MAT231 Algèbre linéaire. Références. Notions fondamentales Applications linéaires, compléments

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1 Applications linéaires, compléments Université Joseph Fourier Pierre Bérard Matrices associées à une application linéaire Changements de base Réduction des endomorphismes, I Groupe des permutations Formes multi-linéaires Déterminant Déterminant d un endomorphisme Calcul des déterminants Réduction des endomorphismes, II 1/93 2/93 Références Pour la première partie du cours (), on pourra consulter les notes de Bernard Ycart (Université Joseph Fourier, Grenoble I. Mathématiques, Informatique et Mathématiques appliquées. Licence Sciences et Technologies), disponibles sur http ://ljk.imag.fr/membres/bernard.ycart/mel/ Pour la deuxième partie du cours (à partir de la section Applications linéaires, compléments), on pourra consulter les ouvrages [LFA] ou [M]. [LFA] Lelong-Ferrand, Jacqueline et Arnaudiès, Jean-Marie. Cours de mathématiques, Tome 1. Algèbre. Dunod universités [M] Monasse, Denis. Mathématiques. Vuibert Dans tout le cours, K désigne R ou C (ou, plus généralement, un corps commutatif de caractéristique 0). 3/93 4/93

2 Espace vectoriel Cette section constitue un résumé de la première partie du cours, voir les notes de Bernard Ycart, principalement Espaces vectoriels, Dimension finie, et accessoirement, Calcul matriciel, Systèmes linéaires. Soit K un corps commutatif. Un espace vectoriel sur le corps K est la donnée d un groupe commutatif (E, +), dont l élément neutre est noté 0 E, et d une action de K sur E, : K E E, (λ, x) λ x (ou plus simplement λx) telle que pour tous α, β K et x E, (α + β) x = α x + β x, pour tous α K et x, y E, α (x + y) = α x + α y, pour tous α, β K et x E, (αβ) x = α (β x), pour tout x E, 1 K x = x. 5/93 6/93 Exemples L ensemble R n, muni des opérations usuelles, l addition des vecteurs et la multiplication des vecteurs par un scalaire, est un espace vectoriel sur R. L ensemble C n, muni des opérations usuelles, l addition des vecteurs et la multiplication des vecteurs par un scalaire, est un espace vectoriel sur C et également un espace vectoriel sur R. L ensemble M m,n (R) des matrices à m lignes et n colonnes, muni des opérations usuelles, addition des matrices et multiplication d une matrice par un scalaire, est un espace vectoriel sur R. D autres exemples sont donnés en cours... Combinaison linéaire On appelle combinaison linéaire de vecteurs de E toute somme (finie) de la forme α 1 u α k u k où les α j sont des éléments de K et où les u j sont des éléments de E. et Soit A une partie non vide d un espace vectoriel E. L ensemble Vect(A) des combinaisons linéaires de vecteurs appartenant à A est un sous-espace vectoriel de E, appelé l espace vectoriel engendré par A. C est le plus petit (au sens de l inclusion) sous-espace vectoriel de E qui contient A. 7/93 8/93

3 Famille génératrice Famille libre On dit qu une famille {u j } j I de vecteurs de E est une famille génératrice si tout élément de E peut s écrire comme combinaison linéaire (finie) d éléments de la famille {u j } j I. Dire qu une famille {u j } j I de vecteurs de E est génératrice revient à dire que l espace vectoriel Vect({u j } j I ) est égal à E. Remarque : Soient G 1 G 2 deux familles de vecteurs de E. Si G 1 est génératrice, alors G 2 est génératrice également. On dit qu une famille {u j } j I de vecteurs de E est une famille libre si, pour tout sous-ensemble fini J I, l égalité j J α ju j = 0 implique que α j = 0 pour tout j J. Remarque : Soient L 1 L 2 deux familles non vides de vecteurs de E. Si L 2 est libre, alors L 1 est libre également. 9/93 10/93 Base On dit qu une famille de vecteurs de E est une base de E si elle est à la fois libre et génératrice. Exemples La famille e 1 := (1, 0,..., 0),..., e n := (0,..., 0, 1) est une famille libre et génératrice de R n. C est une base de R n. La famille {1, X, X 2,...} est une base de l espace vectoriel sur C[X] des polynômes à coefficients complexes. La famille {e ikx } k Z est une famille libre dans l espace vectoriel sur C des fonctions continues de R dans C. Elle n est pas génératrice. D autres exemples sont donnés en cours... 11/93 12/93

4 Espace finiment engendré On dit qu un K-espace vectoriel E est finiment engendré (ou qu il est de dimension finie) sur le corps K s il possède une famille génératrice finie. On dit qu un espace vectoriel est de dimension infinie s il n est pas de dimension finie. Exemples Le R-espace vectoriel R n est finiment engendré. Le C-espace vectoriel C n est finiment engendré. Le R-espace vectoriel R[X] n est pas finiment engendré, il est de dimension infinie. Théorème de la base incomplète Théorème Soit E un K-espace vectoriel finiment engendré. Soient L une famille libre de E et G une famille génératrice. Alors, il existe une base finie B de E telle que L B L G. Corollaire Soit E un espace vectoriel finiment engendré, non réduit à {0}. 1. Toute famille libre de E est contenue dans une base. 2. Toute famille génératrice de E contient une base. 3. L espace vectoriel E possède au moins une base finie. 13/93 14/93 Dimension Lemme Soit E un espace vectoriel. Soit {v 1,..., v n } une famille de n vecteurs de E. Alors, toute famille de (n + 1) vecteurs du sous-espace vectoriel Vect(v 1,..., v n ) est liée. Théorème et Soit E un K-espace vectoriel finiment engendré. Alors, toutes les bases de E ont le même nombre d éléments. Ce nombre s appelle la dimension de l espace vectoriel E et se note dim K (E). Attention. La dimension dépend du corps de base. Ainsi, le C-espace vectoriel C est de dimension 1 sur C, mais il est de dimension 2 comme R-espace vectoriel. Quand il n y aura pas d ambiguïté sur le corps K, on notera également dim(e) la dimension de l espace vectoriel E sur K. 15/93 16/93

5 Somme de sous-espaces vectoriels Corollaire Soit E un K-espace vectoriel de dimension n. 1. Toute partie libre de E a au plus n éléments. 2. Toute partie libre de E qui possède n éléments est une base. 3. Toute partie génératrice de E a au moins n éléments. 4. Toute partie génératrice de E qui a n éléments est une base. Remarque préliminaire : Soit E un espace vectoriel. Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E. Alors, F G est un sous-espace vectoriel de E. Attention, en général F G n est pas un sous-espace vectoriel de E. 17/93 18/93 Soit E un espace vectoriel et soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. 1. On note F + G le sous-espace vectoriel Vect(F G) engendré par F et G. On dit que c est la somme des sous-espaces F et G. 2. On dit que le sous-espace vectoriel H est la somme directe des sous-espaces F et G si H = F + G et si de plus F G = {0}. On écrit alors H = F G. 3. Si E = F G, on dit que les sous-espaces F et G sont supplémentaires (ou encore que l espace G est un supplémentaire de F et réciproquement). L espace vectoriel H est somme directe des sous-espaces vectoriels F et G, H = F G, si et seulement si tout vecteur x de H peut s écrire de manière unique sous la forme x = x F + x G avec x F F et x G G. Si F et G sont de dimension finie, alors H est également de dimension finie. Étant données F une base de F et G une base de G, la famille F G est une base de H et, de plus, dim(h) = dim(f ) + dim(g). 19/93 20/93

6 Généralisation. Plus généralement, soient E 1,..., E p des sous-espaces vectoriels de E, de somme F := E E p (définie comme Vect( i E i )). On dit que les sous-espaces E j sont en somme directe, et on écrit leur somme F = E 1 E p si, pour tout j, 1 j p, E j ( E1 + + E j 1 + E j E p ) = {0}. Les sous-espaces E j, 1 j p, sont en somme directe si et seulement si tout vecteur x de F s écrit de manière unique comme x = x x p avec x j E j pour 1 j p. Si les espaces E i sont de dimension finie et si E j est une base de E j, pour 1 j p, alors E = p j=1 E j est une base de F. De plus, F est également de dimension finie et on a l égalité dim(f ) = dim(e 1 ) + + dim(e p ). Application linéaire Soient E, F deux espaces vectoriels sur le corps K. Une application linéaire u de E dans F est une application u : E F qui vérifie 1. Pour tous x, y E, u(x + y) = u(x) + u(y). 2. Pour tout α K et pour tout x E, u(αx) = αu(x). 21/93 22/93 Image et Noyau Soient E, F deux K-espaces vectoriels et soit u : E F une application K-linéaire. 1. On appelle image de u, et on note Im(u), le sous-espace vectoriel u(e) F. 2. On appelle noyau de u, et on note Ker(u), le sous-espace vectoriel u 1 (0) E. L application u est injective si et seulement si Ker(u) = {0}. Soient E un espace vectoriel de dimension finie et E = {e 1,..., e n } une base de E. Soit u : E F une application K-linéaire. On pose V = {u(e 1 ),..., u(e n )}. Corollaire L application u est surjective si et seulement si V engendre F. L application u est injective si et seulement si V est libre dans F. L application u est bijective si et seulement si V est une base de F. Dans ce dernier cas, on dit que u est un isomorphisme de E sur F, que E et F sont isomorphes et on a alors dim(e) = dim(f ). L application u est surjective si et seulement si Im(u) = F. 23/93 24/93

7 Théorème du rang Théorème Soient E, F deux K-espaces vectoriels et u : E F une application linéaire. Si l espace vectoriel E est de dimention finie, alors dim(e) = dim(im(u)) + dim(ker(u)). Théorème Soit E un espace vectoriel de dimension finie n, et soit F un espace vectoriel. On se donne respectivement E = {e 1,..., e n } une base de E et V = {v 1,..., v n } une famille de vecteurs de F. Alors, il existe une application linéaire u de E dans F, et une seule, telle que u(e i ) = v i pour 1 i n. Autrement dit, une application linéaire est entièrement déterminée par la donnée de l image d une base. Application. Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels d un espace vectoriel E de dimension finie, alors dim(f + G) + dim(f G) = dim(f ) + dim(g). Soient E et H deux espaces vectoriels et u une application linéaire de E dans H. Soient F, G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. Alors l application u est entièrement déterminée par ses restrictions u F et u G. 25/93 26/93 Applications linéaires, compléments Applications linéaires, compléments Applications linéaires, compléments Notations Soient E et F deux K espaces vectoriels. On note L K (E, F ) (ou, plus simplement, L(E, F ) s il n y a pas d ambiguïté sur le corps de base), l ensemble des applications K-linéaires de E dans F. On note L K (E) l ensemble des applications K-linéaires de E dans lui-même (endomorphismes de E). On note E l ensemble L(E, K) des applications K-linéaires de E dans K (formes linéaires sur E). L ensemble E s appelle le dual de E. Les ensembles L K (E, F ), L K (E) et E, munis des opérations (u, v) u + v, définie par (u + v)(x) := u(x) + v(x), (λ, v) λv, définie par (λv)(x) := λv(x), sont des espaces vectoriels sur K. 27/93 28/93

8 Applications linéaires, compléments Applications linéaires, compléments Applications linéaires élémentaires Soient E, F et G des espaces vectoriels sur K. La composition des applications, (u, v) v u, définit une application de L K (E, F ) L K (F, G) dans L K (E, G). En particulier, la composition des applications linéaires est une loi interne sur L K (E). Soient E, F deux K-espaces vectoriels de dimension finie. Soient E = {e 1,... e n } une base de E et F = {f 1,... f m } une base de F. Pour 1 j n, on définit les formes linéaires e j : E K, par e j (e k ) := δ jk, c est-à-dire, e j (e j ) = 1 et e j (e k ) = 0 si k j. Pour 1 i m et 1 j n, on définit les applications linéaires U ij : E F, par U ij (e k ) := δ jk f i, c est-à-dire, U ij (e j ) = f i et U ij (e k ) = 0 si k j. 29/93 30/93 Applications linéaires, compléments Applications linéaires, compléments Transposée d une application linéaire Soient E et F des espaces vectoriels de dimension finie sur K, de bases respectives E = {e 1,... e n } et F = {f 1,... f m }, où n = dim(e) et m = dim(f ). L espace vectoriel E est de dimension n et la famille E = {e j, 1 j n} est une base de E (appelée la base duale de la base E). L espace vectoriel L K (E, F ) est de dimension nm et la famille {U ij, 1 i m, 1 j n} est une base de L K (E, F ). En particulier, l espace vectoriel L K (E) est de dimension n 2. Étant donnés deux espaces vectoriels E et F et u une application linéaire de E dans F, on définit une application de F dans E, notée t u et appelée transposée de l application u, par la relation pour toute forme linéaire ϕ F. t u(ϕ) := ϕ u 31/93 32/93

9 Applications linéaires, compléments Applications linéaires, compléments L application t u est une application linéaire de F dans E. Pour tous u, v L(E, F ) et pour tout λ K, on a t (u + v) = t u + t v et t (λu) = λ t u. De plus, si u L(E, F ) et v L(F, G), alors t (v u) = t u t v. (bi-dual d un espace vectoriel) Soit E un espace vectoriel de dimension finie n. On note E l espace dual de l espace E. Cet espace vectoriel est appelé le bi-dual de E. Si E := {e 1,..., e n } est une base de E, on note E := {e1,..., e n} la base duale de E et on note E := {e1,..., e n } la base duale de E. 33/93 34/93 Applications linéaires, compléments Matrices associées à une application linéaire Matrices élémentaires et Soit E un espace vectoriel de dimension finie n. L application c : E E définie par c(x)(ϕ) := ϕ(x) pour tous x E, ϕ E est un isomorphisme linéaire de E sur E. On l appelle l isomorphisme canonique de E sur son bi-dual E. Étant données une base E de E et E la base associée de E, on a la relation c(e j ) = e j. On désigne par M m,n (K) l ensemble des matrices à m lignes et n colonnes et à coefficients dans K. On note M ij la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf le coefficient de la i-ème ligne, j-ème colonne qui vaut 1. Pour 1 i m, 1 j n, ces matrices sont appelées matrices élémentaires. 35/93 36/93

10 Matrices associées à une application linéaire Matrices associées à une application linéaire Structure des matrices L ensemble M m,n (K), des matrices à m lignes et n colonnes et à coefficients dans K, est un K-espace vectoriel de dimension mn, dont une base est donnée par la famille {M ij 1 i m, 1 j n} des matrices élémentaires. On définit une application (multiplication des matrices) M m,n (K) M n,p (K) M m,p (K), On désigne par M n (K) l ensemble des matrices carrées à n lignes et n colonnes, et à coefficients dans K. C est à la fois un K-espace vectoriel et un anneau (non commutatif) pour la multiplication des matrices. Voir les notes Calcul matriciel de Bernard Ycart. (A, B) AB. Voir les notes Calcul matriciel de Bernard Ycart. 37/93 38/93 Matrices associées à une application linéaire Matrices associées à une application linéaire Matrices associées à une application linéaire Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie. Soient E = {e 1,..., e n } et F = {f 1,..., f m } des bases respectivement de E et F, où n = dim(e) et m = dim(f ). On appelle matrice associée à l application linaire u : E F, relativement aux bases E et F, la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs u(e j ), 1 j n, dans la base F, c est-à-dire la matrice, notée MF E (u), telle que MF E (u) = ( m ij (u) ) 1 i m,1 j n où les coefficients m ij sont définis par m u(e j ) = m ij (u)f i pour tout j, 1 j n. i=1 Théorème L application M E F : L K (E, F ) M m,n (K) M E F : u M E F(u) est une application linéaire bijective (un isomorphisme linéaire) de L K (E, F ) dans M m,n (K). De plus, avec les notations du Transparent 30, M E F(U ij ) = M ij. 39/93 40/93

11 Matrices associées à une application linéaire Matrices associées à une application linéaire Écriture matricielle Soit x E un vecteur qui s écrit x = x 1 e x n e n dans la base E ; on note X E le vecteur colonne des coordonnées de x dans la base E. Le vecteur u(x) s écrit u(x) = y 1 f y m f m dans la base F ; on note Y F le vecteur colonne des coordonnées de u(x) dans la base F. On a la relation, y 1 x 1. = MF(u) E., càd Y F = MF(u)X E E. y m x n 41/93 Soient E, F et G trois K-espaces vectoriels de dimension finie et E, F et G des bases de E, F et G respectivement. Soient u : E F et v : F G des applications linéaires. Alors M E G (v u) = M F G (v) M E F(u) où le produit dans le second membre est le produit des matrices. En particulier, M E E est un isomorphisme de l anneau L K(E) des endomorphismes de E dans l anneau M n (K) des matrices carrées d ordre n = dim(e). 42/93 Matrices associées à une application linéaire Changements de base Changements de bases Soit u : E F une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimension finie, et soit t u : F E sa transposée. Alors, M F E (t u) = t( ) MF(u) E, où, dans le second membre, t M désigne la matrice transposée de la matrice M. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et soient E et E deux bases de E. On appelle matrice de passage de la base E à la base E et on note PE E, la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs de la base E dans la base E. 43/93 44/93

12 Changements de base Changements de base Propriété La matrice P E E est la matrice ME E (i E ) de l application identité i E, Coordonnées d un vecteur relativement à deux bases différentes (E, E ) (E, E), x x de E dans lui-même, relativement aux bases E et E. La matrice P E E est inversible et (PE E ) 1 = PE E. Soit x E un vecteur dont les coordonnées dans la base E sont données par le vecteur colonne X E et dont les coordonnées dans la base E sont données par le vecteur colonne X E. Alors, X E = P E E X E et X E = PE E X E. 45/93 46/93 Changements de base Changements de base Matrices d une application linéaire relativement à deux paires de bases Le diagramme commutatif Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie et soit u L(E, F ) une application linéaire. On se donne deux bases E et E de l espace vectoriel E et deux bases F et F de l espace vectoriel F. Alors traduit les égalités (E, E M E F ) (u) (F, F ) u i E i F P F F P E E (E, E) u M E F (u) (F, F) M E F (u) = PF F ME F(u)P E E. u = i F u i E et M E F (u) = PF F ME F(u)P E E. 47/93 48/93

13 Changements de base Changements de base Le diagramme commutatif Corollaire Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n et soit u L(E) un endomorphisme de E. Si E et E sont deux bases de E, il existe une matrice P M n (K), inversible, telle que ME E (u) = P 1 ME EP. La matrice P est donnée par P = PE E. traduit les égalités (E, E M E E ) (u) (E, E ) u i E i E P E E P E E (E, E) u M E E (u) (E, E) u = i E u i E et ME E (u) = (PE E ) 1 ME E (u)pe E. 49/93 50/93 Réduction des endomorphismes, I Réduction des endomorphismes, I Réduction des endomorphismes, I Valeurs propres Vecteurs propres Soit E un K-espace vectoriel de dimension n. Analyse raisonnée Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur le corps K. Soit u un endomorphisme de E. On veut trouver une base de E dans laquelle la matrice de l endomorphisme soit la plus simple possible, c est-à-dire une matrice diagonale ou une matrice triangulaire supérieure (ou inférieure), formes qui permettent par exemple de résoudre simplement les systèmes linéaires. Soit u L(E). Le scalaire λ K est appelé valeur propre de l endomorphisme u s il existe un vecteur x E tel que x 0 et u(x) = λx. Le vecteur x est dit vecteur propre de u associé à la valeur propre λ. Si λ est valeur propre de u, le sous-espace vectoriel E λ := Ker(u λi E ) de E s appelle l espace propre de u associé à la valeur propre λ (il est, par définition, non réduit à {0}). 51/93 52/93

14 Réduction des endomorphismes, I Réduction des endomorphismes, I Soit u L(E). Si λ 1,..., λ p sont des valeurs propres de u deux à deux distinctes, alors les espaces propres associés, E λ1,..., E λp, sont en somme directe, c est-à-dire, pour tout j, 1 j p, Corollaire E λj ( E λ1 + + E λj 1 + E λj E λp ) = {0}. Si u L(E) et si dim(e) = n alors u possède au plus n valeurs propres distinctes dans K. Endomorphisme diagonalisable Soit E un K-espace vectoriel de dimension n. Théorème et Soit u L(E) un endomorphisme de E. Les trois assertions suivantes sont équivalentes. 1. Il existe une base de E formée de vecteurs propres de u. 2. Les espaces propres E λ1,..., E λp correspondant aux valeurs propres distinctes de u vérifient E = E λ1 E λp. 3. Il existe une base E de E telle que la matrice ME E (u) de u dans cette base soit diagonale. Dans ce cas, on dit que l endomorphisme u est diagonalisable. 53/93 54/93 Réduction des endomorphismes, I Réduction des endomorphismes, I Corollaire Soit u un endomorphisme de E qui admet n valeurs propres distinctes dans K. Alors, l endomorphisme u est diagonalisable. Remarque Tous les endomorphismes ne sont pas diagonalisables. Ainsi, dans R( 2, les ) endomorphismes donnés dans la base canonique par et ( ) ne sont pas diagonalisables. Le premier n a pas de valeur propre dans R. Le second admet 1 comme seule valeur propre et n admet pas de base formée de vecteurs propres. 55/93 Endomorphisme trigonalisable Théorème et Soit u L(E) un endomorphisme de E. Les deux assertions suivantes sont équivalentes. 1. Il existe une base E = {e 1,..., e n } de E telle que les sous-espaces vectoriels V 1 := Vect(e 1 ), V 2 := Vect(e 1, e 2 ),..., V n := Vect(e 1,..., e n ) soient stables par u, c est-à-dire u(v j ) V j pour 1 j n. 2. Il existe une base E de E telle que la matrice ME E (u) de u dans cette base soit triangulaire supérieure. Dans ce cas, on dit que l endomorphisme u est trigonalisable. Les coefficients diagonaux de la matrice ME E (u) sont les valeurs propres de u dans K. 56/93

15 Réduction des endomorphismes, I Réduction des endomorphismes, I Remarque Tout endomorphisme diagonalisable est en particulier trigonalisable. L endomorphisme ( ) est trigonalisable mais non diagonalisable. On montrera ultérieurement que tout endomorphisme sur un C-espace vectoriel de dimension finie est trigonalisable. Soit M une matrice carrée n n, à coefficients dans K. Soit u M l endomorphisme de K n dont la matrice associée relativement à la base canonique de K n est M. On dit que la matrice M est diagonalisable (resp. trigonalisable) si l endomorphisme u M correspondant est diagonalisable (resp. trigonalisable). 57/93 58/93 Réduction des endomorphismes, I Groupe des permutations Hypothèse (T) On dira que le corps K possède la propriété (T) si, pour tout K-espace vectoriel E de dimension finie, tout endomorphisme u de E possède au moins une valeur propre c est-à-dire, s il existe au moins un élément λ K tel que Ker(u λi E ) {0}. Théorème Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps K qui possède la propriété (T). Alors, tout endomorphisme u de E est trigonalisable. Remarque. On montrera ultérieurement que le corps C possède la propriété (T) mais que le corps R ne la possède pas. Groupe des permutations Cette section est nécessaire pour introduire la notion de déterminant. Pour n N, on désigne par N n l ensemble {1, 2,..., n}. On désigne par S n le groupe des permutations, c est-à-dire le groupe des bijections de N n dans lui-même. Notons que le groupe S n a n! éléments. On peut expliciter une permutation σ S n, c est-à-dire une bijection σ : N n N n, par un tableau σ = ( ) 1 2 n. σ(1) σ(2) σ(n) 59/93 60/93

16 Groupe des permutations Groupe des permutations On note σ τ ou στ la composition des deux permutations σ et τ ; on note ι la permutation identité. On appelle transposition une permutation τ qui échange deux indices et qui laisse les autres inchangés. Autrement dit, une permutation τ est de la forme τ = τ ij où τ ij (i) = j, τ ij (j) = i, et τ ij (k) = k, pour k i, k j. Pour toute transposition τ, on a τ 2 = ι. Théorème Pour n 2, l ensemble des transpositions de S n engendre S n, c est-à-dire, toute permutation peut s écrire comme produit de transpositions. Remarque. La décomposition d une permutation en produit de transpositions n est pas unique en général. Remarquons également que pour n 3, le groupe S 3 n est pas commutatif. 61/93 62/93 Groupe des permutations Groupe des permutations Signature Soit n 2 et soit σ S n. Le nombre ɛ(σ) défini par ɛ(σ) = 1 i<j n σ(i) σ(j) i j Théorème Pour σ S n, la signature ɛ(σ) est égale à ( 1) N, où N est le nombre d inversions de σ, c est-à-dire le nombre d éléments de l ensemble {(i, j) N n N n i < j et σ(i) > σ(j)}. La signature ɛ est un homomorphisme surjectif du groupe S n sur le groupe multiplicatif Γ = { 1, 1}. s appelle la signature de la permutation σ. 63/93 64/93

17 Groupe des permutations Formes multi-linéaires Formes multi-linéaires Les permutations telles que ɛ(σ) = 1 forment un sous-groupe de S n appelé le groupe alterné et noté A n. Les éléments de A n sont appelés permutations paires ; les élements de S n \ A n sont appelés permutations impaires. Attention. Les permutations impaires ne forment pas un sous-groupe. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n et soit p N. On dit que l application ϕ de E E (p exemplaires de E) }{{} p dans K est une forme p-linéaire sur E si, pour tout j tel que 1 j p, et pour tous vecteurs y 1,..., y p E, les applications partielles x ϕ(y 1,..., y j 1, x, y j+1,... y p ) sont des formes linéaires de E dans K. Si p = 2, on dira que ϕ est bilinéaire. On notera L p (E, K) l ensemble des formes p-linéaires sur E. 65/93 66/93 Formes multi-linéaires Formes multi-linéaires Étant données ϕ L p (E, K) une forme p-linéaire sur E et σ S p une permutation, on définit une forme p-linéaire sur E, notée σ ϕ, par la formule σ ϕ(x 1,..., x p ) := ϕ(x σ(1),..., x σ(p) ). On dit qu une forme p-linéaire, ϕ L p (E, K), est symétrique si σ ϕ = ϕ pour tout σ S p. On désigne par S p (E, K) l ensemble des formes p-linéaires symétriques sur E. On dit qu une forme p-linéaire, ϕ L p (E, K), est anti-symétrique si σ ϕ = ɛ(σ)ϕ pour tout σ S p. On désigne par A p (E, K) l ensemble des formes p-linéaires anti-symétriques sur E. 67/93 68/93

18 Formes multi-linéaires Formes multi-linéaires Exemples On dit qu une forme p-linéaire, ϕ L p (E, K), est alternée si ϕ(x 1,..., x p ) = 0 chaque fois qu il existe deux indices distincts i et j tels que x i = x j. Propriété Une forme p-linéaire ϕ sur E est alternée si et seulement si elle est anti-symétrique (rappelons que nous supposons ici que K = R ou C). Pour p = 1, on retrouve la notion de forme linéaire. Dans R 2, l application ( (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) ) x 1 x 2 + y 1 y 2 définit une application bilinéaire symétrique. Dans R 2, l application ( (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) ) x 1 y 2 x 2 y 1 définit une application bilinéaire anti-symétrique. Si ϕ 1,..., ϕ p sont des formes linéaires sur E, l application (x 1,..., x p ) ϕ 1 (x 1 ) ϕ p (x p ) définit une application p-linéaire que l on note ϕ 1 ϕ p. 69/93 70/93 Formes multi-linéaires Formes multi-linéaires Théorème Soit E un K-espace vectoriel et soit p N. 1. Les ensembles L p (E, K), S p (E, K) et A p (E, K), munis des opérations naturelles, sont des espaces vectoriels sur K. 2. Pour qu une forme p-linéaire ϕ sur E soit symétrique, il faut et il suffit que τ ϕ = ϕ pour toute transposition τ S p. 3. Pour qu une forme p-linéaire ϕ sur E soit anti-symétrique, il faut et il suffit que τ ϕ = ϕ pour toute transposition τ S p. Remarques Si E est de dimension finie n, on peut montrer que L p (E, K) est de dimension finie. Si ϕ L p (E, K) alors ϕ(x 1,..., x p ) = 0 si l un des vecteurs x j est nul. 71/93 72/93

19 Formes multi-linéaires Déterminant Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Déterminant et Soit ϕ L p (E, K) une forme p-linéaire sur E. Alors S(ϕ) := σ ϕ et A(ϕ) := ɛ(σ)σ ϕ σ S p σ S p sont des formes p-linéaires sur E. De plus, 1. la forme S(ϕ) est symétrique, on dit que c est la symétrisée de ϕ ; 2. la forme A(ϕ) est anti-symétrique, on dit que c est l anti-symétrisée de ϕ. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n et soit E = {e 1,..., e n } une base de E. On désigne par E = {e 1,..., e n} la base duale de E. 73/93 74/93 Déterminant Déterminant Déterminant associé à une base d un espace vectoriel et L application de E n dans K qui au n-uplet de vecteurs (x 1,..., x n ) associe n j=1 e j (x j) est une forme n-linéaire sur E. Son anti-symétrisée (x 1,..., x n ) n ɛ(σ) ej (σ(x j )), σ S n j=1 Exemples Dimension 2. Dimension 3. est notée Det E et appelée le déterminant associé à la base E. Elle vérifie Det E (e 1,..., e n ) = 1. Il en résulte en particulier que A n (E, K) {0}. 75/93 76/93

20 Déterminant Déterminant Théorème Avec les notations précédentes, 1. Si p > n, on a A p (E, K) = {0}. 2. L espace vectoriel A n (E, K) est de dimension 1 et admet pour base {Det E }. Si ϕ A n (E, K), on a ϕ = ϕ(e 1,..., e n ) Det E. De plus, Det E est le seul élément de A n (E, K) qui prend la valeur 1 sur le n-uplet {e 1,..., e n }. 3. Soit X := {x 1,..., x n } E n un n-uplet de vecteurs. On a, Det E (X) = n ɛ(σ) ej (x σ(j) ) = n ɛ(σ) eσ(j) (x j). σ S n j=1 σ S n j=1 Soit X = (x 1,..., x n ) un n-uplet de vecteurs de E. On dit que Det E (X) := Det E (x 1,..., x n ) est le déterminant du n-uplet X dans la base E. Soit E un espace vectoriel de dimension n. 1. Si E et F sont des bases de E alors Det E (F) est inversible dans K et (Det E (F)) 1 = Det F (E). 2. Soit E une base de E et soit F un n-uplet de vecteurs. Alors, F est une base de E si et seulement si Det E (F) 0. 77/93 78/93 Déterminant d un endomorphisme Déterminant d un endomorphisme Déterminant d un endomorphisme Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n 1. Théorème et Soit u un endomorphisme de E. Il existe un unique scalaire, appelé déterminant de u, et noté Det(u), tel que pour tout ϕ A n (E, K), et tous x 1,..., x n E, on ait Remarque. La première formule du Transparent 79 montre que le déterminant d un endomorphisme ne dépend pas du choix d une base particulière. La deuxième formule donne un moyen de calculer le déterminant. ϕ(u(x 1 ),..., u(x n )) = Det(u)ϕ(x 1,..., x n ). Ce scalaire est donné, dans une base E = {e 1,..., e n } de E, par Det(u) = Det E (u(e 1 ),..., u(e n )). 79/93 80/93

21 Déterminant d un endomorphisme Déterminant d un endomorphisme Théorème Soit E un espace vectoriel de dimension n On a Det(i E ) = Pour λ K et u L(E), on a Det(λu) = λ n Det(u). 3. Pour u, v L(E), on a Det(v u) = Det(v)Det(u) et Det( t u) = Det(u) où t u L(E ) est l endomorphisme transposé de u. 4. Un endomorphisme u de E est inversible si et seulement si son déterminant est non nul et alors, Det(u 1 ) = (Det(u)) 1. Déterminant d une matrice carrée Soit A = (a ij ) M n (K) une matrice carrée sur le corps K. On appelle déterminant de la matrice A, et on note Det(A) ou encore a ij, le déterminant du n-uplet des vecteurs colonnes de A dans la base canonique de K n. 81/93 82/93 Déterminant d un endomorphisme Déterminant d un endomorphisme Étant donnée une matrice carrée A = (a ij ) M n (K), on a Det(A) = n ɛ(σ) a jσ(j) = n ɛ(σ) a σ(j)j σ S n j=1 σ S n j=1 et, en particulier, Det( t A) = Det(A) où t A désigne la matrice transposée. Soit E un espace vectoriel de dimension finie et E une base de E. Si u L(E) et si A := ME E (u) est la matrice de u dans la base E, alors Det(u) = Det(A). Propriétés Soient A, B M n (K) et λ K. Le déterminant d une matrice carrée possède les propriétés suivantes. Si on effectue une permutation σ sur les vecteurs colonnes de A et si on appelle C la matrice ainsi obtenue, on a Det(C) = ɛ(σ)det(a). Le déterminant de A dépend linéairement de chacun des vecteurs colonnes de A. Le déterminant de A ne change pas si on ajoute à l un de ses vecteurs colonnes une combinaison linéaire des autres vecteurs colonnes. Il est nul si un des vecteurs colonnes est combinaison linéaire des autres vecteurs colonnes. 83/93 84/93

22 Déterminant d un endomorphisme Calcul des déterminants Calcul des déterminants Propriétés, suite Comme Det( t A) = Det(A), les propriétés ci-dessus sont également valables pour les vecteurs lignes. On a Det(I n ) = 1 (où I n désigne la matrice identité d ordre n), Det(λA) = λ n Det(A) et Det(AB) = Det(A)Det(B). Si A est une matrice 1 1 identifiée à un scalaire α, on a Det(A) = α. La matrice A est inversible si et seulement si Det(A) 0 et alors Det(A 1 ) = (Det(A)) 1. Lemme Soient n, p, q N avec n = p + q. Soient A M p, B M q et C M p,q. On définit une matrice M M n par M := Alors, Det(M) = Det(A)Det(B). ( ) A C. 0 B 85/93 86/93 Calcul des déterminants Calcul des déterminants Soit M M n une matrice de matrices, triangulaire supérieure, c est à dire de la forme M 11 M 12 M 1m 0 M 22 M 2m M := M mm où les M ii, 1 i m, sont des matrices carrées. Alors, Corollaire Si a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n A := a nn est une matrice triangulaire supérieure de taille n n, alors Det(A) = a 11 a nn. Det(M) = Det(M 11 ) Det(M mm ). 87/93 88/93

23 Calcul des déterminants Calcul des déterminants et Soit A := (a ij ) une matrice carrée. On désigne par Âij la matrice obtenue à partir de A en supprimant la i-ème ligne et la j-ème colonne. Alors, pour 1 i, j n, Det(A) = n ( 1) k+j a kj Det( kj ) = k=1 n ( 1) i+k a ik Det( ik ). k=1 La première (resp. seconde) égalité est appelée le développement du déterminant de A suivant la j-ème colonne (resp. suivant la i-ème ligne). Étant donnée une matrice A := (a ij ), le nombre ( 1) i+j Det(Âij) s appelle le co-facteur du coefficient a ij. La transposée de la matrice des co-facteurs s appelle la matrice complémentaire de la matrice A et se note Ã. Soit A M n une matrice et soit à sa matrice complémentaire. Alors, Aà = ÃA = Det(A)I n. En particulier, si Det(A) 0, la matrice A est inversible et son inverse est donnée par la formule A 1 = (Det(A)) 1 Ã. 89/93 90/93 Réduction des endomorphismes, II Réduction des endomorphismes, II Réduction des endomorphismes, II Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et soit E une base de E. Soit u un endomorphisme de E et A sa matrice dans la base E. Les formules Det(A λi n ) = n ɛ(σ) (a jσ(j) λδ jσ(j) ) σ S n j=1 = n ɛ(σ) (a σ(j)j λδ σ(j)j ) σ S n j=1 permettent de définir un polynôme de degré n P A (X) := n ɛ(σ) (a jσ(j) Xδ jσ(j) ) = n ɛ(σ) (a σ(j)j Xδ σ(j)j ). σ S n j=1 σ S n j=1 Polynôme caractéristique et Soient E, F deux bases de E et soient A, B les matrices de l endomorphisme u dans ces bases. Alors, P A (X) = P B (X). Ce polynôme, noté P u (X), s appelle le polynôme caractéristique de l endomorphisme u. Les valeurs propres de l endomorphisme u L K (E) sont les racines, dans K, du polynôme caractéristique P u (X) K[X]. 91/93 92/93

24 Réduction des endomorphismes, II Version Septembre 2009 mat231-algebre-lineaire-09_10.tex (7 septembre 2009) 93/93