( ) 2. Corrigé du brevet blanc mai 2003

Transcription

1 orrigé du brevet blanc mai 00 Activités numériques : Exercice ) alculer A et. On précisera les étapes et on donnera les résultats sous la forme de fractions irréductibles. 7 6 A = 0 = + = = + 6 = + 5 = + = ) Ecrire, D et E sous la forme a b où a est un entier et b un entier positif le plus petit possible. = 6 = 8 = 9 ) alculer F. ( ) ( ) F = + = = Exercice D = 7 = 9 = = E = = 7 7 = 7 = 7 6 On donne l expression : A = ( x ) + ( x )( 5x + ) ) Développer et réduire A. A Exercice x x x x x + 6x x On considère la fraction ) Factoriser A. ( x ) ( x ) ( x ) A ( x )( 6x ) ) alculer A pour x =. Reprenons l expression développée réduite du ) ( ) A = 6 + = 6 + = 0 ) Déterminer, par la méthode de votre choix, le PGD des nombres 5 8 et

2 Grâce à l algorithme d Euclide, on a : Donc PGD ( 5 8; 86) = = = = = ) Utiliser le résultat de la question précédente pour rendre irréductible la fraction = = Exercice Voici la série des quinze notes obtenues en mathématiques par un élève au cours du er semestre : ) Quelle est la fréquence de la note? Il y a fois la note sur 5 résultats, donc la fréquence, en %, de la note est des notes sont des. ) Quelle est la note moyenne? Justifier. La note moyenne est = 80 = 5 5 ) Quelle est la note médiane? Justifier. lassons les notes dans l ordre croissant ou décroissant : La médiane est donnée par la 5 + = ème 8 note, donc. ) Quelle est l étendue de cette série de notes? Justifier. L étendue de la série est 8 = 00 = 0 ou encore 0 % 5 Activités géométriques Exercice Dans cet exercice, l unité de mesure est le centimètre. On considère un rectangle AD tel que A = 8 et = 5. Sur le segment [ D ] est placé le point M tel que M = 6. On note N le point d intersection des droites ( M ) et ( AD ). ) onstruire la figure sur votre copie. ) Déterminer tan M et en déduire la mesure de l angle M arrondie au degré près. - -

3 Dans le triangle M rectangle en, puisque AD est un rectangle : A M 6 tanm = = =, 5 M 50 ) alculer la valeur exacte de M. Dans le triangle M rectangle en, d après le théorème de Pythagore, on a : M = + M D M M = M = 6 M = 6 7, 8 N ) alculer la valeur exacte de DN. On a : - N ( M) - D ( M) - ( ) et ( DN ) sont parallèles car dans un rectangle, les côtés opposés sont parallèles. D après le théorème de Thales, omme M [ D] MD MN DN = =. M M, MD = D M = 8 6 = cm et MN DN = = soit DN = = = cm 6 6 Exercice L unité de longueur est le centimètre. On considère la boule de centre O et de rayon 0 ; [ A ] est un diamètre et [ SO ] un rayon de cette boule. ) alculer le volume de la boule (donner la valeur approchée au cm ) V = π R = π 0 907cm ) On donne S = 0. Montrer que la droite ( SO ) est perpendiculaire à la droite ( A ). On a : - ( ) - - S = 0 = 0 = 800 OS = 0 = 900 O = 0 = 900 omme S = SO + O = 800, d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle OS est rectangle en O - -

4 Problème L unité de longueur est le centimètre. PARTIE On considère un triangle isocèle S tel que : S S = S = 5 = 6 La hauteur issue de S coupe le segment [ ] en I. ' I' ' ) Faire une figure que l on complètera dans la question ). ) Démontrer que SI =. Dans le triangle isocèle S, la hauteur ( SI ) est aussi une médiane donc I est le milieu de [ ] et 6 I = I = = cm Dans le triangle SI rectangle en I, d après le théorème de Pythagore, on a : ) alculer l aire, en cm², du triangle S. S = SI + I SI = S I SI = 5 SI = 5 9 SI = 6 = cm I base hauteur 6 L aire d un triangle est donnée par aire = = = cm ) On note I' le point du segment [ SI ] tel que : SI' = SI Par I', on trace la parallèle à la droite ( ) ; elle coupe les droites ( S ) et ( S ) respectivement en Le triangle S' ' est donc une réduction du triangle S. - Préciser le rapport de réduction des longueurs. (On donnera le résultat sans explication) Le rapport de réduction est. ' et '. - En déduire l aire, en cm², du triangle S''. aire S = = = 0 75 cm 6 L aire de S'' est ( ), PARTIE On considère une pyramide régulière SAD de sommet S et à base carrée telle que : A = 6 et S = 5. ) Tracer, en vraie grandeur, la base AD de la pyramide et placer précisément le point H sur le dessin. ) Tracer, en vraie grandeur (sans calculer H mais en utilisant la figure précédente), le triangle SH rectangle en H. - -

5 D H S H On reporte au compas la longueur H, on trace la perpendiculaire par passant H, on reporte la longueur S = 5 au compas A ) Quelle est la nature du triangle S? (On précisera les longueurs de ses côtés.) S est un triangle isocèle car la pyramide est régulière : S = S = 5 cm et = 6 cm ) On note I le pied de la hauteur issue de S du triangle S et H' le point du segment [ SH ] tel que : SH' = SH a. Quelle est la nature du quadrilatère A'''D'? (On précisera les longueurs de ses côtés.) La pyramide SA'''D' est une réduction de la pyramide SAD de rapport, A'''D' est donc un carré de côté A'' = A = 6 =, 5 cm b. Le triangle S est le triangle décrit dans la partie et on a : SI' = SI alculer, en utilisant les résultats de la partie, l aire, en cm², du trapèze ''. L aire du trapèze '' est donnée par ( ) ( ), =, aire S aire S'' cm c. En déduire l aire latérale, en cm², de la partie tronquée de la pyramide comprise entre les plans parallèles AD et A'''D'. L aire latérale demandée vaut, 5 = 5 cm - 5 -