Le produit scalaire et ses applications

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1 Le produit scalaire et ses applications Lycée du golfe de Saint Tropez Année 2016/2017 Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Produit scalaire Année 2016/ / 1

2 Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Produit scalaire Année 2016/ / 1

3 I) Définitions et propriétés a) Norme d un vecteur Définition Soit u un vecteur du plan, et soit A etb deux points du plan tel que u = AB La norme du vecteur u, est la longueur du segment [AB]. On a: u = AB =AB. Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Produit scalaire Année 2016/ / 1

4 I) Définitions et propriétés a) Norme d un vecteur Définition Soit u un vecteur du plan, et soit A etb deux points du plan tel que u = AB La norme du vecteur u, est la longueur du segment [AB]. On a: u = AB =AB. Propriété Dans un repère orthonormé, si u a pour coordonnées u = x 2 + y 2 ( ) x alors y Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Produit scalaire Année 2016/ / 1

5 Propriétés Propriétés Si u et v sont deux vecteurs du plan. Pour tout nombre réel k, on a = k ; k u u u + v u + v (Inégalité triangulaire); u =0 u = 0. Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Produit scalaire Année 2016/ / 1

6 Calculer une norme dans un repère orthonormé ( Soit A(2 ; 2) et B( 1 ; 2) deux points dans un repère orthonormé O, ı, ) j. Soit u le vecteur dont un représentant est le vecteur AB. Calculer les normes des vecteurs u, u et 3 u. Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Produit scalaire Année 2016/ / 1

7 Calculer une norme dans un repère orthonormé ( Soit A(2 ; 2) et B( 1 ; 2) deux points dans un repère orthonormé O, ı, ) j. Soit u le vecteur dont un représentant est le vecteur AB. Calculer les normes des vecteurs u, u et 3 u. Correction: ) On a ( 1 2 AB ; donc ( 3 u 2 ( 2) 4 On utilise la formule du cours : u ). = x 2 + y 2 = ( 3) = 9+16= 25=5. De plus, pour tout réel k, on a k u = k u. Par conséquent, u = 1 u = u =5 et 3 u =3 u =15. Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Produit scalaire Année 2016/ / 1

8 b) Produit scalaire de deux vecteurs Définition Soit u et v deux vecteurs du plan. On appelle produit scalaire de u et v noté u v le nombre réel défini par: ( ) 2 u v = u + v u v. 2 Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Produit scalaire Année 2016/ / 1

9 b) Produit scalaire de deux vecteurs C Définition Soit u et v deux vecteurs du plan. On appelle produit scalaire de u et v noté u v le nombre réel défini par: ( ) 2 u v = u + v u v. 2 Remarque: Soit A, B et C trois points du plan tels que u = AB et v = AC on a: 1 u v = AB AC = 2 ( AB 2 + AC 2 BC 2). v u v B A u Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Produit scalaire Année 2016/ / 1

10 c) Autres expressions du produit scalaire 1) Expression analytique du produit scalaire Théorème: Expression dans un repère orthonormé Dans un repère orthonormé, si ( ) x u a pour coordonnées et v a pour y ( x ) coordonnées alors u v = xx + yy y Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Produit scalaire Année 2016/ / 1

11 c) Autres expressions du produit scalaire 1) Expression analytique du produit scalaire Théorème: Expression dans un repère orthonormé Dans un repère orthonormé, si ( ) x u a pour coordonnées et v a pour y ( x ) coordonnées alors u v = xx + yy y Carré scalaire u u = u 2 s appelle le carré scalaire du vecteur u. Pour tout u on a: u 2 = u 2 Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Produit scalaire Année 2016/ / 1

12 2) En fonction des normes et de l angle Autre expression Si u et v sont deux vecteurs non nuls alors u v = u v cos ( u, v ) Remarque: Dans la pratique, on utilise une mesure θ de l angle géométrique associé aux vecteurs u et v. Faire les exercices 1, 2, 5 et 7 page 220 Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Produit scalaire Année 2016/ / 1

13 II) Propriétés du produit scalaire a) Symétrie et bilinéarité Propriétés u, v et w étant des vecteurs du plan et k étant un nombre réel. (k u ) v = u (k v )=k( u v ); ( u + v ) w = u w + v w ; u ( v + w )= u v + u w. Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Produit scalaire Année 2016/ / 1

14 II) Propriétés du produit scalaire a) Symétrie et bilinéarité Propriétés u, v et w étant des vecteurs du plan et k étant un nombre réel. (k u ) v = u (k v )=k( u v ); ( u + v ) w = u w + v w ; u ( v + w )= u v + u w. Egalités remarquables u et v étant des vecteurs du plan et k étant un nombre réel. ( u + v ) 2 = u u v + v 2 soit u + v 2 = u u v + v 2 ; ( u v ) 2 = u 2 2 u v + v 2 soit u v 2 = u 2 2 u v + v 2. Faire les exercices 45, 47 et 52 page 230 Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Produit scalaire Année 2016/ / 1

15 b) Orthogonalité Définition u = AB et v = CD étant deux vecteurs non nuls, dire que u et v sont orthogonaux signifie que les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires. Par convention, le vecteur nul 0 est orthogonal à tous les autres vecteurs. Propriété caractéristique Dire que deux vecteurs sont orthogonaux équivaut à dire que u v = 0. (AB) (CD) AB CD = 0 Faire les exercices 16 page 223 et les exercices 56,58 et 60 page 231 Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Produit scalaire Année 2016/ / 1

16 a) Calculer de longueurs et des angles Théorème de Pythagore généralisé ABC est un triangle quelconque. BC 2 = AB 2 + AC 2 2AB AC cos( BAC) Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Produit scalaire Année 2016/ / 1

17 a) Calculer de longueurs et des angles Théorème de Pythagore généralisé ABC est un triangle quelconque. BC 2 = AB 2 + AC 2 2AB AC cos( BAC) Démonstration D après la relation de Chasles BC = BA + AC = AC AB Donc BC 2 = ( AC AB ) 2 = Faire les exercices 1, 2 et 4 page 245 Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Produit scalaire Année 2016/ / 1

18 Théorème de la médiane ABC est un triangle quelconque, I est le milieu de [BC]. La longueur de la médiane AI vérifie: AB 2 + AC 2 = 2MI 2 + BC2 2 Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Produit scalaire Année 2016/ / 1

19 b) Equation cartésienne de cercle Propriété Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Une équation du cercle de centreω(a;b) et de rayon R est (x a) 2 + (y b) 2 = R 2 Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Produit scalaire Année 2016/ / 1

20 c) Trigonométrie Les formules d addition Quels que soient les nombres a et b : cos(a b)=cosa cosb+sina sinb et sin(a b)=sina cosb cosa sinb cos(a+b)=cosa cosb sina sinb et sin(a+b)=sina cosb+cosa sinb Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Produit scalaire Année 2016/ / 1

21 Démonstration O J B b a A I Démonstration ( Dans le repère O; OI, ) OJ, les vecteurs OA et OB ont pour coordonnées respectives: OA ( ) cosa sina et OB ( ) cosb sinb Pour établir la première formule, il suffit d écrire le produit scalaire OA OB ( de deux façons différentes en ) remarquant que l angle OA ; OB vaut b a. Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Produit scalaire Année 2016/ / 1

22 Les formules de duplication Quels que soient les nombres a et b : cos2a=cos 2 a sin 2 a et sin2a=2sinacosa cos2a=2cos 2 a 1 et cos2a=1 2sin 2 a cos 2 a= 1+cos2a et sin 2 a= 1 cos2a 2 2 Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Produit scalaire Année 2016/ / 1

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