Fiche 9 : Fonctions III. Taux d accroissement Dérivation Variations d une fonction 1. Taux d accroissement Taux de variation.
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- Alexandre Beauchamp
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1 Université Paris-Est Val-de-Marne Créteil DAEU-B Fiche 9 : Fonctions III. Tau d accroissement Dérivation Variations d une fonction. Tau d accroissement Tau de variation.
2 . Nombre dérivé Tangente. Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I. Appelons C la courbe représentative de la fonction f dans un plan P muni d un repère orthogonal O; i, j ; A est le point de la courbe C d abscisse a. M un point quelconque de C. Lorsqu on fait «glisser» sur la courbe le point M vers A, ce qui revient à dire que la sécante [AM] pivote autour du point A, on remarque que cette droite se rapproche d une position limite : la droite T qui est appelée tangente à la courbe C en A. f ( ) f ( a) La droite [AM] a pour coefficient directeur. a Si la tangente n est pas parallèle à l ae des ordonnées, son coefficient directeur est égal à la limite f ( ) f ( a) finie de ce quotient quand tend vers a, c est-à-dire : lim. a Définition : Si la courbe C admet au point A(a,f (a)) une tangente non parallèle à l ae des ordonnées, le nombre dérivé de f en a est égal au coefficient directeur de la tangente à C en A. On le note : f (a). T C A m = coefficient directeur de la droite T : f (a) = m
3 Cette définition est donc équivalente à la définition suivante : Eercice 4 ) On considère la fonction f définie sur R par f () = ². Calculer f (0) et f (a), avec a réel quelconque. ) On considère la fonction f définie sur R* par f () =. Calculer f () et f (a), avec a réel quelconque non nul. 3) On considère la fonction f définie sur R +* par f () =. a) Calculer f () et f (a), avec a réel quelconque strictement positif. f ( ) f (0) b) Déterminer lim. Que peut-on en déduire? 0 Tangente à la courbe Si f est dérivable en 0, la courbe représentative de f admet au point A( 0,y 0) avec y 0 = f ( 0) une tangente d équation y y 0 = f ( 0) (- 0). Eercice 5 a) Déterminer graphiquement les images par f des réels ; 0; ; 3 et 4. b) Lire graphiquement le coefficient directeur de la droite T puis en déterminer l équation réduite. c) Lire graphiquement le coefficient directeur des droitest et T 3. d) En déduire les nombres dérivés f (-) ; f (0) et f ( 3). e) Sachant que f (4)=8, déterminer une équation de la tangente à C au point d abscisse 4.
4 3. Fonction dérivée. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Définition : Si f admet un nombre dérivé pour tout réel de I, ce qui revient à dire que la courbe représentative de f dans un repère orthogonal O; i, j admet une tangente non parallèle à l ae (y y) en tout point, on dit que f est dérivable sur I. Définition Si f est dérivable sur l intervalle I, la fonction qui, à tout de I, associe le nombre dérivé f () est la fonction dérivée de f sur I notée f. Remarque : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I : f désigne la fonction dérivée de la fonction f ; f () désigne le nombre dérivé de f en. 4. Dérivée des fonctions usuelles. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Nous admettrons toutes les formules suivantes. Pour chaque fonction, on donne l ensemble de définition de la fonction ainsi que le (ou les) plus grand(s) intervalle(s) où elle est dérivable. f () D f f () Intervalle(s) de dérivation a R 0 R n (n) R n n- R R\{0} ]-,0[ ou ]0;+[ ² n n (n) R\{0} ]-,0[ ou ]0 ;+ [ n [0;+[ ]0;+[ Eercice 6 Calculer la fonction dérivée sur l intervalle I donné pour chacune des fonctions suivantes : 7 a) f( ) 35 I = R. d) h( ) I = R. b) f ( ) I = R. e) i ( ) I = ]0 ;+ [ 3 c) g( ) I = R. 5. Opérations sur les fonctions dérivables. Nous admettrons les théorèmes suivants: Les fonctions u et v sont deu fonctions dérivables sur un même intervalle I.
5 a- Dérivée d une somme Théorème La fonction u + v est dérivable sur I et pour tout t de I, on a : (u+v)=u+v b- Dérivée d un produit par un réel Théorème Pour tout réel k, la fonction ku est dérivable sur I (ku) =ku Conséquence Les fonctions polynômes sont dérivables sur R. Eercice 7 Calculer la fonction dérivée sur l intervalle I donné pour chacune des fonctions suivantes : a) f ( ) 7 I = R d) i( ) I = R b) g ( ) 5 I = ]0 ;+ [ c) h( ) 3 I = R e) j( ) I = R f) k( ) 3 I = ]0 ;+ [ c- Dérivée d un produit Théorème 3 La fonction uv est dérivable sur I (uv) = uv + uv Eercice 8 Calculer la fonction dérivée sur l intervalle I donné pour chacune des fonctions suivantes a) f ( ) 6 I = R b) ( ) 3 g I = ]0 ;+ [ c- Dérivée d un inverse et d un quotient Théorème 4 Si v()0, pour tout de I, alors - v est dérivable sur I, et: v v' v² - u v est dérivable sur I, et u u ' v uv ' v v² Conséquence - Les fonctions rationnelles sont dérivables sur tout intervalle ne contenant pas de valeurs qui annulent le dénominateur.
6 Eercice 9 Calculer la fonction dérivée sur l intervalle I donné pour chacune des fonctions suivantes : a) f( ) 3 3 I ; c) h ( ) I ; b) g ( ) 3 I 3; 7 d) i ( ) 5 I = R d- Dérivée d une fonction composée Théorème 5: Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I et f une fonction dérivable en tout réel u() alors la fonction g définie sur I par : g()=f (u()), est dérivable sur I et: g()= u() f '( u( )). Conséquences Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors - la fonction u n (nn*) est dérivable sur I et (u n ) =nuu n-. - si u( ) 0 sur I, la fonction ' n u (nn*) est dérivable sur I et nu ' n n u u - si u() > 0 sur I, la fonction u est dérivable sur I et ' u = En particulier : Soient a et b deu réels quelconques. Si g() = f (a+b), alors g()=af (a+b). Eercice 0 Calculer la fonction dérivée sur l intervalle I donné pour chacune des fonctions suivantes : u ' u a). f ( ) 5 5 I ; b) g( ) 3 I = R 3 d) i( ) (3 4 ) I = R e) j ( ) ( 3) I ;3 c) h( ) (3 7) I = R Eercice Pour chacune des fonctions suivantes : - Déterminer l ensemble de définition. - Déterminer l ensemble de dérivation. - Calculer la fonction dérivée.
7 Eercice * 6. Dérivées et sens de variation. Théorème Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. - f est strictement croissante sur I si et seulement si f () > 0 pour tout de I. - f est strictement décroissante sur I si et seulement si f () < 0 pour tout de I. - f est constante sur I si et seulement si f () = 0 pour tout de I. Remarques Si f () s annule pour des valeurs isolées sans changer de signe sur I, alors f est strictement croissante ou strictement décroissante sur I. On ajoutera une ligne dans les tableau de variation pour préciser le signe de la dérivée. On convient que les flèches obliques d un tableau de variation traduisent la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l intervalle considéré. Eercice 3 Pour chaque fonction: - Préciser l ensemble de définition et l ensemble de dérivabilité. - Calculer la dérivée puis dresser le tableau de variation. a) f ( ) ² 6 b) 5 g( ) Eercice 4 La fonction f définie sur l intervalle [-3 ;3] 5 c) h( ) 4 d) i( ) 6 est représentée ci-contre :
8 ) Résoudre graphiquement sur [-3 ;3]: a) f () = 0 f () < 0. b) f () = 0 f () < 0. ) Déterminer graphiquement un intervalle où f et f sont positives en même temps. Eercice 5 La fonction f définie sur l intervalle [-5 ;5] est représentée par la courbe ci-contre. a) Déterminer graphiquement les variations de f. b) Quelle est, parmi les courbes données ci-dessous, la courbe représentative de la fonction dérivée f de la fonction f? (Justifier la réponse). Courbe Courbe Courbe 3 Théorème 7. Etremum d une fonction. Si f est dérivable sur un intervalle I et si f admet un etremum en un point 0 de I, distinct des etrémités de I, alors f ( 0)=0. Réciproquement: si f est une fonction dérivable sur un intervalle I et si f s annule en changeant de signe en 0, 0 I, alors f admet un etremum local en 0. a 0 b f () + 0 a 0 b f () 0 + f ( 0) f (a) f (b) f f f (a) f (b) f ( 0) f admet un maimum en 0. f admet un minimum en 0.
9 Remarque : Si f admet un etremum en 0, la courbe représentative de f admet au point M 0 d abscisse 0 une tangente horizontale. f admet un maimum en 0. f admet un minimum en 0. Remarque: Si f s annule en 0 sans changer de signe, alors f n admet pas d etremum en 0. Eercice 6 La fonction f est définie sur R par : 3 f ( ) 5. Montrer que f n a pas d etremum. 3 Eercice 7 La fonction f est définie sur R par : f () = -3² Montrer que f admet un etremum que l on précisera. Eercice 8 Les laboratoires «Belior» produisent et vendent des trousses d urgence. Le bénéfice, eprimé en dizaines d euros, réalisé par la vente de dizaines de trousses est égal à : B() = -² pour [ ;50] a) Étudier les variations de la fonction B. b) Déterminer le nombre de trousses qu il faut vendre pour réaliser un bénéfice maimal. Eercice 9* Eercice 0
10 8. Eercices récapitulatifs. Eercice Le plan est muni du repère orthonormal O; i, j. On considère C f, la représentation graphique de la fonction numérique f définie définie sur R par : f () = a 3 + b + c + d; où a, b, c et d sont des constantes réelles. La représentation graphique de la courbe C f est donnée ci-contre : on précise qu au points A et B, la tangente est parallèle à l ae des abscisses. ) À l aide du graphique, déterminer les valeurs de f (0), f (), f (0) et f (). ) Déterminer les valeurs des constantes a, b, c et d. 3) On considère la fonction g définie sur R par : g() = : a) Déterminer les limites de la fonction g en + et en. b) Dresser le tableau complet des variations de la fonction g sur R. c) Montrer que l équation f () = 0 admet eactement trois solutions dans R (on précisera un encadrement par deu entiers de chacune des solutions) Eercice Eercice 3 On considère f, la fonction numérique de la variable réelle définie sur l intervalle 4 ];+ [ par f ( ). Soit C f sa courbe représentative dans un repère orthonormé. ) Étudier la limite de f en +. ) Étudier la limite de f en. En déduire l équation d une asymptote à la courbe C f. 3) Calculer la fonction dérivée f de f et montrer qu elle peut s écrire sous la forme f '( ) 4. 4) Étudier le signe de f () pour appartenant à l intervalle ];+ [. En déduire le tableau de variation de la fonction f. 5) Déterminer une équation de T, la tangente à la courbe C f au point d abscisse 3. 6.a) Montrer que la courbe C f admet la droite d équation y = + pour asymptote oblique au voisinage de +. b) Étudier la position de C f par rapport à.
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