Matrices ECS 1 MATRICES. Dans tout ce chapitre, K désigne l ensemble des réels ou des complexes. Les éléments de K seront appelés des scalaires.

Transcription

1 Mres - - ECS MTRCES Ds ou e hre, désge l esele des réels ou des olees es élées de sero elés des slres Défos Mres à lges e oloes Défo : Ue re es u leu de ores Elle es rérsée r so ore de lges oé, so ore de oloes oé e ses élées : o oe lélée de l -èe lge e de l -èe oloe : re es lors oée ou lus slee Eele : es ue re à lges e oloes 7,,, esele des res à lges e oloes es oé M, Deu res so égles s elles o le êe ore de lges, le êe ore de oloes e s elles o les êes élées : B, re ulle à lges e oloes es l re :, ou Ue re es ue re oloe s Ue re es ue re lge s Eele : es ue re oloe e S, l re oloe re lge,, es ue re lge, M s elle le èe le èe veeur lge de Eele : e èe veeur oloe de veeur lge es 7 es 7 veeur oloe de e l e so èe Cours de he ues - ECS - Chere deeure - e e ler Shwezer, e R -

2 Mres - - ECS Défo : O elle rsosée de l re re à M l re u re à M, Eele : S, lors 7 7 rsosée due re lge es ue re oloe e rérouee Proréé : Mres rrées re es ue re rrée dordre s esele des res rrées d ordre es oé M es élées de s dgole rle so les eres, Eele : es ue re rrée dordre es élées de s dgole rle so, e Ue re rrée es sérue s elle es égle à s rsosée :, Ue re es sérue s elle es oosée à s rsosée : Eele : es sérue, lors ue B es sérue O eu reruer ue s ue re es sérue, lors ous les élées de s dgole rle so uls r : Ue re rrée es rgulre suéreure s ous ses élées e dessous de s dgole rle so uls : our ous > Ue re rrée es rgulre féreure s ous ses élées u dessus de s dgole rle so uls : our ous < Ue re rrée es dgole s ous ses élées so uls suf eu de s dgole rle : our ous Eele : ou B so dgoles C es rgulre suéreure e D rgulre féreure Cours de he ues - ECS - Chere deeure - e e ler Shwezer, e R -

3 Mres - - ECS O M Défo : re ué dordre es l re dgole : M O O orsu l s d guïé sur l deso, elle es slee oée es res dgoles ou à défu les res rgulres vo ouer u rôle or ds le lul rel r les oéros sur es res so euou lus sles ue sur les ures - Oéros ddo des res Théorèe : S e B so ds M, o elle soe des,,,, deu res e B l re C B de M défe r : O ddoe ere à ere Eele : es roréés so oues oséuees des roréés de l ddo ds Proréés : Pour oues res, B e C de M :,, B B B C B C B B B B B B es déosros so évdees suf eu-êre l derère S, lors, do Mullo d ue re r u slre Théorèe : S es ds M e, r le slre λ l re, C λ de M défe r :, λ, o elle rodu de l re λ O ulle ous les oeffes r λ 6 Eele : 6 8 es roréés so oséuees de elles de l ullo e de l ddo ds Proréés : Pour oues res e B de M e ous slres λ e µ :, λ B λ λb λ µ λ µ λ µ λµ λ λ ou λ λ es déosros so évdees Produ de deu res ldée es os sle O voudr «ere e feur» ds u ssèe les oues, do reer le ssèe à l fore X B S l v u ue éuo, el revedr à érre oe u rodu de l re des oeffes r l re des oues O hos d érre l re des oeffes e lge ds l oso où o les l oe o vu ds le vo de Guss e l re des oues e oloe, e u doe : Cours de he ues - ECS - Chere deeure - e e ler Shwezer, e R -

4 Mres - - ECS Plus géérlee, l élée de l re rodu C B ser oeu e ull l lge de r l oloe de B ve l règle de lul réédee l fu do ue le ore oloes de so égl u ore de lges de B Défo : S es ds M e B ds M, o elle, rodu de r B l re,,, C B de M, défe r :,,, O ulle l èe lge de r l èe oloe de B Eele : 6 7 eo, le rodu de deu res es do s ouours déf! Proréés : Pour oues res, B e C, sous réserve d esee des rodus : B C BC B C C BC B C B C S es ue re de M :, Déosros : ssové : Soe, B e C re re d l re M, M, M, r M B re à M e, D B C MC re à M e l l, l, r l, l P BC re à M e, r d,, l l l Do : d Do D P Do : B C BC, Dsruvé à guhe : Soe, B e C re re M,, M, M,, B re à M e : M D B C MC re à M e : d, Do : d,, Do : BC Do : B C C BC D C Dsruvé à droe : Soe, B e C re M,, M, M,,, M B C re à M e :,, l, Cours de he ues - ECS - Chere deeure - e e ler Shwezer, e R -

5 Mres - - ECS re D B C M re à M e : d, Do : d,,, Do : D B C Do : B C B C Mre ué : So M, re ué re à M e our élées : ε re le ere B re à M, e : ε, es o ul Do : B Do :, s s, ε, re ué re à M e our élées : ε re le ere s s C re à M e :, ε ε es o ul Do :, C Do :, Trsoso : Soe e B re M, M, M B re à M e,,, r seul r seul Do l re M B re à M e Or l re E l re re à M e, B B re à M e,,,,,,,,,, Do : Do : M B Do : B B eo! e rodu des res s oues les roréés du rodu des réels : - e rodu B eu êre déf ss ue le rodu B le so : es le s de l eele rééde - Mêe s B e B so défs ous les deu r eele ds le s de res rrées, e géérl B B ullo des res es s ouve 8 Eele : B e B 8 Ceed, o eu rfos vor l églé! O d lors ue e B oue Eele : B e B 8 8 Défo : Deu res e B oue s B B - U ure rolèe es l résoluo d éuos relles U rodu de deu res eu êre ul ss u uue des deu e le so,,, Cours de he ues - ECS - Chere deeure - e e ler Shwezer, e R -

6 Mres ECS Eele : B - O e eu do s dvser des res O revedr ve l verso Théorèe : Tou ssèe lére de éuos à oues eu s erréer oe ue éuo relle : X B, es l re des oeffes du ssèe, do M, X M e B M so deu res oloes Do oue re eu s erréer oe re d u ssèe lére verso des res rrées Défo : Ue re rrée es versle s l ese ue re rrée B de êe ordre ue u vérfe : B B Cee re ese s ouours, s s elle ese, elle es uue : l re es oée B verse de l re O résou B ou B, e o vérfe l ure églé Proréés : S e B so versles, lors so versles :,, B e, our ou eer, B B S es ue re versle, lors X X e X X Déosro : es deu reères déoule dreee de l défo De l reère, o dédu :, do, e u doe l rosèe BB, do B B uèe es oeue r réurree e uls e u ve d êre déoré S, lors, do, do Rérouee, s, lors déosro de l deuèe éuvlee es logue Rerue : Toues les res e so s versles Pr eele, so e B 6 d d d B Do B e 6 d 6 6 d 6 6 d Or es éuos so oles l ese luseurs éhodes our vor s ue re es versle e luler so verse sue dér es éhodes our éuder l verslé de l re Cours de he ues - ECS - Chere deeure - e e ler Shwezer, e R -

7 Mres ECS Méhode r u olôe uleur Défo : O elle olôe uleur d ue re ou olôe de déf r el ue, es-àdre : o ore u l ese deu réels e els ue 7 E : Do : Do : Do u olôe uleur de es X X X P Do : O s déeré ue re B u vérfe B B Do es versle e S es u olôe uleur de e s, lors l re es versle e Méhode r résoluo d u ssèe O vu ue : X X Do l suff d ssoer à u ssèe, e re X e, us de résoudre e ssèe X re oléée es O ulse l éhode du vo de Guss :, us us e ssèe ue uue soluo, do es versle e l soluo es : Or X X Do re es versle s e seulee s uel ue so, M, le ssèe ssoé à l éuo relle X de ue uue soluo X, M U ssèe d éuos léres es u ssèe de Crer s e seulee s s re es versle Méhode de ord-guss Ds l résoluo réédee, ed ue l o rsfor our our à ds l re guhe de l re oléée, o fs les êes rsforos sur l re droe our sser de à, e u reve à Cours de he ues - ECS - Chere deeure - e e ler Shwezer, e R -

8 Mres ECS dre ue s l o lue à les êes rsforos ue elles u fo sser de à, o oedr O résee do les luls de l ère suve : O lue à les êes rsforos : re es versle s e seulee s l re rgulre ssoée e résee s de zéros sur l dgole es zéros sur l dgole de l re ou des res erédres o s d ore Coséuee : Ue re rgulre ou dgole es versle s e seulee s elle s de zéros sur s dgole Pusses des res rrées Ds e rgrhe les res so rrées d ordre e o oe l re deé d ordre S es ue re rrée, o déf our ou N * : feurs E o ose : Pour ous N e N : e O do les êes roréés ue les usses de réels, suf elles u éesse l ouvé Seulee s e B oue eu luer l forule du ôe : B B, lors : N B B, e o B C B C B Ds l lur des s, les luls des usses de res so olués e o ulse uss luseurs es de éhodes Eele : O veu luler les usses de l re Pr réurree O lule les reères usses : 7 8 O oeure ue forule : * ue l o ore r réurree Pr u olôe uleur C es uss ue éhode de réurree Ds l eele de, o eu déorer ue : O déore esue r réurree ue our ou eer, l ese deu réels e els ue es sues e so défes r e, e r e O e dédu, us e Cours de he ues - ECS - Chere deeure - e e ler Shwezer, e R -

9 Mres ECS Do : N Pr l forule du ôe O déoose l re e soe de deu res lus sles u oue e o ulse l forule du ôe ve e O Do Or our ou Do e do r réurree our ou Do d Pr «dgolso» O se rèe à ue re dgole r l es fle de luler ses usses S, lors our ou eer : O déore ue l re P es versle e ue P P P D es dgole PP PP PDP Do P PD PDDP PDP PDP Pr réurree, o déore ue N P PD Or N D Do N Pour l s, l re P ser doée ds l éoé, s o redr à l luler Rerue : l es s ouours ossle de rouver ue re dgole, e rfos o se oee d ue re rgulre Cours de he ues - ECS - Chere deeure - e e ler Shwezer, e R -