Produit scalaire, espaces euclidiens.

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1 Produi scalaire espaces euclidies Chapire : oes de cours Projecios orhogoales Projeceur orhogoal Supplémeaire orhogoal d u sous-espace vecoriel de dimesio fiie e expressio de la projecio orhogoale sur u sous-espace vecoriel de dimesio fiie Disace d u veceur à u sous-espace vecoriel de dimesio fiie Iégalié de Bessel Espaces euclidies Caracérisaio maricielle des bases orhogoales ou orhoormales Expressio maricielle du produi scalaire Représeaio d ue forme liéaire à l aide du produi scalaire veceur ormal à u hyperpla d u espace euclidie Auomorphismes orhogoaux e marices orhogoales Edomorphisme orhogoal das u espace vecoriel euclidie Bijecivié des edomorphismes orhogoaux e dimesio fiie auomorphismes orhogoaux (isoméries) e caracérisaios des auomorphismes orhogoaux groupe (O(E)o) Marice orhogoale caracérisaio des marices orhogoales par leurs veceurs liges ou coloes groupe (O( ) ) Auomorphisme orhogoal e sous-espaces sables Isoméries posiives e égaives d u espace vecoriel euclidie groupes (SO(E)o) e (SO( ) ) Marice de passage ere bases orhoormales Réducio des edomorphismes symériques des marices symériques réelles Edomorphisme symérique Caracérisaio maricielle des edomorphismes symériques Valeurs propres d ue marice symérique réelle d u edomorphisme symérique Orhogoalié des espaces propres d u edomorphisme symérique Théorème specral : diagoalisabilié des edomorphismes symériques Diagoalisabilié des marices symériques réelles Espaces euclidies de dimesio ou Orieaio d u espace vecoriel orieaio iduie par u sous-espace vecoriel produi mixe Produi vecoriel de deux veceurs e dimesio propriéés du produi vecoriel expressio du produi vecoriel das ue base orhoormale direce expressio géomérique du produi vecoriel Elémes de O() : marices orhogoales Auomorphismes orhogoaux d u espace vecoriel euclidie de dimesio Produi de roaios commuaivié de SO() e SO(E) pour E de dimesio Auomorphismes orhogoaux d u espace vecoriel euclidie de dimesio Elémes de O() : marices orhogoales PSI Dupuy de Lôme Chapire : Produi scalaire espaces euclidies (Noes de cours) - -

2 Produi scalaire Chapire : oes de cours Projecios orhogoales Théorème : expressio de la projecio orhogoale sur u sous-espace vecoriel de dimesio fiie Soi (E ( ) ) u espace préhilberie réel de dimesio fiie ou o Soi F u sous-espace vecoriel de dimesio fiie m de E Soi ( e em ) ue base orhoormale de F e p F la projecio orhogoale de E sur F Alors pour ou veceur x de E o a : p F m ( x) = ( e x) e Défiiio e héorème : disace d u veceur à u sous-espace vecoriel de dimesio fiie Soi (E ( ) ) u espace préhilberie réel de dimesio fiie ou o e la orme associée Soi F u sous-espace vecoriel de dimesio fiie m de E Pour u veceur x de E o appelle disace de x à F oée d ( x F) la quaié : d( x F) if x z Cee valeur es aeie e u uique veceur de F qui es (x) O a doc : d( x F) = x p ( x) F PSI Dupuy de Lôme Chapire : Produi scalaire espaces euclidies (Noes de cours) - - i i = z F p F la projecio orhogoale de x sur F Exemple : calculer la projecio puis la disace d u veceur de 4 à u hyperpla au choix Soi H l hyperpla de 4 (mui de so produi scalaire caoique) défii par l équaio : x + y + z + = O peu proposer comme base orhogoale de H la famille (-) (-) e (-) u = v = ( ) = ( ) 6 a = (4 a alors pour projecio orhogoale sur H le veceur : a' = ph ( a) = ( ) u + ( 4 + ) v + ( + + ) w = ( a ' H e : a a' H puisque : a'= ( ) d( a H ) = a ph ( a) = a a' = = () = Doc : ( ) Le veceur : ) O peu remarquer qu o a bie : Efi : 5 w forme ue base orhoormale de H a Théorème 4 : iégalié de Bessel Soi (E ( ) ) u espace préhilberie réel de dimesio fiie ou o e la orme associée Soi F u sous-espace vecoriel de dimesio fiie m de E Soi ( e e ) ue base orhoormale de F m Pour ou veceur x de E o a : Espaces euclidies m ( e x) x i Théorème 4 : caracérisaio maricielle des bases orhogoales ou orhoormales Soi (E ( ) )u espace vecoriel euclidie de dimesio Soi : B = ( e e ) ue base de E O oe M la marice du produi scalaire das la base B défiie par : i j m = ( e e ) La marice M es symérique O a de plus les équivaleces suivaes : (B es orhogoale) ( M es diagoale) ) i j i j

3 (B es orhoormale) ( M = ) Théorème 44 : expressio maricielle du produi scalaire Soi (E ( ) ) u espace vecoriel euclidie de dimesio I Soi : B = ( e e ) ue base de E Soie x e y des veceurs de E e X e Y les marices coloes de leurs coordoées das B Alors : ( x y) = X M Y Si B es orhoormale o a de plus : ( x y) = X Y = xi yi (forme caoique d u produi scalaire das ue base orhoormale) x = ( ei x) e i x = xi = ( ei x) Théorèmes 47 e 48 : représeaio d ue forme liéaire à l aide du produi scalaire veceur ormal à u hyperpla Soi (E ( ) ) u espace vecoriel euclidie de dimesio Soi ϕ * ue forme liéaire sur E Alors il exise u uique veceur : a E el que : x E ϕ *( x ) = ( a x) De plus si : B = ( e e ) ue base orhoormale de E e H es u hyperpla de E alors ue équaio de H das B fouri u veceur orhogoal à H di aussi veceur ormal à H Plus préciséme si : a x + + a x = es ue équaio de H das B alors : a = a e a e + + es u veceur de E orhogoal à H Exemple : Das 4 mui de so produi scalaire caoique le veceur () es u veceur ormal à l hyperpla H do ue équaio das la base caoique de 4 es : x + y + z + = Auomorphismes orhogoaux e marices orhogoales Défiiio 5 héorèmes 5 e 5 : edomorphisme orhogoal das u espace vecoriel euclidie Soi (E ( ) ) u espace vecoriel euclidie la orme associée e : u L(E) O di que u es u edomorphisme orhogoal de E si e seuleme si u coserve la orme ou le produi scalaire de E c'es-à-dire : ( x y ) E ( u ( x) u( y)) = ( x y) ou : x E u ( x) = x Ces deux défiiios so bie équivalees U edomorphisme orhogoal es bijecif e o parle d auomorphisme orhogoal Les seules valeurs propres possibles d u edomorphisme orhogoal so ± Défiiio 5 e héorème 5 : marice orhogoale caracérisaio par les liges ou les coloes Soi : O di que : A M () es ue marice orhogoale si e seuleme si : A A = I ou : A A = I Ue marice A de M () es orhogoale si e seuleme si ses coloes cosidérées comme des veceurs de (ou ses liges) forme ue base orhoormale de pour le produi scalaire caoique de Si : A M () es orhogoale alors : de( A ) = ± (pas de réciproque) PSI Dupuy de Lôme Chapire : Produi scalaire espaces euclidies (Noes de cours) - -

4 Théorème 54 : caracérisaios des auomorphismes orhogoaux Soi (E ( ) ) u espace vecoriel euclidie la orme associée e : u L(E) u es u auomorphisme orhogoal si e seuleme si sa marice das ue base orhoormale de E es ue marice orhogoale u es u auomorphisme orhogoal si e seuleme si l image d ue base orhoormale de E par u es ue aure base orhoormale Théorème 55 : auomorphisme orhogoal e sous-espaces vecoriels sables Soi (E ( ) ) u espace vecoriel euclidie Soie u u auomorphisme orhogoal de E e F u sous-espace vecoriel de E sable par u Alors F es égaleme sable par u Théorème 56 e défiiio 5 : les groupes (O(E)o) (O() ) (SO(E)o) e (SO() ) Soi (E ( ) ) u espace vecoriel euclidie de dimesio e la orme associée Alors l esemble des auomorphismes orhogoaux de E oé O(E) forme u groupe pour la loi o appelé groupe orhogoal de E e sous-groupe de (Gl(E)o) De même l esemble O( ) des marices orhogoales de M () forme u groupe pour la loi appelé groupe orhogoal d ordre e sous-groupe de (Gl( ) ) Par ailleurs les élémes de O(E) do le déermia vau forme u sous-groupe de O(E) appelé groupe spécial orhogoal de E de même les marices de O( ) do le déermia vau forme u sous-groupe de O( ) appelé groupe spécial orhogoal d ordre Efi si o fixe ue base B de E orhoormale l applicaio de L(E) das M () qui à u edomorphisme u associe sa marice das la base B idui u isomorphisme de groupes de (O(E)o) das (O( ) ) Défiiio 54 : isoméries d u espace vecoriel euclidie isoméries posiives e égaives Soi (E ( ) ) u espace vecoriel euclidie de dimesio e la orme associée U auomorphisme orhogoal de E es ecore appelé isomérie de E si u es orhogoal alors : de( u ) = ± O dira que u es ue isomérie posiive de E si : de( u ) = + e égaive de E si : de( u ) = Théorème 57 : marice de passage ere bases orhoormales Soi (E ( ) ) u espace vecoriel euclidie e la orme associée Soi B ue base orhoormale de E e B ue aure base de E Si o oe P la marice de passage de B à B alors B es orhoormale si e seuleme si P es orhogoale Réducio des edomorphismes symériques des marices symériques réelles Défiiio 6 e héorème 6 : edomorphisme symérique e caracérisaio maricielle Soi (E ( ) ) u espace vecoriel euclidie O di qu u edomorphisme u de E es symérique lorsque : ( x y ) E ( u ( x) y) = ( x u( y) ) U edomorphisme u de E es symérique si e seuleme si sa marice représeaive das ue base orhoormale quelcoque de E es symérique Théorème 6 : valeurs propres d ue marice symérique réelle d u edomorphisme symérique Soi : A M () ue marice symérique réelle avec : Alors A cosidérée comme éléme de M () es elle que oues les racies de so polyôme caracérisique so réelles e doc a oues ses valeurs propres réelles De même soi (E ( ) ) u espace vecoriel euclidie e soi : u L(E) symérique Toues les racies du polyôme caracérisique de u so réelles PSI Dupuy de Lôme Chapire : Produi scalaire espaces euclidies (Noes de cours) - 4 -

5 Théorèmes 6 e 64 : (di héorème specral) diagoalisabilié des edomorphismes symériques Soi (E ( ) ) u espace vecoriel euclidie e soi : u L(E) symérique Si λ e µ so des valeurs propres disices de u les espaces propres associés E λ (u) e (u) so orhogoaux Il exise ue base orhoormale de E das laquelle l edomorphisme u es diagoalisable E es la somme direce orhogoale des sous-espaces propres de u Théorème 65 : diagoalisabilié des marices symériques réelles Soi : A M () ue marice symérique réelle avec : Alors A es diagoalisable e il es possible de la diagoaliser par l iermédiaire d ue marice orhogoale Exemple : diagoaliser ue marice symérique réelle e cosaer les propriéés aocées Soi A la marice : A = Les valeurs propres de A (obeues par exemple avec χ A ) so (valeur propre double) e 4 (simple) L espace propre associé à es le pla de d équaio : x + y + z = qui adme pour base orhoormale : ( e ) = ( ) ( ) 6 e L espace propre associé à 4 es la droie de egedrée par : e ( ) Ces deux espaces propres so bie supplémeaires orhogoaux pour le produi scalaire caoique de De plus si o pose : orhoormales de la base caoique de à e e ) e : Remarque : si o pose : Espaces euclidies de dimesio ou = 6 P = 6 6 ( e P A P= P A P = D = 4 Q = Q es pas orhogoale mais o a ou de même : Q AQ = D Das ce paragraphe E désige u espace euclidie de dimesio ou alors P es orhogoale (comme marice de passage ere bases Défiiio 7 : orieaio d u espace vecoriel orieaio iduie par u sous-espace vecoriel Ue orieaio de E correspod au choix d ue base de E décréée comme direce Toue base de E es alors soi direce soi idirece suiva que le déermia de la marice de passage de cee ouvelle base à la base de référece es posiif ou égaif Si F es u sous-espace vecoriel de E (u pla ou ue droie) orieer F perme alors de défiir ue orieaio iduie das ou sous-espace supplémeaire de F das E de la faço suivae : si B F es ue base direce de F ue base d u supplémeaire G de F sera direce si la cocaéaio de B F e de B G es ue base direce de E E µ PSI Dupuy de Lôme Chapire : Produi scalaire espaces euclidies (Noes de cours) - 5 -

6 Exemple : Soi mui de so produi scalaire caoique e de so orieaio caoique (la base caoique es direce) Soi : = Vec( e ) avec : e = ( ) e mui de l orieaio doée par ce veceur Alors : Π = Vec e e ) où : e e ) (()( )) es u supplémeaire de das (puisque la ( ( = réuio des deux bases de Π e de forme ue base de ) e e ) es ue base idirece de Π das ( e l orieaio iduie par car la marice de passage P de la base caoique à e ) de( P ) = = = ( e e vérifie : Remarques : Si o pred au dépar ue base orhoormale comme base direce e qu o examie les aures bases orhoormales de E alors le déermia de la marice de passage vau oujours ± Orieer ue droie (das le pla ou l espace) correspod doc à la doée d u veceur de orme Orieer u pla das revie alors à choisir ue base orhoormale du pla comme base direce mais de faço équivalee à choisir u veceur de orme e ormal au pla E effe l orieaio de idui par le choix de ce veceur ormal au pla ue orieaio das le pla Théorème 7 e défiiio 7 : produi mixe Soi E es u espace euclidie de dimesio ou orieé Si B e B so deux bases orhoormales direces de E alors : si E es de dimesio : ( u v ) E de B ( u v) = de B ( u v) si E es de dimesio : ( u v w ) E de B ( u v w) = de B ( u v w) Cee valeur ivariae es oée : [ u v] = de B ( u v) ou : [ u v w] = de B ( u v w) suiva le cas e es appelé produi mixe de u e de v ou de u v e w suiva le cas Théorèmes 7 e 7 e défiiio 7 : produi vecoriel de deux veceurs e dimesio Soi E es u espace euclidie de dimesio orieé Soie u e v deux veceurs de E Il exise u uique veceur w de E oé x E [ u v x] = ( w x) u v e appelé produi vecoriel de u e de v el que : Le produi vecoriel a alors les propriéés suivaes : il es biliéaire : ( u u' v v' ) E 4 ( λ λ' ) u ( λ v + λ' v' ) = λ u v + λ' u v' e : ( λ u + λ' u' ) v = λ u v + λ' u' v il es aleré : ( u v ) E v u = u v ( u v ) E u v es orhogoal à u e à v ( u v ) E ( u v = ) ( ( u v) es liée) (u e v coliéaires) ( u v ) E (( u v ) libre) (u e v o coliéaires) ( ( u v u v) es ue base direce de E) Théorèmes 74 e 75 : expressios du produi vecoriel (das ue base orhoormale direce géomérique) Soi E es u espace euclidie de dimesio orieé mui d ue base orhoormale direce B Soie u e u ' deux veceurs de E de coordoées respecives ( x y z ) e ( x ' y' z' ) das B Alors u u' a pour coordoées das B ( y z' y' z z x' z' x x y' y x' ) Si de plus u e u ' so supposés o coliéaires qu o oe Π le pla egedré par u e u ' e si o oriee Π à l aide d u veceur uiaire ormal à Π (doc dirigea e oriea : = Π ) alors : u u' = u u' si( θ ) où θ es l agle orieé ( u u') Remarque : Pour rois veceurs u v e w de E espace euclidie de dimesio orieé o a : u v représee la surface du parallélogramme défii par les veceurs u e v PSI Dupuy de Lôme Chapire : Produi scalaire espaces euclidies (Noes de cours) - 6 -

7 [ u v w] représee le volume du parallélépipède cosrui sur les veceurs u v e w Théorème 76 : élémes de O() : marices orhogoales Soi : A O() ue marice orhogoale de aille cos( θ ) si( θ ) si : de( A ) = + il exise u réel θ el que : A = si( θ ) cos( θ ) cos( θ ) si( θ ) si : de( A ) = il exise u réel θ el que : A = si( θ ) cos( θ ) Remarque : Si o ideifie E au pla complexe e représea des veceurs par leur affixe alors la roaio vecorielle d agle θ es représeée par l applicaio : z a z e iθ Théorème 77 : auomorphismes orhogoaux d u espace vecoriel euclidie de dimesio Soi (E ( ) ) u espace vecoriel euclidie de dimesio orieé Soi u u auomorphisme orhogoal de E e A la marice de u das ue base : B = ( i j ) orhoormale direce de E cos( θ ) si( θ ) si : de( u ) = + alors il exise u réel θ el que : A = si( θ ) cos( θ ) Si u es pas l ideié de E u es la roaio de E d agle θ θ éa doé par : cos( θ ) = r( u) cos( θ ) si( θ ) si : de( u ) = alors il exise u réel θ el que : A = si( θ ) cos( θ ) θ θ u es alors la symérie orhogoale par rappor à la droie D d équaio : x si ycos = e l agle de D avec la droie dirigée par i es égal à θ Exemple : recoaîre ue isomérie égaive de caoique e ideifier ses élémes géomériques Soi u l edomorphisme de (mui de sa srucure euclidiee caoique c'es-à-dire de so produi scalaire caoique) do la marice das la base caoique de es : Alors A es orhogoale (puisque : A = A A = I ) e u es ue isomérie de égaive car : de( ) = Puisque A es de plus symérique réelle A es diagoalisable e ses valeurs propres so ± L espace propre associé à es la droie D egedrée par ( ) e celui associé à par ( ) orhogoale de la précédee u es doc la symérie orhogoale par rappor à la droie D A es la droie D egedrée Théorème 78 : produi de roaios commuaivié de SO() e SO(E) pour E de dimesio Le groupe SO() es commuaif Si E es u espace vecoriel euclidie de dimesio le groupe SO(E) es commuaif E pariculier deux marices orhogoales de déermia + commue ou comme deux roaios das u pla euclidie Le produi de deux roaios d agle respecifs θ e θ ' es la roaio d agle θ + θ ' Théorème 79 : auomorphismes orhogoaux d u espace vecoriel euclidie de dimesio Soi (E ( ) ) u espace vecoriel euclidie de dimesio orieé Soi u u auomorphisme orhogoal de E si : de( u ) = + e si u es pas l ideié de E alors u adme ue droie de veceurs ivarias Soi alors Π le pla orhogoal à e x u veceur o ul de Π (ou orhogoal à ) PSI Dupuy de Lôme Chapire : Produi scalaire espaces euclidies (Noes de cours) - 7 -

8 - Si : r ( u) = alors u es la symérie orhogoale par rappor à (ou roaio d agle π auour de ) - Si : r ( u) alors : k = x u(x) es u veceur o ul de Si o oriee cee droie avec k e Π avec l orieaio iduie par celle de u es alors la roaio d axe e d agle + θ où θ es doé par la relaio : cos( θ ) + = r( u) si : de( u ) = e si u es pas id E alors l esemble des veceurs chagés e leur opposé par u es ue droie de E Noos ecore Π le pla orhogoal à e x u veceur o ul de Π (ou orhogoal à ) - Si : r ( u) = + u es la symérie orhogoale par rappor à Π - Si : r ( u) + alors : k = x u(x) es ecore u veceur o ul de Si o oriee cee droie avec k e Π avec l orieaio iduie par celle de alors u es la composée de la roaio d axe e d agle + θ où θ es doé par la relaio : cos( θ ) = r( u) e de la symérie orhogoale de E par rappor à Π Théorème 7 : élémes de O() : marices orhogoales Soi : A O() ue marice orhogoale de aille cos( θ ) si( θ ) si : de( A ) = + alors : θ P O() A = P si( θ ) cos( θ ) P cos( θ ) si( θ ) si : de( A ) = alors : θ P O() A = P si( θ ) cos( θ ) P Exemple : recoaîre ue marice orhogoale e ideifier ses élémes géomériques Soi u l edomorphisme de (mui de sa srucure euclidiee caoique c'es-à-dire de so produi scalaire caoique) do la marice das la base caoique de es : A = Alors A es orhogoale (puisque : A A = I ou parce que la famille des coloes forme ue base orhoormale pour la srucure euclidiee caoique de ) e u es ue isomérie posiive de (puisque : de( A ) = + ) doc ue roaio de O déermie l axe de cee roaio à l aide des veceurs ivarias par u doc o résou le sysème : A X = X O rouve alors : ker( u id E ) Vec(( = )) = π L agle θ de la roaio es doé par : r ( u) = r( A) = = cos( θ ) + soi : cos( θ ) = e : θ = O choisi esuie u veceur orhogoal à cee droie par exemple : x = ( ) e : u ( x) = ( ) O cosae alors qu o a bie : x u(x) = ( ) Si maiea o décide d orieer à l aide de ce produi vecoriel alors le pla : Π = es orieé par cee orieaio choisie sur (o choisi le «poi de vue») e la roaio u opère das le ses posiif Fialeme u es la roaio d agle π auour de orieée par : = ( ) A = I k O peu remarquer d ailleurs que : ce qui es logique puisque e faisa agir u fois de suie o obie ue roaio auour de d agle : π = π e u es bie l ideié PSI Dupuy de Lôme Chapire : Produi scalaire espaces euclidies (Noes de cours) - 8 -