Produit scalaire. 1 Vecteurs Norme Angle orienté-angle géométrique Projection orthogonale... 3

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Produit scalaire. 1 Vecteurs Norme Angle orienté-angle géométrique Projection orthogonale... 3"

Transcription

1 Table des matières 1 Vecteurs 1.1 Norme Angle orienté-angle géométrique Projection orthogonale de deux vecteurs 4.1 Définition Autres expressions du produit scalaire Calculs avec le produit scalaire Orthogonalité Propriétés Carré scalaire Applications du produit scalaire droites perpendiculaires Equation d un cercle Théorème de la médiane /1

2 1 Vecteurs 1.1 Norme Définition : Norme d un vecteur Soit un vecteur u et deux points A et B tels que AB = u, la norme de u notée u est la distance AB. u = AB = AB Dans un repère orthonormé, si on a A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) : AB = (x B x A ) + (y B y A ) et AB(xB x A ; y B y A ) Si on pose u = AB on a alors xu = x B x A et y u = y B y A Norme d un vecteur dans un repère orthonormé u = AB = x u + y u Exemple 1 : Vecteurs orthogonaux Dans un repère orthonormé, on donne u (; 4) et v (; 1) Calculer u Calculer v Les vecteurs u et v sont-ils orthogonaux? (Si u = AB et v = CD, les vecteurs u et v sont orthogonaux si (AB) (CD)) u = OB = () + (4) = 0 = 5 unités. v = OC = () + ( 1) = 5 unités. { Calcul des coordonnées de u + v x u + v = x u + x v = + = 4 y u + v = y u + y v = 4 1 = 3 Calcul de u + v u + v = BC = = 5 = 5 unités Utilisation du théorème de Pythagore u + v = = 5 et u + v = 5 donc le triangle OBC est rectangle en O et donc u et v sont orthogonaux. 1. Angle orienté-angle géométrique Si on note α la mesure principale de l angle ( u, v ) ( u 0 et v 0 ) et si les points A, B et C sont tels que AB = u et AC = v alors la mesure de l angle géométrique entre les vecteurs u et v est égale à α (valeur absolue de α). /1

3 Remarque Pour tout réel x, on a cos( x) = cos(x) donc cos( u, v ) = cos( v, u ) = cos( BAC) 1.3 Projection orthogonale Définition : Projection orthogonale d un point sur une droite Soit M un point et (d) une droite du plan, la projection orthogonale de M sur (d) est le point M de (d) tel que M (d) et (MM ) (d) Définition : Projection orthogonale d un vecteur sur une droite Soit u un vecteur non nul et (d) une droite du plan. Si A et B sont deux points tels que u = AB, la projection orthogonale de u sur (d) est le vecteur A B avec A et B projetés orthogonaux de A et B sur (d). Exemple : Projection orthogonale ABCD est un rectangle et I est le projeté orthogonal de A sur la diagonale (BD) Déterminer le projeté orthogonal de AC sur l axe (AD), du vecteur AC sur l axe (AB) puis du vecteur AB sur l axe (BD) A (AD) donc le projeté orthogonal de A sur (AD) est A ABCD est un rectangle donc le projeté orthogonal de C sur (AD) est D donc le projeté orthogonal de AC sur l axe (AD) est AD. A (AB) donc le projeté orthogonal de A sur (AB) est A ABCD est un rectangle donc le projeté orthogonal de C sur (AB) est B donc le projeté orthogonal de AC sur l axe (AB) est AB. 3/1

4 Le projeté orthogonal de A sur (BD) est I donc le projeté orthogonal de AB sur l axe (BD) est IB. de deux vecteurs.1 Définition Définition : produit scalaire u et v sont deux vecteurs non nuls tels que u = vecteurs est noté u. v,et est le nombre réel défini par : u. v = u v cos( u, v ) si u = 0 ou v = 0, on a u. v = 0 AB et v = AC, le produit scalaire des deux Remarque Si la mesure ] principale de ( u, v ) appartient à l intervalle π ; π [, on a 0 < cos( u, v ) 1 et donc u. v > 0 Si la mesure ] principale de ( u, v ) appartient à l intervalle π; π [ ] π ] ; π, on a 1 cos( u, v ) < 0 et donc u. v < 0 Cas d un angle aigu : Cas d un angle obtus : Dans le triangle ACH rectangle en H, on a : AH = AC cos(ĥac) donc u. v = AB AH Dans le triangle ACH rectangle en H, on a : AH = AC cos(ĥac) et cos( BAC) = cos(π ĤAC) = cos(ĥac) u. v = AB AC cos( BAC) = AB AC ( cos(ĥac)) = AB AC cos(ĥac) = AB AH 4/1

5 Théorème : Avec les projetés orthogonaux Soit A, B et C trois points (A et B distincts) et u = AB et v = AC Si H est le projeté orthogonal de C sur (AB) : u. v = AB AH si BAH = 0 et u. v = AB AH si BAH = π Exemple 3 :dans un triangle équilatéral Soit ABC un triangle équilatéral de côté 4 unités(dans le sens direct :voir figure), calculer AB. AC puis AB. CA AB. AC = AB AC cos( AB, AC) = 4 4 cos( π π ) rappel :cos( 3 3 ) = cos( π 3 ) = 1 = 8 AB. CA = AB CA cos( AB, CA) = 4 4 cos( π 3 ) rappel :cos( π 3 ) = cos(π π 3 ) = cos( π 3 ) = 1 = 8. Autres expressions du produit scalaire Propriétés : autres expressions du produit scalaire Pour tous vecteurs u et v : u. v = u + v u v Dans une repère orthonormé, si u (x; y) et v (x ; y ) u. v = xx + yy Remarque Dans un triangle ABC, si on pose u = AB et v = AC, on a alors : u v = AB AC = AB + CA = CA + AB = CB On a alors : AB. AC = AB + AC BC = AB + AC BC 5/1

6 Pour démontrer la première propriété, voir la démonstration du théorème d Al-Quashi Démonstration : dans un repère orthonormé Rappel : u = x u + y u si u (x; y) et v (x ; y ) On a alors u = x + y et v = x + y { Coordonnées dur vecteur u v : x u v = x x y u v = y y donc u v = (x x ) + (y y ) Avec la première propriété, on a alors : u. u + v u v v = = x + y + x + y [ (x x ) + (y y ) ] = x + y + x + y (x xx + x + y yy + y ) = x + y + x + y x + xx x y + yy + y = xx + yy = xx + yy Exemple 4 : longueurs dans un triangle ABC est un triangle isocèle en A tel que AB = 6cm et BAC = π 4 radians. Calculer AB. AC et en déduire la longueur du côté [BC] AB. AC = AB AC cos( BAC) = 36cos( π 4 ) = 36 = 18 AB. AC = AB + AC BC = On a donc : 18 7 BC = 36 = 7 BC 7 BC BC = 7 36 donc BC = 7 36 = 36( ) = 6 6/1

7 Exemple 5 : Dans un repère Dans un repère orthonormé, on donne A(; 1), B( ; 4) et C( 1; 1). Calculer AB. AC. H est le pied de la hauteur issue de C dans ABC. Calculer AH. AB. AC = x x AB AC + y y AB AC = ( 4) ( 3) + 3 ( ) = 6 H est le projeté orthogonal de C sur (AB) et AB. AC > 0 donc AB. AC = AB AH AB = AB = x AB + y AB = ( 4) + 3 = 5 On a alors AB AH = 5AH = 6 donc AH = 6 5 Il faut calculer les coordonnées des vecteurs { AB et AC : x AB = x B x A = = 4 y AB = y B y A = 4 1 = 3 donc AB( 4; 3) { x AC = x C x A = 1 = 3 y AC = y C y A = 1 1 = et AC( 3; ) 3 Calculs avec le produit scalaire 3.1 Orthogonalité Pour tous vecteurs u et v non nuls, cos( u, v ) = cos( v, u ) (voir chap. trigonométrie) Propriétés : produit scalaire Pour tous vecteurs u et v, on a : u. v = 0 u = 0 ou v = 0 ou u et v sont orthogonaux. Applications : On peut donc utiliser le produit scalaire pour montrer que deux droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires, qu un triangle est rectangle... Démonstration : éléments de démonstration cos( u, v ) = cos( v, u ) (( v, u ) = ( u, v ) et cos(α) = cos( α)) u et v sont orthogonaux ( u, v ) = π + kπ avec k Z et cos( π ) = 0 3. Propriétés Propriétés Soient u, v et w trois vecteurs et k un réel : u. v = v. u (le produit scalaire est commutatif) (k u ). v = k( u. v ) et ( u + v ). w = u. w + v. w (distributivité du produit scalaire) 7/1

8 Les démonstrations de ces propriétés peuvent se faire dans un repère orthonormé avec u (x; y), v (x ; y ) et w (x ; y ) Démonstration : Commutativité Avec les notations ci-dessus : u. v = xx + yy et v. u = x x + y y Or xx = x x et yy = y y donc u. v = v. u Avec la définition : u. v = u v cos( u, v ) et v. u = v u cos( v, u ) or cos( u, v ) = cos( v, u ) (pour tout réel x, cos(x) = cos( x)) 3.3 Carré scalaire Le carré scalaire d un vecteur u est u = u. u = u (cos( u, u ) = cos(0) = 1) Définition :Carré scalaire Le carré scalaire du vecteur u noté u est défini par : u = u. u = u soient u et v deux vecteurs, calculer alors ( u + v ). ( u + v ) = ( u + v ).( u + v ) = u + u. v + v. u + v = u + u. v + v ( u. v = v. u ) Propriétés : identités remarquables Pour tous vecteurs u et v : ( u + v ) = u + u. v + v ( u v ) = u u. v + v ( u + v ).( u v ) = u v 4 Applications du produit scalaire 4.1 droites perpendiculaires Pour toute cette partie, on se place dans un repère orthonormé (O; i ; j ). Propriété : Orthogonalité dans un repère orthonormé Dans un repère orthonormé,deux vecteurs u (x; y) et v (x ; y ) non nuls sont orthogonaux si et seulement si xx + yy = 0 Conséquence : Si u (x; y) alors le vecteur v ( y; x) est orthogonal au vecteur u On a alors u. v = x u x v + y u y v = x( y) + yx = 0 Exemple 6 : vecteurs orthogonaux Dans un repère orthonormé, si u ( 3; ) alors v (; 3) est orthogonal au u Définition : vecteur normal à une droite Soit (d) une droite, v est un vecteur normal à (d) si v est orthogonal à tout vecteur directeur de (d). 8/1

9 Propriété : coordonnées d un vecteur normal à une droite Si (d) admet pour équation cartésienne ax + by + c = 0, le vecteur v (a; b) est un vecteur normal à (d). Pour déterminer une équation cartésienne d une droite (d ) passant par A(x A ; y A ) et perpendiculaire à (d) d équation ax + by + c = 0, on peut : Soit utiliser les coordonnées d un vecteur normal à (d) qui est alors un vecteur directeur de (d ) puis les coordonnées de A pour calculer c. Soit utiliser la méthode vue au chap5 pour les droites parallèles en utilisant un vecteur directeur u ( b; a) de (d) et en écrivant : M(x; y) (d ) AM. u = 0 (x M x A )x u + (y M y A )y u = 0... Exemple 7 : Orthogonalité dans le plan Dans un repère orthonormé, on donne A(; 1), B(6; 5) et C( 1; 4). Montrer (sans calculer de longueurs) que ABC est un triangle rectangle en A. Déterminer une équation cartésienne de la hauteur (d) issue de A dans ABC. { x AB = x B x A = 6 = 4 y AB = y B y A = 5 1 = 4 De même AC( 3; 3) AB. AC = x x AB AC + y y AB donc AB(4; 4) AC = 4 ( 3) = 0 donc AB et AC sont orthogonaux et ABC est rectangle en A. { x et BC = x C x B = 1 6 = 7 y BC = y C y B = 4 5 = 1 donc BC( 7; 1) La hauteur (d) issue de A est perpendiculaire à (BC) dont BC( 7; 1) est un vecteur directeur. Méthode 1 : en utilisant un vecteur normal à (BC) Le vecteur v ( 1; 7) est un vecteur orthogonal au vecteur BC et est un vecteur directeur de (d) et (d) admet une équation cartésienne de la forme 7x + y + c = 0 A (d) 7x A + y A + c = c = 0 c = 15 donc une équation cartésienne de (d) est 7x + y 15 = 0 (équation réduite : y = 7x + 15) 9/1

10 Méthode : en utilisant le produit scalaire Soit { M(x; y) un point de la hauteur (d) issue de A x AM = x M x A = x y AM = y M y A = y 1 donc AM(x ; y 1) et BC( 7; 1) BC et est un vecteur directeur de (BC) et est orthogonal au vecteur AM M (d) AM. BC = 0 x AM x BC + y AM y BC = 0 (x ) ( 7) + (y 1) ( 1) = 0 7x + 14 y + 1 = 0 7x y + 15 = 0 donc une équation cartésienne de (d) est 7x y + 15 = 0 Remarques Les deux équations obtenues sont équivalentes car en multipliant les deux membres par 1, on a : 7x y + 15 = 0 7x + y 15 = 0 Avec la méthode 1 et le vecteur v ( 1; 7), on peut aussi utiliser le critère de colinéarité : M(x; y) (d) AM et v colinéaires 4. Equation d un cercle x AM y v y AM x v = 0... Dans un repère orthonormé, on considère le cercle C de diamètre [AB] (A et B distincts) avec A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ). Méthode 1 : Avec le produit scalaire Un point M(x : y) distinct de A et de B appartient à C si et seulement si (AM) (BM) ou bien encore Un point M(x : y) distinct de A et de B appartient à C si et seulement si AM. BM = 0 AM(x x A ; y y A ) et BM(x x B ; y y B ) AM. BM = (x x A )(x x B ) + (y y A )(y y B ) AM. BM = 0 (x x A )(x x B ) + (y y A )(y y B ) = 0 Si M = A, x x A = y y A = 0 et donc (x x A )(x x B ) + (y y A )(y y B ) = 0 De même si M = B. méthode : avec le centre et le rayon Si on note O(x O ; y O ) le centre du cercle C et r son rayon (r = AB M C OM = r (x x O ) + (y y O ) = r ), on a alors : 10/1

11 Propriétés : équation cartésienne d un cercle Dans un repère orthonormé, le cercle de diamètre [AB] admet pour équation cartésienne (x x A )(x x B ) + (y y A )(y y B ) = 0 Le cercle de centre O(x O ; y O ) et de rayon r a pour équation cartésienne (x x O ) + (y y O ) = r Exemple 8 :Détermination d une équation d un cercle de diamètre [AB] Dans un repère orthonormé, Déterminer une équation du cercle C de diamètre [AB] avec A(1; 3) et B( 3; 5) Méthode 1 : Avec le produit scalaire Soit M(x; y) C AM(x 1; y 3) et BM(x + 3; y 5) AM. BM = 0 (x 1)(x + 3) + (y 3)(y 5) = 0 x + x + y 8y + 1 = 0 x + x + y 8y + 1 = 0 est une équation du cercle C Méthode : Avec le centre et le rayon Le centre du cercle Ω milieu de [AB] a pour coordonnées x Ω = x A + x B = 1 et y Ω = y A + y B et pour rayon AB = (xb x A ) + (y B y A ) 0 = = 5 = 5 donc (x x Ω ) + (y y Ω ) = 5 soit (x + 1) + (y 4) = 5 est une équation du cercle C. = 4 Remarque x + x + y 8y + 1 = 0 (x + 1) 1 + (y 4) = 0 (x + 1) + (y 4) = 5 Exemple 9 :Détermination du centre et du rayon d un cercle Dans un repère orthonormé, le cercle C a pour équation cartésienne x 4x + y + y = 0 Déterminer les coordonnées de son centre et de son rayon. Le point C(3; 1) appartient-il à C? Déterminer une équation de la tangente (T ) en C au cercle C. 1. x 4x + y + y = 0 (x ) 4 + (y + 1) 1 = 0 (x ) + (y + 1) = 5 (x ) + (y ( 1)) = 5 donc C a pour centre Ω(; 1) et rayon 5.. x C 4x C + y C + y C = = 0 donc C C 3. (T ) (ΩC) et C (T ) ΩC(1; ) donc n ( ; 1) vecteur normal à (ΩC) est un vecteur directeur de (T ). Une équation cartésienne de (T ) est de la forme x + y + c = 0 C (T ) x C + y C + c = c = 0 c = 5 donc x + y 5 = 0 est une équation cartésienne de (T ). 11/1

12 4.3 Théorème de la médiane Propriété : théorème de la médiane A et B sont deux points distincts et I est le milieu de [AB]. Pour tout point M, MA + MB = MI + 1 AB Démonstration MA + MB = MA + MB = ( MI + IA) + ( MI. IB) = MI + MI. IA + IA + MI + MI. IB + IB = MI + IA + ( ) MI. IA + MI. IB AB = MI + + MI.( IA + IB) = MI + AB + MI. 0 car IA = IB = MI + AB Exemple 10 : Calcul de la longueur de la médiane dans un triangle On considère un triangle ABC tel que AB=6cm, AC=5cm et BC=8cm. Calculer AI où I est le milieu de [BC] I milieu de [BC] donc (AI) est la médiane issue de A dans ABC. On a alors (avec M = A dans le théorème de la médiane) : AB + AC = AI + 1 BC = AI = AI AI = 9 = AI (car AI 0) 1/1

Produit scalaire. 1 Vecteurs Norme Angle orienté de deux vecteurs Projection orthogonale... 4

Produit scalaire. 1 Vecteurs Norme Angle orienté de deux vecteurs Projection orthogonale... 4 Table des matières 1 Vecteurs 1.1 Norme................................................. 1. Angle orienté de deux vecteurs................................... 1.3 Projection orthogonale........................................

Plus en détail

On note u = AB = AB. de (AB) tel que (CC ) est perpendiculaire à (AB). AB = u et AC = v et un point C

On note u = AB = AB. de (AB) tel que (CC ) est perpendiculaire à (AB). AB = u et AC = v et un point C I Pour bien commencer I.1 Norme d un vecteur Une unité de longueur étant choisie, la norme d un vecteur u = AB est la longueur AB. Si u = 1, le vecteur u est dit unitaire. On note u = AB = AB. Conséquences

Plus en détail

CHAPITRE 12 : Produit scalaire

CHAPITRE 12 : Produit scalaire CHAPITRE 12 : Produit scalaire 1 Définition avec la norme des vecteurs et la norme de leur somme... 2 2 Produit scalaire de vecteurs colinéaires de même sens ; Produit scalaire de vecteurs orthogonaux...

Plus en détail

CHAPITRE 13 : Produit scalaire

CHAPITRE 13 : Produit scalaire CHAPITRE 13 : Produit scalaire 1 Définition avec la norme des vecteurs et la norme de leur somme... 2 2 Produit scalaire de vecteurs colinéaires de même sens ; Produit scalaire de vecteurs orthogonaux...

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE. Première S - Chapitre 7

PRODUIT SCALAIRE. Première S - Chapitre 7 PRODUIT SCALAIRE Première S - Chapitre 7 Table des matières I Expressions du produit scalaire I 1 Exercice de motivation....................................... I Norme d un vecteur........................................

Plus en détail

Produit scalaire. A) Définitions et propriétés.

Produit scalaire. A) Définitions et propriétés. Produit scalaire A) Définitions et propriétés Soient u et v sont deux vecteurs non nuls Les quatre définitions suivantes sont équivalentes, on pourrait donc choisir comme point de départ chacune d elle

Plus en détail

I. Produit scalaire de deux vecteurs du plan

I. Produit scalaire de deux vecteurs du plan 1 ère S - Chapitre 12 : PRODUIT SCALAIRE I. Produit scalaire de deux vecteurs du plan 1. Vocabulaire Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère les vecteurs u( x y) ( et v x ' y '). Le produit

Plus en détail

1. Définition du produit scalaire et orthogonalité

1. Définition du produit scalaire et orthogonalité Dans tout ce chapitre #» u, #» v et #» w désignent des vecteurs du plan. 1. Définition du produit scalaire et orthogonalité DÉFINITION Le produit scalaire de #» u et #» v,noté #» u #» v qui se lit «#»

Plus en détail

Produit scalaire. Chapitre Définition et expressions du produit scalaire Définition

Produit scalaire. Chapitre Définition et expressions du produit scalaire Définition Chapitre 10 Produit scalaire 10.1 Définition et expressions du produit scalaire 10.1.1 Définition Définition 18. u et v sont deux vecteurs du plan. Le produit scalaire de u par v, noté u. v est défini

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE. I)Produit scalaire de deux vecteurs. 1. Définition

PRODUIT SCALAIRE. I)Produit scalaire de deux vecteurs. 1. Définition PRODUIT SCALAIRE I)Produit scalaire de deux vecteurs 1. Définition Définition : Si u et v sont deux vecteurs non nuls, on appelle produit scalaire de u par v, le réel noté u. v = u v cos( u, v) u. v défini

Plus en détail

Exercices sur le produit scalaire

Exercices sur le produit scalaire Exercices sur le produit scalaire Exercice 1 : Sur les expressions du produit scalaire Pour les sept figures suivantes, calculer AB AC. Exercice : Sur les expressions du produit scalaire Sur la figure

Plus en détail

Produit scalaire. Christophe ROSSIGNOL. Année scolaire 2014/2015

Produit scalaire. Christophe ROSSIGNOL. Année scolaire 2014/2015 Produit scalaire Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 014/015 Table des matières 1 Différentes expressions du produit scalaire 1.1 Norme d un vecteur........................................... 1. Définition

Plus en détail

Produit scalaire. A) Définitions et propriétés.

Produit scalaire. A) Définitions et propriétés. Produit scalaire A) Définitions et propriétés Soient u et v sont deux vecteurs non nuls Les quatre définitions suivantes sont équivalentes, on pourrait donc choisir comme point de départ chacune d elle

Plus en détail

P R O D U I T S C A L A I R E.

P R O D U I T S C A L A I R E. ère S 00/005 Produit scalaire J TAUZIEDE P R O D U I T S C A L A I R E I- DEFINITION ET PREMIERES PROPRIETES ) Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires Définition Soit u et v deux vecteurs colinéaires

Plus en détail

Chapitre 7 : Produit scalaire. Module 1 : Découverte du produit scalaire

Chapitre 7 : Produit scalaire. Module 1 : Découverte du produit scalaire Module 1 : Découverte du produit scalaire 1 ) Norme d un vecteur Définition : soit u un vecteur du plan et soient A et B deux points tels que : AB u La norme du vecteur u, notée u, est la distance AB Exemple

Plus en détail

Chapitre 13 Produit scalaire (2) Applications

Chapitre 13 Produit scalaire (2) Applications Chapitre 13 Produit scalaire (2) Applications Ex 1 Soit ABCD un losange de côté 5 avec AC=4. 1. Calculer la longueur BD. 2. Calculer les produits scalaires suivants : a. AB AC ; b. AB c. AB CD ; AD ; d.

Plus en détail

LE PRODUIT SCALAIRE I) COMPLEMENT ET ACTIVITES. 1) La mesure algébrique. 2) Activités. 1.1 Définition et propriétés Définition :

LE PRODUIT SCALAIRE I) COMPLEMENT ET ACTIVITES. 1) La mesure algébrique. 2) Activités. 1.1 Définition et propriétés Définition : LE PRODUIT SCALAIRE I) COMPLEMENT ET ACTIVITES 1) La mesure algébrique 1.1 Définition et propriétés Définition : Soit (D) (O,I) une droite graduée ; M et N deux points sur la droite (D) d abscisses respectifs

Plus en détail

Ch.8 : Produit scalaire

Ch.8 : Produit scalaire 1 e - programme 011 - mathématiques ch8 - cours Page 1 sur 7 (D après Hachte - Déclic 011 ch9) 1 PRODUIT SCALAIRE DE DEUX VECTEURS 11 Deux définitions géométriques équivalentes DÉFINITION 1 Ch8 : Produit

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE DANS V 2

PRODUIT SCALAIRE DANS V 2 I) RAPPELLE 1) Définition du produit scalaire. 1.1 Mesure algébrique : PRODUIT SCALAIRE DANS V Soit (D) (O,I) une droite graduée ; M et N deux points sur la droite (D) d abscisses respectifs x M et x N

Plus en détail

CHAPITRE 6 : PRODUIT SCALAIRE

CHAPITRE 6 : PRODUIT SCALAIRE CHPITRE 6 : PRODUIT SCLIRE I. Produit scalaire de deux vecteurs dans le plan 1. Généralités Définition : Soit u et v deux vecteurs du plan non nuls, et, B, C trois points du plan tels que Le produit scalaire

Plus en détail

Année Produit scalaire. l angle orienté délimité par les vecteurs AB. v le nombre réel défini par : 1 u. v = u + v 2. v 2 ).

Année Produit scalaire. l angle orienté délimité par les vecteurs AB. v le nombre réel défini par : 1 u. v = u + v 2. v 2 ). Chap 8 : Produit scalaire I. Définitions Rappels : Si u = AB alors u = AB. Si ; j est une base orthonormale et si u (x, y alors : On note AB ; AC l angle orienté délimité par les vecteurs AB u = x 2 +

Plus en détail

CHAPITRE 9 : Produit scalaire

CHAPITRE 9 : Produit scalaire CHAPITRE 9 : Produit scalaire 1 Produit scalaire, propriétés de calcul et orthogonalité... 2 1.1 Notion de produit scalaire de deux vecteurs... 2 1.2 Un cas simple : les deux vecteurs sont colinéaires...

Plus en détail

Corrigé. Exercice 67 D après la formule du cours, u v = 1 ( Exercice 68. Exercice 69. QCM d auto-évaluation sur le produit scalaire

Corrigé. Exercice 67 D après la formule du cours, u v = 1 ( Exercice 68. Exercice 69. QCM d auto-évaluation sur le produit scalaire Lycée Louise Michel Gisors) 1S Corrigé QCM d auto-évaluation sur le produit scalaire Exercice 67 D après la formule du cours, u v = 1 u + v u v ). On applique avec u = AB et v = BC. 1 On obtient : AB BC

Plus en détail

Produit scalaire de deux vecteurs de l espace. 1 Rappels sur le produit scalaire de deux vecteurs du plan

Produit scalaire de deux vecteurs de l espace. 1 Rappels sur le produit scalaire de deux vecteurs du plan Produit scalaire de deux vecteurs de l espace 1 Rappels sur le produit scalaire de deux vecteurs du plan 1.1 Définition Soit u et v deux vecteurs du plan. Si u = 0 ou v = 0, alors u v = 0 (Attention! On

Plus en détail

5. Trigonométrie, produit scalaire, produit vectoriel, exercices

5. Trigonométrie, produit scalaire, produit vectoriel, exercices 5. Trigonométrie, produit scalaire, produit vectoriel, exercices 1. Soit un triangle ABC tel que AB =, BC = 4 et ÂBC = π 3. Déterminer AC.. Soit un triangle ABC tel que AB = 4, AC = 3. L angle BAC vaut

Plus en détail

On peut aussi trouver une équation cartésienne de la médiatrice de [AB] en écrivant que M (d) si AM = BM ou bien AM 2 = BM 2

On peut aussi trouver une équation cartésienne de la médiatrice de [AB] en écrivant que M (d) si AM = BM ou bien AM 2 = BM 2 1S Corrigé DS n o 9 Durée :h Exercice 1 ( 5,5 points ) Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points A(3; 1), B(; ) et C( ; 1). 1. Déterminer une équation de la droite (d 1 ), médiatrice de

Plus en détail

1 Norme d un vecteur. 2 Produit scalaire. 2.1 Definition. #» u + #» v 2 #» u 2 #» v 2 ) = #» u #» v cos( #» u, #» v )

1 Norme d un vecteur. 2 Produit scalaire. 2.1 Definition. #» u + #» v 2 #» u 2 #» v 2 ) = #» u #» v cos( #» u, #» v ) 1 Norme d un vecteur Définition 1. Soit #» u un vecteur, A et B deux points du plan tels que #» AB = #» u. On appelle norme du vecteur #» u, que l on note #» u, la longueur du segment [AB] : #» u = AB

Plus en détail

Produit scalaire de deux vecteurs

Produit scalaire de deux vecteurs Index Prérequis... 2 I- Présentation du produit scalaire... 2 I-1- Vocabulaire... 2 I-2- Quoi, pourquoi, comment?... 2 I-3- Quelques calculs :... 3 I-3-1- Travail d'une force... 3 1er cas : La force est

Plus en détail

Méthodes sur le produit scalaire

Méthodes sur le produit scalaire Méthodes sur le produit scalaire G. Petitjean Lycée de Toucy 10 juin 2007 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin 2007 1 / 32 1 connaître les différentes façons de calculer

Plus en détail

Chapitre 8 Produit scalaire.

Chapitre 8 Produit scalaire. Chapitre 8 Produit scalaire I - Définitions équivalentes Origine du produit scalaire (Physique) Le travail d une force : W AB ( = Calculer le travail de la force F 1 d intensité 3 et le travail de la force

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE. I Produit scalaire : définition. Définition première expression du produit scalaire ( voir animation ) Remarques ( voir animation )

PRODUIT SCALAIRE. I Produit scalaire : définition. Définition première expression du produit scalaire ( voir animation ) Remarques ( voir animation ) PRODUIT SCLIRE I Produit scalaire : définition Définition première expression du produit scalaire ( voir animation ) Soient et v deux vecteurs du plan. On considère trois points O, et tels que : O = u

Plus en détail

On se place dans un repère orthonormé (O ; i, j ) du plan.

On se place dans un repère orthonormé (O ; i, j ) du plan. Première S Produit scalaire et applications Année scolaire 01/013 I) Produit scalaire et orthogonalité : On se place dans un repère orthonormé (O ; i, j ) du plan. 1) Définition analytique du produit scalaire

Plus en détail

Chapitre 8 Produit scalaire

Chapitre 8 Produit scalaire Chapitre 8 Produit scalaire I. Produit scalaire 1) Norme d'un vecteur Soit u un vecteur du plan, et soit A et B deux points du plan tels que u= AB. La norme du vecteur u, notée u, est la longueur du segment

Plus en détail

Produit scalaire dans l espace

Produit scalaire dans l espace Vallon 2 février 2016 Vallon 2 février 2016 1 / 13 Table : 1 2 Produit scalaire et orthogonalité dans l espace 3 Equations cartésiennes d un plan 4 Positions relatives de droites et de plans Vallon 2 février

Plus en détail

Applications du Produit Scalaire ( En première S )

Applications du Produit Scalaire ( En première S ) Applications du Produit Scalaire ( En première S ) Dernière mise à jour : Mercredi 1 Décembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 010-011) 1 J aimais et j aime encore les

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE. I Produit scalaire. Définition ( voir animation ) Remarques ( voir animation ) Configurations fondamentales.

PRODUIT SCALAIRE. I Produit scalaire. Définition ( voir animation ) Remarques ( voir animation ) Configurations fondamentales. PRODUIT SCALAIRE I Produit scalaire Définition ( voir animation ) Soient et deux vecteurs du plan. On considère trois points O, A et tels que : OA = u et O =. On appelle produit scalaire du vecteur par

Plus en détail

APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE. I et

APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE. I et APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE Cours Première S 1 Calculs de longueurs 1) Théorème de la médiane Théorème 1 : Soit I le milieu du segment [ BC ] Alors BC AB + AC = AI + Démonstration : On a : AB = AB

Plus en détail

CHAPITRE G: Produit scalaire dans l'espace

CHAPITRE G: Produit scalaire dans l'espace CHAPITRE G: Produit scalaire dans l'espace plan I - Rappels de première sur le produit scalaire dans le A) Dénitions et propriété Définition 1: - Si u et v sont deux vecteurs non nuls tel que u = AC. On

Plus en détail

Chapitre 10 : Le Produit Scalaire

Chapitre 10 : Le Produit Scalaire Chapitre 10 : Le Produit Scalaire A) Définitions et cas particuliers 1) Rappels a) Norme d'un vecteur La norme d'un vecteur est sa longueur. Par exemple, la norme du vecteur AB la longueur AB, ou encore

Plus en détail

v = 3 v = 3 4 cos( 6 ) = 12 2 = 6 Le produit scalaire, comme je vous l ai dit en introduction, permet de démontrer l orthogonalité de deux vecteurs.

v = 3 v = 3 4 cos( 6 ) = 12 2 = 6 Le produit scalaire, comme je vous l ai dit en introduction, permet de démontrer l orthogonalité de deux vecteurs. Produit scalaire dans l espace L année dernière, nous avions vu le produit scalaire dans un espace de deux dimensions. Nous allons généraliser cette notion dans l espace à trois dimension. Je vais d abord

Plus en détail

La géométrie dans l espace

La géométrie dans l espace Chapitre 2 terminale S La géométrie dans l espace 1 Vecteurs de l espace : La notion de vecteur du plan se généralise dans l espace. 1) Caractérisation : a) On donne deux points de l espace et, distincts.

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE DANS L ESPACE.

PRODUIT SCALAIRE DANS L ESPACE. PRODUIT SCALAIRE DANS L ESPACE. I. Produit scalaire dans l espace : 1) Repères orthonormés de l espace : Un repère (O ; I ; J ; K) de l espace est orthonormé lorsque les droites (OI), (OJ) et (OK) sont

Plus en détail

Chapitre VII. Produit scalaire. Activité introductive

Chapitre VII. Produit scalaire. Activité introductive Chapitre VII Produit scalaire VII1 VII11 Introduction Activité introductive EXERCICE I A, B, C sont trois points et a, b, c désignent respectivement les distances : BC ; CA ; AB Partie A Extension du théorème

Plus en détail

Produit scalaire. VECTEURS POINTS ( u = AC = AB. avec H le projeté orthogonal de C sur (AB). [= ± AB AH car AB sont colinéaires] AC = AB AC cos BAC

Produit scalaire. VECTEURS POINTS ( u = AC = AB. avec H le projeté orthogonal de C sur (AB). [= ± AB AH car AB sont colinéaires] AC = AB AC cos BAC Produit scalaire I. Produit scalaire dans le plan (rappels de 1 ère S). def : 4 définitions équivalentes du produit scalaire : 1 u. v = u. v avec v le projeté orthogonal de v sur u. [= ± u v car u et v

Plus en détail

Première S chapitre 11 : Applications du produit scalaire

Première S chapitre 11 : Applications du produit scalaire SOMMAIRE XI. 1. VECTEUR NORMAL A UNE DROITE... THEOREME : VECTEUR DIRECTEUR... DEFINITION : VECTEUR NORMAL... THEOREME : DROITE ET VECTEUR NORMAL... EXERCICES :... 3 XI.. CARACTERISATION D UN CERCLE...

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE. , noté u.

PRODUIT SCALAIRE. , noté u. 1 PRODUIT SCLIRE I. Définition et propriétés 1) Norme d'un vecteur Définition : Soit un vecteur u et deux points et B tels que u B. La norme du vecteur u, notée u, est la distance B. ) Définition du produit

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE DANS L ESPACE

PRODUIT SCALAIRE DANS L ESPACE PRODUIT SCALAIRE DANS L ESPACE Géométrie - Chapitre 4 Table des matières I Norme d un vecteur de l espace 2 I 1 s.............................................. 2 I 2 Norme et distance.........................................

Plus en détail

Chap 13 Application du produit scalaire.

Chap 13 Application du produit scalaire. Chap 13 Application du produit scalaire. Table des matières I. Projeté orthogonal d un vecteur sur un axe... 1 II. Equations cartésiennes dans un repère orthonormé... 1 1. Equation cartésienne d une droite...

Plus en détail

Produit scalaire. v =

Produit scalaire. v = Produit scalaire Le produit scalaire est un outils très puissant utilisé sur des vecteurs. Il permet notamment de montrer que deux vecteurs sont perpendiculaire. Il est très souvent utilisé en physique.

Plus en détail

Première S2 DEVOIR SURVEILLE N 5 Mardi 25 mars 2008 Durée : 1h

Première S2 DEVOIR SURVEILLE N 5 Mardi 25 mars 2008 Durée : 1h Première S DEVOIR SURVEILLE N 5 Mardi 5 mars 008 Durée : 1h Exercice 1 : (1,5 pts) Associer à chaque figure le bon calcul du produit scalaire de a) AB b) -AB c) 0 d) AB e) - AB AC (on ne demande pas ici

Plus en détail

Produit scalaire. 1 Produit scalaire de deux vecteurs. 1.1 Produit scalaire et normes. Activité : Kitesurf "planche + cerf-volant"

Produit scalaire. 1 Produit scalaire de deux vecteurs. 1.1 Produit scalaire et normes. Activité : Kitesurf planche + cerf-volant 1 Produit scalaire de deux vecteurs ctivité : Kitesurf "planche + cerf-volant" 1.1 Produit scalaire et normes Définition 1 (Norme). Produit scalaire Soit u un vecteur et et deux points du plan tels que

Plus en détail

Produit scalaire. 1 Produit scalaire de deux vecteurs. 1.1 Produit scalaire et normes. Activité : Kitesurf "planche + cerf-volant"

Produit scalaire. 1 Produit scalaire de deux vecteurs. 1.1 Produit scalaire et normes. Activité : Kitesurf planche + cerf-volant 1 Produit scalaire de deux vecteurs ctivité : Kitesurf "planche + cerf-volant" 1.1 Produit scalaire et normes Définition 1 (Norme). Produit scalaire Soit u un vecteur et et deux points du plan tels que

Plus en détail

Produit scalaire, cours, première S

Produit scalaire, cours, première S Produit scalaire, cours, première S F.Gaudon 2 mai 2016 Table des matières 1 Norme d'un vecteur 2 2 Produit scalaire 2 3 Orthogonalité de vecteurs 4 4 Produit scalaire et projection orthogonale 4 5 Propriétés

Plus en détail

Produit scalaire. 1. Introduction p1 2. Produit scalaire p6. Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés

Produit scalaire. 1. Introduction p1 2. Produit scalaire p6. Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés 1. Introduction p1 2. p6 Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés 1. Introduction Le plan est orienté, une unité de longueur est fixée, l'unité de mesure des angles est le radian. (O ; i, j)

Plus en détail

Classe de première Du collège au lycée : Fiche de géométrie

Classe de première Du collège au lycée : Fiche de géométrie Classe de première Du collège au lycée : Fiche de géométrie Les outils collège : Tous les axiomes d Euclide, les résultats sur les angles ; les quadrilatères particuliers ; les triangles isocèles ; équilatéraux

Plus en détail

Produit scalaire dans l espace

Produit scalaire dans l espace Chapitre G Produit scalaire dans l espace Contenus Capacités attendues Commentaires Produit scalaire Produit scalaire de deux vecteurs dans l espace : définition, propriétés. Vecteur normal à un plan.

Plus en détail

Produit scalaire. Définition. Définition. Théorème. Théorème. I. Définition et expressions. 1) Norme d'un vecteur. AB est la distance AB.

Produit scalaire. Définition. Définition. Théorème. Théorème. I. Définition et expressions. 1) Norme d'un vecteur. AB est la distance AB. Produit scalaire. I. et expressions. 1) Norme d'un vecteur Une unité de longueur étant choisie, la norme d un vecteur u u AB AB. AB est la distance AB. On note Conséquences : équivaut à Pour tout nombre

Plus en détail

Livre : Chapitre 12 p. 319

Livre : Chapitre 12 p. 319 TABLE DES MATIÈRES Produit scalaire dans l espace D. Péron 14 Livre : Chapitre 12 p. 319 Table des matières 1 Diérentes expressions du produit scalaire.................................. 2 2 Orthogonalité

Plus en détail

u v = u v cos( u, v = OA i OB = OA OB cos OA;OB et OA = OA Définition géométrique : Si H est le projeté orthogonal de B sur (OA), alors :

u v = u v cos( u, v = OA i OB = OA OB cos OA;OB et OA = OA Définition géométrique : Si H est le projeté orthogonal de B sur (OA), alors : 7/05/07 Chapiitre 13 : Géométriie dans ll espace Premiière Partiie :: Produiit Scallaiire I.. Rappels dans le l plan 11)) Difffféérreenntteess eexpprreessssi ioonnss 2)) Eqquuaatti ioonnss drrooi itteess

Plus en détail

Produit scalaire. Expressions et propriétés du produit scalaire

Produit scalaire. Expressions et propriétés du produit scalaire Produit scalaire 1ère STI2D I - Expressions et propriétés du produit scalaire 1 Définitions Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls u et v, noté u v, est le nombre, u v = u. u.cos ( u, v. u v θ u

Plus en détail

Exercices sur le produit scalaire

Exercices sur le produit scalaire Correction 1 1. En remarquant l égalité suivante : AC AB + BC On obtient les coordonnées du vecteur : AC Ä x + x ; y + y ä. On a : AB» x + y BC» x + y AC» (x + x ) + (y + y ) 3. Le théorème de Pythagore

Plus en détail

BC = 3 4 AB ( BA 8

BC = 3 4 AB ( BA 8 1 e S - programme 011 mathématiques ch8 cahier élève Page 1 sur 6 Ch8 : Produit scalaire Exercice n A page 5 : Calcul vectoriel Reproduire la figure et compléter le texte On considère le triangle ABC donné

Plus en détail

Leçon n 17 : Produit scalaire. Présentation : Célia Giraudeau Questions : Léon Habert

Leçon n 17 : Produit scalaire. Présentation : Célia Giraudeau Questions : Léon Habert Leçon n 17 : Produit scalaire Présentation : Célia Giraudeau Questions : Léon Habert Lundi 5 Mars 2018 Prérequis Géométrie plane et dans l espace Angles Vecteurs Repère orthonormé On note E un espace vectoriel

Plus en détail

On appelle H la projection orthogonale de A sur la droite (BC).

On appelle H la projection orthogonale de A sur la droite (BC). Première S 2010-2011 Exercices sur le produit scalaire, équations de droite et de cercles Exercice 1 : Distance d'un point à une droite. On se donne une droite ( ) dont l'équation cartésienne est de la

Plus en détail

7 Produit scalaire. 7.1 Norme d un vecteur. 7.2 Produit scalaire

7 Produit scalaire. 7.1 Norme d un vecteur. 7.2 Produit scalaire 7 Produit scalaire 7. Norme d un vecteur Définition : Pour tout vecteur la norme du vecteur æ u, notée Î æ u Î, est la longueur où et sont deux points tels que æ u = æ. Propriété :Si æ u est un vecteur

Plus en détail

CORRECTION DES EXERCICES SUR LE PRODUIT SCALAIRE

CORRECTION DES EXERCICES SUR LE PRODUIT SCALAIRE Cité scolaire Claude Monet - 1S6 Année scolaire 016-017 Mathématiques CORRECTION DES EXERCICES SUR LE PRODUIT SCALAIRE Exercice 4 : Soit H le projeté orthogonal de O sur. La droite OH est alors une hauteur

Plus en détail

1 Rappels sur le produit scalaire dans le plan

1 Rappels sur le produit scalaire dans le plan TS Chapitre 07 Produit scalaire dans l Espace Droites et plans de l espace 1 Rappels sur le produit scalaire dans le plan 11 Définition Définition : Soit u et v deux vecteurs non nuls Soit A, B et C des

Plus en détail

ORTHOGONALITE ET PRODUIT SCALAIRE DANS L ESPACE

ORTHOGONALITE ET PRODUIT SCALAIRE DANS L ESPACE ORTHOGONALITE ET PRODUIT SCALAIRE DANS L ESPACE I- Orthogonalité de droites et de plans 1. Droites orthogonales Définition Soit d 1 et d 2 deux droites de l espace. On dit que d 1 et d 2 sont orthogonales

Plus en détail

Chapitre 3 GEO 2. Produit scalaire

Chapitre 3 GEO 2. Produit scalaire Chapitre 3 GEO Produit scalaire À la fin de ce td, vous devez être capale de : Calculer le produit scalaire de deux vecteurs : à l aide des normes et d un angle ; à l aide d une projection orthogonale

Plus en détail

1 Barycentre de deux points pondérées.

1 Barycentre de deux points pondérées. 1ère STI - Chapitre 7: Géométire Introduction Exercices de révision sur les vecteurs : 35, 37, 38 et 39 page 325. 1 Barycentre de deux points pondérées. 1.1 Présentation du problème. 2kg 5kg? 4kg 1kg On

Plus en détail

Exercices Trigonométrie

Exercices Trigonométrie I Le cercle trigonométrique Savoir-faire 1 : Associer nombres réels et points du cercle trigonométrique Exercice 1 Tracer le cercle trigonométrique, puis placer les points A, B, C et D, images par enroulement

Plus en détail

Le produit scalaire. II) Propriétés du produit scalaire 2 a) Symétrie et bilinéarité... 2 b) Orthogonalité... 3

Le produit scalaire. II) Propriétés du produit scalaire 2 a) Symétrie et bilinéarité... 2 b) Orthogonalité... 3 Le produit scalaire Table des matières I) Définitions et propriétés 1 a) Norme d un vecteur............................................ 1 b) de deux vecteurs..................................... 1 c) Autres

Plus en détail

H. DERFOUL Janvier _-

H. DERFOUL Janvier _- H DERFOUL Janvier 018 -_- wwwformacourscom - Pré requis & Mise à niveau - Mathématiques du Secondaire - Page 1 Sommaire Chapitre 0 3 Pré-requis et mise à niveau 3 Partie VI 3 Exercices 3 Contrôle des connaissances

Plus en détail

DEMONTRER. 1) Démontrer qu un point est le milieu d un segment. 2) Démontrer que deux droites sont parallèles

DEMONTRER. 1) Démontrer qu un point est le milieu d un segment. 2) Démontrer que deux droites sont parallèles DEMONTRER 1) Démontrer qu un point est le milieu d un segment 2) Démontrer que deux droites sont parallèles 3) Démontrer que deux droites sont perpendiculaires 4) Démontrer qu un triangle est rectangle

Plus en détail

Extension du produit scalaire à l espace

Extension du produit scalaire à l espace Extension du produit scalaire à l espace Table des matières 1 Rappel du produit scalaire dans le plan 2 1.1 Définitions.................................................. 2 1.2 Orthogonalité................................................

Plus en détail

Exercices proposés : semaine n o 7

Exercices proposés : semaine n o 7 Prépa ATS Exercices proposés : semaine n o 7 I. Géométrie dans le plan 1 Soit ABC un triangle rectangle en A et H le pied de la hauteur issue de A. Montrer que : 1. BA 2 = BH BC 2. CA 2 = CH CB 3. AH 2

Plus en détail

NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S

NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S Exercice 1 R D Q C Soit un carré ABCD. On construit un rectangle AP QR tel que : P et R sont sur les côtés [AB] et [AD] du carré ; AP = DR. Le problème a pour objet de montrer que les droites (CQ) et (P

Plus en détail

AB, AC. k.u = I) Généralités: Une unité de longueur est fixée dans tout ce cours, le cm. par exemple. 1) Définition: On retiendra:

AB, AC. k.u = I) Généralités: Une unité de longueur est fixée dans tout ce cours, le cm. par exemple. 1) Définition: On retiendra: PRODUIT SCALAIRE DANS E YOUSSEFBOULILA I) Généralités: Une unité de longueur est fixée dans tout ce cours, le cm. par exemple 1) Définition: On appelle produit scalaire des deux vecteurs AB le réel noté:

Plus en détail

Géométrie vectorielle et analytique plane

Géométrie vectorielle et analytique plane Géométrie vectorielle et analytique plane 1 Chapitre 1 Produit scalaire 1.1 Définitions produit scalaire et norme Le produit scalaire est une notion importante en géométrie pour traiter des questions

Plus en détail

Chapitre 1. Produit scalaire. 1.1 Définitions produit scalaire et norme

Chapitre 1. Produit scalaire. 1.1 Définitions produit scalaire et norme Géométrie métrique plane 1 Chapitre 1 Produit scalaire 1.1 Définitions produit scalaire et norme Le produit scalaire est une notion importante en géométrie pour traiter des questions de longueurs, angles

Plus en détail

MATHEMATIQUES. Produit scalaire et applications : sujet d entraînement 1 (corrigé) AD 2

MATHEMATIQUES. Produit scalaire et applications : sujet d entraînement 1 (corrigé) AD 2 Lycée Louise Michel (Gisors) Première S MATHEMATIQUES Produit scalaire et applications : sujet d entraînement 1 (corrigé) Exercice 1 1. On utilise la relation de Chasles. AC =. Calcul de AC BD. AB + BC

Plus en détail

Le produit scalaire et ses applications

Le produit scalaire et ses applications Le produit scalaire et ses applications Lycée du golfe de Saint Tropez Année 2017/2018 1 Définitions et propriétés Norme d un vecteur de deux vecteurs Autres expressions du produit scalaire 2 Symétrie

Plus en détail

APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE

APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE Lycée Stendhal Première S M Obaton L équipe des professeurs de mathématiques Lycée Stendhal En mathématique, c est comme dans un roman policier ou un épisode de Columbo:

Plus en détail

Angles orientés. I - Mesure d un angle en radian. II - Angle orienté d un couple de vecteurs. π π M +

Angles orientés. I - Mesure d un angle en radian. II - Angle orienté d un couple de vecteurs. π π M + ngles orientés 1ère S I - Mesure d un angle en radian M + α Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 orienté. O Suruncercletrigonométrique,lalongueurdel arc M est la mesure en radian de l angle

Plus en détail

Produit scalaire dans l'espace

Produit scalaire dans l'espace Produit scalaire dans l'espace Il y a de la géométrie dans l'espace au bac tous les ans. Dans tout ce chapitre, on se place dans un repère (O, ı, j, k ) orthonormal de l'espace. Introduction L'espace,

Plus en détail

4. Equations de droites, géométrie métrique, trigonométrie, exercices

4. Equations de droites, géométrie métrique, trigonométrie, exercices . Equations de droites, géométrie métrique, trigonométrie, exercices. On se donne des points par leurs coordonnées dans un repère du plan déterminé par des points O, E, et E. ) Ecrire une équation paramétrique

Plus en détail

Mathématique et Mécanique de Base

Mathématique et Mécanique de Base Mathématique et Mécanique de Base Pauline GERUS - Leila LEFEVBRE - Violaine SEVREZ Licence 1 STAPS BMC 51 2009-2010 Définition Repère = zone de référence Etablit en fonction des objectifs On choisit une

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE DANS LE PLAN (1/4) : DÉFINITION ET PREMIÈRES

PRODUIT SCALAIRE DANS LE PLAN (1/4) : DÉFINITION ET PREMIÈRES PRODUIT SCALAIRE DANS LE PLAN (/4) : DÉFINITION ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS Définition : Le projeté orthogonal d un point B sur une droite (OA) est le point H de la droite (OA) tel que (BH) (OA). Définition

Plus en détail

Produit dans le plan

Produit dans le plan Exercice ABC est un triangle isocèle de somme principal A et I le milieu du segment [BC]. H est le projeté orthogonal de I sur [AC] et J le milieu de [IH]. On cherche à établir que : AJ et BH sont orthogonales..

Plus en détail

1) En donnant toutes les justifications utiles, préciser la nature du triangle EAD et calculer la mesure de l angle géométrique EAD.

1) En donnant toutes les justifications utiles, préciser la nature du triangle EAD et calculer la mesure de l angle géométrique EAD. Date : 5/03/13 Classes : 1ère S Professeur : M PONS D.S.T. de mathématiques. Durée : 4 heures. Documents autorisés : calculatrice seulement. Le barème (indicatif) est sur 30 points. Exercice 1 : Fonctions.

Plus en détail

FICHE DE RÉVISION DU BAC

FICHE DE RÉVISION DU BAC Introduction Programme selon les sections : - formules de trigonométrie, produit scalaire dans le plan : toutes sections - produit scalaire dans l espace : ST2A, S - vecteur normal : S Pré-requis : Vecteurs

Plus en détail

Le produit scalaire et ses applications

Le produit scalaire et ses applications Le produit scalaire et ses applications Lycée du golfe de Saint Tropez Année 2016/2017 Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Produit scalaire Année 2016/2017 1 / 1 Première S ( Lycée du golfe de

Plus en détail

Géométrie dans le plan et dans l espace

Géométrie dans le plan et dans l espace Chapitre 13 Géométrie dans le plan et dans l espace La géométrie est l étude des figures du plan et de l espace. Nous allons donc en voir quelques exemples : les vecteurs, les droites, les cercles et les

Plus en détail

1.I.2 - Chap. 03 Géométrie élémentaire du plan 1 / 5. du plan : Exercices

1.I.2 - Chap. 03 Géométrie élémentaire du plan 1 / 5. du plan : Exercices 1.I.2 - Chap. 03 Géométrie élémentaire du plan 1 / 5 Géométrie élémentaire du plan : Exercices Exercice 1 On munit le plan d un repère orthonormal direct R = (O; #» ı, #» j ). On note A le point de coordonnées

Plus en détail

Plan vectoriel. 1 Définitions. Opérations du plan vectoriel. Arthur LANNUZEL. http ://utbmal.chez-alice.fr

Plan vectoriel. 1 Définitions. Opérations du plan vectoriel. Arthur LANNUZEL. http ://utbmal.chez-alice.fr 1 Arthur LANNUZEL le 13 Décembre 2005 http ://utbmal.chez-alice.fr Plan vectoriel 1 Définitions Dans le plan affine R 2, considérons l ensemble B des bipoints (A, B) avec A, B R 2. Sur cet ensemble, deux

Plus en détail

UNIVERSITE DE LIEGE EXAMEN D ADMISSION AUX ETUDES D INGENIEUR CIVIL. Enoncés et solutions de l examen de première session 2012

UNIVERSITE DE LIEGE EXAMEN D ADMISSION AUX ETUDES D INGENIEUR CIVIL. Enoncés et solutions de l examen de première session 2012 UNIVERSITE DE LIEGE EXAMEN D ADMISSION AUX ETUDES D INGENIEUR CIVIL Géométrie et géométrie analytique Enoncés et solutions de l examen de première session 01 Enoncés On demandait de résoudre trois questions

Plus en détail

CHAPITRE II GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE PLANE. Solution. Il suffit de montrer l implication : AB = A' B' AA' = BB'.

CHAPITRE II GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE PLANE. Solution. Il suffit de montrer l implication : AB = A' B' AA' = BB'. CHAPITRE II GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE PLANE 1.1. Exercices traités. 1. VECTEURS DU PLAN. EXERCICE 1. Soient A,B,A',B' quatre points du plan. Établir que : AB = A' B' AA' = BB'. Solution. Il suffit de montrer

Plus en détail

Première S EXERCICES DE RÉVISIONS

Première S EXERCICES DE RÉVISIONS FONCTIONS x E1 : Après avoir précisé l ensemble de définition, étudier la parité de f(x) = 2x x² - E2 : Montrer que la fonction f définie sur R par f(x) = -5 cos (πx + 3) est périodique de période 2. E3

Plus en détail

1 Produit scalaire de deux vecteurs

1 Produit scalaire de deux vecteurs Exposé 34 : Définitions et propriétés du produit scalaire dans le plan; expression dans une base orthonormale. Application au calcul de distances et d angles. Prérequis 1 : -Notion de distance entre points

Plus en détail