INTRODUCTION : EDP ET FINANCE.

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Arlette Briand
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1 INTRODUCTION : EDP ET FINANCE. Alexandre Popier Université du Maine, Le Mans A. Popier (Le Mans) EDP et finance. 1 / 16

2 PLAN DU COURS 1 MODÈLE ET ÉQUATION DE BLACK SCHOLES 2 QUELQUES EXTENSIONS A. Popier (Le Mans) EDP et finance. 2 / 16

3 PLAN 1 MODÈLE ET ÉQUATION DE BLACK SCHOLES 2 QUELQUES EXTENSIONS A. Popier (Le Mans) EDP et finance. 3 / 16

4 ÉVALUATION ET COUVERTURE DE PRODUITS DÉRIVÉS. GESTION DE PORTEFEUILLE : suivre le prix de marché de l actif S t (action, taux, commodité, etc.) ; gérer un portefeuille autofinançant de valeur V t de la valeur initiale la prime π 0 ; surveiller le P&L final : V T h(s T ) (tracking error), où h(s T ) valeur (ou payoff) à la maturié T du contrat ; trouver π0 qui minimise le P&L (optimisation de portefeuille). BLACK ET SCHOLES (1973) : π 0 : prix du contrat à la date initiale ; portefeuille résultant : portefeuille de couverture ; Absence d opportunité d arbitrage : si P&L final nul, alors à toute date intermédiaire, prix du produit = valeur du portefeuille de couverture. A. Popier (Le Mans) EDP et finance. 4 / 16

la maturié T du contrat ; trouver π0 qui minimise le P&L (optimisation de portefeuille).

5 MODÈLE ET ÉQUATION DE BLACK ET SCHOLES. PARAMÈTRES : r > 0 : taux d intérêt (non risqué) ; σ > 0 : volatilité de l actif ; T > 0 : date de maturité du contrat ; h : R R : payoff du contrat. CONTRATS TYPES Option d achat : h(x) = (x K ) + = max(x K, 0) avec K prix d exercice. Option de vente : h(x) = (K x) +. Option digitale : h(x) = 1 [K,+ [ (x). A. Popier (Le Mans) EDP et finance. 5 / 16

de maturité du contrat ; h : R R : payoff du contrat.

6 MODÈLE ET ÉQUATION DE BLACK ET SCHOLES. THÉORÈME Le contrat est duplicable par un portefeuille dont la valeur à la date t est v(t, S t ), où v est solution de : pour (t, x) ]0, T [ R + v(t, x) t v(t, x) = h(x) σ2 x 2 2 v(t, x) v(t, x) x 2 + rx rv(t, x) = 0, x De plus il faut placer à chaque instant = x v(t, S t) sur l actif (Delta du produit dérivé), v(t, S t ) x v(t, S t) au taux r. A. Popier (Le Mans) EDP et finance. 5 / 16

solution de : pour (t, x) ]0, T [ R + v(t, x) t v(t, x) = h(x).

7 MODÈLE ET ÉQUATION DE BLACK ET SCHOLES. PROPOSITION (EN EXERCICE) ( v(t, x) = e rt u t, 1 )) (ln x (r σ2 σ 2 )t de u(t, x) t u(t, x) = e rt h u(t, x) 2 x 2 = 0, avec u solution sur [0, T ] R ( ( )) exp (r σ2 2 )T + σx. DÉFINITION L équation satisfaite par u est appelée équation de la chaleur avec donnée finale. BUTS DU COURS : théorique : existence, unicité des solutions. numérique : calcul de la solution, quelles sont les difficultés. A. Popier (Le Mans) EDP et finance. 5 / 16

= 0, avec u solution sur [0, T ] R ( ( )) exp (r σ2 2 )T + σx.

8 MODÈLE ET ÉQUATION DE BLACK ET SCHOLES. LES GRECQUES : sensibilités par rapport aux paramètres : Delta = = v x ; Gamma = Γ = 2 v x 2 ; Theta = Θ = v t ; Vega = v σ ; Rho = ρ = v r. Importance capitale dans des modèles plus aboutis. A. Popier (Le Mans) EDP et finance. 5 / 16

9 AVANTAGES ET LIMITES DU MODÈLE. AVANTAGES : Formules d évaluation fermées (voir cours sur l équation de la chaleur). Grecques calculables facilement. Très simple à résoudre numériquement (voir cours différences et élémens finis). INCONVÉNIENTS : Dépend (fortement) de σ non observable. Suppose la volatilité constante. A. Popier (Le Mans) EDP et finance. 6 / 16

10 VOLATILITÉ HISTORIQUE. STANDARD AND POORS (S&P) 500 : de janvier 1928 à août A. Popier (Le Mans) EDP et finance. 7 / 16

11 VOLATILITÉ HISTORIQUE. COURS DU YEN : par rapport au dollar d octobre 2000 à octobre A. Popier (Le Mans) EDP et finance. 7 / 16

12 VOLATILITÉ IMPLICITE. MARCHÉ LIQUIDE : deux prix pour une option d achat de strike K et de maturité T : C BS (x, t, T, K, σ) : prix calculé via Black-Scholes ; C obs (x, t, T, K ) : prix de marché fixé via l offre et la demande. PROBLÈME D INVERSION : C obs (x, t, T, K ) = C BS (x, t, T, K, σ impl ). A. Popier (Le Mans) EDP et finance. 8 / 16

BS (x, t, T, K, σ) : prix calculé via Black-Scholes ; C obs (x, t, T, K ) : prix de

13 COMPARAISON VOLATILITÉ ET VOLATILITÉ IMPLICITE. STANDARD AND POORS (SP) 500 : vol et vol implicite sur un an. A. Popier (Le Mans) EDP et finance. 9 / 16

14 SMILE. BLACK SCHOLES : volatilité constante incompatible avec le phénomène de smile : dépendance par rapport à T et K. A. Popier (Le Mans) EDP et finance. 10 / 16

15 PLAN 1 MODÈLE ET ÉQUATION DE BLACK SCHOLES 2 QUELQUES EXTENSIONS A. Popier (Le Mans) EDP et finance. 11 / 16

16 OPTIONS SUR MULTI SOUS-JACENTS. Version multi-dimensionnelle de l équation de Black-Scholes : pour (t, x) [0, T ] (R +) d v(t, x) t d i=1 v(t, x) = h(x). Σ i,j x i x j 2 v(t, x) x i x j + r d i=1 x i v(t, x) x i rv(t, x) = 0, Σ R d d : matrice symétrique positive dite de covariance. S applique aux options sur plusieurs sous-jacents (dites panier). DIFFICULTÉ NUMÉRIQUE : la dimension. A. Popier (Le Mans) EDP et finance. 12 / 16

17 NON LINÉARITÉ. Pénalisation de la revente instantanée : v(t, x) t σ2 x 2 2 v(t, x) v(t, x) x 2 + rx rv(t, x) x ( ) v(t, x) +γ = 0. x Taux d emprunt R différent du taux court r : v(t, x) t σ2 x 2 2 v(t, x) v(t, x) x 2 + rx rv(t, x) x ( ) v(t, x) +(R r) v(t, x) = 0. x DIFFICULTÉS THÉORIQUE ET NUMÉRIQUE : les termes non linéaires. A. Popier (Le Mans) EDP et finance. 13 / 16

18 VOLATILITÉ STOCHASTIQUE. MODÈLE DE FOUQUE-PAPANICOLAOU-SIRCAR (2000) : v t f (y)2 x 2 2 v v + r(t)(x x 2 x v) β2 2 v y 2 + ρβf (y)x 2 v x y + ( α(m y) βρ µ r(t) f (y) ) v y = 0. µ : dérive du sous-jacent, f (y) 2 : volatilité de sous-jacent, ρ : corrélation entre le sous-jacent et sa volatilité, β > 0 : volatilité de la volatilité, f (m) 2 : volatilité moyenne limite quand t + (m > 0), α > 0 : vitesse de retour à la moyenne. DIFFICULTÉ NUMÉRIQUE : la dimension. A. Popier (Le Mans) EDP et finance. 14 / 16

19 OPTIONS AMÉRICAINES. DÉFINITION : peuvent s exercer à n importe quelle date entre 0 et la maturité T. MODÈLE DE BLACK SCHOLES : pour (t, x) ]0, T [ R + [ v max t σ2 x 2 2 v v + r(x x 2 x avec v(t,.) = h. DÉFINITION On parle d inégalité variationnelle. ] v), h(x) v(t, x) = 0 DIFFICULTÉS : inégalités, frontière libre conditions de bord. A. Popier (Le Mans) EDP et finance. 15 / 16

MODÈLE DE BLACK SCHOLES : pour (t, x) ]0, T [ R + [ v max t + 1 2 σ2 x 2 2 v v + r(x x 2 x avec

20 OPTIONS PERPÉTUELLES. DÉFINITION : américaines sans date de maturité T. MODÈLE DE BLACK SCHOLES : pour x R σ2 x 2 2 v v + r(x x 2 x v) = 0 + conditions de bord... DÉFINITION On trouve une équation différentielle ordinaire. A. Popier (Le Mans) EDP et finance. 16 / 16

MODÈLE DE BLACK SCHOLES : pour x R + 1 2 σ2 x 2 2 v v + r(x x 2 x

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