cette réduite de Gauss à ivots est ensuite comlétée ar n M n, ( ) K dans le but d obtenir une réduite de Gauss à n ivots. EXP 2 EXP 3 4. Détermination du rang d une alication linéaire de E dans F Soient f L( E, F) et B = ( e,, en ) une base de E On écrit la matrice de f relativement à B et on détermine son rang grâce à II. 5. Détermination d une base de Im f et d une base de Kerf B = ( e e ) une base de E et A M ( f ) Soient f L( E, F),, n = B On détermine une réduite de Gauss de A en travaillant sur les colonnes. f ( ε )... f ( ε ) f ( ε )... f ( ε ) Cette réduite de Gauss est de la forme (,, k ) k k + n * 0 0 / ( 0) / / * / / / 0 / / / / / / / / / 0 ε k +,, ε n une base de Kerf Alors f ( ε ) f ( ε ) est une base de Im f et ( )

3 Agnès DURRA-GRAS 3 6. Caractérisation de l inversibilité et calcul de l inverse Soit ( K ) A M n Si A ossède une réduite de Gauss à n ivots alors A est inversible et toutes ses réduites de Gauss ossèdent n ivots. A si A est inversible : Méthode our déterminer En effectuant des oérations élémentaires sur les lignes de A on arvient à transformer A en la matrice identité. Les mêmes oérations élémentaires effectuées dans le même ordre sur les lignes de I transforme I en k A P A P P A 2 2 I P P P I = P P P A P P P = A 2 k 2 Où les Pi, i k sont des matrices (inversibles) de transosition, dilatation et transvection. A EXP 4 7. Résolution des systs linéaires a. Définitions,, a a K et b K donnés. Soient ( ) Une équation de la forme ax + + ax = b est une équation linéaire. Les ai, i s aellent les coefficients de l équation Les xi, i en sont les inconnues b est le second membre de l équation On aelle syst linéaire à n équations et inconnues un syst comosé de n équations linéaires qui ont les mêmes inconnues. ax + a2 x2 + + = b = b anx + an2x + + an x = bn Les a, i n, j sont les coefficients du syst. Un syst linéaire ( S ) est donc de la forme : ( S ) ij Les xi, i sont les inconnues du syst. A a La matrice ( ij ) = est la matrice associée au syst. i n j

4 Agnès DURRA-GRAS 4 La matrice colonne La matrice colonne b b est la matrice du second membre du syst. n x x est la matrice des inconnues du syst. On aelle solution du syst tout ulet ( c c ) équations. ( S ) 0 ax + a2 x2 + + a x = 0 a2x + a22x2 + + a2 x = 0 anx + an2x + + an x = 0 ulet 0,,0 ( S 0 ) admet toujours le ( ) On aelle rang de ( ),, K qui vérifie les n est le syst homogène associé à ( S ) comme solution. S le rang de sa matrice associé = ( ij ) A a i n j NB : b. Interrétation vectorielle et matricielle d un syst EXP 5 ( S 3 ) On rerend les notations de la définition. Interrétation matricielle : ( S ) AX = B où Interrétation vectorielle : x X = x et b B = b n = et Soient f l alication linéaire canoniquement associée à A, x ( x,, x ) ( ) b = b,, bn AX = B est l écriture matricielle de f ( x) solutions si et seulement si Si les ulets α et β de b Im f = b ce qui signifie que ( S ) admet des K sont solutions de ( ) f ( α ) = b et f ( β ) = b. On en déduit que α β Kerf Donc si ( S ) admet des solutions l ensemble des solutions de ( ) α + Kerf où α est une solution articulière de ( S ) On remarquera que si { 0} ( S ) admet une unique solution. S alors α et β vérifient S est de la forme Kerf = ie si f est bijective ou si A est inversible alors

5 Agnès DURRA-GRAS 5 c. Systs de Cramer En rerenant les notations récédentes ( S ) est un syst de Cramer si A est inversible. Il admet donc une unique solution : le ulets de K dont la matrice relativement à la base canonique de K est A B d. Systs équivalents Deux systs sont dits équivalents s ils ossèdent le même ensemble de solutions. e. Systs échelonnés Définition : C est un syst dont la matrice associée est une réduite de Gauss. Proosition : Tout syst est équivalent à un syst échelonné. Méthode our obtenir un syst échelonné équivalent EXP 5 ( S ) Soient ( S ) un syst linéaire de matrice associée A de matrice des inconnues X et de matrice de second membre B Soient A ' une réduite de Gauss de A B ' la matrice obtenue à artir de B en effectuant sur ses lignes dans le même ordre les oérations élémentaires sur les lignes qui ont ermis de transformer A en A ' Alors le syst linéaire ( S ') de matrice associée A ' de matrice des inconnues X ' et de matrice de second membre B ' est équivalent à ( S ) NB : Cette roosition nous ermet de ramener la résolution des systs linéaires à celle des systs linéaires échelonnés. Résolution des systs linéaires échelonnés EXP 5 S ' un syst linéaire échelonné de matrice associée A ' de matrice des Soient ( ) inconnues cas : X ' et de matrice de second membre * / / A' = / ( 0) * A ' est inversible donc ( ') A ' est carrée. B ' S est un syst de Cramer. ( S )

6 Agnès DURRA-GRAS 6 2 cas : * / / / A' = / / avec r ivots r = n et r < ( 0) * ( S ') solutions. ax + a2 x2 + + a r xr = b a r+ xr+ a x + + = b r r 2 2r+ r+ 2 = b rr r r rr+ r+ r x,, xr (inconnues rinciales) sont définies en fonction de x,, r x auxiliaires) qui décrivent chacune R ( S 2 ) admet une infinité de + (inconnues 3 cas : * / / / A' = ( 0) * avec r ivots r = et r < n Il y a une condition de comatibilité ar raort à la matrice du second membre : = b b ' = = + b ' = n 0 r ( ' ) 2 2 r r + + = b r r 2 S = b rr r r 0 = 0 0 = 0 a une unique solution ( S 3 ) L un des b ', r + i n est non nul le syst est dit incomatible : il n admet as de solution ( S ' 3 ) i

7 Agnès DURRA-GRAS 7 4 cas : * / / / / / A' = * ( 0) avec r ivots r < et r < n Il y a une condition de comatibilité ar raort à la matrice du second membre : = b 2 2 r r r + r = b r r 2 2r + r + 2 b ' = = + b ' = n 0 ( ' ) S = b rr r r rr + r + r 0 = 0 0 = 0 admet une infinité de solutions. x,, xr (inconnues rinciales) sont définies en fonction de x,, r+ x (inconnues r auxiliaires) qui décrivent chacune R ( S 4 ) Si l un des b ', r + i n est non nul le syst est dit incomatible : il n admet as de solution ( S ' 4 ) i

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3

Plus en détail

NFE107 Urbanisation et architecture des systèmes d information. Juin 2009. «La virtualisation» CNAM Lille. Auditeur BAULE.L 1

NFE107 Urbanisation et architecture des systèmes d information. Juin 2009. «La virtualisation» CNAM Lille. Auditeur BAULE.L 1 Juin 2009 NFE107 Urbanisation et architecture des systèmes d information CNAM Lille «La virtualisation» Auditeur BAULE.L 1 Plan INTRODUCTION I. PRINCIPES DE LA VIRTUALISATION II. DIFFÉRENTES TECHNIQUES

Plus en détail

Cours d analyse numérique SMI-S4

Cours d analyse numérique SMI-S4 ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Accès optiques : la nouvelle montée en débit

Accès optiques : la nouvelle montée en débit Internet FTR&D Dossier du mois d'octobre 2005 Accès otiques : la nouvelle montée en débit Dans le domaine du haut débit, les accès en France sont our le moment très majoritairement basés sur les technologies

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

dénombrement, loi binomiale

dénombrement, loi binomiale dénombrement, loi binomiale Table des matières I) Introduction au dénombrement 1 1. Problème ouvert....................................... 2 2. Jeux et dénombrements...................................

Plus en détail

Un modèle de composition automatique et distribuée de services web par planification

Un modèle de composition automatique et distribuée de services web par planification Un modèle de comosition automatique et distribuée de services web ar lanification Damien Pellier * Humbert Fiorino ** * Centre de Recherche en Informatique de Paris 5 Université Paris Descartes 45, rue

Plus en détail

Santé et hygiène bucco-dentaire des salariés de la RATP

Santé et hygiène bucco-dentaire des salariés de la RATP Santé et hygiène bucco-dentaire des salariés de la RATP Percetion des salariés et examen clinique du raticien Période 2006-2009 14 juin 2012 Dominique MANE-VALETTE, Docteur en Chirurgie dentaire dominique.mane-valette@rat.fr

Plus en détail

Module : réponse d un système linéaire

Module : réponse d un système linéaire BSEL - Physique aliquée Module : réonse d un système linéaire Diaoramas () : diagrammes de Bode, réonse Résumé de cours - Caractérisation d un système hysique - Calcul de la réonse our une entrée donnée

Plus en détail

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des

Plus en détail

Chapitre 2. Matrices

Chapitre 2. Matrices Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce

Plus en détail

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie

Plus en détail

Structures algébriques

Structures algébriques Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe

Plus en détail

DIVERSIFICATION DES ACTIVITES ET PRIVATISATION DES ENTREPRISES DE CHEMIN DE FER : ENSEIGNEMENTS DES EXEMPLES JAPONAIS

DIVERSIFICATION DES ACTIVITES ET PRIVATISATION DES ENTREPRISES DE CHEMIN DE FER : ENSEIGNEMENTS DES EXEMPLES JAPONAIS Ecole Nationale des Ponts et Chaussées Laboratoire Paris-Jourdan Sciences Economiques DIVERSIFICATION DES ACTIVITES ET PRIVATISATION DES ENTREPRISES DE CHEMIN DE FER : ENSEIGNEMENTS DES EXEMPLES JAPONAIS

Plus en détail

Des familles de deux enfants

Des familles de deux enfants Des familles de deux enfants Claudine Schwartz, IREM de Grenoble Professeur, Université Joseh Fourier Les questions et sont osées dans le dernier numéro de «Pour la Science» (n 336, octobre 2005, article

Plus en détail

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires

Plus en détail

S2I 1. quartz circuit de commande. Figure 1. Engrenage

S2I 1. quartz circuit de commande. Figure 1. Engrenage TSI 4 heures Calculatrices autorisées 214 S2I 1 L essor de l électronique nomade s accomagne d un besoin accru de sources d énergies miniaturisées. Les contraintes imosées à ces objets nomades sont multiles

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

Les emprunts indivis. Administration Économique et Sociale. Mathématiques XA100M

Les emprunts indivis. Administration Économique et Sociale. Mathématiques XA100M Les emprunts indivis Administration Économique et Sociale Mathématiques XA100M Les emprunts indivis sont les emprunts faits auprès d un seul prêteur. On va étudier le cas où le prêteur met à disposition

Plus en détail

IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations

IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation

Plus en détail

Polynômes à plusieurs variables. Résultant

Polynômes à plusieurs variables. Résultant Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \

Plus en détail

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire

Plus en détail

Guide d utilisation (Version canadienne) Téléphone sans fil DECT 6.0/ avec répondeur et afficheur/ afficheur de l appel en attente CL83101/CL83201/

Guide d utilisation (Version canadienne) Téléphone sans fil DECT 6.0/ avec répondeur et afficheur/ afficheur de l appel en attente CL83101/CL83201/ Guide d utilisation (Version canadienne) Téléhone sans fil DECT 6.0/ avec réondeur et afficheur/ afficheur de l ael en attente CL83101/CL83201/ CL83301/CL83351/ CL83401/CL83451 Félicitations our votre

Plus en détail

Intérêts. Administration Économique et Sociale. Mathématiques XA100M

Intérêts. Administration Économique et Sociale. Mathématiques XA100M Intérêts Administration Économique et Sociale Mathématiques XA100M 1. LA NOTION D INTÉRÊT 1.1. Définition. Définition 1. L intérêt est la rémunération d un prêt d argent effectué par un agent économique

Plus en détail

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES. CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation

Plus en détail

Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe

Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe Graphes et RO TELECOM Nancy A Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe J.-F. Scheid 1 Plan du chapitre I. Définitions 1 Graphe Graphe valué 3 Représentation d un graphe (matrice d incidence, matrice d

Plus en détail

Exercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA

Exercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA 75. Un plombier connaît la disposition de trois tuyaux sous des dalles ( voir figure ci dessous ) et il lui suffit de découvrir une partie de chacun d eux pour pouvoir y poser les robinets. Il cherche

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.

Plus en détail

Découvrez les bâtiments* modulaires démontables

Découvrez les bâtiments* modulaires démontables Découvrez les bâtiments* modulaires démontables w Industrie w Distribution * le terme «bâtiment» est utilisé our la bonne comréhension de l activité de Locabri. Il s agit de structures modulaires démontables

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel

Plus en détail

Chapitre 3. Les distributions à deux variables

Chapitre 3. Les distributions à deux variables Chapitre 3. Les distributions à deux variables Jean-François Coeurjolly http://www-ljk.imag.fr/membres/jean-francois.coeurjolly/ Laboratoire Jean Kuntzmann (LJK), Grenoble University 1 Distributions conditionnelles

Plus en détail

Chambre Régionale de Métiers et de l Artisanat. Région Auvergne. Région Auvergne

Chambre Régionale de Métiers et de l Artisanat. Région Auvergne. Région Auvergne Chambre Régionale de Métiers et de l Artisanat L Artisanat en Auvergne, l Energie du Déveloement Région Auvergne Région Auvergne Edito Edito Valoriser la formation des jeunes et des actifs : un enjeu

Plus en détail

Étudier si une famille est une base

Étudier si une famille est une base Base raisonnée d exercices de mathématiqes (Braise) Méthodes et techniqes des exercices Étdier si ne famille est ne base Soit E n K-espace vectoriel. Comment décider si ne famille donnée de vecters de

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

Optimisation, traitement d image et éclipse de Soleil

Optimisation, traitement d image et éclipse de Soleil Kléber, PCSI1&3 014-015 I. Introduction 1/8 Optimisation, traitement d image et éclipse de Soleil Partie I Introduction Le 0 mars 015 a eu lieu en France une éclipse partielle de Soleil qu il était particulièrement

Plus en détail

prix par consommateur identiques différents prix par identiques classique 3 unité différents 2 1

prix par consommateur identiques différents prix par identiques classique 3 unité différents 2 1 3- LE MONOOLE DISCRIMINANT Le monoole eut vendre ertaines unités de roduit à des rix différents. On arle de disrimination ar les rix. Selon une terminologie due à igou (The Eonomis of Welfare, 1920), on

Plus en détail

Bois. P.21 Bois-béton à Paris. Carrefour du Bois. Saturateurs. Usinage fenêtres. Bardages P.25 P.34 P.31 P.37. La revue de l activité Bois en France

Bois. P.21 Bois-béton à Paris. Carrefour du Bois. Saturateurs. Usinage fenêtres. Bardages P.25 P.34 P.31 P.37. La revue de l activité Bois en France CMP Bois n 19-12 avril - mai 2010 P.25 Carrefour du Bois P.34 cm La revue de l activité Bois en France Bois Saturateurs P.31 Usinage fenêtres P.37 Bardages Tout our l usinage du bois massif. Tout d un

Plus en détail

«INVESTIR SUR LE MARCHE INERNATIONAL DES ACTIONS A-T-IL PLUS D EFFET SUR LA PERSISTANCE DE LA PERFORMANCE DES FONDS? ILLUSTRATION BRITANNIQUE»

«INVESTIR SUR LE MARCHE INERNATIONAL DES ACTIONS A-T-IL PLUS D EFFET SUR LA PERSISTANCE DE LA PERFORMANCE DES FONDS? ILLUSTRATION BRITANNIQUE» Manuscrit auteur, ublié dans "«COMPTABILITE ET ENVIRONNEMENT», France (007)" «INVESTIR SUR LE MARCHE INERNATIONAL DES ACTIONS A-T-IL PLUS D EFFET SUR LA PERSISTANCE DE LA PERFORMANCE DES FONDS? ILLUSTRATION

Plus en détail

1 Complément sur la projection du nuage des individus

1 Complément sur la projection du nuage des individus TP 0 : Analyse en composantes principales (II) Le but de ce TP est d approfondir nos connaissances concernant l analyse en composantes principales (ACP). Pour cela, on reprend les notations du précédent

Plus en détail

VOIP. Pr MOUGHIT Mohamed m.moughit@gmail.com. Cours VOIP Pr MOUGHIT Mohamed 1

VOIP. Pr MOUGHIT Mohamed m.moughit@gmail.com. Cours VOIP Pr MOUGHIT Mohamed 1 VOIP Pr MOUGHIT Mohamed m.moughit@gmail.com Cours VOIP Pr MOUGHIT Mohamed 1 Connexion fixe, rédictible Connexion établie avant la numérotation user Centre de commutation La Radio est le suort imrédictible

Plus en détail

Les équations différentielles

Les équations différentielles Les équations différentielles Equations différentielles du premier ordre avec second membre Ce cours porte exclusivement sur la résolution des équations différentielles du premier ordre avec second membre

Plus en détail

Commande prédictive des systèmes non linéaires dynamiques

Commande prédictive des systèmes non linéaires dynamiques Rébliqe Algérienne Démocratiqe et olaire Ministère de l Enseignement Sérier et de la Recherche Scientifiqe Université Molod Mammeri de Tizi-Ozo Faclté de Génie Electriqe et Informatiqe Déartement Atomatiqe

Plus en détail

LA NOTATION STATISTIQUE DES EMPRUNTEURS OU «SCORING»

LA NOTATION STATISTIQUE DES EMPRUNTEURS OU «SCORING» LA NOTATION STATISTIQUE DES EMPRUNTEURS OU «SCORING» Gilbert Saporta Professeur de Statistique Appliquée Conservatoire National des Arts et Métiers Dans leur quasi totalité, les banques et organismes financiers

Plus en détail

Chapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens

Chapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques

Plus en détail

L information sera transmise selon des signaux de nature et de fréquences différentes (sons, ultrasons, électromagnétiques, électriques).

L information sera transmise selon des signaux de nature et de fréquences différentes (sons, ultrasons, électromagnétiques, électriques). CHAINE DE TRANSMISSION Nous avons une information que nous voulons transmettre (signal, images, sons ). Nous avons besoin d une chaîne de transmission comosée de trois éléments rinciaux : 1. L émetteur

Plus en détail

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite

Plus en détail

Corrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2

Corrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2 33 Corrigé Corrigé Problème Théorème de Motzkin-Taussky Partie I I-A : Le sens direct et le cas n= 2 1-a Stabilité des sous-espaces propres Soit λ une valeur propre de v et E λ (v) le sous-espace propre

Plus en détail

c. Calcul pour une évolution d une proportion entre deux années non consécutives

c. Calcul pour une évolution d une proportion entre deux années non consécutives Calcul des itervalles de cofiace our les EPCV 996-004 - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio e oit das la oulatio totale des méages - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio das ue sous oulatio das les méages

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire 1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit

Plus en détail

TP : Outils de simulation. March 13, 2015

TP : Outils de simulation. March 13, 2015 TP : Outils de simulation March 13, 2015 Chater 1 Initialisation Scilab Calculatrice matricielle Exercice 1. Système Unix Créer sous Unix un réertoire de travail outil_simulation dans votre home réertoire.

Plus en détail

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient

Plus en détail

Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome

Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome Frédéric Jean Unité de Mathématiques Appliquées ENSTA Le 02 février 2006 Outline 1 2 3 Modélisation Géométrique d un Robot Robot

Plus en détail

Catalogue 3 Chaine sur Mesure

Catalogue 3 Chaine sur Mesure Catalogue 3 Chaine sur Mesure SUBAKI Les Chaines 2009 CAALGUE 3 Classification chaine sur mesure sériés de chaîne ye de chaîne subaki Caractéristiques RUNNER BS Performance suérieure Général Chaînes à

Plus en détail

Compter à Babylone. L écriture des nombres

Compter à Babylone. L écriture des nombres Compter à Babylone d après l article de Christine Proust «Le calcul sexagésimal en Mésopotamie : enseignement dans les écoles de scribes» disponible sur http://www.dma.ens.fr/culturemath/ Les mathématiciens

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Vous êtes un prestataire touristique dans les Monts de Guéret? L Office de Tourisme du Grand Guéret peut vous accompagner!

Vous êtes un prestataire touristique dans les Monts de Guéret? L Office de Tourisme du Grand Guéret peut vous accompagner! Le guide 2015 e u q i t s i r u o t e r i du artena Vous êtes un restataire touristique dans les Monts de Guéret? L Office de Tourisme du Grand Guéret eut vous accomagner! Qui sommes nous? 2 Edito Nouveau

Plus en détail

En vue de l'obtention du. Présentée et soutenue par Philippe NERISSON Le 5 février 2009

En vue de l'obtention du. Présentée et soutenue par Philippe NERISSON Le 5 février 2009 THÈSE En vue de l'obtention du DOCTORAT DE L UNIVERSITÉ DE TOULOUSE Délivré ar l Institut National Polytechnique de Toulouse Disciline ou sécialité : Dynamique des Fluides Présentée et soutenue ar Philie

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace

Plus en détail

Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre

Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre Raphaël Danchin, Rejeb Hadiji, Stéphane Jaffard, Eva Löcherbach, Jacques Printems, Stéphane Seuret Année 2006-2007 2 Table des matières

Plus en détail

Chapitre 3 Les régimes de fonctionnement de quelques circuits linéaires

Chapitre 3 Les régimes de fonctionnement de quelques circuits linéaires Chapitre 3 Les régimes de fonctionnement de quelques circuits linéaires 25 Lechapitreprécédent avait pour objet l étude decircuitsrésistifsalimentéspar dessourcesde tension ou de courant continues. Par

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Noël des enfants qui n'ont plus de maisons

Noël des enfants qui n'ont plus de maisons Chur SS Piano CLAUDE DEBUSSY Noël des enants qui n'ont lus de maisons (1915) Charton Mathias 2014 Publication Usage Pédagogique maitrisedeseinemaritimecom Yvetot France 2 Note de rogramme : Le Noël des

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 30 avril 2015 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 30 avril 2015 Enoncés 1 [http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 avril 215 Enoncés 1 Exercice 1 [ 265 ] [correction] On note V l ensemble des matrices à coefficients entiers du type a b c d d a b c c d a b b c d a et G l ensemble

Plus en détail

Manuel de l'utilisateur

Manuel de l'utilisateur 0 Manuel de l'utilisateur Mise en route... 4 Votre Rider 0... 4 Réinitialiser le Rider 0... 5 Accessoires... 5 Icônes d'état... 5 Connexion, synchro et chargement... 6 Allumer/éteindre le Rider 0... 6

Plus en détail

MATLAB : COMMANDES DE BASE. Note : lorsqu applicable, l équivalent en langage C est indiqué entre les délimiteurs /* */.

MATLAB : COMMANDES DE BASE. Note : lorsqu applicable, l équivalent en langage C est indiqué entre les délimiteurs /* */. Page 1 de 9 MATLAB : COMMANDES DE BASE Note : lorsqu applicable, l équivalent en langage C est indiqué entre les délimiteurs /* */. Aide help, help nom_de_commande Fenêtre de travail (Command Window) Ligne

Plus en détail

Compression scalable d'images vidéo par ondelettes 2D+t

Compression scalable d'images vidéo par ondelettes 2D+t Comression scalable d'images vidéo ar ondelettes 2D+t Madji Samia, Serir Amina et Ouanane Abdelhak Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene, Laboratoire de traitement d images et

Plus en détail

Les marchés du crédit dans les PVD

Les marchés du crédit dans les PVD Les marchés du crédit dans les PVD 1. Introduction Partout, les marchés du crédit sont au centre de la caacité des économies à croître, uisqu ils financent l investissement. Le Taleau 1 montre ar exemle

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur

Plus en détail

Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.

Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2. Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3

Plus en détail

Licence de Mathématiques 3

Licence de Mathématiques 3 Faculté des sciences et techniques Département de mathématiques 2004-2005 Licence de Mathématiques 3 M62 : Fonctions réelles de plusieurs variables Laurent Guillopé www.math.sciences.univ-nantes.fr/~guillope/m62/

Plus en détail

Comment démontrer des formules sans effort? exposé de maîtrise

Comment démontrer des formules sans effort? exposé de maîtrise Comment démontrer des formules sans effort? exposé de maîtrise Marc Mezzarobba Sam Zoghaib Sujet proposé par François Loeser Résumé Nous exposons un ensemble de méthodes qui permettent d évaluer «en forme

Plus en détail

Équations non linéaires

Équations non linéaires Équations non linéaires Objectif : trouver les zéros de fonctions (ou systèmes) non linéaires, c-à-d les valeurs α R telles que f(α) = 0. y f(x) α 1 α 2 α 3 x Equations non lineaires p. 1/49 Exemples et

Plus en détail

.NET remoting. Plan. Principes de.net Remoting

.NET remoting. Plan. Principes de.net Remoting Plan.NET remoting Clémentine Nebut LIRMM / Université de Montellier 2 de.net Remoting côté serveur côté client.net Remoting en ratique Les canaux de communication L'activation L'invocation Les aramètres

Plus en détail

Objectifs. Clustering. Principe. Applications. Applications. Cartes de crédits. Remarques. Biologie, Génomique

Objectifs. Clustering. Principe. Applications. Applications. Cartes de crédits. Remarques. Biologie, Génomique Objectifs Clustering On ne sait pas ce qu on veut trouver : on laisse l algorithme nous proposer un modèle. On pense qu il existe des similarités entre les exemples. Qui se ressemble s assemble p. /55

Plus en détail

Sous le feu des questions

Sous le feu des questions ARTICLE PRINCIPAL Assureurs Protection juridique Sous le feu des questions Comment les assureurs Protection juridique vont-ils désormais romouvoir leurs roduits? Seraient-ils artisans d une assurance Protection

Plus en détail

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

Bien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction

Bien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses

Plus en détail

Intégrales doubles et triples - M

Intégrales doubles et triples - M Intégrales s et - fournie@mip.ups-tlse.fr 1/27 - Intégrales (rappel) Rappels Approximation éfinition : Intégrale définie Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > 3 2.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5

Plus en détail

Optimisation des fonctions de plusieurs variables

Optimisation des fonctions de plusieurs variables Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables

Plus en détail

Eteindre. les. lumières MATH EN JEAN 2013-2014. Mme BACHOC. Elèves de seconde, première et terminale scientifiques :

Eteindre. les. lumières MATH EN JEAN 2013-2014. Mme BACHOC. Elèves de seconde, première et terminale scientifiques : MTH EN JEN 2013-2014 Elèves de seconde, première et terminale scientifiques : Lycée Michel Montaigne : HERITEL ôme T S POLLOZE Hélène 1 S SOK Sophie 1 S Eteindre Lycée Sud Médoc : ROSIO Gauthier 2 nd PELGE

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Savoir-faire théoriques (T) : Écrire l équation différentielle associée à un système physique ; Faire apparaître la constante de temps ; Tracer

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail