Comportement dynamique

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1 Comportement dynamique I. Introduction :

2 I. Etapes d une étude dynamique : 1. Hypothèse: -Solides indéformables. -Liaisons sans jeu. Données de départ 2. On modélise le mécanisme (Schéma cinématique paramétré). 3. Bilan des Actions Mécaniques AGISSANT SUR LE MÉCANISME 4. On isole un solide ou un ensemble de solides. 5. Bilan des Actions Mécaniques Extérieures APPLIQUÉ AU SOLIDE ISOLÉ 6. Étude CINEMATIQUE 7. Appliquer le Principe Fondamental de la Dynamique 8. Ce qu il faut retenir.

3 2. Dynamique des solides en mouvement de translation : 2.1 Application : Etude du système de levage d un ascenseur Le gratte-ciel Taipei 101 (Taïwan), inauguré à Taipei début 2004, mesure 509 m de hauteur et comporte 101 étages (d'où son nom) ainsi que cinq niveaux de sous-sols. Il fut l'édifice le plus haut au monde jusqu'au 27 mars 2008 TAIPEI 101 Objectif Déplacer une cabine d ascenseur à grande vitesse pour augmenter la fréquentation touristique des grands immeubles

4 Cahier des charges Passagers FP1 Etage FC1 Ascenseur FC4 Normes Environnement FC2 FC3 Treuil Fonctions Critères Niveaux Flexibilités FP1 : Déplacer la cabine d ascenseur Temps de passage de l étage 0 à l étage 89 t 89 T s Aucune Hauteur entre 0 et 89 ieme étage : H H=382 m Aucune Vitesse maxi de déplacement en montée Vm Vm=1010m/min Aucune Vitesse maxi de déplacement en descente Vd Vd=600m/min Aucune FC1 : sécurité Nombre de passagers : N p N p 24 Aucune Masse moyenne d un passager Mp Mp=80Kg FC 2 : être aérodynamique Cx Cx=0.1 FC 3 : Résister. Diamètre du câble : Dc Dc=? FC 4 : sécurité. Accélération maximale a m a m 1m/s²

5 Problématique Vérifier que le système d accroche de la cabine soit correctement dimensionné.

6 2.2 On modélise le mécanisme Poulies motrices Exemple n 1 : Ascenseur avec local machine Câbles Modèle Contrepoids Cabine Rails

7 Paramétrage Exemple n 1 : TRANSLATION Rectiligne O y 0 y 0 R1 y 1 x z 1 1 y Paramétrage B y 2 Gc A y 1 x 1 R0 z 0 x 0 Gcp x 2 O yc(t) x 0

8 2.3. Bilan des Actions Mécaniques agissant sur le mécanisme Graphe des liaisons Exemple n 1 : Ascenseur avec local machine Appliqué en Point Gc: centre d application de gravité cabine Pesanteur Structure fixe Glissière (Gcp, y) Contrepoids Point d application et Nom de la liaison Glissière (Gc, y) Pivot (O, z) Lien flexible câble Resistance de l air Appliqué en Gcp: centre de gravité contrepoids Cabine + passager Lien flexible câble Poulie Pesanteur Appliqué en Gp: centre de gravité poulie

9 2.4. On isole un solide ou un ensemble de solides. *******Attention, c est une étape fondamentale de l étude****** Principe : Le principe est de choisir une classe d équivalence, pour laquelle on va effectuer un bilan des Actions Mécaniques Extérieures Il est important de ne pas choisir au hasard, il est judicieux de vérifier les points suivants : -Il doit y avoir au moins une action mécanique connue appliqué au solide isolé. -Si on fait une étude SPATIALE il ne doit pas y avoir plus de six actions mécaniques inconnues appliquées au solide isolé. Si un des point précédent n est pas respecté, on doit isoler un autre solide ou ensemble de solides -Si on fait une étude PLANE il ne doit pas y avoir plus de trois actions mécaniques inconnues appliquées au solide isolé.

10 Objectif : trouver l action mécanique du câble sur la cabine Quelques reflexes utiles : Bien identifier les actions mécaniques recherchées : On peut isoler un ou plusieurs solides ensembles. Lister les solides soumis à deux forces.

11 Glissière (Gc, y) Structure fixe Air Cabine + passager Pesanteur Appliqué en Gc: centre de gravité cabine Lien flexible: Câble Pesanteur On isole la cabine avec ses passager Contrepoids Pesanteur Poulie

12 2.5. Bilan des Actions Mécaniques Extérieures Appliqué au solide isolé Exemple n 2 : Ascenseur avec local machine 0 A(1 / 2) ( 1 2) Y 1 / 2 0 A 0 A Air A Gc Cabine 2 + passager Gc A Pesanteur (0 2) G R M (0 / 2) G(0 / 2) A X 0 0 Z 0 / 2 / 2 L M N G0 / 2 G0 / 2 G0 / 2 0 P m. g. z ( pes 2) m. g 0 G 0 G Structure fixe 0 F air / 2 Poulie 1 A 1 / 2 A 0 F ( air / 2) ( air 2) Yair / 2 0 A 0 A Yair/2 = P Gc

13 2.6. Étude CINEMATIQUE Calcul de l accélération du solide en mouvement Mouvement de translation rectiligne Acc. nulle Acc. constante V=Δd/ Δ t a v t vf ² vi² 2( zf zi) a v z t t t a a. t v 1 2 o a. t² v o. t z o

14 Données : Loi d évolution de la vitesse en fonction du temps: v (t) (m/s) Pour monter Vm Pour descendre t5 t4 t5 t6 t1 t2 t t (s) Arrêt

15 2.7. Appliquer le Principe Fondamental de la Dynamique A l équilibre ou à vitesse de translation constante Principe fondamental de la statique Premier principe Second principe R S / S 0 MA( S A est quelconque / S) Théorème de la résultante STATIQUE 0 Théorème du moment STATIQUE

16 Principe fondamental de la statique généralisé en 3D XS / S LAS / S 0 0 R( S S) ( S S) YS / S MAS / S 0 0 MA( S S) A ZS / S NAS / S 0 0 A Soit si on à : (1 2) (2 2) A R M (1 / 2) A(1 / 2) A X Y Z 1 / 2 1 / 2 1 / 2 L M N A1 / 2 A1 / 2 A1 / 2 Et (3 2) B R M (3 / 2) B(3 / 2) Alors, on doit placer les deux torseurs en un même point, ici A : Pour simplifier les calcul, on choisis en général de déplacer tous les torseurs au point ou se trouve le torseur contenant le plus d inconnues: 0 A R MA (1 / 2) (1 / 2) R M (3 / 2) A(3 / 2) 0 0 On peut enfin écrire les 6 équations de l espace B X Y Z L M N 3 / 2 3 / 2 3 / 2 X Y Z 1 / 2 1 / 2 1 / 2 A(1 / 2) A(1 / 2) A(1 / 2) L M N X Y Z L B3 / 2 N B3 / 2 B3 / 2 M 3 / 2 3 / 2 3 / A(3 / 2) 0 A(3 / 2) A(3 / 2) 0 0 0

17 Cas n 1: Ascenseur immobile ou se déplaçant à vitesse constante a. On exprime tous les torseurs au même point: b. On applique le PFS en. lorsque la cabine se déplace à vitesse constante OU immobile : c. Résoudre les équations: f. Conclusion:

18 Dans un repère galiléen g, on considère un solide S de masse M et de centre de masse G. L expression du principe fondamental de la dynamique s exprime en G: Mouvement de translation rectiligne uniformément varié R M S / S ( G / R0) Théorème de la résultante dynamique MG( S / R( S S) : Représente la résultante des actions mécaniques extérieures exercées sur S. G est le centre de gravité du solide S. G = représente le vecteur accélération instantané du point G ( m/s² ). M est la masse du solide S ( kg ). S ) 0 Théorème du moment dynamique L expression du principe fondamental de la dynamique s exprime en A point quelconque : M A( S / S) AG M G / R0

19 Cas n 2: Ascenseur se déplaçant en phase d accélération Données: v (t) (m/s) Vm y R1 y 0 z 1 y x 1 a. On applique le PFD en. lorsque la cabine se déplace avec une accélération constante: t1 t1 t3 t (s) R0 b. Résoudre les équations: z 0 x 0 c. Conclusion:

20 3. Dynamique des solides en ROTATION 3.1 Exemple n 2 : Etude du Bateau pirate Objectif n 1 Problématiques Calculer les Actions Mécaniques dans la liaison pivot entre le bras mobile et le bras fixe, afin de dimensionner la liaison pivot entre ces deux pièces Objectif n 2 Choisir un moteur

21 Cahier des charges Passagers FP1 Pilote FC1 Bateau pirate FC3 Normes FC2 Environnement Fonctions Critères Niveaux Flexibilités FP1 : Déplacer la cabine du bateau pirate Rotation autour de l axe z Θ= FC1 : sécurité Effort radial maxi de guidage dans la liaison pivot Fr =50000N Nombre de passagers : N p N p 30 Aucune Masse moyenne d un passager Mp Mp=80Kg FC 2 : être agréable à regarder FC 3 : sécurité. Accélération maximale a m 10m/s²

22 3.2 On modélise le mécanisme Bateau Bras mobile Bras fixe Modèle Bras fixe Bras mobile G Bateau

23 Paramétrage Exemple n 2 : ROTATION Autour d un axe fixe z 1 y 0 y1 y0 O z 0 x 0 Paramétrage x0 x 1 θ x1 G y 1

24 3.3. Bilan des Actions Mécaniques agissant sur le mécanisme Graphe des liaisons Exemple n 1 : Bateau pirate Nom Pivot de la (O, liaison z) Pesanteur Socle fixe Nacelle + bras Resistance de l air Point Appliqué d application en G

25 3.4. On isole un solide ou un ensemble de solides. y1 z 1 y0 O y 0 x0 Pivot (O, z) z 0 x 1 θ x 0 x1 G Socle fixe Nacelle + bras Appliqué en G y 1 Pesanteur On isole le bras avec la nacelle

26 3.5. Bilan des Actions Mécaniques Extérieures Appliqué au solide isolé Hypothèse: On négligera la résistance de l air sur la nacelle. On négligera les frottements dans la liaison pivot. Pivot (A, z) Pesanteur y1 y0 O x0 Socle fixe 0 Nacelle + bras 1 Appliqué en G θ x1 G (0 2) A A M (0 / 2) A(0 / 2) A X Y Z 0 / 2 0 / 2 0 / 2 L M A0 / 2 A0 / P m. g. y ( pes 2) m. g 0 G 0 G 0 0 0

27 Mouvement de rotation par rapport à un centre fixe Acc. nulle Acc. constante ω= ΔƟ/ Δ t ) 2( ² ² i f i f t o o o t t t t t t. ² Calcul de l accélération du solide en mouvement 3.6. Étude CINEMATIQUE

28 3.7. Mouvement de rotation autour d un axe fixe OU autour du centre de gravité. M M G ( F ). z I G, z ) S S ( Théorème du moment dynamique exprimé en G (centre de gravité) O ( F ). z I O, z ) S S (. z. z Théorème du moment dynamique exprimé en O (centre de rotation d axe z ) R S / S M ( G / R0) Théorème de la résultante dynamique exprimé en G R S / S M ( G / R0) Théorème de la résultante dynamique exprimé en O Si le centre de gravité G se trouve en O M O ( F ). z I O, z ) S S (. z Théorème du moment dynamique exprimé en O (centre de rotation d axe z ) R S / S 0 Théorème de la résultante dynamique exprimé en O

29 3.8 Calcul du moment d inertie: Le moment d inertie caractérise la répartition de masse d un solide autour d un axe.

30 Moment d inertie d un ensemble de solides: y y S2 S1 O d x G2 O d z I I G3 z I ( O, S1). z Avec OG3 = d Et m3: masse du solide 3. z I ( O, S1) I ( O, S 2) I ( O, S3) ( O, S) ( G1, ) I z ( O, S 2). z I G3 S3. z I ( G2, ). z I ( G3, z) m3. d ( O, S 3) ²

31 3.9 Cas n 1 : La cabine est immobile ou se déplace à vitesse angulaire constante a. On exprime tous les torseurs au même point: b. On applique le PFS en O lorsque la cabine se déplace à vitesse angulaire constante : c. Résoudre les équations: d. Conclusion:

32 3.10 Cas n 2 : La cabine se déplace à vitesse angulaire uniformément variée a. On exprime tous les torseurs au même point: b. On applique le PFD en O lorsque la cabine se déplace à vitesse angulaire constante : c. Résoudre les équations: d. Conclusion:

33 4. Ce qu il faut retenir. Faire un graphe des liaisons: Identifier l action mécanique que l on veut calculer : Choisir le solide que l on isole: Non Bilan des actions mécaniques appliquées au solide isolé: On obtient un nombre d inconnues Ns 6 dans l espace et Ns 3 dans le plan: Oui On applique le PFD Résoudre les équations

34 Application 3 : permettre démarrage moteur électrique Application : Couple de démarrage à vide d un moteur électrique. On se propose d étudier le couple de démarrage à vide d un moteur électrique dont le rotor est modélisable par un cylindre plein S de masse M=3kg et de rayon R=30 mm. L axe de rotation ( O, z ) est un axe de symétrie matérielle pour S. Le graphe de fréquence de rotation est donné ci-contre La phase de démarrage du moteur correspond à la période 0<t<0.75 s 1- Quelle est la nature du mouvement de S dans la phase de démarrage et quelle est l expression de son accélération angulaire. 2- Calculer le moment d inertie de S par rapport à l axe ( O, z ). 3- Déterminer la valeur du moment par rapport à l axe ( O, z ) actions mécaniques agissant sur S pendant la phase de démarrage à vide des (rad/s) 150 A t(s) O 0.75

35 Application 4 : déplacement vertical d une masse suspendue à un câble Exercice : Soit une charge P suspendue à un câble Soit une charge suspendue à un câble. Exprimer T en fonction de mg et a g

36 Application 3 : Remorque bagagère Une remorque bagagère de poids P=300 dan appliqué en G, centre de gravité est tracté en A (liaison rotule) par une automobile. L ensemble voiture plus remorque atteint une vitesse de 72 km/h sur 100 m départ arrêté. 1- Déterminer l accélération du mouvement si celle-ci est constante. 2- Déterminer les actions exercées en A et B.