Fonctions de référence 2

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1 La fonction logarithme népérien. Définition et propriétés Fonctions de référence 2 La fonction eponentielle est continue et strictement croissante sur R. Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires permet d affirmer que quel que soit le réel a strictement positif, il eiste un réel unique tel que e = a. Définition Si a est un réel strictement positif, la solution unique sur R de l équation e = a, d inconnue, s appelle logarithme népérien de a, et on note = ln a. Définition La fonction logarithme népérien est définie sur ]0; + [ par : ln. Autrement dit, pour tout strictement positif, y = ln e y = On dit que la fonction ln est la fonction réciproque de la fonction ep. Ainsi : ln = 0 puisque e 0 = et ln e = puisque e( = ) e. De plus : si ln = y alors = e y et = e y soit ln On obtient donc, pour tout réel strictement positif : = y. ln = ln Propriété Pour tout réel, ln(e ) = et pour tout réel strictement positif, e ln =.2 Variations et ites Propriété La fonction logarithme népérien est continue et dérivable sur ]0; + [ et ln () =. partielle On admet que la fonction ln est continue et dérivable sur ]0; + [. Si on pose f() = ep(ln ) =, alors f () = ln () ep(ln ) = ln (). Or f () =, d où ln () =. La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0; + [. Bernelas-Bays Lycée Les Eucalyptus

2 ln () = et > 0 pour tout > 0 ; puisque sa dérivée est strictement positive sur ]0; + [, on conclut que la fonction ln est strictement croissante sur ]0; + [. Corollaire : Pour tout réels a et b strictement positifs, a < b ln a < ln b et a = b ln a = ln b En particulier : 0 < < équivaut à ln < 0 et > équivaut à ln > 0. + ln = + et ln = 0 On utilise la définition d une ite infinie à l infini : quel que soit le réel A, si > e A alors ln > A ; donc l intervalle ]A; + [ contient toutes les valeurs de ln pour assez grand. Ensuite : ln = ln 0 0 Donc, par composition, on obtient ln =. ; or, = + et 0 ln X = X + 0 Tableau de variation et représentation graphique On construit le tableau de variation à l aide des résultats précédents. Puisque la fonction ln est la réciproque de la fonction ep, les courbes représentatives de ces deu fonctions sont symétriques par rapport à la droite d équation y =. La courbe passe par les points de coordonnées (; 0) et (e; ). La tangente à la courbe au point d abscisse a pour coefficient directeur ln () =. Puisque ln =, la courbe représentative de la fonction logarithme népérien admet une 0 asymptote d équation = 0, soit l ae des ordonnées. 0 + ln () ln + + Bernelas-Bays 2 Lycée Les Eucalyptus

3 .3 Relation fonctionnelle La fonction ln est la réciproque de la fonction ep. On peut donc déduire une relation fonctionnelle pour la fonction ln à partir de celle eistant pour la fonction ep : pour tout réels et y, ep() ep(y) = ep( + y) donc ln(ep() ep(y)) = ln(ep( + y)) = + y ; si on pose a = ep() et b = ep(y), soit = ln a et y = ln b on obtient : Quels que soient les réels a et b, strictement positifs : ln(a b) = ln a + ln b Si a = b, la relation fonctionnelle nous donne : ln(a 2 ) = 2 ln a. On peut alors en déduire : ln = ln(( ) 2 ) = 2 ln( ), soit ln( ) = 2 ln..3. Propriétés Quels que soient les réels a, b strictement positifs et l entier relatif n : ( a ) ( ) ln = ln a ln b ln = ln b ln(a n ) = n ln a b b La deuième propriété a déjà été prouvée. pour la première propriété, on utilise la relation fonctionnelle : ln a ( b = ln a ) = ln a + ln = ln a ln b. b b pour la troisième propriété notée P n : " ln(a n ) = n ln a " ; nous allons d abord démontrer par récurrence que P n est vraie pour tout n N. Initialisation : ln(a 0 ) = ln = 0 et 0 ln a = 0 donc P 0 est vraie. Hérédité : supposons que la propriété est vraie pour un certain entier naturel k ; soit ln(a k ) = k ln a. Alors ln(a k+ ) = ln(a k a) = ln(a k ) + ln a = k ln a + ln a d après l hypothèse de récurrence, donc ln(a k+ ) = (k + ) ln a et P k+ est vraie. Conclusion : P n est vraie pour tout n N. Maintenant, si n est un entier relatif négatif, ln(a n ) = ln a n = ln(a n ) or ( n) N ; on peut donc écrire ln(a n ) = ( n) ln a On en déduit que : ln(a n ) = n ln a. Bernelas-Bays 3 Lycée Les Eucalyptus

4 .4 Compléments.4. Calcul de ites ln ln( + ) = 0 et = + 0 On sait que pour tout a réel, a < ep(a) donc pour tout a strictement positif, ln a a. (Croissance de la fonction ln). On en déduit que pour tout strictement positif ln d où 2 ln et donc ln 2. Alors, pour tout : 0 ln 2 De plus + ln, c est-à-dire : = 0, donc par application du théorème des gendarmes, On pouvait aussi écrire ln = X ep(x) = X et l inverse de ites. ln( + ) ln( + ) ln = ep(x) ln + = 0., et appliquer les théorèmes sur la composition est le tau d accroissement de la fonction ln en. Sa ite quand tend vers 0 est le nombre dérivé de la fonction ln en qui est. ln( + ) ln( + ) ln Donc = = Calcul de dérivées On montre que : si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I de R, alors la fonction composée ln u, notée aussi ln u, est dérivable sur I et (ln u) () = u () u() Par eemple, on obtient pour tout > b a : (ln(a + b)) = a a + b u étant strictement positive, le signe de (ln u) est le même que celui de u. Cette dérivée satisfait à la formule générale : (f(u()) = u () f (u()) Bernelas-Bays 4 Lycée Les Eucalyptus

5 2 Fonction logarithme décimal 2. Définition On appelle fonction logarithme décimal la fonction notée log, définie sur ]0; + [ par : log = ln ln 0 En particulier : log = 0, log 0 =. 2.2 Propriétés Les propriétés de la fonction logarithme décimal se déduisent immédiatement de celles de la fonction ln. Par eemple, pour tout entier relatif n, log 0 n = ln 0n ln 0 = n ln 0 ln 0 = n Dérivée La fonction logarithme décimal est continue et dérivable sur ]0; + [ et Variations log () = ln 0 La fonction logarithme décimal est strictement croissante sur ]0; + [ Limites + log = + et log = Relations fonctionnelles Quels que soient les réels a et b, strictement positifs : log(a b) = log a + log b Quels que soient les réels a, b strictement positifs et l entier relatif n : ( a ) ( ) log = log a log b log = log b log(a n ) = n log a b b Bernelas-Bays 5 Lycée Les Eucalyptus

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