Préparation du DAEU par le CNED Mathématiques Faculté Jean Monet de Sceaux

Transcription

1 Regroupement du samedi 8 février 2014 Exercice 1 : Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte 1 point, une réponse inexacte enlève 0,5 point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points de l'exercice est négatif, la note est ramenée à 0. On a représenté ci-dessous, dans le plan muni d'un repère orthogonal, la courbe représentative C d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [0 ; 6]. Le point A(1 ; 4) appartient à la courbe C. La tangente en A à la courbe C est parallèle à l'axe des abscisses. On note f la fonction dérivée de la fonction f.

2 Exercice 2 : Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on a tracé la courbe C f représentative de la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle ]0 ; 8] ainsi que les tangentes à la courbe aux points A(3,5 ; 104,75) et B(6 ; 126). La tangente en B à la courbe C f passe par l'origine du repère. On note f la fonction dérivée de la fonction f et f la dérivée seconde de la fonction f. PARTIE A À partir du graphique et des renseignements fournis : 1. Déterminer f (6) et f (3,5). 2. Sur quel intervalle la fonction f semble-t-elle convexe? concave? PARTIE B La fonction f est définie pour tout réel x élément de l'intervalle ]0 ; 8] par f(x) = x 3 10,5x x Calculer f (x) et f (x). 2. Etudier les variations de la fonction f. 3. Etudier la convexité de la fonction f. 4. Que représente le point A pour la courbe C f. PARTIE C Une entreprise produit et commercialise un article. Sa capacité de production mensuelle est limitée à 8 milliers d'articles. La fonction f modélise sur l'intervalle ]0 ; 8] le coût total de production exprimé en milliers d'euros, où x désigne le nombre de milliers d'articles fabriqués. On note C M (x) le coût moyen de production exprimé en euros, par article fabriqué. C M est la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; 8] par C M (x) = x 2 10,5x x. On admet que la fonction C M est dérivable sur l'intervalle ]0 ; 8] et on appelle C sa fonction dérivée. 1. Calculer C (x) et vérifier que C (x) = (x 6)(2x2 + 1,5x + 9) x 2 Pour tout x de l intervalle ]0 ; 8]. 2. Etudier les variations de C M sur ]0 ; 8]. 3. En dessous de quel prix de vente unitaire, l entreprise est-elle sûre de ne faire aucun bénéfice?

3 Exercice 3 : Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Il suit donc les mêmes modalités que l exercice 1. Exercice 4 : Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Il suit donc les mêmes modalités que l exercice 1.

4 Exercice 5 : Préparation du DAEU par le CNED Mathématiques Un laboratoire pharmaceutique fabrique un médicament qu'il commercialise sous forme liquide. Sa capacité journalière de production est comprise entre 25 et 500 litres, et on suppose que toute la production est commercialisée. Dans tout l'exercice, les coûts et recettes sont exprimés en milliers d'euros, les quantités en centaines de litres. Si x désigne la quantité journalière produite, on appelle C T (x), pour x variant de 0,25 à 5, le coût total de production correspondant. La courbe C fournie en annexe 2 est la représentation graphique de la fonction C T sur l'intervalle [0,25;5]. La tangente à C au point A(1 ; 1) est horizontale. PARTIE A On admet que la recette R(x) (en milliers d'euros) résultant de la vente de x centaines de litres de médicament, est définie sur [0,25 ; 5] par R(x) = 1,5x. 1. a) Quelle est la recette (en euros) pour 200 litres de médicament vendus? b) Tracer, sur le graphique fourni en annexe 2, le segment représentant graphiquement la fonction R. 2. Lectures graphiques Les questions a., b., c. suivantes seront résolues à l'aide de lectures graphiques seulement. On fera apparaître les traits de construction sur le graphique en annexe 2. Toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte. PARTIE B a) Déterminer des valeurs approximatives des bornes de la «plage de rentabilité», c'est-à-dire de l'intervalle correspondant aux quantités commercialisées dégageant un bénéfice positif. b) Donner une valeur approximative du bénéfice en euros réalisé par le laboratoire lorsque 200 litres de médicament sont commercialisés. c) Pour quelle quantité de médicament commercialisée le bénéfice paraît-il maximal? À combien peut-on évaluer le bénéfice maximal obtenu? Dans la suite de l'exercice, on admet que la fonction coût total C T est définie sur l'intervalle [0,25 ; 5] par : C T (x) = x 2 2xln(x) 1. Justifier que le bénéfice, en milliers d'euros, réalisé par le laboratoire pour x centaines de litres commercialisés, est donné par :B(x) = 1,5x x 2 + 2xln(x) Calculer B(2), et comparer au résultat obtenu à la question 2. b. de la partie A. 2. On suppose que la fonction B est dérivable sur l'intervalle [0,25 ; 5] et on note B sa fonction dérivée. Montrer que B (x) = 2ln(x) 2x + 3,5. 3. On admettra que l'équation B (x) = 0 admet une solution unique α dans l'intervalle [0,25 ; 5]. Pour la suite de l'exercice, on prendra 2,77 pour valeur approchée de α. Dresser le tableau précisant le signe de B (x) pour x appartenant à l'intervalle [0,25 ; 5]. En déduire le tableau de variations de la fonction B sur l'intervalle [0,25 ; 5]. 4. a) Pour quelle quantité de médicament commercialisée, le bénéfice est-il maximal? (On donnera une valeur approchée de cette quantité en litres). Donner alors une valeur approchée en euros de ce bénéfice maximal. b) Ces résultats sont-ils cohérents avec ceux obtenus graphiquement à la question 2. c. de la partie A?

5 Annexe 2