Classe de BTSCG1 TD: Fonction logarithme népérien 2013/2014

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1 Exercice 1 :Calculer les dérivées des fonction suivantes : 1. f(x) = 2x + lnx 2. g(x) = xlnx 3. h(x) = lnx x 4. l(x) = ln(2x 1) Exercice 2 :Étudier les variations de f après avoir calculé f (x) 1. f(x) = x lnx sur ]0; 5] 2. f(x) = ln(4x + 2) sur ]0; + [ Exercice 3 :Une entreprise produit des pièces automobiles. x désigne la production en dizaines de pièces. Le bénéfice réalisé en dizaines de milliers d euros est donné par la fonction f(x) = x 2 + 8x 7 6ln(x) pour x [1; 5]. On donne la représentation graphique de la fonction f : (a) Déterminer graphiquement pour quelles valeurs l entreprise travaille à perte? (b) Déterminer graphiquement pour quelle production le bénéfice est maximum? 2. Calculer f (x) et vérifier que f (x 1)(x 3) (x) = x 3. Étudier le signe de f (x) et retrouver le résultat précédent. Exercice 4 : Une entreprise fabrique x tonnes d un certain produit, 0 x 12. Le bénéfice, exprimé en milliers d euros, pour produire x tonnes est modélisé par la fonction f définie sur l intervalle [0 ; 12] par f(x) = 0, 5x 2 13x ln(x + 3). Partie A : étude d une fonction 1. f désigne la dérivée de f. Calculer f (x). Vérifier que f (x) = (x 2)(x 8). (x + 3) 2. Étudier, à l aide d un tableau, le signe de f (x) dans l intervalle [0 ; 12]. 3. En déduire le tableau de variations de f dans l intervalle [0 ; 12]. Partie B : application économique À l aide d une feuille automatisée de calcul dont un extrait est donné ci-dessous, on a créé un tableau de valeurs de la fonction f. Lycée Cassini Page 1/6

2 1. Expliquer comment remplir toutes les cellules de la colonne A sans avoir à saisir toutes les valeurs de la colonne. 2. Donner une formule à recopier vers le bas et à saisir dans la cellule B2 pour obtenir les valeurs de la colonne B. 3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. En s appuyant sur le tableau fourni ci-dessous et sur l usage de la calculatrice, que peut-on affirmer au sujet des productions pour lesquelles l entreprise est déficitaire? A B 1 x f(x) 2 0 0,42 3 0,5 2, ,75 4 1,5 4, ,52 7 2,5 4, ,05 9 3,5 3, , ,5 2, , ,5 1, , ,5 0, , ,5 0, , ,5 0, , ,5 0, , ,5 1, , ,5 3, ,94 Lycée Cassini Page 2/6

3 Exercice 5 : On considère la fonction f définie et dérivable sur l intervalle [1 ; 7] par : f(x) = 2x 2 20x ln(x). 1. Soit f la fonction dérivée de f sur l intervalle [1 ; 7]. Calculer f (x) puis montrer que f 4(x 4)(x 1) (x) =. x 2. Étudier le signe de f (x) sur l intervalle [1 ; 7] et en déduire le tableau de variations de la fonction f. 3. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant. On arrondira les résultats à l unité. x f(x) 4. Représenter graphiquement la fonction f dans un repère orthogonal. On prendra pour unités graphiques : 1 cm sur l axe des abscisses et 1 cm sur l axe des ordonnées. Un artisan fabrique entre 1 et 7 poupées de collection par jour. Le coût unitaire de fabrication de x poupées, exprimé en euros, est égal à f(x) (x est compris entre 1 et 7). 5. Combien faut-il produire de poupées pour que le coût unitaire de fabrication soit minimal? Quel est ce coût minimal? 6. Le prix de vente d une poupée est de 20 euros. Par lecture graphique, déterminer combien de poupées l entreprise doit produire pour réaliser un bénéfice. Exercice 6 : On considère la fonction f définie sur l intervalle [ 0, 5 ; 5] par f(x) = x 2 9x + 14 ln(x + 1). Dans le repère ci-dessous, la courbe (C f ) est sa courbe représentative. On admet que la fonction f est dérivable sur l intervalle [ 0, 5 ; 5] et on note f sa fonction dérivée. Partie A Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes : 1. Déterminer f(0) et f (0). 2. Donner le nombre de solutions de l équation : f(x) = 1, 5. Partie B 1. Calculer f (x). 2. Vérifier que f (2x 5)(x 1) (x) =. x En remarquant que (x+1) est strictement positif sur l intervalle [ 0, 5 ; 5], et à l aide d un tableau de signes déterminer le signe de f (x) puis les variations de f sur ce même intervalle. 4. Déterminer l équation réduite de la tangente (T) à la courbe représentative de f au point d abscisse 0. Lycée Cassini Page 3/6

4 5 4 (T) C f O Exercice 7 : Au rayon location d un grand magasin, on loue à la semaine des machines-outils, et on se propose d étudier la rentabilité de ce service. Partie A. Étude du coût de fonctionnement On suppose que le coût de fonctionnement hebdomadaire (en centaines d euros) correspondant à la location de n machines est donné par C(n) = 4n ln(0, 2n + 1) (n entier naturel). 1. Calculer, en arrondissant à 1 euros près, C(10) et C(20). Le coût de fonctionnement hebdomadaire est-il proportionnel au nombre de machines louées? 2. On pose c(x) = 4x ln(0, 2x + 1) (x réel positif ou nul). Calculer c (x) et vérifier que c 0, 8x (x) = 0, 2x + 1. En déduire le sens de variation du coût. Partie B. Étude de la rentabilité Chaque machine est louée 300 euros par semaine. 1. Expliquer pourquoi le bénéfice hebdomadaire (en centaines d euros) correspondant à la location de n machines est donné par : B(n) = n ln(0, 2n + 1) 2. On pose b(x) = x ln(0, 2x + 1) (x réel positif ou nul). (a) Calculer b (x) et vérifier que b (x) = 0, 2x + 3 0, 2x + 1. (b) Étudier le sens de variation de la fonction b sur l intervalle [0 ; 40]. (n entier naturel). (c) Dresser le tableau de variations de la fonction b. (on donnera les arrondis, à 10 2 près, des valeurs particulières) 3. On donne, ci-dessous, la courbe représentative de la fonction b. En vous aidant du graphique, dire Lycée Cassini Page 4/6

5 (a) Combien le magasin doit louer de machines par semaine pour que le bénéfice réalisé soit positif. (b) Quel est, arrondi à un euro près, le bénéfice maximal réalisable en une semaine, Lycée Cassini Page 5/6

6 Exercice 8 : Partie A Étude d une fonction On donne la fonction f définie sur l intervalle [0 ;100] par ( ) x + 12 f(x) = 216x x ln. 12 On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal. (unités graphiques : 1 cm pour 5 en abscisse et 1 cm pour 200 en ordonnée). 1. Calculer f (x) et montrer et que, sur l intervalle [0 ; 100], f 2(x 8)(x 88) (x) =. x Étudier le signe de f (x) et dresser le tableau de variation de f sur l intervalle [0 ; 100]. (on arrondira les valeurs numériques à l unité). 3. Tracer la courbe C pour x [0 ; 100]. 4. À l aide du graphique, donner une valeur approchée à l entier près de la solution non nulle de l équation f(x) = 0, puis â l aide du tableur de votre calculatrice, préciser cette valeur arrondie au millième. Partie B Application Pour des raisons d approvisionnement limité, la coopérative «Le Val de Seine» ne peut produire et commercialiser plus de 100 tonnes de tomates confites par an. Le coût total de production (en euros) est donné par la fonction g définie sur l intervalle [0 ; 100] par : ( ) x + 12 g(x) = 10x ln, 12 où x désigne le nombre de tonnes produites. Elle vend toute cette production à 2160 euros la tonne. 1. Déterminer, en fonction de x, le bénéfice de la société sur le poste «tomates confites». Exprimer ce bénéfice en utilisant la fonction f de la partie A. 2. Combien de kilogrammes faut-il produire au minimum pour que ce bénéfice soit positif? 3. Combien de tonnes faut-il produire pour que ce bénéfice soit maximum? Que vaut-il alors? Lycée Cassini Page 6/6