d équation 7. Parmi les droites tracées, déterminer celle qui répond à l idée intuitive de tangente?

Transcription

1 On a représenté ci-contre la courbe représentative de la fonction carrée Rappeler l expression algébrique de la fonction carrée Rappeler le nom donné à la représentation graphique de la fonction carrée 1 Placer A le point de la courbe d abscisse x 1 2 Tracer la droite d passant par 1 A et par B 0; 1 3 Tracer la droite d 2 y 2x 3 d équation 4 Tracer la droite d 3 passant par A et de coefficient directeur nul 5 Tracer la droite d passant par 4 A et l origine du repère 6 Déterminer les équations des droites d, d 1 3 et d 4 7 Parmi les droites tracées, déterminer celle qui répond à l idée intuitive de tangente? On a représenté ci-contre une portion de la courbe représentative de la fonction inverse Rappeler l expression algébrique de la fonction inverse Rappeler le nom donné à la représentation graphique de la fonction inverse 1 Placer A le point de la courbe d abscisse x 2 2 Tracer la droite d passant 1 B et le par le point 0;1 point C 4;0 Déterminer l équation de cette droite 3 La droite d correspond-elle 1 à l idée intuitive de tangente? Définition : le nombre dérivé d une fonction en un point donné est le coefficient directeur de la tangente en ce point 4 Déterminer le nombre dérivé de la fonction carré au point d abscisse x 1 5 Déterminer le nombre dérivé de la fonction inverse au point d abscisse x 2 Activités Page 1

2 Le but de cette activité est de tracer à la règle la tangente à la courbe au point A, de proposer l équation de cette droite puis de déterminer le nombre dérivé de la fonction tracée au point A Activités Page 2

3 On a tracé ci-dessous la courbe représentative d une fonction f tracée sur l intervalle 3;3 1 Déterminer le tableau de variations de la fonction 2 Placer les points de la courbe A, B, C, D et E d abscisses respectives x 2, x 1, x 0, x 1, x 2 3 Tracer les tangentes d, 1 d, d 2 3, d et d 4 5 à la courbe aux points A, B, C, D et E 4 Déterminer les nombres dérivés de cette fonction aux points A, B, C, D et E 5 Déterminer l intervalle sur lequel le nombre dérivé est positif 6 Déterminer l intervalle sur lequel le nombre dérivé est négatif Activités Page 3

4 On considère une fonction f définie sur l intervalle I 4;14 Sa représentation graphique dans un repère orthonormé est la courbe C donnée ci-dessous Elle passe par les points A 7;2 D 4;4 et E 10;0 Les tangentes à la courbe aux points D et E sont parallèles à l axe des abscisses La tangente à la courbe au point A est la droite qui passe par le point B 10; 1 1 Déterminer algébriquement l équation de la droite tangente à la courbe au point A 2 Tracer la droite tangente à la courbe au point d abscisse x 13 Déterminer algébriquement l équation de la droite 3 Déterminer f 4, f 7, f 10 et 13 f 4 Résoudre graphiquement les équations f x 4, f x 2, f x 0 et f x 1 5 Résoudre graphiquement les inéquations f x 2, f x 4 6 Résoudre graphiquement l inéquation f x 0 7 Résoudre graphiquement l inéquation f x 0 8 Résoudre graphiquement l inéquation f x 0 Activités Page 4

5 Définition : Le taux d accroissement de la fonction f entre a et x est le nombre f ( x) f ( a) x a Déterminer le taux d accroissement de la consommation d oxygène entre le moment où la personne entre dans le bain froid et le moment où elle en ressort Sauriez-vous interpréter le résultat obtenu? Déterminer le taux d accroissement de la consommation d oxygène entre le moment où la personne réintègre le bain chaud et le moment où elle retrouve sa consommation d oxygène initiale Sauriez-vous interpréter le résultat obtenu? Activités Page 5

6 Nombre dérivé de la fonction carrée en un point 2 On considère la fonction carrée f x x On a tracé ci-dessous sa représentation graphique dans un repère orthonormé Les points A, B, C, D et E sont les points de la courbe d abscisses respectives 2, 1, 0, 1 et 2 1 Calculer le taux d accroissement de la fonction carrée en a 2 Simplifier l écriture de cette expression 3 Déterminer la limite de cette expression lorsque x tend vers a 4 En déduire le nombre dérivé de la fonction carré en a noté f a 5 Placer sur le graphe les points A, B, C, D et E 6 Déterminer les nombres dérivés de la fonction carrée en chacun de ces points 7 Tracer de manière précise la tangente à la courbe en ces cinq points Activités Page 6

7 Nombre dérivé de la fonction cube en un point On considère la fonction cube définie 3 par f x x On a tracé ci-contre une partie de sa représentation graphique dans un repère orthonormé Les points A, B, C et D sont les points de la courbe d abscisses respectives 1, 0, 1 et 2 Soit a un réel quelconque désignant l abscisse d un point quelconque situé sur la courbe 1 Calculer le taux d accroissement de la fonction cube entre a et x 2 Déterminer l expression simplifiée du taux d accroissement Tous les détails de calcul seront indiqués 3 Déterminer la limite de cette expression simplifiée lorsque x tend vers a 4 En déduire le nombre dérivé de la fonction cube en a noté f a 5 Placer sur le graphique les quatre points A, B, C et D Déterminer les nombres dérivés de la fonction cube en chacun de ces quatre points 6 Tracer de manière précise les tangentes à la courbe en ces quatre points (vous utiliserez de la couleur et donnerez une longueur suffisante aux tangentes tracées pour que le correcteur sache évaluer la précision de vos tracés) Quelle remarque faites-vous sur le couple des tangentes T et T A C à la courbe respectivement aux points A et C Travail algébrique nécessaire pour simplifier le taux d accroissement Démontrer que pour tout réel a et b on a l égalité suivante : a b a b a ab b Activités Page 7

8 Nombre dérivé de la fonction inverse en un point 1 On considère la fonction inverse g x On tracé ci-dessous sa représentation graphique x dans un repère orthonormé Les points A, B, C sont les points de la courbe d abscisses respectives 1, 1 et 2 2 On suppose que a est différent de 0 1 Calculer le taux d accroissement de la fonction inverse en a 2 Simplifier l écriture de cette expression 3 Déterminer la limite de cette expression lorsque x tend vers a 4 En déduire le nombre dérivé de la fonction inverse en a noté g a 5 Placer sur le graphe les points A, B, et C 6 Déterminer les nombres dérivés de la fonction inverse en chacun de ces points 7 Tracer de manière précise la tangente à la courbe en ces trois points Activités Page 8

9 Nombre dérivé de la fonction racine en un point On considère la fonction racine h x x On tracé ci-dessous sa représentation graphique dans un repère orthonormé Les points A, B, C et D sont les points de la courbe d abscisses respectives 0, 1, 4 et 9 On suppose que a est différent de 0 et positif 1 Calculer le taux d accroissement de la fonction racine en a 2 Simplifier l écriture de cette expression Lorsqu on manipule des racines, les simplifications d expressions nécessitent le recours à la quantité conjuguée La quantité conjuguée de x a est x a Le produit des deux quantités : x a x a x a 3 Déterminer la limite de cette expression lorsque x tend vers a 4 En déduire le nombre dérivé de la fonction racine en a noté h a Travail supplémentaire Nombre dérivé de la fonction puissance 4 en un point Démontrer que pour tout réel a et b on a : a b a b a a b ab b 4 2 Calculer le taux d accroissement de la fonction h x x entre a et x 3 Déterminer l expression simplifiée du taux d accroissement 4 Déterminer la limite de cette expression simplifiée lorsque x tend vers a 5 En déduire le nombre dérivé en a de la fonction puissance 4 noté h a Activités Page 9

10 Fonctions usuelles 1 Rappeler la définition du nombre dérivé d une fonction f au point d abscisse a 2 Que représente graphiquement ce nombre? Comment se note-t-il? 3 Quel est le nombre dérivé d une fonction constante? 4 Quel est le nombre dérivé de la fonction identité? 5 Quel est le nombre dérivé de la fonction carré? 6 Quel est le nombre dérivé de la fonction cube? Opérations usuelles On considère la fonction f définie par f x x x Déterminer le nombre dérivé de la fonction f au point d abscisse a Quelle remarque peut-on faire? 2 8 On considère la fonction h définie par g x x x Déterminer le nombre dérivé de la fonction g au point d abscisse a Quelle remarque peut-on faire? 2 9 On considère la fonction g définie par h x k x où k est une constante quelconque Déterminer le nombre dérivé de la fonction h au point d abscisse a Quelle remarque peut-on faire? Tableau récapitulatif Dérivées des fonctions usuelles Opérations sur les dérivées f x k f u v f x x f u v f x x n f k u Activités Page 10

11 Situation 1 Calculer la dérivée et fresser le tableau de signe de la dérivée 2 f x x 2x 3 Dresser le tableau de variation de la fonction à partir de sa représentation graphique Situation 2 Calculer la dérivée et dresser le tableau de signe de la dérivée 2 f x x x 6 Dresser le tableau de variation de la fonction à partir de sa représentation graphique Situation 3 Calculer la dérivée et dresser le tableau de signe de la dérivée de la fonction 3 f x x 3x Dresser le tableau de variation de la fonction à partir de sa représentation graphique Situation 4 Calculer la dérivée et dresser le tableau de signe de la dérivée de la fonction f x x x Dresser le tableau de variation de la fonction à partir de sa représentation graphique Activités Page 11

12 Etude d une fonction (1) 3 2 La fonction f est définie sur l intervalle I 1;3 par la formule : f x x 3x On effectue dans cet exercice «l étude de la fonction f sur l intervalle I» 1 Calculer la dérivée f x Montrer que f x 3x x 2 2 Etudier, à l aide d un tableau, le signe de la dérivée 3 En déduire les variations de la fonction Vous ferez figurer les valeurs aux extrémités des flèches de variations x f x f x Etude d une fonction (2) La fonction g est définie sur l intervalle I 2;2 par la formule : g x x x On effectue dans cet exercice «l étude de la fonction g sur l intervalle I» 1 Calculer la dérivée g x Montrer que g x 1 x 1 x 2 Etudier, à l aide d un tableau, le signe de la dérivée 3 En déduire les variations de la fonction Vous ferez figurer les valeurs aux extrémités des flèches de variations x g x g x Activités Page 12

13 Associer une fonction à sa dérivée Les courbes 1, 2 et 3 sont les courbes représentatives de trois fonctions f, g et h et les courbes A, B et C représentent leurs fonctions dérivées f, g et h Dresser les tableaux de variations des trois fonctions f, g et h Dresser les tableaux de signe des trois courbes A, B et C Associer à chaque fonction sa dérivée Les trois fonctions Les trois dérivées Recette et coûts de production Une entreprise fabrique x dizaines de machines chaque jour Le nombre x est compris entre 0 et 12 (inclus) 2 3 La recette, en euros, qu elle réalise chaque jour, est donnée par f x 180x 15x Le montant des frais de fonctionnement quotidiens est donnée par g x 180x 1200 Etude de la recette Calculer f x Etudier dans un tableau le signe de f x 0;12 variations de la fonction f sur l intervalle sur intervalle 0;12 En déduire les Activités Page 13

14 Etude des frais de fonctionnement Soit D la droite représentant la fonction g Tracer D sur le même graphique que la courbe C Déterminer les valeurs de x pour lesquelles l entreprise réalise un bénéfice Justifier graphiquement votre réponse Etude du bénéfice On appelle h la fonction définie par h x f x g x Déterminer l expression algébrique de la fonction h Calculer l équation h x 0 fonction h sur l intervalle h x Résoudre algébriquement Les solutions seront arrondies au dixième près Etudier les variations de la 0;12 Caractériser les extremums locaux de la fonction h sur 0;12 Combien de machines l entreprise doit-elle produire et vendre afin de réaliser un bénéfice maximal? Matérialiser graphiquement le bénéfice maximal dans le repère Courbe représentative de la fonction f Activités Page 14

15 Recette et coûts de production Une entreprise fabrique des jouets qu elle vend par lots La fabrication peur varier entre 0 et 18 lots On appelle x le nombre de lots fabriqués et vendus par l entreprise Le coût de fabrication en euros d un nombre x de lots, est donné par la fonction f définie par 3 2 f x 4x 96x 576x 100, dont on a tracé ci-dessous la courbe représentative C Chaque lot fabriqué est vendu 125 euros La recette est donc donnée par la fonction g définie par g x 125 x Etude des coûts de fabrication 1 Calculer f x Montrer que f x 12 x 4 x 12 2 Etudier le signe de f x Etude de la recette pour tout x de 0;18 et en déduire les variations de f 1 Tracer la droite D d équation y 125x dans le même repère que la courbe C 2 Sachant que l entreprise ne vend que des nombres entiers de lots de jouets, déterminer graphiquement l intervalle sur lequel l entreprise réalise un bénéfice Justifier la réponse Etude du bénéfice On considère la fonction h définie par : h x g x f x 1 Déterminer h x 2 Calculer h x 3 Etudier les variations de la fonction h sur l intervalle 0;18 4 Caractériser les extremums locaux de la fonction h 5 Que représente la fonction h étudiée dans cette partie? 6 Que nous apprend l étude de cette fonction? Activités Page 15

16 Recette et coûts de production Suite Un fabricant de pièces de fonderies réalise une production mensuelle de x centaines de pièces (avec 0 x 10, c'est-à-dire qu elle en produit entre 0 et 1000 par mois) Le coût total de 3 2 production, exprimé en milliers d euros, est donné par : C x x 12x 60x Le prix du marché des pièces de fonderies soit égal à euros pour 100 pièces vendues La recette est donc donnée par : R x 28x B x R x C x Le bénéfice est donné par 1 Tracer sur le graphique la droite D d équation y 28x Déterminer graphiquement pour quelles quantités de pièces produites et vendues l entreprise réalise un bénéfice B x Etudier les variations de la fonction B sur l intervalle 0;10 En déduire à l unité près, la quantité de pièces produites et vendues pour laquelle le bénéfice réalisé est maximal Matérialisez graphiquement ce bénéfice maximal dans le repère 2 Calculer Courbe représentative des coûts de production Activités Page 16

17 Exercice 1 Pour réviser Soit f une fonction définie et dérivable sur IR On note f la fonction dérivée de f On donne cidessous, en bas de la page, la courbe C f représentant la fonction f C f La courbe coupe l'axe des abscisses au point A 2;0 et lui est tangente au point B d'abscisse 6 La tangente à la courbe au point A passe par le point M 3;0 C f La courbe admet une deuxième tangente parallèle à l'axe des abscisses au point C d'abscisse 0 1 Lire f 0 et f 6 2 Déterminer par un calcul f 2 3 f 2 3 Sachant que 4, tracer la tangente à la courbe au point D 4 Une des trois courbes représentées ci-contre est la représentation graphique de la fonction dérivée f Laquelle? Justifier votre réponse Activités Page 17

18 Exercice 2 Pour réviser Soit C 0;15 la fonction définie pour tout réel x élément de l'intervalle par : C x x 2x 15x 81 La fonction C modélise le coût total de production, exprimé 3 en milliers d'euros, de x milliers d'articles fabriqués La courbe C T représentative de la fonction C est tracée ci-dessous dans un repère orthogonal On suppose que chaque article produit est vendu au prix de 60 On note R x la recette générée par la production et la vente de x milliers d'articles Chaque article produit est vendu au prix de 60 d'où R x 60x 1 Dans le repère précédent, tracer la courbe représentative de la fonction recette Déterminer graphiquement les valeurs arrondies au millier près des bornes de l'intervalle dans lequel doit se situer la production pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif Le bénéfice est la fonction B définie par B x R x C x 2 Calculer B x Étudier les variations de la fonction B : pour cela calculer étudier son signe et en déduire les variations de B En déduire la production pour laquelle le bénéfice est maximal Quel est le montant en euro de ce bénéfice maximal? Matérialiser ce bénéfice maximal dans le repère proposé ci-dessus B x, Activités Page 18