Second degré : Résumé de cours et méthodes

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1 Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : DÉFINITIN n appelle trinôme du second degré toute fonction f définie sur R par f () = a + b + c (a,b et c réels avec a 0). Remarque : Par abus de langage, l epression a + b + c est aussi appelée trinôme du second degré. DÉFINITIN n appelle racine du trinôme f, tout réel qui annule f. Eemple : 1 est une racine du trinôme + 3 5, car (1) + 3(1) 5 = 0. Remarque : Chercher les racines du trinôme a + b + c, revient à résoudre dans R l équation a + b + c = 0. Factorisation, racines et signe du trinôme : DÉFINITIN n appelle discriminant du trinôme a + b + c (a 0), le réel = b 4ac. -1 Si < 0 : Racines : Pas de racines réelles. Factorisation : Pas de factorisation dans R. Signe : a + b + c est toujours du signe de a. + a²+b+c Signe de a a>0 a<0 - Si = 0 : Racines : Une racine réelle dite "double" : 1 = b. Factorisation : Pour tout, a + b + c = a( 1 ). Signe : a + b + c est toujours du signe de a et s annule pour = a²+b+c Signe de a Signe de a 1S - Second degré c P.Brachet - 1

2 a>0 1 a<0-3 Si > 0 : Racines : Deu racines réelles : 1 = b et = b + Factorisation : Pour tout, a + b + c = a( 1 )( ). Signe : a + b + c est du signe de a à l etérieur des racines. (on suppose que 1 < ) 1 + a²+b+c Signe de a Signe de (-a) Signe de a a>0 1 1 a<0 3 Eemples de résolution d équations et d inéquations du second degré 3-1 Equations du second degré Résolution dans R de l équation + 3 = 0 : (Par rapport au formules, on a ici : a = 1, b = et c = 3 ). Calcul du discriminant : = b 4ac = () 4(1)( 3) = 16. Le discriminant est strictement positif, donc le trinôme admet deu racines réelles qui sont en fait les solutions de l équation : Calcul des solutions : 1 = b = 16 = 4 = 3 = b + = + 16 = + 4 = 1. L ensemble solution est donc 1 1 S = { 3;1}. Résolution dans R de l équation + 1 = 0 : (Par rapport au formules, on a ici : a =, b = et c = 1 ). Calcul du discriminant : = b 4ac = ( ) 4()(1) = 4 8 = 0. Le discriminant est nul, donc le trinôme admet une seule racine réelle qui est en fait la solution de l équation : Calcul de la solution : c P.Brachet - 1S - Second degré

3 1 = b { } ) = ( =. L ensemble solution est donc S = Résolution dans R de l équation = 0 : (Par rapport au formules, on a ici : a = 3, b = 4 et c = 5 ). Calcul du discriminant : = b 4ac = 4 4(3)(5) = = 44. Le discriminant est strictement négatif, donc le trinôme n admet aucune racine réelle. L ensemble solution est donc S = /0 Résolution dans R de l équation + 4 = 0 : (Par rapport au formules, on a ici : a = 1, b = 4 et c = 0 ). Comme à chaque fois que b = 0 ou c = 0, il est inutile d utiliser le discriminant et les formules associées. Les méthodes traditionnelles vues en Seconde sont plus simples et plus rapides. Ici, il suffit de factoriser par : + 4 = 0 ( + 4) = 0 = 0 ou + 4 = 0 = 0 ou = 4. L ensemble solution est donc S = { 4;0} Résolution dans R de l équation 4 1 = 0 : (Par rapport au formules, on a ici : a = 4, b = 0 et c = 1 ). Ici b = 0, il est donc inutile d utiliser le discriminant et les formules associées. } 4 1 = 0 4 = 1 = 1 4 = 1 ou = 1. L ensemble solution est donc S = { 1 ; 1 3- Inéquations du second degré Méthode générale : on calcule la valeur du discriminant du trinôme associé à l inéquation. n en déduit le signe du trinôme sur R. n détermine alors l ensemble solution S, en cherchant les valeurs de vérifiant l inéquation.(pour les bornes, on applique les règles habituelles : les bornes sont toujours ouvertes au infinis et pour les "doubles-barres", les autres bornes sont ouvertes si l inéquation est de la forme < 0 ou > 0 et sont fermées si l inéquation est de la forme 0 ou 0.) Remarque : Si b = 0 ou c = 0, il est inutile d utiliser le discriminant et les formules associées. Les méthodes vues en Seconde sont plus simples et plus rapides : il suffit en général de factoriser et de faire un tableau de signes. Eemples nécessitant le calcul du discriminant : Résolution dans R de l inéquation : (Par rapport au formules, on a ici : a = 1, b = 4 et c = 5 ). Calcul du discriminant : = b 4ac = (4) 4(1)( 5) = 36. Le discriminant est strictement positif, la règle est donc "signe de a à l etérieur des racines". Il faut donc commencer par calculer les deu racines : 1 = b = = 4 6 = 5 = b + = = Signe du trinôme sur R : (ici a = 1 est positif, donc le trinôme est positif à l etérieur des racines et négatif à l intérieur) ² = 1 Ensemble solution : les solutions de l inéquation sont les pour lesquels est inférieur ou égal à 0. Cela revient à déterminer les pour lesquels on a le signe dans le tableau de signe. D où, S = [ 5;1]. Ce qui peut se vérifier graphiquement : 5 1 Résolution dans R de l inéquation < 0 : (Par rapport au formules, on a ici : a =, b = 5 et c = 3 ). Calcul du discriminant : = b 4ac = ( 5) 4( )(3) = 49. 1S - Second degré c P.Brachet - 3

4 Le discriminant est strictement positif, la règle est donc "signe de a à l etérieur des racines". Il faut donc commencer par calculer les deu racines : 1 = b = b + = ( 5) 49 ( ) = ( 5) + 49 ( ) = = 1 = = 3 Signe du trinôme sur R : (ici a = est négatif, donc le trinôme est négatif à l etérieur des racines et positif à l intérieur) 3 1/ + ² Ensemble solution : les solutions de l inéquation sont les pour lesquels est strictement inférieur à 0. Cela revient à déterminer les pour lesquels on a le signe dans le tableau de signe. D où, S =] ; 3[ ] 1 ;+ [. Ce qui peut se vérifier graphiquement : + 3 1/ Résolution dans R de l inéquation : (Par rapport au formules, on a ici : a =, b = 5 et c = 4 ). Calcul du discriminant : = b 4ac = 5 4( )( 4) = 7. Le discriminant est strictement négatif, la règle est donc "toujours du signe de a", c est à dire toujours négatif car a =. Signe du trinôme sur R : + ²+5 4 Ensemble solution : les solutions de l inéquation sont les pour lesquels est supérieur ou égal à 0, ce qui est impossible vu le tableau de signe. D où, S = /0. Résolution dans R de l inéquation > 0 : (Par rapport au formules, on a ici : a = 1, b = et c = 1 ). Calcul du discriminant : = b 4ac = ( ) 4(1)(1) =. Le discriminant est strictement négatif, la règle est donc "toujours du signe de a", c est à dire toujours positif car a = 1. Signe du trinôme sur R : + ² Ensemble solution : les solutions de l inéquation sont les pour lesquels est strictement supérieur à 0, ce qui est toujours le cas vu le tableau de signe. D où, S = R. Résolution dans R de l inéquation > 0 : (Par rapport au formules, on a ici : a = 4, b = 4 3 et c = 3 ). Calcul du discriminant : = b 4ac = ( 4 3) 4(4)(3) = 0. Le discriminant est nul, la règle est donc "toujours du signe de a (c est à dire toujours positif car a = 4) et s annule pour la 4 c P.Brachet - 1S - Second degré

5 racine double 1 = b 3) = ( 4 = 4 Signe du trinôme sur R : 3 ". 3/ + 4² 4 3+3=0 + + Ensemble solution : les solutions de l inéquation sont les pour lesquels est strictement supérieur à 0, ce qui { } 3 3 est toujours le cas vu le tableau de signe sauf pour. D où, S = R. 4 Relations entre les coefficients et les racines d un trinôme PRPRIÉTÉ Soit un trinôme a + b + c (a 0) dont le discriminant est strictement positif. Les deu racines 1 et sont telles que : 1 + = b a et 1 = c a Application : Cela permet de déterminer rapidement une racine connaissant l autre, en particulier lorsque le trinôme admet une racine "évidente". Remarque : le fait de trouver une racine implique forcément que le discriminant est supérieur ou égal à 0. Il est donc inutile de le calculer! Eemple : 1 = 1 est une racine "évidente" du trinôme n doit donc avoir : 1 = c a = 3. D où la deuième racine est forcément égale à 3. Une conséquence de ces relations entre les coefficients et les racines d un trinôme est la propriété suivante : PRPRIÉTÉ Dire que deu nombres réels ont pour somme S et pour produit P équivaut à dire qu ils sont solutions dans R de l équation du second degré : S + P = 0. Eemple : Pour déterminer (s ils eistent) deu réels dont la somme S est égale à 6 et dont le produit P est égal à 1, on résoud dans R l équation S + P = = 0. n a = ( 6) 4(1)(1) = 3. Il a donc deu solutions réelles : 1 = 6 3 = 6 4 = 3 et = = = 3 +. Les deu réels cherchés sont donc 3 et Equations bicarrées : a 4 + b + c = 0 Méthode générale : Pour résoudre ce genre d équations, on utilise un changement { d inconnue : X = En posant X =, l équation a 4 + b + c = 0 est équivalente au sstème ax + bx + c = 0 Eemple : Résolution dans R de l équation { 1 = 0 X = n pose X =, l équation est équivalente au sstème X 7X + 1 = 0 n résoud l équation du second degré X 7X + 1 = 0 : = ( 7) 4(1)(1) = = 1, X 1 = ( 7) 1 = 6 1 = 3, X = ( 7) + 1 = 8 1 = 4 n a donc X = 3 ou X = 4, ce qui équivaut à = 3 ou = 4. D où, = 3 ou = 3 ou = ou =. Ainsi, l ensemble solution est S = { 3; 3;; }. 1S - Second degré c P.Brachet - 5

6 6 Equations irrationnelles avec des racines carrées Méthode générale : n isole la racine carrée et on utilise le fait que si A = B alors A = B. n obtient une deuiéme équation du second degré que l on résoud. Ensuite, on vérifie sstématiquement si les solutions de la deuiéme équation sont bien des solutions de l équation initiale. (En effet, on ne procéde pas par équivalence mais par implication. La vérification est donc indispensable.) Eemple : Résolution dans R de l équation 4 19 = = = ( 4) 4 19 = = = 0 Résolution de l équation du second degré obtenue : = ( 1) 4(1)(35) = 4, 1 = ( 1) 4 = 10 1 = 5, = ( 1) + 4 = 14 1 = 7. Vérification : = 1 = 1 eiste et est bien égal à = 9 = 3 eiste et est bien égal à 7 4. L ensemble solution est : S = {5;7}. 6 c P.Brachet - 1S - Second degré

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