FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

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1 FONCTION LOGARITHME NEPERIEN I. Définition La fonction eponentielle est continue et strictement croissante sur R, à valeurs dans 0;. Pour tout réel a de 0; l'équation e a admet une unique solution dans R. Définition : On appelle logarithme népérien d'un réel strictement positif a, l'unique solution de l'équation e a. On la note ln a. ln : 0; R La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction : Eemple : L'équation e 5 admet une unique solution : Il s'agit de ln5. A l'aide de la calculatrice, on peut obtenir une valeur approchée :,6. Remarque : Les courbes représentatives des fonctions eponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d'équation y. ln Conséquences : a a) e est équivalent à a ln avec > 0 b) ln 0 ; ln e ; ln e c) Pour tout, lne d) Pour tout strictement positif, e ln Démonstrations : a) Par définition b)- Car e 0 e e et e e c) Si on pose y e, alors ln y lne d) Si on pose y ln, alors e y e ln Eemples : e ln 2 2 et lne 4 4 Propriété : Pour tous réels et y strictement positifs, on a : a) ln ln y y b) ln ln y y

2 a) y e ln e ln y ln ln y b) y e ln e ln y ln ln y 2 Méthode : Résoudre une équation ou une inéquation Résoudre dans I les équations et inéquations suivantes : a) ln 2 I 0; b) e 5, I R c) 3ln 4 8, d) ln 6 2, I ; 6 e) e 5 4e, I R, I 0; a) ln 2 ln = ln e 2 = e 2 La solution est e 2. b) e 5 e + = e ln 5 + = ln 5 = ln 5 La solution est ln5. c) 3ln ln = 2 ln = 4 ln = ln(e 4 ) = e 4 ² La solution est e 4. d) ln 6 2 ln(6 ) ln(e 2 ) 6 e 2 e2 + 6 S= e 2 6 ;. e) e 5 4e e 4e > 5 3e > 5 e < 5 3 e < e ln(5 3 ) < ln ( 5 3 ) L'ensemble solution est donc 5 ;ln 3. II. Propriétés de la fonction logarithme népérien ) Relation fonctionnelle Théorème : Pour réel et y strictement positif, on a : ln y ln ln y Remarque : Cette formule permet de transformer un produit en somme. e ln( y) y e ln e ln y ln ln y e Donc ln y ln ln y Remarque : Cette formule permet de transformer un produit en somme. Ainsi, celui qui aurait à effectuer 36 62, appliquerait cette formule, soit : log(36 62) = log(36) + log(62),5563 +,7924 (voir table ci-contre) L addition étant beaucoup plus simple à effectuer que la multiplication, on trouve facilement : log(36 62) 3,3487 En cherchant dans la table, le logarithme égal à 3,3487, on trouve 2232, soit : = ) Formules Corollaires : Pour tous réels et y strictement positifs, on a : a) ln ln b) ln y ln ln y c) ln 2 ln d) n ln nln avec n entier relatif

3 Démonstrations : a) ln ln ln ln 0 c) ln ln 2ln ln ln ln ln d) n Donc nln ln b) ln ln ln ln ln ln y y y y n n n ln n e e e 3 Eemples : a) ln ln 2 2 b) 3 ln ln 3 ln 4 4 ln 64 ln 8 2ln8 c) ln 5 2 ln5 d) 2 Méthode : Simplifier une epression A ln 3 5 ln 3 5 B 3ln2 ln5 2ln3 C lne 2 ln 2 e A = ln(3 5) + ln(3 + 5) = ln[(3 5)(3 + 5)] = ln [ ] = ln(4) B = 3 ln 2 + ln 5 2 ln 3 = ln ln 5 ln3 2 = ln ( (23 5) ) = ln ( C = ln e 2 ln 2 = 2 (ln 2 ln e) = 2 ln 2 + = 3 ln 2 e 9 ) Méthode : Résoudre une équation ou une inéquation ) Résoudre dans R l équation : 6 2 2) Résoudre dans 0; l'équation : 5 3 3) 8 augmentations successives de t % correspondent à une augmentation globale de 30 %. Donner une valeur approchée de t. ) 6 2 ln(6 ) = ln 2 ln(6) = ln 2 = ln 2 2) Comme 0, on a : 5 3 ln( 5 ) = ln 3 5 ln = ln 3 ln = 5 ln 3 ln = ln 3 5 = Remarque : 3 se lit "racine cinquième de 3" et peut se noter 3. 3) Le problème revient à résoudre dans 0; l'équation : ( + t 00 )8 =,3 ln (( + t 00 )8 ) = ln(,3) 8 ln ( + t t ) = ln(,3) ln ( + ) = ln(,3) ln ( + t ) = ln 00 (,3 8) + t = 00,3 8 t = 00 (,3 8 ) Comme 00 (,3 8 ) 3,3 Une augmentation globale de 30 % correspond à 8 augmentations successives d'environ 3,3 %. III. Etude de la fonction logarithme népérien ) Continuité et dérivabilité Propriété : La fonction logarithme népérien est continue sur 0;. - Admis - ln 6

4 4 Propriété : La fonction logarithme népérien est dérivable sur 0; et (ln )'. Nous admettons que la fonction logarithme népérien est dérivable sur 0;. Posons f () e ln. Alors f '() (ln )'e ln (ln )' Comme f (), on a f '(). Donc (ln )' et donc (ln )'. Eemple : Dériver la fonction suivante sur l'intervalle 0; : f () ln f () = ln ln = 2 2 2) Variations Propriété : La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur 0;. Pour tout réel > 0, (ln )' 0. 3) Conveité Propriété : La fonction logarithme népérien est concave sur 0;. Pour tout réel > 0, (ln )'. (ln )'' 0 donc la dérivée de la fonction ln est strictement décroissante sur 0; 2 et donc la fonction logarithme népérien est concave sur cet intervalle. 4) Limites au bornes Propriété : lim ln et lim ln 0 0 On peut justifier ces résultats par symétrie de la courbe représentative de la fonction eponentielle.

5 5) Tangentes particulières 5 Rappel : Une équation de la tangente à la courbe C f au point d'abscisse a est : y = f (a)(-a) + f(a). Dans le cas de la fonction logarithme népérien, l'équation est de la forme : y = (-a) + ln(a) a - Au point d'abscisse, l'équation de la tangente est y = (-) + ln() soit : y. - Au point d'abscisse e, l'équation de la tangente est y e ln e soit : y e e. 6) Courbe représentative On dresse le tableau de variations de la fonction logarithme népérien : Valeurs particulières : ln() = 0 et ln(e) = Méthode : Etudier les variations d'une fonction ) Déterminer les variations de la fonction f définie sur 0; par f () 3 2ln. 2) Etudier la conveité de la fonction f. ) Sur 0;, on a f '() 2 2. Comme 0, f '() est du signe de 2. La fonction f est donc strictement croissante sur 0;2 et strictement décroissante sur 2;. On dresse le tableau de variations : f (2) 3 2 2ln2 2ln ) Sur 0;, on a f ''( ) La fonction f ' est donc décroissante sur 0;. On en déduit que la fonction f est concave sur 0;.

6 IV. Positions relatives 6 Propriété : La courbe représentative de la fonction eponentielle est au-dessus de la droite d'équation y. La droite d'équation y est au-dessus de la courbe représentative de la fonction logarithme népérien. - On considère la fonction f définie sur R par f () e. f '() e. f () = 0 e = 0 e = e = e 0 = 0 On a également f (0) e On dresse ainsi le tableau de variations : On en déduit que pour tout de R, on a f () e 0 soit e - On considère la fonction g définie sur 0; par g() ln. g '(). Comme 0, f '() est du signe de. On a également g() ln 0. On dresse ainsi le tableau de variations : On en déduit que pour tout de 0;, on a g() ln 0 soit ln.