EXERCICES - Série 10. P V = n R T

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Anatole Morneau
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1 EXERCICES - Série 0 Exercice Un récipient rigide et isolé (volume = 0 l) contenant moles de gaz parfait monoatomique est muni d une petite fenêtre transparente de surface Σ = 5 cm. Au début, le gaz se trouve à la pression P = atm. Ensuite, un rayon de lumière perpendiculaire à la fenêtre, d intensité I = 00 W/m, illumine entièrement celle-ci pendant 50 minutes. Les parois internes du récipient étant des miroirs, toute l intensité qui passe par la fenêtre sert à chauffer le gaz. Calculez l énergie cinétique moyenne d une molécule de gaz après l illumination. (L'intensité d'un rayon de lumière correspond à l'énergie qui traverse l'unité de surface perpendiculaire à la direction de propagation, dans l'unité de temps) Exercice A partir de l'équation d'état des gaz parfaits : P = n R T où R est une constante déterminée expérimentalement, R = 8, 4 J K - mole, et n est le nombre de moles du gaz. a) Démontrez que cette équation peut s'écrire sous la forme P = ρ R T / M, où ρ est la densité du gaz et M est sa masse moléculaire exprimée en kg. b) En introduisant le nombre de molécules du gaz, réécrivez l'équation d'état et montrez l expression de la constante k = R/N a appelée constante de Boltzmann, en fonction de P, et T. N a est le nombre d'avogadro. c) Dans l'espace, la masse volumique de la matière correspond à environ un atome par cm, principalement des atomes d'hydrogène, et la température se situe autour de,4 K. Calculez la pression de ce gaz (en atmosphères). Exercice a) Quelle est l'énergie cinétique moyenne d'une molécule d'un gaz parfait à la température de 5 C. Exprimez le résultat en joules et en e. b) Quelle est la vitesse quadratique moyenne correspondante si le gaz est de l'hélium (4u.a.)? et si le gaz est de l'argon (40u.a.)? c) Quelle doit être l'augmentation de température pour doubler la vitesse quadratique moyenne? Dans quelle proportion la pression augmente-t elle à volume constant?

2 Exercice 4 Montrez que, lorsqu'on mélange deux gaz qui se trouvent à la même température, le rapport entre leur vitesse quadratique moyenne est proportionnel au rapport inverse des racines carrées de leur masse moléculaire. Exercice 5 a) Trouvez la variation d'énergie interne d'une mole de gaz parfait monoatomique quand sa température passe de 0 C à 00 C (en Joule). b) Doit-on également spécifier la manière dont changent le volume et la pression? c) En supposant que la transformation est adiabatique, quel doit être le travail fourni pour augmenter la température du gaz? On suppose que la mole de gaz occupe initialement un volume de,4 cm. Quelle est la variation relative du volume? Exercice 6 Pour déterminer la chaleur spécifique d un nouvel alliage, on en chauffe un morceau de 0,50kg jusqu à 540 C puis on le place rapidement dans un calorimètre en aluminium dont le vase interne, d une masse de 00g, contient 400g d eau à 0 C. (On n a pas besoin de connaître la masse de l enveloppe isolante puisqu on suppose que sa température ne varie pas de façon significative.) Si le mélange atteint une température finale de 0,5 C, quelle est la chaleur spécifique de cet alliage? (Chaleur spécifique de l eau =,0kcalkg - C -, chaleur spécifique de l aluminium = 0,kcalkg - C - )

3 Corrigés - Série 0 Solution L énergie cinétique moyenne d un gaz parfait s écrit : K = k T il nous faut que la température du gaz après l illumination pour la calculer! Comme le système est isolé, toute l énergie de la lumière qui traverse la fenetre se transforme en énergie du gaz. U fin = Uin + U = Uin + IΣ t Et donc: IΣ t nnakt b fin = nnakt b in + IΣ t kt b fin = kt b in + nn A On trouve la température initiale à partir de l équation des gaz parfaits: P Pin = n R Tin Tin = nr Et finalment on trouve : Pin IΣ t K = kbtfin = kb J nr nn b A Solution a) P = nrt masse moléculaire (M) telle que: ρ= m = nm P =ρ RT M b) Nombre de molécules du gaz: N N = n N a où N a = 6,0 0 mol P = N RT N a = N R T N a P = N k T

4 c) P = 0 6 m 8.44 J K- mol.4 K P = N m ( atm) Solution mv = kt gaz parfait a) K = J (0.08 e) b) v = v qm v qm = kt m m(he) = 4 u.a. avec u.a. = kg m(he) = v He qm =.6 0 m s Ar m(ar) = 40 u.a. v qm = 4m s c) La température du gaz doit augmenter d un facteur "4". La pression augmente également d'un facteur "4" Solution 4 Même température, signifie que: m v = m v m m = v v où m = M Na qm v M = qm v M Solution 5 La variation d'énergie interne d'un gaz parfait est: U = nr T. Pour une mole de gaz: U = R T. a) U = 47 J

5 b) Non, l'énergie interne ne dépend que de la température (ce ne sera pas le cas pour un gaz réel!). c) Transformation adiabatique Q = 0 ou U = W ainsi le travail reçu est égal à. 5 0 J. Le gaz parfait obéit à p = nrt nrdt = pd + dp () pour toute modification infinitésimale de la température. Comme U = W du= nrdt = δ L = pd () Avec δ L travail infinitésimal fait par le gaz. Application numérique: 5/ c= p, =.4 cm, T = 7 K () & () - pd = pd + dp 5 5 ln p = ln + cste p = cste RT N p = = =.0 0 = atm 5 p.4 0 m / c = = 4 cm RT / T = = 0.6 T On peut aussi calculer le travail reçu à partir de: et 5/ p = 80. (MKSA) W = pd c W = d = c 5 ( ) W = W =.5 0 J c.q.f.d.

6 Solution 6 On se base sur le fait que la chaleur perdue est égale à la chaleur récupérée : (Chaleur perdue par l alliage) = (chaleur récupérée par l eau) + (chaleur récupérée par le vase du calorimètre) m a c a T a = m e c e T e + m cal c cal T cal En remplaçant les variables par les valeurs fournies dans l énoncé du problème, on obtient : 0,50kg.c a (540 C 0,5 C) = 0,40kg.,0kcalkg - C - (0,5 C 0,0 C) + 0,0kg.0,kcalkg - C - (0,5 C 0,0 C) 76,5c a = (8, + 0,9)kcalkg - C - c a = 0,kcalkg - C - En effectuant ce calcul, on a fait abstraction des quantités de chaleur transmises au thermomètre et à l agitateur (ayant servi à brasser le mélange pour accélérer le processus d échange thermique et réduire ainsi les pertes de chaleur vers l extérieur). Pour tenir compte de ces quantités, il suffirait de corriger la valeur de c a en ajoutant des termes du côté droit de l équation (voir les problèmes). On appelle souvent équivalent en eau du calorimètre la quantité désignée par m cal c cal, qui est égale à la masse d eau (en kilogrammes) pouvant absorber la même quantité de chaleur.

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