Chapitre 7 : Fonction logarithme népérien

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1 Chapitre 7 : Fonction logarithme népérien 0) Introduction Eemple (fonction qui transforme un produit en une somme) Soit f une fonction définie et dérivable sur ]0;+ [ qui transforme un produit en somme : C'est-à-dire que pour tout et y strictement positifs, f ( y )= f ( )+ f ( y) Quelles sont les propriétés d'une telle fonction? 1) Calcul de f(1) En prenant = y=1 on obtient f (1)= f (1)+ f (1) f (1)=0 2) Simplification de f ( 1 ) 0= f (1)= f ( 1 ) = f ( )+ f ( 1 ) f ( 1 ) = f ( ) 3) Simplification de f ( y ) f ( y ) = f ( 1 y ) = f ( )+ f ( 1 y ) = f ( ) f ( y ) 4) Simplification de f ( n ) On remarque que f ( 2 )= f ( )= f ( )+ f ( )=2 f ( ) De même on a f ( n )= f ( )= f ( )+ f ( )+ f ( )+ + f ( )=nf ( ) Parmi les fonctions qui transforment les produits en sommes, une nous intéresse, c'est la fonction logarithme népérien. Nous avons vu que la fonction eponentielle transformait une somme en produit. La fonction logarithme népérien elle transformera un produit en somme. Nous allons définir la fonction logarithme népérien comme la fonction "contraire" de la fonction eponentielle.

2 Eemple (fonction réciproque d'une fonction affine) Soit f ( )=2 +1 une fonction affine. On cherche la fonction «contraire» de f, c'est-à-dire une fonction qui a pour images les antécédents de f. Par eemple, si f (2)=4, alors g (4)=2. Ainsi, on a g ( f (2 ))=g (4)=2. On cherche donc une fonction g telle que g ( f ( ) )=. Déterminons la fonction réciproque de f, c'est-à-dire une fonction g telle que g ( f ( ) )= Posons g ( )=a' +b'. g ( f ( ) )= a' f ( )+b'= a' (a+b)+b'= a' a+a' b+b'= En identifiant les coefficients directeurs et les ordonnées à l'origine, on obtient : aa'=1 et a' b+b'=0 a'= 1 a et b' = b a Ainsi, la fonction g est g ( )= Faisons un test : On a f(8)=17 et g ( f (8))=g (17 )=8. Pour tracer une fonction réciproque, il suffit de tracer la courbe f et de tracer sa courbe symétrique par rapport à la droite y=

3 Eemple (fonction réciproque de la fonction carré) Soit f ( )=². On cherche la fonction réciproque de la fonction carré, c'est-à-dire une fonction g telle que g ( f ( ) )=. Prenons g ( )=. Si 0, g ( f ( ) )= ² = Si 0, g ( f ( ) )= ² = si = 3 on a ( 3)²=3= ( 3) = Ainsi, il semble que la fonction f n'admette de fonction réciproque que si 0 Ainsi, la fonction réciproque de la fonction carré est la fonction racine carrée qui est définie seulement sur [0;+ [. Regardons le graphique : Chaque réel peut avoir plusieurs antécédents par une fonction f mais une seule image. Or une fonction réciproque g inverse les images et les antécédents. Donc une fonction réciproque g n'eiste que si chaque réel ne possède qu'une seule image par g, c'est-à-dire que chaque réel ne possède qu'un seul antécédent par f. Une fonction f qui ne possède qu'un seul antécédent est une fonction strictement monotone. Le théorème des valeurs intermédiaires assure l'eisence et l'unicité de l'antécédent d'un réel. Pour que la fonction carré puisse posséder une fonction réciproque, il faut choisir un intervalle sur lequel elle est strictement monotone, comme par eemple sur [0;+ [.

4 Eemples (déterminer si une fonction admet une fonction réciproque) 1) La fonction 3 est continue et strictement croissante sur R. Elle admet donc une fonction réciproque sur R 2) La fonction cosinus est continue R mais n'est pas monotone sur R. Elle n'admet pas de fonction réciproque sur R. On doit choisir un intervalle sur lequel la fonction consinus est monotone. Par eemple sur l'intervalle [0;π ], la fonction cosinus est strictement décroissante. Sur [0;π ], la fonction cosinus admet une fonction réciproque appelée arccos ( ) 3) De même, la fonction sinus est continue sur R mais n'est pas monotone sur R. Elle est strictement croissante sur [ π 2 ; π 2 ], elle admet sur cet intervalle une fonction réciproque appelée arcsin ( ).

5 I) Définition de la fonction logarithme népérien Eemple (fonction réciproque de la fonction eponentielle) La fonction eponentielle est continue et strictement croissante sur R. Son tableau de variation est le suivant + + f 0 D'après le théorème des valeurs intermédiaires : Pour tout réel a ]0;+ [, il eiste un unique réel ] ;+ [ tel que l'équation f ( )=a amdet une unique solution. Définition (fonction logarithme népérien) Pour tout réel a ]0;+ [, l'équation e =a admet une unique solution sur R appelée logarithme népérien de a, noté ln (a). La fonction logarithme népérien est définie sur ]0;+ [ et est la fonction réciproque de la fonction eponentielle. Propriétés ln (1)=0 (vient de e 0 =1 ) ln (e )=1 (vient de e 1 =e ) Courbe représentative des fonctions eponentielle et logarithme népérien

6 Propriétés (passage de l'éponentielle au logarithme et inversement) Soient a et b deu réels tels que a>0. On a : 1) e b =a b=ln (a) 2) e ln(a) =a 3) ln (e b )=b Applications (résolutions d'équations simples) Résoudre les équations suivantes : 1) e =3 =ln (3) 2) e 7=0 e =7 =ln (7) 3) ln ( )= 4 =e 4 4) ln ( ) 12=0 ln ( )=12 =e 12 Eemples (Résolution d'équations du second degré) 1) Résoudre ln ( ) 2 =5ln ( ) ln ( ) 2 =5ln ( ) ln ( ) 2 5ln ( )=0 ln ( ) (ln ( ) 5)=0 ln ( )=0 ou ln ( ) 5=0 =1 ou ln ( )=5 =1 ou =e 5 2) Résoudre : ln ( ) 2 =6ln ( )+7 ln ( ) 2 =6ln ( )+7 ln ( ) 2 6ln ( ) 7=0 X 2 6 X 7=0 On pose X=ln ( ) Δ=64, X 1 = 1, X 2 =7 ln ( )= 1 ou ln ( )=7 =e 1 ou =e 7 3) Résoudre : e 3 7e 2 = 10e e 3 7e 2 = 10 e e 3 7e e =0 e (e 2 7e +10)=0 e 2 7e +10=0 X 2 7 X+10=0 Δ=9, X 1 =2, X 2 =5 e =2 ou e =5 =ln (2) ou =ln (5) car e 0 On pose X=e

7 Proposition (sens de variation) La fonction ln est strictement positive sur ]0;+ [. Ainsi, pour tout a et b strictement positifs, ln (a) ln (b) a b Démonstration Soient a et b deu réels strictement positifs tels que a<b. Montrons que ln (a)<ln (b) a<b e ln(a ) <e ln (b) car a=e ln (a) ln (b) et b=e ln (a)<ln (b) car la fonction eponentielle est strictement croissante Ainsi, la fonction ln est strictement croissante sur ]0;+ [ Applications (résolutions d'inéquations simples) Résoudre les inéquations suivantes : 1) ln ( ) ln (7) 7 2) ln ( ) ln ( 4) 0 ln ( ) ln (4) 4 3) ln ( )+5 0 ln ( ) 5 ln ( ) ln (e 5 ) 5 4) e e ln (4) ln (4) 2

8 Proposition (limites) 1) lim ln ( )=+ + 2) lim ln ( )= 0 + Démonstration 1) Montrons que lim ln ( )=+ + Rappel : lim f ( )=+ Pour tout réel A>0, il eiste un réel B>0 à partir duquel f()>a + Soit A>0. Cherchons un réel B>0 à partir duquel ln ( )>A. On a ln ( )>A >e A car la fonction eponentielle est croissante. On pose B=e A >0 Ainsi, pour tout >e A, ln ( )>A. Ce qui prouve que lim ln ( )=+ + Un eemple pour ceu ou celles qui se sont endormis. On doit montrer que ln ( ) est plus grand que tous nombre réel A à partir d'un certain moment B. Prenons A=1000, alors on choisit B=e Pour tout >e 1000, on a bien ln ( )>1000 2) Montrons que lim 0 + ln ( )= Rappel : lim 0 f ( )= Pour tout réel A<0, il eiste un réel β>0 tel que si <β, f()<a Soit A<0. Cherchons un réel β>0 tel que si <β, alors ln ( )<A On a ln ( )<A <e A car la fonction eponentielle est croissante. On pose β=e A >0. Ainsi, pour tout <e A, ln ( )<A. Ce qui prouve que lim ln ( )= 0 + Un eemple pour ceu ou celles qui se sont évanouillis. On doit montrer que ln ( ) est plus petit que tous nombre réel A lorsque se rapproche de zéro par la droite. Prenons A= 500, alors on choisit β=e 500 Pour tout <e 500, on a bien ln ( )< 500. Applications 1) Calcul de lim ln ( 2 ) + 2 = 2 ( 1 1 ) 2) Calcul de lim ln + ( 5 lim + donc lim 2 =+ +. Par composition, lim ln ( 2 )=+ + ) 5 =0 et lim ln ( X )= donc par composition lim ln X 0 X 0 ( 5 ) =

9 II) Transformation du produit en somme Proposition (passage du produit à la somme) Soient a et b deu réels strictement positifs. On a ln (a b)=ln (a )+ln (b) Démonstration a=e ln (a) et b=e ln (b). Donc ab=e ln(a ) e ln (b) = e On compose par ln des deu côtés : ln (ab)=ln (a)+ln (b) Applications Simplifier les sommes suivantes : 1) ln (2)+ln (5)=ln (10 ) 2) ln (10)+ln (7)=ln (70 ) ln(a)+ln (b) Propriétés (autres formules) 1) ln ( 1 a ) = ln (a) 2) ln ( a b ) =ln (a ) ln (b) 3) ln ( a)= 1 ln (a) 2 4) ln (a n )=nln (a ) Applications Simplifier : 1) 2ln (2)=ln (2)+ln (2)=ln (4 ) 2) ln (12) ln (15)=ln ( ) =ln ( 4 5 ) 3) 2ln (6)=ln (6 2 )=ln (36)=3,58 4) ln (1)+ln ( 2)+ln (3)+ln (4)+ln (5)=ln ( ) = ln(5!) = 4,79 5) ln (10) ln (9)+ln (8) ln (7)=ln ( ) =ln ( ) = 0,24 6) 2ln (5)+3ln (4)=ln (5 2 )+ln (4 3 )=ln (25)+ln (64)=ln (25 64)=ln (1600 )=7, 38 Remarque Attention à ne pas confondre ln ( ) 2 et ln ( 2 )=ln ( )=2ln ( ) ln (3) 2 =(1,098) 2 =1, 207 alors que ln (3 2 )=ln (9)=2,197

10 Eemples (Suites géométriques : inéquation ayant pour inconnue une puissance) 1) Déterminer le plus petit entier n tel que 2 n n ln (2 n ) ln (54321) la fonction ln est croissante nln (2) ln (54321) on utilise la formule ln (a n )=nln (a ) ln (54321) n ln (2) on divise par ln (2)>0 n 15, 7 Ainsi, n=16 2) Déterminer le plus grand entier n tel que 0, 9 n 0,5 0 0,9 n 0,5 0 0,9 n 0,5 ln (0,9 n ) ln (0,5) la fonction ln est croissante nln (0,9) ln (0,5) on utilise la formule ln (a n )=nln (a ) ln (0,5) n on divise par ln (0, 9)<0 ln (0,9) n 6,57 Ainsi, n=6 Eemples (Fonctions polynômes : Résoudre une équation du type n =k ) 1) Résoudre 3 =64 3 =64 ln ( 3 )=ln (64) 3ln ( )=ln (64 ) ln ( )= ln (64) 3 =e ln (64 ) 3 = 4 On aurait pu trouver =4 de tête 2) Résoudre 5 =10 5 =10 ln ( 5 )=10 5ln ( )=ln (10) ln (10) ln ( )= 5 =e ln (10 ) 5 = 1,58 3) Résoudre 2 6 =8 2 6 =8 6 =4 =e ln (4) 6 = 1,26

11 III) Dérivé de la fonction logarithme népérien Proposition (dérivée du logarithme) La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0;+ [ et sa dérivée est ln ' ( )= 1 Démonstration Soit >0. On a e ln( ) = (e ln ( ) )' =1 on dérive des deu côtés ln ' ( )e ln () =1 (e u )'=u' e u avec u=ln ( ) ln ' ( ) =1 e ln( ) = ln ' ( )= 1 Applications Déterminer les dérivées des fonctions suivantes : 1) f ( )=ln ( )+2 f ' ( )= ) f ( )=4 ln ( ) f ' ( )= 4 3) f ( )= ln ( ) On pose u= et v=ln ( ), donc u'=1 et v'= 1 f ' ( )=1 ln ( )+ 1 = ln ( )+1 3ln ( ) 4) f ( )= + 3 On pose u=3ln ( ) et 2 v= 2, donc u'= 3 ( 3 ) 2 3ln ( ) 2 f ' ( )= = 3 6 ln ( ) ² et v'=2

12 Eemple (sens de variation en utilisant la dérivée de u v ) Déterminer le sens de variations de la fonction f ( )=ln ( ) On pose u= et v=ln ( ), donc u'=1 et v'= 1 f ' ( )=1 ln ( )+ 1 = ln ( )+1 On résout f ' ( ) 0 ln ( )+1 0 ln ( ) 1 e 1 Eemple (sens de variation en utilisant la dérivée de u v ) ln ( ) Déterminer le sens de variations de la fonction f ( )= On pose u=ln ( ) et v=, donc u'= 1 ln ( ) 1 ln ( ) f ' ( )= = 2 2 et v'=1 Comme 2 >0, le signe de f ' est celui de 1 ln ( ). Or 1 ln ( ) 0 1 ln ( ) e

13 Eemple (sens de variation en utilisant la dérivée de u ) Déterminer le sens de variation de la fonction f ( )= ln ( ) sur ]0;+ [ f s'écrit sous la forme u avec u= ln ( ), donc u'=1 1 Or u' = u' 2 u, donc 1 1. f ' ( )= 2 ln ( ) Comme ln ( )>0, le signe de f ' est celui de Eemple (sens de variation en utilisant la dérivée de u n ) Déterminer le sens de variation de la fonction f ( )=ln ( ) 2 sur ]0;+ [ f s'écrit sous la forme u n de dérivée nu' u n 1 avec u=ln ( ) et n=2 f ' ( )= 2 ln ( ). Comme >0, le signe de f ' est celui de ln ( ). Or ln ( ) 0 e 0 =1

14 Proposition (limite à partir de la dérivée) ln (+1) lim =1 0 Démonstration lim 0 ln (+1) = 0 0 forme indéterminée. On utilise la dérivée : lim 0 ln (h+1) ln (h) h =ln' (1)= 1 1 =1 Eemple (suite qui tend vers eponentielle) On a déjà montré dans le chapitre précédent que lim n + ( 1+ 1 n ) n =e. Voici une autre preuve. 1) Calcul de la limite de nln ( 1+ 1 n ) lorsque n tend vers + nln ( 1+ 1 n ) = ln ( 1+ 1 n ) 1 n = ln (1+X ) X avec X= 1 n Donc lim nln n + ( 1+ 1 n ) =lim X 0 ln (1+X ) =1 d'après la proposition précédente. X 2) Calcul de la limite de ( 1+ 1 n ) n lorsque n tend vers + ( 1+ 1 n ) n =e ln ( 1 1+ n ) n n ln = e ( 1+ 1 n). Comme lim nln n + ( 1+ 1 n ) =1, on a lim e nln ( 1+ 1 n ) =e 1 n + Conclusion : lim n + ( 1+ 1 n ) n =e

15 Proposition (croissances comparées) ln ( ) lim =0 + Démonstration Méthode 1 : En utilisant les croissances comparées de l'eponentielle et de ln ( ) ln ( ) = Donc lim + e ln ( ) = X e X avec X=ln ( ). Or lim X + ln ( ) =0 Méthode 2 : Sans utiliser l'eponentielle Montrons d'abord que pour tout >0, ln ( )< Soit f ( )=ln ( ), f est dérivable sur ]0;+ [ et f ' ( )= 1 Comme >0, le signe de f ' est celui de 1 X e X =0 (croissances comparées entre X et e X ). 1= f De plus le maimum de f vaut f (1)=ln (1) 1= 1<0 Donc pour tout >0, f ( )<0, c'est-à-dire que ln ( )< L'inégalité ln ( )< est vraie pour tout réel >0, donc en particulier pour : ln ( )< 1 2 ln ( )< ln ( )<2 Ainsi, ln ( ) < 2 = 2. ln ( ) Pour tout >1, 0< Or lim + < 2, 2 =0, donc d'après le théorème des gendarmes, lim + Remarque e l'emporte sur et l'emporte sur ln ( ) ln ( ) =0

16 Eemples (autres croissances comparées) Calculer les limites suivantes : 1) lim + ln ( ) 3 On a ln ( ) 3. = 1 3 ln ( ) donc lim + ln ( ) 3 = 1 3 0=0 ln (5) 2) lim + ln (5 ) On a = 5 ln (5 ) 5 = 5 ln (X) X, donc lim + ln (5) = 5 0=0 3) lim + ln ( 10 ) On a ln ( 10 ) = 10ln ( ), donc lim + ln ( 10 ) = 10 0=0 4) lim + ln ( ) On a ln ( ) Donc lim +. = 2 2 ln ( ) ln ( ) = lim X + 2ln (X ) X = 2 ln ( ) = 2ln (X) X =2 0=0 avec X=. 5) lim 0 ln ( ) : On a : ln ( )= ln ( ) 1 = ln ( 1 ) 1 ln (X ) = X avec X= 1. Donc lim 0 ln ( ) ln (X) = lim X + X =0

17 IV) Logarithme népérien d'une fonction u Proposition (dérivée du logarithme d'une fonction) Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, alors la fonction ln (u) est dérivable sur I et sa dérivée est ln ' (u )= u' u Applications Déterminer les dérivées des fonctions suivantes en précisant l'intervalle de dérivabilité I : 1) f()=ln(+1) f ' ( )= 1 +1 f est dérivable si +1>0 > 1, donc I= ] 1;+ [ 2) f ( )=ln ( 2 1) f ' ( )= f est dérivable si 2 1>0 2 >1 < 1 ou >1. On peut choisir I= ]1 ;+ [

18 V) Logarithme décimal La fonction logarithme népérien vérifie ln (e )=1, on dit que c'est un logarithme de base e. On souhaite définir un autre logarithme qui aura pour base 10. La fonction f ( )= ln ( ) ln (10 ) convient car f (10)= ln (10) ln (10 ) =1. Cette fonctione est un logarithme de base 10. On l'appelle logarithme décimal notée log ( ) Définition ln ( ) La fonction logarithme décimale est défini par log ( )= ln (10) sur ]0;+ [ Propriétés ln (ab) ln (a )+ln (b) ln (a) ln (b) log (ab )= = = + =log (a )+log (b ) ln (10 ) ln (10) ln (10) ln (10) log ( a b ) =ln (a ) ln (b) log ( a n )= nln (a ) ln (10) log ( )'= 1 ln (10) (la fonction logarithme décimale est donc strictement croissante) Eemples (Quelques valeurs du logrithme décimal) ln (1) log (1)= ln (10 ) =0 ln (10) log (10)= ln (10) =1 ln (100) log (100)= = ln (102 ) 2ln (10) = =2 ln (10) ln (10) ln (10) log (1000)=3 log (10 n )= ln (10n ) =n pour tout entier n relatif ln (10) ln (e) log (e )= ln (10) = 1 ln ( 10) Remarque : La fonction logarithme népérien s'écrit aussi ln ( )= ln ( ) ln (e)

19 Eemple (encadrement par deu entiers consécutifs) Sans calculatrice, déterminer un encadrement entre deu entiers consécutifs des nombres : 1) log (1234) 2) log (32587) 3) log (0,004321) 1) log (1234)=log (10 3 1,234) = log (10 3 )+log (1,234 ) = 3+log (1,234) Or la fonction logarithme décimal est croissante donc : log (1)<log (1, 234)<log (10) 0<log (1, 234 )<1 3<log ( 1234)<4 2) De même log (32587) = 4+log (3, 2587) donc 4<log (1234)<5 3) log (0,004321) = log (10 3 4,321)= 3+log (4,321) donc 3<log (0,004321)< 2 Eemple (niveau sonore) La fonction qui à une intensité sonore (en watt par mètre-carré) associe le niveau sonore (en db A décibel acoustique) est : f ( )=10 log (10 12 ) 1) Calculer le niveau sonore correspondant à une intensité sonore de 10 5 W. m 2 2) Calculer l'intensité sonore correspondant à un niveau sonore de 100 db A et de 140 db A 3) Montrer que f ( )=10 log ( )+120 4) Déterminer le tableau de variations de f.

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