DS MODELISATION Mars 2015

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1 DS MODELISATION Mars 205 ETUDE DE LA MACHINE-OUTIL URANE SX Le thème proposé porte sur l étude de la machine-outil URANE SX développée par la société COMAU (ex RENAULT AUTOMATION) de Castres L URANE SX est une machine-outil à broche horizontale dédiée aux opérations de perçage, lamage, taraudage et alésage, à structure parallèle de type Delta (Figure ) ce qui lui confère des performances dynamiques très supérieures (de l ordre de 30%) à celles des structures séries classiques (Voir Annexe les caractéristiques techniques de l URANE SX) Moteur linéaire mot j y 0 Barre de liaison b i Bâti R 0 z 0 O 0 x 0 Platine porte électro-broche Figure : Principe d une structure Delta L architecture de base est constituée d un bâti tunnel (Figure 2) monobloc rigide dans lequel sont disposés les trois axes parallèles de déplacement, également répartis

2 Figure 2 : Bâti tunnel Les axes de déplacement sont guidés par des glissières à galets à recirculation et motorisés par des moteurs linéaires KRAUSS MAFFEI série LIMES BASIC 300-M20 de type synchrone à excitation par aimants permanents, associés à des règles de mesure haute résolution Leur pilotage par une commande numérique rapide et performante confère à l unité une raideur d asservissement élevée et des performances dynamiques autorisant des combinaisons variées d usinage par interpolation des axes avec une grande précision et une bonne répétabilité de positionnement Le déplacement des axes par moteurs linéaires autorise des vitesses de déplacement élevées, avec des accélérations importantes Ces axes permettent le déplacement et le positionnement dans les trois plans spatiaux d une électro-broche à très grande vitesse adaptée à l usinage TGV (Très Grande Vitesse) Deux types d électro-broches (S2M ou FISCHER) peuvent équiper la machine Leurs caractéristiques sont données en Annexe La zone d usinage est constituée d un ensemble accouplé à l avant de l unité, entièrement cartérisé, avec portes manuelles sécurisées permettant le chargement et le déchargement des pièces et l accès à l outil Un tablier télescopique plan (Figure 3) assure la séparation de la zone de travail avec le bâti tunnel Figure 3 : Tablier télescopique 2

3 DESCRIPTION ET NOTATIONS La Figure 4 représente le paramétrage du mécanisme Les moteurs d axes sont liés par des glissières au bâti R 0, d axe parallèle à 0 i,,6, sont de même longueur et d extrémités A i et B i Elles sont liées par des rotules tant aux moteurs d axes mot j qu à la platine porte électro-broche z Les barres b i, [ ] z 0 Platine porte électrobroche B 5 B4 B 3 B 2 B 6 B b 4 b 5 b 6 A 5 A 6 b b 3 A 4 mot 3 b 2 A A 3 A 2 mot 2 mot O 0 y 0 x 0 Figure 4 : Paramétrage du mécanisme Les distances des différents points A i à l axe (, z 0 0 ) Par construction, on a : A A2 = A3 A4 = A5 A6 De même, pour toute configuration, on a les égalités : A A2 = B B2 ; 3 A4 B3B4 O sont égales entre elles et constantes t A = ; A 5 A6 = B5B6 On désigne par ν i le vecteur A B i A B i i i Les déplacements des moteurs mot j par rapport à R 0 sont notés j z0 3 ξ avec [, 2, 3] j L axe de rotation de l électro-broche est perpendiculaire au plan de la platine Les centres des rotules B,, B 6 sont dans le plan de la platine

4 A PARTIR DE CE POINT REDIGER LE DS SUR LA COPIE DE SII PARTIE : STATIQUE Question - : Un solide S étant en équilibre par rapport à un repère galiléen, énoncer sous forme vectorielle les relations que l on doit vérifier Question -2 : En négligeant le poids propre des barres A i B i, quelle remarque peut-on faire concernant leur équilibre? Question -3 : Calculer l indice de mobilité de cette structure en remarquant que trois mouvements sont imposables En déduire le degré d hyperstaticité PARTIE 2 : CINEMATIQUE Question 2- : Quelle condition vectorielle doit-on vérifier pour qu un solide S soit animé d un mouvement de translation par rapport à un repère R 0? Question 2-2 : Comment peut-on réaliser simplement un mouvement de translation plan à trajectoire circulaire? Exercice préliminaire PARTIE 3 : DYNAMIQUE On considère le monte charge représenté Figure 5 Les barres A B et A 2 B 2, de même longueur l, sont de masse négligeable et dans le même plan ( A, x0, y0 ) A = A2 B B2 On programme la loi θ ( t ) = t 2 2 Le montage est tel que Ce mouvement est obtenu grâce à un moteur d inertie I m lié à la barre en A et de couple moteur C m z0 La platine 3 est de masse m + M 3 Question 3- : En supposant toutes les liaisons sans frottement, déterminer par une méthode dont le choix est laissé libre l expression du couple C m (t) permettant de réaliser la loi θ (t) M y 0 m 3 B B 2 barre barre 3 barre 2 θ(t) A A 2 x 0 moteur Figure 5 : Schéma du monte charge 4

5 PARTIE 4 : AUTOMATIQUE A PARTIR DE CE POINT REDIGER LE DS SUR LA COPIE DE PHYSIQUE La coordination d ensemble des axes, 2 et 3 (voir Figure 6) est réalisée par une commande numérique comprenant le directeur de commande numérique et les cartes d asservissement des trois axes Ces dernières agissent sur les modules électroniques de puissance des trois moteurs linéaires Commande numérique Module de puissance Capteur de position Moteur linéaire AXE Platine porte électrobroche Module de puissance Moteur linéaire 2 AXE 2 Capteur de position Module de puissance Moteur linéaire 3 AXE 3 Capteur de position Figure 6 : Structure de la commande d axes Bien que les variables manipulées par la commande numérique soient des variables numériques, on les considèrera, pour la suite du sujet, comme étant analogiques : le système est donc, sur le plan théorique, supposé linéaire et continu D autre part, on se limitera, dans le cadre de ce sujet, à l étude d un axe seul ce qui nécessitera, dans un premier temps, de modéliser : l ensemble «Module de puissance» et «Moteur linéaire», la liaison «Moteur linéaire» «Platine porte électro-broche», le capteur de position On s intéressera ensuite à la détermination de la correction la plus efficace afin de satisfaire les exigences du cahier des charges, essentiellement en terme de stabilité et de précision Composition d un moteur linéaire Les moteurs linéaires sont depuis longtemps utilisés dans l industrie, aussi bien sur les machines-outils que sur les petits équipements de fabrication (semi-conducteurs par exemple) Ils s imposent dès lors qu une grande vitesse et/ou une grande précision sont nécessaires Ils sont caractérisés par l absence de contact mécanique et l absence de transformation de mouvement (on dit aussi qu ils sont à entraînement linéaire direct), le mouvement et l effort 5

6 étant directement appliqués à la charge sans perte due aux systèmes de transmission et de conversion de mouvement (rotatif en linéaire, par exemple) Ils sont constitués (voir Annexe 2) d un barreau mobile composé d aimants permanents à polarité alternée, entouré d un bloc moteur (ou carcasse) contenant trois séries de n solénoïdes A i, B i et C i entrelacés parcourus respectivement par les courants i A (t), i B (t) et i C (t) Le module électronique de puissance utilise les informations délivrées par deux capteurs à effet Hall (voir Annexe 3) implantés dans le bloc moteur pour synchroniser les variations des courants i A (t), i B (t) et i C (t) avec le déplacement du bloc moteur afin de maintenir un effort constant sur la charge à déplacer Modélisation d un moteur linéaire On note (voir Annexe 2) : z M : la distance d un point M de l entrefer par rapport à la tête d un solénoïde pris comme référence ; i n (t) : l intensité du courant qui parcourt le solénoïde n, orienté positivement dans le sens direct autour de l axe z ; elle est sinusoïdale de pulsation ω ; B ( z, t ) : le champ magnétique crée par les solénoïdes au niveau de l entrefer ; S M p s : le pas (ou période spatiale) égal à la longueur de deux aimants ; z(t) : la position par rapport au sol d un point du barreau mobile pris comme origine B B (z M, z(t)) : le champ magnétique crée par les aimants du barreau mobile dans le référentiel lié au sol Question 4- : On analyse fréquemment un moteur électrique linéaire comme un moteur rotatif «déroulé» Indiquer de quel type de moteur électrique rotatif le moteur étudié ici est le «déroulé» en précisant ce qui joue le rôle d inducteur, d induit, de couple et de vitesse de rotation Les intensités i B et i C ((t)t) sont déphasées de ϕ Β et ϕ C par rapport à l intensité i t = i cos ω t prise comme référence des phases A ( ) ( ) Question 4-2 : En exploitant l analogie indiquée ci-dessus, donner les valeurs des déphasages ϕ Β et ϕ C permettant d obtenir un champ crée par trois solénoïdes successifs de la forme z M BS ( zm, t) = BS 0 cos ωt 2π ps On admet que le champ crée par les aimants a pour expression zm z ( t) z BB ( zm, z ( t) ) = BB0 cos 2π ps Question 4-3 : Que représente z 0? ( 0 ) On note e l épaisseur de l entrefer, supposée très petite devant le rayon r B du barreau mobile, et L = np S sa longueur On rappelle la relation cos ( a) cos( b) = cos ( a b) cos( a + b) 2 6

7 Question 4-4 : Calculer l énergie magnétique W MAG stockée dans l entrefer et montrer qu elle est la somme de trois termes dont un seulement, qui s écrit πr ( ( ) 0 ) BeL z t + z B S 0 B B0 cos ω t 2π, dépend de z(t) Interpréter chacun des termes µ 0 p S On généralise la situation de l actionneur linéaire et l on admet que la force exercée sur le WMAG barreau mobile s écrit F = z i= Cte Question 4-5 : Calculer F(t) Que constate-t-on? Cette force n a d effet mécanique que si sa valeur moyenne est non nulle Question 4-6 : À quelle condition la valeur moyenne de F est-elle non nulle? Quelle est alors la vitesse du barreau? Commenter ce résultat et l expression de F obtenue dans ce cas Dans la suite, on prendra (indépendante de z) F = Km i avec K m constante de force globale du moteur Circuit de puissance Les capteurs à effet Hall (voir Annexe 3) sont situés dans une partie fraisée des dents entre les faisceaux et sont désignés par : Hall a, Hall b, Hall c Ces sondes vont basculer leur sortie logique à 0 ou, en fonction de l induction magnétique qu'ils subissent Donc, en l'absence d'une réaction d'induit, si le capteur est face à un pôle Sud, il bascule à 0 et s'il est face à un pôle Nord, il bascule à On génère alors numériquement une variable appelé pos = 2 0 Hall a + 2 Hall b Hall c Question 5- : Le tableau de la Figure 2 indique la position des capteurs à effet Hall et des pôles des aimants du barreau mobile lors du déplacement de celui-ci vers les z positifs Indiquer la séquence des 6 valeurs décimales prises par la variable pos lors de ce déplacement Chaque solénoïde du stator est alimentée par un onduleur représenté Figure 3 On modélise ce solénoïde par l association série d une résistance R et d une bobine L On note T la période de commande des interrupteurs Entre t = 0 et t = T/2, les interrupteurs K et K 3 sont fermés pendant que K 2 et K 4 sont ouverts Entre t = T/2 et t = T, les interrupteurs K et K 3 sont ouverts pendant que K 2 et K 4 sont fermés On suppose la constante de temps τ = L/R assez petite pour que la valeur finale de u(t) soit atteinte sur chaque demi-période Question 5-2 : Établir les équations donnant l intensité i(t) dans le solénoïde pour 0 < t < T Tracer l allure de i(t) pour 0 < t < 2T Question 5-3 : Calculer la valeur moyenne de i(t) et justifier que l on peut qualifier de sinusoïdal le courant circulant dans le solénoïde La tension continue qui alimente l onduleur est obtenue à partir du secteur (50 Hz) par le montage de la Figure 4 Un essai à vide du transformateur a donné les résultats suivants : U V = U N = 380 V (valeur efficace de la tension au primaire) ; U 2V = 55 V (valeur efficace de la tension au secondaire) ; Question 5-4 : Calculer le rapport de transformation du transformateur 7

8 La puissance active absorbée par le transformateur à vide dans cet essai à vide est P V = 80 W Question 5-5 : Quelle est la nature des pertes de puissance P V que l'on mesure pour ce fonctionnement à vide? Le transformateur fonctionne maintenant en charge On mesure les valeurs suivantes : U = U N = 380 V (au primaire) ; U 2 = 53,5 V (au secondaire) ; I 2 = 5 A ; cos(ϕ 2 ) = 0,90 Question 5-6 : Calculer la puissance active fournie au secondaire du transformateur Sachant que les pertes de puissance par effet joule (pertes cuivre) sont évaluées à 80 W, calculer le rendement du transformateur Entre la sortie du secondaire du transformateur et l onduleur, on place un pont de diodes La valeur efficace de la tension sinusoïdale à l'entrée du pont est U = 53,5 V Question 5-7 : Représenter l'allure de la tension u C (t) en précisant les unités et les échelles utilisées La tension obtenue après le pont de diode peut être filtrée pour diminuer l ondulation Question 5-8 : Calculer la valeur moyenne <u C > de la tension u C (t) avant filtrage En réalité, pour assurer la variation de la fréquence ω du courant dans le solénoïde (nécessaire pour changer la vitesse du barreau) et de sa valeur efficace (nécessaire pour changer l amplitude de la force), le signal de commande des interrupteurs a une période variable dans le temps et un rapport cyclique qui dépend aussi du temps Il est souvent réalisé informatiquement On propose ici une réalisation utilisant le logiciel Python On suppose la variable pi et la fonction sinus préalablement importées Question 5-9 : Écrire une fonction comp(f,g) qui renvoie +0,5 si f g ou 0,5 sinon Le principe de la construction du signal est de comparer une modulante sinusoïdale de faible fréquence à un signal triangulaire de grande fréquence Question 5- : Écrire une fonction sin_perso(t, T, U0) renvoyant pour une valeur t la valeur d une fonction sinusoïdale de période T et d amplitude U 0 Question 5- : Écrire une fonction triangle(t, T, U0) renvoyant pour une valeur t la valeur d une fonction triangulaire de période T et de valeur maximale U 0 et minimale U0 telle que pour t = 0 la valeur renvoyée est U0 Étant donnée la liste liste_t des valeurs de la variable temporelle t, on veut créer la liste list_mli des valeurs obtenues par comparaison d un sinus d amplitude et de période 5 et d un triangle d amplitude 5 et de période 0, Question 5-2 : Écrire la (ou les) instruction(s) permettant d obtenir list_mli A PARTIR DE CE POINT REDIGER LE DS SUR LA COPIE DE SII Modélisation d un axe Le schéma bloc d un axe est représenté ci-dessous 8

9 Z c K r N c C(p) U m K e K m F F r M T p 2 Z m N m K r Figure 7 Avec : C(p) : fonction de transfert du correcteur K r : gain du capteur absolu de position Z c : consigne de position définie par la commande numérique Une dernière simplification rend unitaire la boucle de retour : Z c U m F C(p) K r K e K m M T p 2 F r Z m Z m Etude des performances du système asservi Figure 7 : Schéma bloc à retour unitaire On considère le schéma bloc de la Figure 7 Le correcteur est à action proportionnelle et dérivée (PD) de fonction de transfert C( p) = K ( T p) p + Question 6- : Déterminer : a) la fonction de transfert en boucle ouverte et l expression du gain de boucle K BO b) la fonction de transfert en boucle fermée Question 6-2 : L effort perturbateur est un échelon de la forme F r ( t) = a u( t) a) Donner l expression littérale de l écart ε Fr dû à cette perturbation en régime permanent b) Quels seraient les avantages et les inconvénients d un correcteur avec action intégrale? On néglige la perturbation, le schéma bloc devient le suivant : d Z c U m F K p (+T d p) K r K e K m M T p 2 Z m On donne : = A/V K e K m = 500 N/A 6 K = incréments/mètre r 9

10 M T = 95 kg Td = 0, s On donne Figure 9 (doc réponse) la représentation dans Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte pour K = p Question 6-3 : Etude de la stabilité a) Justifier la forme de ce tracé b) Déterminer graphiquement K p de telle sorte que la marge de phase soit de 40 Caractéristiques techniques de l URANE SX ANNEXE Courses et volume d usinage Axe X Axe Y Axe Z 500 mm 500 mm 250 mm Performances dynamiques Masse platine + électro-broche Masse moteur + deux barres Vitesse Axes X, Y, Z 5 kg 60 kg 0 m / mn Accélération Axes X, Y, Z 35 m / s² Jerk (vitesse d accélération) Axes X, Y, Z jusqu à m / s 3 Répétabilité Axes X, Y, Z 5 µm Précision Axes X, Y, Z 30, 30, 20 µm Poussée Axes X, Y (nominal / intermittent) 500 / 2000 N Poussée Axe Z (nominal / intermittent) 2000 / 3000 N Caractéristiques des Broches S2M FISCHER Puissance 2 kw 2 kw Paliers magnétiques céramiques Vitesse maxi de rotation tr / min tr/min

11 Couple,4 Nm Constant 6,0 Nm à tr/min 3,4 Nm à tr/min Attachement d outil Ø 2 par frettage HSK 40 C Taraudage rigide interpolé C/Z Non Oui Moteur linéaire ANNEXE 2 Carcasse Noyau magnétique N N S S N N S S N N S S A B C A2 B2 C2 A3 Solénoide Figure 8 : Composition d un moteur linéaire r B e M N N S S N N z z M M B B (z M, t = 0) ps z(t) B 0 z M Figure 9 : Evolution de B B (z M, t = 0)

12 Capteurs à effet Hall ANNEXE 3 Figure 2 : Position des capteurs à effet Hall t Ha Hb Hc S N S S N S S N Figure 3 : Position du barreau mobile au cours du temps Commande de puissance i 0 (t) K u(t) K 2 U 0 K 4 i(t) L R ENROULEMENT K 3 u u 2 u C Figure 4 : Onduleur alimentation un solénoïde du stator Figure 5 : Association transformateurredresseur 2

13 Doc réponse (Figure 9 : Représentation dans Bode de la FTBO) 250 GAIN PHAS PULS PULS 4 3

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